2021-2022學年四川省成都外國語學校高二下學期期中考試數(shù)學（理）試題一、單選題1．向量＝（－2，1）所對應的復數(shù)是（　?。?/span>A．z＝1＋2i B．z＝1－2iC．z＝－1＋2i D．z＝－2＋i【答案】D【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義即可.【詳解】根據(jù)復數(shù)的幾何意義，向量 ＝（－2，1）所對應的復數(shù)是z＝－2＋i；故選：D.2．由①是一次函數(shù)；②的圖象是一條直線；③一次函數(shù)的圖象是一條直線.寫一個“三段論”形式的正確推理，則作為大前提?小前提和結(jié)論的分別是（       ）A．②①③ B．③②① C．①②③ D．③①②【答案】D【分析】根據(jù)三段論的概念，即可判斷出結(jié)果.【詳解】該三段論應為：③一次函數(shù)的圖象是一條直線（大前提），①y=2x+5是一次函數(shù)（小前提），②y=2x+5的圖象是一條直線（結(jié)論）故選：D.3．用反證法證明“關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根”時，反設是“關(guān)于的一元二次方程（       ）A．有兩個相等實數(shù)根 B．無實數(shù)根C．無實根或有兩個相等實數(shù)根 D．只有一個實數(shù)根【答案】C【分析】根據(jù)反證法證明方法與步驟即可得出選項.【詳解】證明“關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根”反證法需假設“關(guān)于的一元二次方程無實根或有兩個相等實數(shù)根，推出矛盾.故選：C4．要得到函數(shù)，的圖象，只需將函數(shù)，的圖象（       ）A．縱坐標伸長到原來的2倍，橫坐標不變B．縱坐標縮短到原來的，橫坐標不變C．橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變D．橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象變換前后的解析式，確定圖象變化過程.【詳解】將在橫坐標方向上縮短到原來的，即可得，∴.故選：C5．已知在上是增函數(shù)，則實數(shù)a的最大值是（       ）A．0 B．1 C．3 D．4【答案】C【分析】由在上恒成立，參變分離求出a的取值范圍即可求解.【詳解】由題意知：，在上是增函數(shù)，即在上恒成立，則在上恒成立，又在上的最小值為3，故，即a的最大值是3.故選：C.6．已知平面的法向量為，平面的法向量為，若，則（       ）A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)題意得兩平面的法向量平行，從而得到，進而求出結(jié)果.【詳解】由題意得：與平行，故，即，解得：.故選：C7．在正方體中，分別為的中點，為側(cè)面的中心，則異面直線與所成角的余弦值為（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標系，用空間向量求解異面直線夾角的余弦值.【詳解】如圖，以D為坐標原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，所在直線為z軸建立空間直角坐標系，設正方體棱長為2，則，，，，則，，設異面直線與所成角為（），則.故選：A8．下列三個數(shù)：，，，大小順序正確的是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，對其求導，判斷單調(diào)性，進而可得出結(jié)果.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，因為對一切恒成立，所以函數(shù)在上是減函數(shù)，從而有，即.故選：A．【點睛】本題主要考查根據(jù)函數(shù)單調(diào)性比較大小，涉及導數(shù)的方法判斷函數(shù)單調(diào)性，屬于常考題型.9．函數(shù)的部分圖象是（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，再利用導數(shù)說明其單調(diào)性，即可判斷；【詳解】解：因為定義域為，且，所以為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，故排除A、D；當時，，則，所以當時，，當時，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故C錯誤、B正確；故選：B10．若函數(shù)在上無極值，則實數(shù)的取值范圍（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】求，由分析可得恒成立，利用即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由可得，恒成立，為開口向上的拋物線，若函數(shù)在上無極值，則恒成立，所以，解得：，所以實數(shù)的取值范圍為，故選：D.11．現(xiàn)要做一個無蓋的圓柱形水桶，若要使其容積為且用料最省，則水桶底面圓的半徑為（       ）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】B【解析】設圓柱的高為，半徑為,得，即，要使用料最省即求全面積的最小值，將表示為的函數(shù)，令，結(jié)合導數(shù)可判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而可求函數(shù)取得最小值時的半徑，此時用料最省，即水桶的表面積最小.【詳解】解：設高為，底面半徑為，則，即，所用材料的面積是，則，令，得，解得：，且時，，時，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當時S取得極小值，也是最小值，故當水桶底面半徑為3時，用料最?。?/span>故選：B.12．不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】分離參數(shù)，將變?yōu)?/span>，然后構(gòu)造函數(shù)，即將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求最值即可.【詳解】由不等式對任意恒成立，此時 ，可得 恒成立，令，從而問題變?yōu)榍蠛瘮?shù)的最小值或范圍問題；令 ，則，當 時，，當時，，故，即，所以， ，當且僅當 時取等號，令，則，當 時，，當時，，故 ，且當時，也會取到正值，即在 時有根，即 等號成立，所以     ，則，故 ，故選：C【點睛】本題考查了不等式的恒成立問題，解法一般是分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值或范圍問題，解答的關(guān)鍵是在于將不等式或函數(shù)式進行合理的變式，這里需要根據(jù)式子的具體特點進行有針對性的變形，需要一定的技巧.二、填空題13．函數(shù)，其導函數(shù)為，則________________【答案】0.5【分析】先求導，然后代入，進行求解【詳解】因為，所以故答案為：14．設復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則______．【答案】【分析】利用復數(shù)的除法化簡復數(shù)，利用復數(shù)的模長公式可求得結(jié)果.【詳解】由已知可得，因此，.故答案為：.15．定積分______．【答案】【分析】利用微積分的基本定理求解.【詳解】，故答案為：-416．已知是函數(shù)且的個零點，則的取值范圍是______．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式可得，，由此可得知，，可將所求式子化為；令，利用導數(shù)可求得，由此可得所求式子的范圍.【詳解】，當時，；又，，，；令，則，在上單調(diào)遞減，，的取值范圍為.故答案為：.三、解答題17．（1）在極坐標系中，已知點，請將點的極坐標化為直角坐標；（2）在平面直角坐標系中，求曲線經(jīng)過伸縮變換后的曲線方程．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)極坐標與直角坐標關(guān)系可直接轉(zhuǎn)化得到結(jié)果；（2）由變換原則可得，代入曲線方程即可得到所求曲線方程.【詳解】（1）由題意得：，，，；點的直角坐標為.（2）由得：，，即，變換后的曲線方程為：.18．已知函數(shù)在處取得極值．(1)求的解析式；(2)當時，的圖象與的圖象有兩個公共點，求m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由解出，代回導數(shù)，檢驗在處取得極值即可；（2）先確定函數(shù)在上的單調(diào)性，求出最值及端點值，即可求得m的取值范圍.【詳解】(1)，∵在處取得極值，∴，∴，解得：，∴，此時，當時，；當時，，在單增，在單減，滿足在處取得極值，故.(2)由（1）知，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；又，，，所以．19．已知長方體，，，為棱的中點，為線段的中點．（1）求證：平面（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）取的中點G，連接GF，GB，可得四邊形為平行四邊形，則，進而可證明平面；（2）建立空間直角坐標系，求出面的法向量，利用線面角的向量公式求解即可.【詳解】解：（1）如圖：取的中點G，連接GF，GB，則，又，，則四邊形為平行四邊形，，又面，面，平面；（2）如果建立空間直角坐標系,則，則，設面的法向量為，則，即，令，可得，設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值.【點睛】本題考查線面平行的證明，考查向量法求線面角，是基礎(chǔ)題.20．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求證：．【答案】(1)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為(2)證明見解析【分析】（1）對求導，令導函數(shù)與大于0，小于0即可得出答案.（2）設，對求導，此題轉(zhuǎn)化為求.【詳解】(1)依題意知函數(shù)的定義域為，∵，由，得；由，得，∴的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．(2)設，∴，∵當時，，當時，，∴在上為減函數(shù)，上為增函數(shù)，∴，即．21．如圖，是邊長為3的正方形，平面，，，與平面所成角為.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合正方形的性質(zhì)，線面垂直的判定定理進行證明即可；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可.【詳解】（1）證明：因為平面，面，所以.因為是正方形，所以又，面，面，故平面（2）因為兩兩垂直，建立空間直角坐標系如圖所示.因為平面，且與平面所成角為，即，所以，由已知，可得，.則，，，，，所以，.設平面的法向量為，則，即.令，則因為平面，所以為平面的法向量，.所以.因為二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.【點睛】本題考查了線面垂直的證明方法，考查了利用空間向量夾角公式求二面角余弦值問題，考查了推理論證能力和數(shù)學運算能力.22．已知函數(shù)，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．(1)當時，求在處的切線方程；(2)若存在，，使得，且，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）對求導，求，由點斜式即可求出答案.（2）設，，結(jié)合，代入整理得，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分類討論，即可求得a的取值范圍．【詳解】(1)當時，，，，所以在處的切線方程為：，所以.(2)不妨設，，所以關(guān)于t的方程有正實數(shù)解，所以，即有正實數(shù)解，設，則，，所以單調(diào)遞增，所以，①當時，，所以單調(diào)遞增，所以，不合題意；②當時，存在，使得，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即存在，符合題意．綜上，a的取值范圍為． 

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