2021-2022學(xué)年河南省駐馬店市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】.故選：B.2．平行四邊形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)為O，則（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的平行四邊形法則求解即可【詳解】根據(jù)向量的平行四邊形法則可得故選：C3．復(fù)數(shù)，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第（       ）象限．A．一 B．二 C．三 D．四【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義求解即可【詳解】，故z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限故選：D4．已知，若直線、分別在平面、內(nèi)，則、的關(guān)系不可能是（       ）A．平行 B．相交 C．垂直 D．異面【答案】B【分析】推導(dǎo)出、無公共點(diǎn)，由此可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)?/span>，直線、分別在平面、內(nèi)，則、無公共點(diǎn)，所以，、平行、垂直或異面，不可能相交.故選：B.5．已知，則的最大值為（       ）A． B．3 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)求模公式，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系，即可得答案.【詳解】由題意得，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為3.故選：B6．我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了計(jì)算體積的祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”．意思是如果兩個(gè)等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等，現(xiàn)有等高的四棱錐和圓錐滿足祖暅原理的條件，若該圓錐的高為，其軸截面為等邊三角形，則該四棱錐的體積等于（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題干條件，可得圓錐母線長(zhǎng)，代入體積公式，可得圓錐體積，根據(jù)祖暅原理，可得答案.【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為a，因?yàn)閳A錐的高為，其軸截面為等邊三角形，所以，解得，所以圓錐的體積，根據(jù)祖暅原理可得，四棱錐的體積為.故選：A7．已知，則（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知結(jié)合求得即可求出.【詳解】因?yàn)?/span>，，則可解得，所以.故選：A.8．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，若只有一解，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為（       ）A． B． C． D．或【答案】D【分析】畫出三角形，數(shù)形結(jié)合分析臨界條件再判斷即可【詳解】如圖， ，為正三角形，則點(diǎn)在射線上.易得當(dāng)在時(shí)，只有一解，此時(shí)；當(dāng)在或右邊時(shí)只有一解，此時(shí).故 或故選：D9．如圖所示半徑為4m的水輪其圓心O距離水面2m．已知水輪自點(diǎn)A開始沿逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，1min旋轉(zhuǎn)4圈，水輪上的點(diǎn)P到水面距離y（m）與時(shí)間x（s）滿足函數(shù)關(guān)系，則有（       ）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】確定A的值，根據(jù)函數(shù)的周期可計(jì)算，利用點(diǎn)代入解析式中結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)可求得，即可確定答案.【詳解】由題意可知，最高點(diǎn)到水面距離為5，故A=5，由水輪自點(diǎn)A開始沿逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，1min旋轉(zhuǎn)4圈，則周期 ,則，由題意知,代入解析式中，，由于，故或，根據(jù)圖象可知A處于函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間上，故，所以，，，故選：C10．已知三棱柱中，所有棱長(zhǎng)均為6，且，則該三棱柱的側(cè)面積等于（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意得點(diǎn)在底面內(nèi)的投影點(diǎn)O必定在底部正三角形ABC的的角平分線上，可證得為矩形，分別為求出矩形的面積，正三角形的面積，四邊形，的面積即可得出答案.【詳解】由于三棱柱的所有棱長(zhǎng)均等于6，且，所以點(diǎn)在底面內(nèi)的投影點(diǎn)O必定在底部正三角形ABC的的角平分線上，所以平面ABC，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，，所以，所以平面，又因?yàn)?/span>平面，所以，又因?yàn)?/span>，，所以矩形的面積為，正三角形的面積為：，四邊形，的面積為：，所以該三棱柱的表面積等于.故選：D.11．已知D，E分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，且滿足，，，連接AO并延長(zhǎng)交BC于F點(diǎn)．若，則實(shí)數(shù)的值為（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線，可得，再根據(jù)三點(diǎn)共線，可求出，由平面向量基本定理可得，所以可求出，所以知，再由，即可求出的值.【詳解】由題意可得，，因?yàn)?/span>三點(diǎn)共線，則，所以，同理，三點(diǎn)共線，，又因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，所以，所以，，所以故選：D.12．已知平面四邊形ABCD，連接對(duì)角線BD，得到等邊三角形ABD和直角三角形BCD，且，，，將平面四邊形ABCD沿對(duì)角線BD翻折，得到四面體，則當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，該四面體的外接球的表面積為（       ）A．12π B．18π C．21π D．28π【答案】C【分析】先根據(jù)底面面積為定值，確定四面體ABCD的體積最大時(shí)，平面,再確定外接球球心位置，解得球半徑，代入球的表面積公式得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈酌?/span>為正三角形，所以底面面積為定值，所以當(dāng)平面時(shí)，四面體ABCD的體積最大.設(shè)外接圓圓心為,則四面體ABCD的外接球的球心滿足,且，三角形的外接圓半徑為，因此外接球的半徑滿足從而外接球的表面積為.故選：C.二、填空題13．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為__________．【答案】1【詳解】由純虛數(shù)定義，實(shí)部為0，虛部不等于0，所以，填1.14．一水平放置的平面圖形按“斜二測(cè)畫法”得到直觀圖為斜邊等于的等腰直角三角形，則原平面圖形的面積為______．【答案】【分析】根據(jù)題意畫出原圖形，由“斜二測(cè)畫法”得出原圖形長(zhǎng)度即可求出.【詳解】如圖，若直觀圖為，，則，所以在原圖中，，所以面積為；若直觀圖為，，則，所以在原圖中，，所以面積為.故答案為：.15．已知角的終邊上有一點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)m取值為______．【答案】0或【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義表示即可求解.【詳解】因?yàn)榻?/span>的終邊上有一點(diǎn)，所以，解得或.故答案為：0或.16．設(shè)中角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，AD為的邊BC上的中線，且，，，則______．【答案】【分析】先求出，然后在和分別利用正弦定理，結(jié)合可得，再求出，再利用兩角和的正弦公式可求出，從而可得.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，在中，由正弦定理得，，在中，由正弦定理得，，因?yàn)?/span>，所以兩式相除，得,因?yàn)?/span>，所以,所以，所以，所以，故答案為：三、解答題17．已知，．(1)證明：；(2)計(jì)算：的值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由已知可得，然后利用兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)后，整理，再根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系化為正切即可得結(jié)論，或?qū)σ阎阶永脙山呛团c差的正弦公式展開，可求出，，兩式相除可得結(jié)論，（2）結(jié)合兩角差的正切公式的變形公式化簡(jiǎn)，再將（1）中的結(jié)論代入可求得結(jié)果【詳解】(1)方法一：由條件，則即整理得也即，得證．方法二：由條件，即，得，從而可得得證．(2)由于所以原式18．已知向量，．（1）若，求實(shí)數(shù)m的值；（2）若為鈍角，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）；（2）且【分析】（1）由已知可得，利用數(shù)量積的坐標(biāo)公式列方程求解即可；（2）由為鈍角列出不等式，可得實(shí)數(shù)m的取值范圍．【詳解】（1）由，則即即，得．（2）若為鈍角，即且即，得，且則得且綜上解得且．19．如圖，三棱錐中，，均為等邊三角形，，O為AB中點(diǎn)，點(diǎn)D在AC上，滿足，且面面ABC．(1)證明：面POD；(2)若點(diǎn)E為PB中點(diǎn)，問：直線AC上是否存在點(diǎn)F，使得面POD，若存在，求出FC的長(zhǎng)及EF到面POD的距離；若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)見解析【分析】（1）證明，，由線面垂直的判定定理即可得到證明；（2）取的中點(diǎn)，可得，再在面內(nèi)作交于點(diǎn)，由面面平行的判定定理證明面面，即可得到面POD，由比例可得FC的長(zhǎng)，且EF到面POD的距離即為面與面間的距離，即可得到答案.【詳解】(1)由條件、為等邊三角形，為的中點(diǎn)，則，，，由余弦定理得從而在中，，得為直角三角形，且，又面面，面面，且，面,則由面面垂直的性質(zhì)定理可得面由面，因此由，，，面，即面POD.(2)存在AC上的點(diǎn)F，使得面點(diǎn)E為PB中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，可得，再在面內(nèi)作交于點(diǎn)，該點(diǎn)即為滿足題意的點(diǎn)（如圖）．下面證明面面由于，面，面，則面，，面，面，則面， 面，面，，則由面面平行的判定定理可得面面，面，因此面POD又由于，從而可得，，，由（1）可知，面，則面，即為面與面間的距離，也即到面的距離．綜上：存在上的點(diǎn)，使得面，，到面的距離為．20．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，．(1)求B的值．(2)若為銳角三角形，求的面積的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）方法一：根據(jù)正弦定理及題干條件，可得，根據(jù)角B的范圍，即可得答案；方法二：根據(jù)題干條件及正弦定理，化簡(jiǎn)可得，根據(jù)角A、B的范圍，即可得答案.（2）方法一：根據(jù)題干條件可得，，根據(jù)余弦定理，可得，又，整理得，代入上式，化簡(jiǎn)可得c的范圍，代入面積公式，即可得答案；方案二：根據(jù)題干條件及（1）可得角A的范圍，根據(jù)面積公式、兩角和的正弦公式等，化簡(jiǎn)可得，根據(jù)角A的范圍，即可得答案.【詳解】(1)方法一：由正弦定理得，則，又，則根據(jù)條件，所以，因?yàn)?/span>，所以．方法二： 根據(jù)條件得，由正弦定理可得，因?yàn)?/span>，，所以，即，因?yàn)?/span>，所以．(2)方法一：若為銳角三角形，結(jié)合（1），則，，所以①又因?yàn)?/span>，且，所以，上式代入①中得，所以，從而．方法二：若為銳角三角形，結(jié)合（1），則，解得，由于，因?yàn)?/span>，所以，所以21．如圖所示，在直角梯形BCEF中，，A，D分別是BF，CE上的點(diǎn)，且，，將四邊形ADEF沿AD折起，連接BE，BF，CE，AC．(1)證明：面BEF；(2)若，求直線BF與平面EBC所成的角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）方法一：取ED中點(diǎn)H，連接HA，HC，HF，由面面平行的判定定理證明面面AHC即可；方法二：在面AFED內(nèi)，延長(zhǎng)EF，DA交于G點(diǎn)，連接BG，證明四邊形AGBC為平行四邊形，根據(jù)線面平行的判定定理即可得到證明.（2）將直線BF與平面EBC所成的角轉(zhuǎn)為直線HC與平面EBC所成的角, 取ED中點(diǎn)H，在平面DEC內(nèi)作于M點(diǎn)，證明面BCE，可得BF與平面EBC所成的角為，由正弦定理可得答案.【詳解】(1)方法一：取ED中點(diǎn)H，連接HA，HC，HF，如下圖：由題意可知,即四邊形AFEH為平行四邊形，可得，面EFB, 面EFB，可得面EFB，四邊形AFHD為平行四邊形，則，，可得四邊形BCHF為平行四邊形，則，面EFB, 面EFB，可得面EFB，，面AHC, 面AHC,根據(jù)面面平行的判定定理可得面面AHC，面AHC,從而可得面EFB．方法二：在面AFED內(nèi)，延長(zhǎng)EF，DA交于G點(diǎn)，連接BG，如下圖：則面EFB．由條件，則．從而可得，四邊形AGBC為平行四邊形．可得，又面EFB，面EFB，根據(jù)線面平行的判定定理可得面EFB．(2)取ED中點(diǎn)H，在平面DEC內(nèi)作于M點(diǎn)，如下圖：由題意，，進(jìn)而可得四邊形FHCB為平行四邊形，．直線BF與平面EBC所成的角即為直線HC與平面EBC所成的角,在翻折過程中，始終有，，，即恒有面EDC，面EDC，面BEC,可得面面BCE，面面BCE=CE，面DEC , 可得面BCE，從而HC在面EBC內(nèi)的射影為MC，因此BF與平面EBC所成的角為，若，則，進(jìn)而可得，，，在中，由正弦定理可得，即，解得，即直線BF與平面EBC所成角的正弦值為．22．已知函數(shù)，且的最小正周期為，將的圖像沿x軸向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)，其中為的一條對(duì)稱軸．(1)求函數(shù)與的解析式；(2)若方程在區(qū)間有解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）先化簡(jiǎn)得到，根據(jù)性質(zhì)求出和得到和．（2）記，即，.利用換元法，則的值域求解問題等價(jià)于，的值域，把原命題“若方程在區(qū)間有解”轉(zhuǎn)化為在內(nèi)有解，即可求得.【詳解】(1)由條件則且的最小正周期為，則即，將的圖像沿軸方向向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)且為的一條對(duì)稱軸，即由可得從而可得．(2)由（1）可知記即，再記，，代入中，則的值域求解問題等價(jià)于，的值域，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因此的值域?yàn)?/span>，也即為原命題“若方程在區(qū)間有解”即等價(jià)于在內(nèi)有解只需即可，解得即為所求． 

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