2022-2023年高考數(shù)學(xué)壓軸題專項(xiàng)練習(xí) 專題8 破譯空間中有關(guān)外接圓的問題（試題+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、選擇題1．如圖中的三個(gè)直角三角形是一個(gè)體積為的幾何體的三視圖，則該幾何體外接球的面積（單位：）等于 ( )． A． B． C． D．【答案】C【解析】 2．已知三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，且，則此三棱錐的外接球的體積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可知：可將三棱錐放入長(zhǎng)方體中考慮，則長(zhǎng)方體的外接球即三棱錐的外接球，故球的半徑為長(zhǎng)方體體對(duì)角線的一半，設(shè)，則，故，得球的體積為： 3．三棱錐內(nèi)接于半徑為的球，過(guò)球心，當(dāng)三棱錐體積取得最大值時(shí)，三棱錐的表面積為A． B． C． D．【答案】D 4．已知△的頂點(diǎn)都在半徑為的球的球面上，球心到平面的距離為，，則球的體積是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】是等邊三角形，所以球心在底面的射影是的中心，點(diǎn)是直角三角形，滿足，解得：，，所以，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了球與幾何體的組合體問題，考查了空間想象能力以及計(jì)算能力，球心與截面圓的圓心連線垂直于截面，所以很多求球心問題，可先找底面多邊形的外接圓的圓心，過(guò)圓心垂直于多邊形的直線必過(guò)球心，然后再利用球心到所有頂點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)和構(gòu)造直角三角形求球的半徑．5．已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，底面滿足，，若該三棱錐體積的最大值為3，則其外接球的體積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】 6．正四面體的棱長(zhǎng)為4，為棱的中點(diǎn)，過(guò)作此正四面體的外接球的截面，則截面面積的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】將四面體放置在正方體中，如圖所示，可得正方體的外接球就是四面體的外接球，因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為4，所以正方體的棱長(zhǎng)為，可得外接球的半徑滿足，即，又為的中點(diǎn)，過(guò)作其外接球的截面，當(dāng)截面到球心的距離最大時(shí)，此時(shí)截面圓的面積最小，此時(shí)球心到截面的距離等于正方體棱長(zhǎng)的一半，可得截面圓的半徑為，得到截面圓的面積的最小值為，故選A 二、單選題7．若一個(gè)正三棱柱存在外接球與內(nèi)切球，則它的外接球與內(nèi)切球表面積之比為A. 3 ：1 B . 4 ：1 C . 5 ：1 D. 6 ：1【答案】選C 8．在正四棱錐S-ABCD中，側(cè)面與底面所成的角為，則它的外接球半徑R與內(nèi)切球半徑之比為（）A. 5 B. C. 10 D. 【答案】D【解析】由于側(cè)面與底面所成角為，可知底面對(duì)邊中心線與兩個(gè)對(duì)面斜高構(gòu)成正三角形，設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，則斜高也為a，進(jìn)而可得側(cè)棱長(zhǎng)為：，高為四棱錐的內(nèi)切球半徑就是上述正三角形的內(nèi)切圓半徑為，其外接球球心必在頂點(diǎn)與底面中心連線上，如圖：半徑為R，球心為O，頂點(diǎn)為P，底面中心為O1，底面一個(gè)頂點(diǎn)為B，則OB=OP，于是就有：（﹣R）2+（）2=R2解得R=．所以兩者的比為：．故選D 三、填空題9．已知是球面上不共面的四點(diǎn)，，平面平面，則此球的體積為_________．【答案】 10．直角的三個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，，若球的表面積為，則球心到平面的距離等于__________．[【答案】1【解析】直角的斜邊CB為所在截面小圓的直徑，則該截面小圓的半徑為，由球的表面積為可得球的半徑，球心到平面的距離．11．在三棱錐中，側(cè)棱兩兩垂直，的面積分別為，則三棱錐的外接球的體積為_______.【答案】考點(diǎn)：球與幾何體【方法點(diǎn)睛】球與幾何體的問題，屬于中檔題型，當(dāng)條件為三棱錐有同一頂點(diǎn)的三條棱兩兩垂直時(shí)，可聯(lián)想到長(zhǎng)方體，這樣的三棱錐就是長(zhǎng)方體的一部分，如圖所示，此時(shí)三棱錐的外接球就是長(zhǎng)方體的外接球，而長(zhǎng)方體的外接球的直徑就是長(zhǎng)方體的對(duì)角線，.12．在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑.已知在鱉臑中平面，，則該鱉臑的外接球與內(nèi)切球的表面積之和為__________.【答案】【解析】設(shè)的中點(diǎn)為，如圖，由，且為直角三角形，得.由兩兩垂直，可知為和的斜邊，故點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等，故點(diǎn)為鱉臑的外接球的球心，設(shè)高鱉臑的外接球的半徑與內(nèi)切球的半徑分別為,則由.得，解得.由等體積法，知.即，解得.故該鱉臑的外接球與內(nèi)切球的表面積之和為.13．已知邊長(zhǎng)為的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，沿對(duì)角線BD折成二面角A-BD-C的大小為120°的四面體，則四面體的外接球的表面積為________．【答案】28π【解析】 14．在四棱錐中，底面，底面為正方形，，，記四棱錐的外接球與三棱錐的外接球的表面積分別為，則___．【答案】點(diǎn)睛：球的半徑的計(jì)算，關(guān)鍵在球心位置的確定，三棱錐中均為直角三角形，因此外接球的球心就是的中點(diǎn)，因?yàn)樗剿膫€(gè)頂點(diǎn)的距離是相等的．同理四棱錐外接球的球心就是的中點(diǎn)．15．已知直三棱柱中，，側(cè)面的面積為，則直三棱柱外接球表面積的最小值為．【答案】考點(diǎn)：1、幾何體的外接球；2、基本不等式；3、球的體積和表面積.【方法點(diǎn)睛】設(shè)，則有，利用直三棱柱中，，從而直三棱柱外接球的半徑為，所以其比表面積的最小值為.根據(jù)直三棱柱中，，側(cè)面的面積為，設(shè)，，利用均值不等式，確定直三棱柱外接球的半徑的最小值是關(guān)鍵．16．如圖所示，三棱錐中，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，是線段的中點(diǎn)，，且，若，，，則三棱錐的外接球的表面積為__________．【答案】【解析】三棱錐中，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，設(shè)的外心為，外接圓的半徑，在中，，滿足，為直角三角形，的外接圓的圓心為，由于，為二面角的平面角，分別過(guò)兩個(gè)三角形的外心作兩個(gè)半平面的垂線交于點(diǎn)，則為三棱錐的外接球的球心，在中，，則，連接，設(shè)，則，.【點(diǎn)睛】求多面體的外接球的面積和體積問題常用方法有（1）三條棱兩兩互相垂直時(shí)，可恢復(fù)為長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對(duì)稱性，球心為上下底面外接圓的圓心連線的中點(diǎn)，再根據(jù)勾股定理求球的半徑；（3）如果設(shè)計(jì)幾何體有兩個(gè)面相交，可過(guò)兩個(gè)面的外心分別作兩個(gè)面的垂線，垂線的交點(diǎn)為幾何體的球心，本題就是第三種方法.

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