知識點(diǎn)一 用平方差公式分解因式
例1 把下列各式分解因式:（1）-4m2＋25n2；（2）169（a＋b）2-121（a-b）2.
例1 把下列各式分解因式:（1）-4m2＋25n2；（2）169（a＋b）2-121（a-b）2.分析 （1）中的多項(xiàng)式可變?yōu)?（4m2-25n2），可寫成-［（2m）2-（5n）2］，從而利用平方差公式進(jìn)行因式分解；（2）中的多項(xiàng)式可寫成［13（a＋b）］2-［11（a-b）］2，從而利用平方差公式進(jìn)行因式分解.
解析 （1）-4m2＋25n2＝-（4m2-25n2）＝-[（2m）2-（5n）2]＝-（2m＋5n）（2m-5n）（2）169（a＋b）2-121（a-b）2＝[13（a＋b）]2-[11（a-b）]2＝[13（a＋b）＋11（a-b）][13（a＋b）-11（a-b）]＝（24a＋2b）（2a＋24b）＝4（12a＋b）（a＋12b）
解析 （1）-4m2＋25n2＝-（4m2-25n2）＝-[（2m）2-（5n）2]＝-（2m＋5n）（2m-5n）（2）169（a＋b）2-121（a-b）2＝[13（a＋b）]2-[11（a-b）]2＝[13（a＋b）＋11（a-b）][13（a＋b）-11（a-b）]＝（24a＋2b）（2a＋24b）＝4（12a＋b）（a＋12b）點(diǎn)撥 運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解時(shí)，把多項(xiàng)式化成“平方差”的形式，以便明確哪項(xiàng)是公式中的a，哪項(xiàng)是公式中的b.
知識點(diǎn)二 用完全平方公式分解因式
2.公式法 通常我們把運(yùn)用乘法公式進(jìn)行因式分解的方法叫做公式法.
例2 分解因式:（1）m2＋14m＋49；（2）9x2-12x＋4；（3）a2＋2a（b＋c）＋（b＋c）2.
例2 分解因式:（1）m2＋14m＋49；（2）9x2-12x＋4；（3）a2＋2a（b＋c）＋（b＋c）2.分析 （1）兩個(gè)平方項(xiàng)是m2和72，可以用完全平方公式分解因式；（2）兩個(gè)平方項(xiàng)分別為（3x）2和22，可以用完全平方公式分解因式；（3）兩個(gè)平方項(xiàng)分別為a2和（b＋c）2，可以用完全平方公式分解因式.
解析 （1）m2＋14m＋49＝m2＋2m×7＋72＝（m＋7）2；（2）9x2-12x＋4＝（3x）2-2×3x×2＋22＝（3x-2）2；（3）a2＋2a（b＋c）＋（b＋c）2＝［a＋（b＋c）］2＝（a＋b＋c）2.
解析 （1）m2＋14m＋49＝m2＋2m×7＋72＝（m＋7）2；（2）9x2-12x＋4＝（3x）2-2×3x×2＋22＝（3x-2）2；（3）a2＋2a（b＋c）＋（b＋c）2＝［a＋（b＋c）］2＝（a＋b＋c）2.點(diǎn)撥 一個(gè)多項(xiàng)式可以利用完全平方公式分解因式時(shí)，這個(gè)多項(xiàng)式必須具備:（1）是一個(gè)三項(xiàng)式；（2）三項(xiàng)中有兩項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)（或式子）的平方，第三項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)（或式子）乘積的2倍或-2倍只有同時(shí)具備以上兩個(gè)條件，才能用完全平方公式分解因式.
知識點(diǎn)三 綜合應(yīng)用各種方法分解因式
因?yàn)槎囗?xiàng)式的形式多種多樣，所以因式分解的方法也有多種要迅速選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，必須注意從多?xiàng)式的項(xiàng)數(shù)、各項(xiàng)符號、各項(xiàng)之間的關(guān)系等方面綜合分析一般可遵循下列步驟進(jìn)行:
例3 分解因式：（1）-9a2＋18ab-9b2；（2）16a2（x-y）＋b2（y-x）.
例3 分解因式：（1）-9a2＋18ab-9b2；（2）16a2（x-y）＋b2（y-x）.分析 （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可.
例3 分解因式：（1）-9a2＋18ab-9b2；（2）16a2（x-y）＋b2（y-x）.分析 （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可.解析 （1）原式＝-9（a2-2ab＋b2）＝-9（a-b）2.（2）原式＝（x-y）（16a2-b2）＝（x-y）（4a＋b）（4a-b）.
例3 分解因式：（1）-9a2＋18ab-9b2；（2）16a2（x-y）＋b2（y-x）.分析 （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可.解析 （1）原式＝-9（a2-2ab＋b2）＝-9（a-b）2.（2）原式＝（x-y）（16a2-b2）＝（x-y）（4a＋b）（4a-b）.點(diǎn)撥 綜合應(yīng)用各種方法分解因式時(shí)一定要注意分解是否徹底.
題型一 綜合運(yùn)用公式法分解因式
例1 分解因式：（1）（x2＋4x）2-16； （2）a4-2a2b2＋b4.
例1 分解因式：（1）（x2＋4x）2-16； （2）a4-2a2b2＋b4.解析 （1）原式＝（x2＋4x＋4）（x2＋4x-4）＝（x＋2）2（x2＋4x-4）.（2）原式＝（a2-b2）2＝［（a＋b）（a-b）］2＝（a＋b）2（a-b）2.
例1 分解因式：（1）（x2＋4x）2-16； （2）a4-2a2b2＋b4.解析 （1）原式＝（x2＋4x＋4）（x2＋4x-4）＝（x＋2）2（x2＋4x-4）.（2）原式＝（a2-b2）2＝［（a＋b）（a-b）］2＝（a＋b）2（a-b）2.點(diǎn)撥 （1）當(dāng)多項(xiàng)式的各項(xiàng)沒有公因式時(shí)，一定要觀察多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)，如果多項(xiàng)式是二項(xiàng)式，那么應(yīng)考慮是否具備平方差公式的特點(diǎn)，如果多項(xiàng)式是三項(xiàng)式，那么應(yīng)考慮是否具備完全平方公式的特點(diǎn).（2）當(dāng)分解出來的因式還可以繼續(xù)分解時(shí)，要繼續(xù)分解，直至分解徹底.
題型二 求與完全平方式有關(guān)的字母參數(shù)的值
例2 若x2＋（m-3）x＋4是完全平方式，求m的值.
例2 若x2＋（m-3）x＋4是完全平方式，求m的值.分析 完全平方式是一個(gè)三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)能寫成兩個(gè)數(shù)（或式子）的平方的形式，且符號相同，第三項(xiàng)為這兩個(gè)數(shù)（或式子）的積的2倍或-2倍.
例2 若x2＋（m-3）x＋4是完全平方式，求m的值.分析 完全平方式是一個(gè)三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)能寫成兩個(gè)數(shù)（或式子）的平方的形式，且符號相同，第三項(xiàng)為這兩個(gè)數(shù)（或式子）的積的2倍或-2倍.解析 因?yàn)閤2＋（m-3）x＋4＝x2＋（m-3）x＋22是完全平方式，所以（m-3）x＝±2x×2＝±4x，所以m-3＝±4，所以m＝7或m＝-1.
例2 若x2＋（m-3）x＋4是完全平方式，求m的值.分析 完全平方式是一個(gè)三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)能寫成兩個(gè)數(shù)（或式子）的平方的形式，且符號相同，第三項(xiàng)為這兩個(gè)數(shù)（或式子）的積的2倍或-2倍.解析 因?yàn)閤2＋（m-3）x＋4＝x2＋（m-3）x＋22是完全平方式，所以（m-3）x＝±2x×2＝±4x，所以m-3＝±4，所以m＝7或m＝-1.點(diǎn)撥 在求與完全平方式有關(guān)的字母參數(shù)的值時(shí)，要注意“2倍乘積項(xiàng)”的符號有“＋”“-”兩種情況，不要漏解.
題型三 因式分解在幾何問題中的應(yīng)用
例3 已知a，b，c是△ABC的三邊長，且滿足a2-b2＋ac＋bc＝0，試判斷△ABC的形狀.
例3 已知a，b，c是△ABC的三邊長，且滿足a2-b2＋ac＋bc＝0，試判斷△ABC的形狀.分析 由a，b，c是△ABC的三邊長，知a＞0，b＞0，c＞0，通過分解因式將方程左邊變形，即可判斷三角形的形狀.
例3 已知a，b，c是△ABC的三邊長，且滿足a2-b2＋ac＋bc＝0，試判斷△ABC的形狀.分析 由a，b，c是△ABC的三邊長，知a＞0，b＞0，c＞0，通過分解因式將方程左邊變形，即可判斷三角形的形狀.解析 a2-b2＋ac-bc＝0，（a＋b）（a-b）＋（a-b）c＝0，（a-b）（a＋b＋c）＝0，因?yàn)閍，b，c是△ABC的三邊長，所以a＞0，b＞0，c＞0，所以a＋b＋c≠0，所以a-b＝0，即a＝b，所以△ABC是等腰三角形.
易錯(cuò)點(diǎn) 因式分解不徹底
例 因式分解:16x4-72x2＋81.
例 因式分解:16x4-72x2＋81.分析 先根據(jù)完全平方公式進(jìn)行因式分解，再根據(jù)平方差公式進(jìn)行因式分解.
例 因式分解:16x4-72x2＋81.分析 先根據(jù)完全平方公式進(jìn)行因式分解，再根據(jù)平方差公式進(jìn)行因式分解.解析 16x4-72x2＋81＝（4x2-9）2＝（2x＋3）2（2x-3）2.
例 因式分解:16x4-72x2＋81.分析 先根據(jù)完全平方公式進(jìn)行因式分解，再根據(jù)平方差公式進(jìn)行因式分解.解析 16x4-72x2＋81＝（4x2-9）2＝（2x＋3）2（2x-3）2.易錯(cuò)警示 對于某些復(fù)雜的多項(xiàng)式，可能要多次用到公式法進(jìn)行因式分解才能分解徹底，因此分解因式后一定要看式子是否還能繼續(xù)分解.

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3 公式法

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