?2021中考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類匯編-三角形解答題

一．三角形的面積（共1小題）
1．（2021?賀州）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，∠ADB＝∠ABD＝∠BDC，DE交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥BD，垂足為F，且EF＝EC．
（1）求證：四邊形ABED是菱形；
（2）若AD＝4，求△BED的面積．

二．全等三角形的判定（共2小題）
2．（2021?宜賓）如圖，已知OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD．
求證：△AOB≌△COD．

3．（2021?衡陽）如圖，點(diǎn)A、B、D、E在同一條直線上，AB＝DE，AC∥DF，BC∥EF．求證：△ABC≌△DEF．

三．全等三角形的判定與性質(zhì)（共26小題）
4．（2021?陜西）如圖，∠A＝∠BCD，CA＝CD，點(diǎn)E在BC上，且DE∥AB，求證：AB＝EC．

5．（2021?蘭州）如圖，點(diǎn)E，C在線段BF上，∠A＝∠D，AB∥DE，BC＝EF．求證：AC＝DF．

6．（2021?河池）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，D，E分別是AB，BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，以BD為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)F．
（1）當(dāng)AD＝DF時(shí)，求證：△CAD≌△CFD；
（2）當(dāng)△CED是等腰三角形且△DEB是直角三角形時(shí)，求AD的長．

7．（2021?西藏）如圖，AB∥DE，B，C，D三點(diǎn)在同一條直線上，∠A＝90°，EC⊥BD，且AB＝CD．求證：AC＝CE．

8．（2021?百色）如圖，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，BE、CD相交于點(diǎn)O，∠B＝∠C，BD＝CE．
求證：（1）OD＝OE；
（2）△ABE≌△ACD．

9．（2021?湘潭）如圖，矩形ABCD中，E為邊BC上一點(diǎn)，將△ABE沿AE翻折后，點(diǎn)B恰好落在對角線AC的中點(diǎn)F上．
（1）證明：△AEF≌△CEF；
（2）若AB＝，求折痕AE的長度．

10．（2021?廣州）如圖，點(diǎn)E、F在線段BC上，AB∥CD，∠A＝∠D，BE＝CF，證明：AE＝DF．

11．（2021?大連）如圖，點(diǎn)A，D，B，E在一條直線上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF．求證：BC＝EF．

12．（2021?常州）如圖，B、F、C、E是直線l上的四點(diǎn)，AB∥DE，AB＝DE，BF＝CE．
（1）求證：△ABC≌△DEF；
（2）將△ABC沿直線l翻折得到△A′BC．
①用直尺和圓規(guī)在圖中作出△A′BC（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；
②連接A′D，則直線A′D與l的位置關(guān)系是 　 ?。?br />
13．（2021?黃石）如圖，D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，CF∥AB，DF交AC于E點(diǎn)，DE＝EF．
（1）求證：△ADE≌△CFE；
（2）若AB＝5，CF＝4，求BD的長．

14．（2021?銅仁市）如圖，AB交CD于點(diǎn)O，在△AOC與△BOD中，有下列三個(gè)條件：①OC＝OD，②AC＝BD，③∠A＝∠B．請你在上述三個(gè)條件中選擇兩個(gè)為條件，另一個(gè)能作為這兩個(gè)條件推出來的結(jié)論，并證明你的結(jié)論（只要求寫出一種正確的選法）．
（1）你選的條件為 　 　、　 　，結(jié)論為 　 ??；
（2）證明你的結(jié)論．

15．（2021?永州）如圖，已知點(diǎn)A，D，C，B在同一條直線上，AD＝BC，AE＝BF，AE∥BF．
（1）求證：△AEC≌△BFD．
（2）判斷四邊形DECF的形狀，并證明．

16．（2021?威海）（1）已知△ABC，△ADE如圖①擺放，點(diǎn)B，C，D在同一條直線上，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝45°．連接BE，過點(diǎn)A作AF⊥BD，垂足為點(diǎn)F，直線AF交BE于點(diǎn)G．求證：BG＝EG．
（2）已知△ABC，△ADE如圖②擺放，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠ADE＝30°．連接BE，CD，過點(diǎn)A作AF⊥BE，垂足為點(diǎn)F，直線AF交CD于點(diǎn)G．求的值．

17．（2021?福建）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．線段EF是由線段AB平移得到的，點(diǎn)F在邊BC上，△EFD是以EF為斜邊的等腰直角三角形，且點(diǎn)D恰好在AC的延長線上．
（1）求證：∠ADE＝∠DFC；
（2）求證：CD＝BF．

18．（2021?無錫）已知：如圖，AC，DB相交于點(diǎn)O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO．
求證：（1）△ABO≌△DCO；
（2）∠OBC＝∠OCB．

19．（2021?福建）如圖，在△ABC中，D是邊BC上的點(diǎn)，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE＝DF，CE＝BF．求證：∠B＝∠C．

20．（2021?南京）如圖，AC與BD交于點(diǎn)O，OA＝OD，∠ABO＝∠DCO，E為BC延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥CD，交BD的延長線于點(diǎn)F．
（1）求證△AOB≌△DOC；
（2）若AB＝2，BC＝3，CE＝1，求EF的長．

21．（2021?陜西）如圖，BD∥AC，BD＝BC，點(diǎn)E在BC上，且BE＝AC．求證：∠D＝∠ABC．

22．（2021?臺(tái)州）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝20，BC＝DC＝10．
（1）求證：△ABC≌△ADC；
（2）當(dāng)∠BCA＝45°時(shí)，求∠BAD的度數(shù)．

23．（2021?杭州）在①AD＝AE，②∠ABE＝∠ACD，③FB＝FC這三個(gè)條件中選擇其中一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并完成問題的解答．
問題：如圖，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，點(diǎn)D在AB邊上（不與點(diǎn)A，點(diǎn)B重合），點(diǎn)E在AC邊上（不與點(diǎn)A，點(diǎn)C重合），連接BE，CD，BE與CD相交于點(diǎn)F．若 　 　，求證：BE＝CD．

24．（2021?南充）如圖，∠BAC＝90°，AD是∠BAC內(nèi)部一條射線，若AB＝AC，BE⊥AD于點(diǎn)E，CF⊥AD于點(diǎn)F．求證：AF＝BE．

25．（2021?樂山）如圖．已知AB＝DC，∠A＝∠D，AC與DB相交于點(diǎn)O，求證：∠OBC＝∠OCB．

26．（2021?云南）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，AC＝BD，AC與BD相交于點(diǎn)E．求證：∠DAC＝∠CBD．

27．（2021?涼山州）如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC＝∠B＝90°，過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，若DE＝BE．
（1）求證：DA＝DC；
（2）連接AC交DE于點(diǎn)F，若∠ADE＝30°，AD＝6，求DF的長．

28．（2021?瀘州）如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求證：BD＝CE．

29．（2021?吉林）如圖，點(diǎn)D在AB上，E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求證：AD＝AE．

四．全等三角形的應(yīng)用（共1小題）
30．（2021?柳州）如圖，有一池塘，要測池塘兩端A、B的距離，可先在平地上取一個(gè)點(diǎn)C，從點(diǎn)C不經(jīng)過池塘可以直接到達(dá)點(diǎn)A和B，連接AC并延長到點(diǎn)D，使CD＝CA，連接BC并延長到點(diǎn)E，使CE＝CB，連接DE，那么量出DE的長就是A、B的距離，為什么？請結(jié)合解題過程，完成本題的證明．
證明：在△DEC和△ABC中，
，
∴△DEC≌△ABC（SAS），
∴　 　．

五．線段垂直平分線的性質(zhì)（共1小題）
31．（2021?長沙）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，BD＝CD，延長BC至E，使得CE＝CA，連接AE．
（1）求證：∠B＝∠ACB；
（2）若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周長和面積．

六．等腰三角形的性質(zhì)（共2小題）
32．（2021?溫州）如圖，BE是△ABC的角平分線，在AB上取點(diǎn)D，使DB＝DE．
（1）求證：DE∥BC；
（2）若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度數(shù)．

33．（2021?紹興）如圖，在△ABC中，∠A＝40°，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，BD＝BC＝CE，連結(jié)CD，BE．
（1）若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度數(shù)；
（2）寫出∠BEC與∠BDC之間的關(guān)系，并說明理由．

七．等腰三角形的判定（共1小題）
34．（2021?淄博）如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥BC交AB于點(diǎn)E．
（1）求證：BE＝DE；
（2）若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠BDE的度數(shù)．

八．含30度角的直角三角形（共1小題）
35．（2021?杭州）如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線BD交AC邊于點(diǎn)D，AE⊥BC于點(diǎn)E．已知∠ABC＝60°，∠C＝45°．
（1）求證：AB＝BD；
（2）若AE＝3，求△ABC的面積．

九．勾股定理（共1小題）
36．（2021?大連）如圖，矩形ABCD中，BC＝4cm，CD＝3cm，P，Q兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P沿BC→CD以1cm/s的速度向終點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿BA→AC以2cm/s的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)．
設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），△BPQ 的面積為S （cm2）．
（1）求AC的長；
（2）求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量t的取值范圍．

一十．勾股定理的證明（共1小題）
37．（2021?攀枝花）如圖是“弦圖”的示意圖，“弦圖”最早是由三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)給出的，它標(biāo)志著中國古代的數(shù)學(xué)成就．它由4個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形組成，恰好拼成一個(gè)大正方形，每個(gè)直角三角形的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c．請你運(yùn)用此圖形證明勾股定理：a2+b2＝c2．

一十一．勾股定理的應(yīng)用（共1小題）
38．（2021?包頭）某工程隊(duì)準(zhǔn)備從A到B修建一條隧道，測量員在直線AB的同一側(cè)選定C，D兩個(gè)觀測點(diǎn)，如圖．測得AC長為km，CD長為（+）km，BD長為km，∠ACD＝60°，∠CDB＝135°（A、B、C、D在同一水平面內(nèi)）．
（1）求A、D兩點(diǎn)之間的距離；
（2）求隧道AB的長度．

一十二．三角形綜合題（共14小題）
39．（2021?青島）問題提出：
最長邊長為128的整數(shù)邊三角形有多少個(gè)？（整數(shù)邊三角形是指三邊長度都是整數(shù)的三角形．）
問題探究：
為了探究規(guī)律，我們先從最簡單的情形入手，從中找到解決問題的方法，最后得出一般性的結(jié)論．
（1）如表①，最長邊長為1的整數(shù)邊三角形，顯然，最短邊長是1，第三邊長也是1．按照（最長邊長，最短邊長，第三邊長）的形式記為（1，1，1），有1個(gè)，所以總共有1×1＝1個(gè)整數(shù)邊三角形．
表①
最長邊長
最短邊長
（最長邊長，最短邊長，第三邊長）
整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)
計(jì)算方法
算式
1
1
（1，1，1）
1
1個(gè)1
1×1
（2）如表②，最長邊長為2的整數(shù)邊三角形，最短邊長是1或2．根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，當(dāng)最短邊長為1時(shí)，第三邊長只能是2，記為（2，1，2），有1個(gè)；當(dāng)最短邊長為2時(shí)，顯然第三邊長也是2，記為（2，2，2），有1個(gè)，所以總共有1+1＝1×2＝2個(gè)整數(shù)邊三角形．
表②
最長邊長
最短邊長
（最長邊長，最短邊長，第三邊長）
整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)
計(jì)算方法
算式
2
1
（2，1，2）
1
2個(gè)1
1×2
2
（2，2，2）
1
（3）下面在表③中總結(jié)最長邊長為3的整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)情況：
表③
最長邊長
最短邊長
（最長邊長，最短邊長，第三邊長
整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)
計(jì)算方法
算式
3
1
（3，1，3）
1
2個(gè)2
2×2
2
（3，2，2），（3，2，3）
2
3
（3，3，3）
1
（4）下面在表④中總結(jié)最長邊長為4的整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)情況：
表④
最長邊長
最短邊長
（最長邊長，最短邊長，第三邊長）
整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)
計(jì)算方法
算式
4
1
（4，1，4）
1
3個(gè)2
2×3
2
（4，2，3），（4，2，4）
2
3
（4，3，3），（4，3，4）
2
4
（4，4，4）
1
（5）請?jiān)诒恝葜锌偨Y(jié)最長邊長為5的整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)情況并填空：
表⑤
最長邊長
最短邊長
（最長邊長，最短邊長，三邊長
整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)
計(jì)算方法
算式
5
1
（5，1，5）
1
　 　
　 　
2
（5，2，4）（5，2，5）
2
3
　 　
　 　
4
（5，4，4）（5，4，5）
2
5
（5，5，5）
1
問題解決：
（1）最長邊長為6的整數(shù)邊三角形有 　 　個(gè)．
（2）在整數(shù)邊三角形中，設(shè)最長邊長為n，總結(jié)上述探究過程，當(dāng)n為奇數(shù)或n為偶數(shù)時(shí)，整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)的規(guī)律一樣嗎？請寫出最長邊長為n的整數(shù)邊三角形的個(gè)數(shù)．
（3）最長邊長為128的整數(shù)邊三角形有 　 　個(gè)．
拓展延伸：
在直三棱柱中，若所有棱長均為整數(shù)，則最長棱長為9的直三棱柱有 　 　個(gè)．
40．（2021?錦州）在△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝α，D為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接DC，將DC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到DE，連接CE，BE．

（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時(shí)，求證：△CAD≌△CBE；
（2）如圖2，當(dāng)tanα＝時(shí)，
①探究AD和BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
②若AC＝5，H是BC上一點(diǎn)，在點(diǎn)D移動(dòng)過程中，CE+EH是否存在最小值？若存在，請直接寫出CE+EH的最小值；若不存在，請說明理由．
41．（2021?淮安）【知識(shí)再現(xiàn)】
學(xué)完《全等三角形》一章后，我們知道“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等（簡稱‘HL’定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．
【簡單應(yīng)用】
如圖（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在邊AC、AB上．若CE＝BD，則線段AE和線段AD的數(shù)量關(guān)系是 　 ?。?br />
【拓展延伸】
在△ABC中，∠BAC＝α（90°＜α＜180°），AB＝AC＝m，點(diǎn)D在邊AC上．
（1）若點(diǎn)E在邊AB上，且CE＝BD，如圖（2）所示，則線段AE與線段AD相等嗎？如果相等，請給出證明；如果不相等，請說明理由．
（2）若點(diǎn)E在BA的延長線上，且CE＝BD．試探究線段AE與線段AD的數(shù)量關(guān)系（用含有α、m的式子表示），并說明理由．
42．（2021?撫順）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB中點(diǎn)，點(diǎn)E在直線BC上（點(diǎn)E不與點(diǎn)B，C重合），連接DE，過點(diǎn)D作DF⊥DE交直線AC于點(diǎn)F，連接EF．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合時(shí)，請直接寫出線段EF與BE的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F不與點(diǎn)A重合時(shí)，請寫出線段AF，EF，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）若AC＝5，BC＝3，EC＝1，請直接寫出線段AF的長．

43．（2021?郴州）如圖1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，H為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)E，F(xiàn)重合），將線段AH繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到AG，連接GC，HB．
（1）證明：△AHB≌△AGC；
（2）如圖2，連接GF，HG，HG交AF于點(diǎn)Q．
①證明：在點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)過程中，總有∠HFG＝90°；
②若AB＝AC＝4，當(dāng)EH的長度為多少時(shí)△AQG為等腰三角形？

44．（2021?大連）已知AB＝BD，AE＝EF，∠ABD＝∠AEF．
（1）找出與∠DBF相等的角并證明；
（2）求證：∠BFD＝∠AFB；
（3）AF＝kDF，∠EDF+∠MDF＝180°，求．

45．（2021?營口）如圖，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，DE＝DF，∠EDF＝90°，D為BC邊中點(diǎn)，連接AF，且A、F、E三點(diǎn)恰好在一條直線上，EF交BC于點(diǎn)H，連接BF，CE．
（1）求證：AF＝CE；
（2）猜想CE，BF，BC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（3）若CH＝2，AH＝4，請直接寫出線段AC，AE的長．

46．（2021?湖北）如圖1，已知∠RPQ＝45°，△ABC中，∠ACB＝90°，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度在線段AC上向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，PQ，PR分別與射線AB交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且PE⊥AB，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，如圖2，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs，∠RPQ與△ABC的重疊部分面積為ycm2，y與x的函數(shù)關(guān)系由C1（0＜x≤5）和C2（5＜x≤n）兩段不同的圖象組成．
（1）填空：①當(dāng)x＝5s時(shí)，EF＝　 　cm；
②sinA＝　 ?。?br /> （2）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（3）當(dāng)y≥36cm2時(shí)，請直接寫出x的取值范圍．

47．（2021?銅仁市）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6cm，AC＝12cm．點(diǎn)P是CA邊上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)以每秒2cm的速度沿CA方向勻速運(yùn)動(dòng)，以CP為邊作等邊△CPQ（點(diǎn)B、點(diǎn)Q在AC同側(cè)），設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒，△ABC與△CPQ重疊部分的面積為S．
（1）當(dāng)點(diǎn)Q落在△ABC內(nèi)部時(shí)，求此時(shí)△ABC與△CPQ重疊部分的面積S（用含x的代數(shù)式表示，不要求寫x的取值范圍）；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q落在AB上時(shí)，求此時(shí)△ABC與△CPQ重疊部分的面積S的值；
（3）當(dāng)點(diǎn)Q落在△ABC外部時(shí)，求此時(shí)△ABC與△CPQ重疊部分的面積S（用含x的代數(shù)式表示）．

48．（2021?河南）下面是某數(shù)學(xué)興趣小組探究用不同方法作一個(gè)角的平分線的討論片段，請仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．
小明：如圖1，（1）分別在射線OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（點(diǎn)C，E不重合）；（2）分別作線段CE，DF的垂直平分線l1，l2，交點(diǎn)為P，垂足分別為點(diǎn)G，H；（3）作射線OP，射線OP即為∠AOB的平分線．
簡述理由如下：
由作圖知，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，則∠POG＝∠POH，即射線OP是∠AOB的平分線．
小軍：我認(rèn)為小明的作圖方法很有創(chuàng)意，但是太麻煩了，可以改進(jìn)如下，如圖2，（1）分別在射線OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（點(diǎn)C，E不重合）；（2）連接DE，CF，交點(diǎn)為P；（3）作射線OP．射線OP即為∠AOB的平分線．
……
任務(wù)：

（1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依據(jù)是 　 ?。ㄌ钚蛱枺?br /> ①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL
（2）小軍作圖得到的射線OP是∠AOB的平分線嗎？請判斷并說明理由．
（3）如圖3，已知∠AOB＝60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在射線OA，OB上，且OE＝OF＝+1．點(diǎn)C，D分別為射線OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，且OC＝OD，連接DE，CF，交點(diǎn)為P，當(dāng)∠CPE＝30°時(shí)，直接寫出線段OC的長．
49．（2021?湖北）已知△ABC和△DEC都為等腰三角形，AB＝AC，DE＝DC，∠BAC＝∠EDC＝n°．
（1）當(dāng)n＝60時(shí)，
①如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在AC上時(shí)，請直接寫出BE與AD的數(shù)量關(guān)系：　 ?。?br /> ②如圖2，當(dāng)點(diǎn)D不在AC上時(shí)，判斷線段BE與AD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）當(dāng)n＝90時(shí)，
①如圖3，探究線段BE與AD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
②當(dāng)BE∥AC，AB＝3，AD＝1時(shí)，請直接寫出DC的長．

50．（2021?婁底）如圖①，E、F是等腰Rt△ABC的斜邊BC上的兩動(dòng)點(diǎn)，∠EAF＝45°，CD⊥BC且CD＝BE．
（1）求證：△ABE≌△ACD；
（2）求證：EF2＝BE2+CF2；
（3）如圖②，作AH⊥BC，垂足為H，設(shè)∠EAH＝α，∠FAH＝β，不妨設(shè)AB＝，請利用（2）的結(jié)論證明：當(dāng)α+β＝45°時(shí)，tan（α+β）＝成立．

51．（2021?資陽）已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．

（1）如圖1，已知點(diǎn)D在BC邊上，∠DAE＝90°，AD＝AE，連結(jié)CE．試探究BD與CE的關(guān)系；
（2）如圖2，已知點(diǎn)D在BC下方，∠DAE＝90°，AD＝AE，連結(jié)CE．若BD⊥AD，AB＝2，CE＝2，AD交BC于點(diǎn)F，求AF的長；
（3）如圖3，已知點(diǎn)D在BC下方，連結(jié)AD、BD、CD．若∠CBD＝30°，∠BAD＞15°，AB2＝6，AD2＝4+，求sin∠BCD的值．
52．（2021?湖州）已知在△ACD中，P是CD的中點(diǎn)，B是AD延長線上的一點(diǎn)，連結(jié)BC，AP．

（1）如圖1，若∠ACB＝90°，∠CAD＝60°，BD＝AC，AP＝，求BC的長．
（2）過點(diǎn)D作DE∥AC，交AP延長線于點(diǎn)E，如圖2所示，若∠CAD＝60°，BD＝AC，求證：BC＝2AP．
（3）如圖3，若∠CAD＝45°，是否存在實(shí)數(shù)m，當(dāng)BD＝mAC時(shí)，BC＝2AP？若存在，請直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．

參考答案與試題解析
一．三角形的面積（共1小題）
1．（2021?賀州）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，∠ADB＝∠ABD＝∠BDC，DE交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥BD，垂足為F，且EF＝EC．
（1）求證：四邊形ABED是菱形；
（2）若AD＝4，求△BED的面積．

【解答】（1）證明：∵∠C＝90°，
∴EC⊥DC，
∵EF⊥BD，EF＝EC，
∴DE是∠BDC的平分線，
∴∠EDB＝∠EDC，
∵∠ADB＝∠BDC，
∴∠ADB＝∠EDB，
∵∠ADB＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴AB∥DE，
∵AD∥BC，
∴AD∥BE，
∴四邊形ABED是平行四邊形，
∵∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝AD，
∴四邊形ABED是菱形；
（2）解：由（1）知，四邊形ABED是菱形，
∴DE＝BE＝AD＝4，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠C＝180°，
∵∠C＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∵∠EDB＝∠EDC＝∠ADB，
∴∠EDC＝30°，
∴CD＝DE?cos30°＝4×＝2，
∴S△BED＝BE?CD＝×4×2＝4．

二．全等三角形的判定（共2小題）
2．（2021?宜賓）如圖，已知OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD．
求證：△AOB≌△COD．

【解答】證明：∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOC﹣∠AOD＝∠BOD﹣∠AOD，
即∠COD＝∠AOB，
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（SAS）．
3．（2021?衡陽）如圖，點(diǎn)A、B、D、E在同一條直線上，AB＝DE，AC∥DF，BC∥EF．求證：△ABC≌△DEF．

【解答】證明：∵AC∥DF，
∴∠CAB＝∠FDE（兩直線平行，同位角相等），
又∵BC∥EF，
∴∠CBA＝∠FED（兩直線平行，同位角相等），
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
三．全等三角形的判定與性質(zhì)（共26小題）
4．（2021?陜西）如圖，∠A＝∠BCD，CA＝CD，點(diǎn)E在BC上，且DE∥AB，求證：AB＝EC．

【解答】證明：∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠ABC，
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（AAS），
∴AB＝EC．
5．（2021?蘭州）如圖，點(diǎn)E，C在線段BF上，∠A＝∠D，AB∥DE，BC＝EF．求證：AC＝DF．

【解答】證明：∵AB∥ED，
∴∠ABC＝∠DEF．
在△ABC與△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
∴AC＝DF．
6．（2021?河池）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，D，E分別是AB，BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，以BD為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)F．
（1）當(dāng)AD＝DF時(shí)，求證：△CAD≌△CFD；
（2）當(dāng)△CED是等腰三角形且△DEB是直角三角形時(shí)，求AD的長．

【解答】證明：（1）∵BD為⊙O直徑，
∴∠DFB＝90°，
在Rt△ACD與Rt△FCD中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△FCD（HL），
解：（2）∵△DEB是直角三角形，且∠B＜90°，
∴直角頂點(diǎn)只能是D點(diǎn)和E點(diǎn)，
①若∠EDB＝90°，
如圖1，在AB上取點(diǎn)D，使CD平分∠ACB，過D作DE⊥AB交BC于E，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠ECD，
∵∠CAB＝∠EDB＝90°，
∴AC∥DE，
∴∠ACD＝∠CDE，
∴∠ECD＝∠CDE，
∴CE＝DE，
此時(shí)△ECD為E為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形，△DEB是以D為直角頂點(diǎn)的直角三角形，
設(shè)CE＝DE＝x，
在直角△ABC中，BC＝＝5，
∴BE＝5﹣x，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴＝，
∴，
∴x＝，
∴，
∵DE∥AC，
∴，
∴，
∴AD＝，
②若∠DEB＝90°，
如圖2，則∠CED＝90°，
∵△CED為等腰三角形，
∴∠ECD＝∠EDC＝45°，
∴可設(shè)CE＝DE＝y(tǒng)，
∵tan∠B＝＝，
∴tan∠B＝＝，
∴，
∴BC＝CE+EB＝5，
∴y+＝5，
∴，
∴CE＝DE＝，
∴BD＝＝＝，
∴AD＝AB﹣BD＝4﹣＝，
∴AD的長為或．


7．（2021?西藏）如圖，AB∥DE，B，C，D三點(diǎn)在同一條直線上，∠A＝90°，EC⊥BD，且AB＝CD．求證：AC＝CE．

【解答】證明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠D，
∵EC⊥BD，∠A＝90°，
∴∠DCE＝90°＝∠A，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（ASA），
∴AC＝CE．
8．（2021?百色）如圖，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，BE、CD相交于點(diǎn)O，∠B＝∠C，BD＝CE．
求證：（1）OD＝OE；
（2）△ABE≌△ACD．

【解答】證明：（1）在△BOD和△COE中，
，
∴△BOD≌△COE（AAS），
∴OD＝OE；
（2）∵點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，
∴AD＝BD＝AB，AE＝CE＝AC，
∵BD＝CE．
∴AD＝AE，AB＝AC，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS）．
9．（2021?湘潭）如圖，矩形ABCD中，E為邊BC上一點(diǎn)，將△ABE沿AE翻折后，點(diǎn)B恰好落在對角線AC的中點(diǎn)F上．
（1）證明：△AEF≌△CEF；
（2）若AB＝，求折痕AE的長度．

【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵將△ABE沿AE翻折后，點(diǎn)B恰好落在對角線AC的中點(diǎn)F上，
∴∠AFE＝∠B＝90°，AF＝CF，
∵∠AFE+∠CFE＝180°，
∴∠CFE＝180°﹣∠AFE＝90°，
在△AEF和△CEF中，
，
∴△AEF≌△CEF（SAS）．
（2）解：由（1）知，△AEF≌△CEF，
∴∠EAF＝∠ECF，
由折疊性質(zhì)得，∠BAE＝∠EAF，
∴∠BAE＝∠EAF＝∠ECF，
∵∠B＝90°，
∴∠BAC+∠BCA＝90°，
∴3∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝30°，
在Rt△ABE中，AB＝，∠B＝90°，
∴AE＝＝＝2．
10．（2021?廣州）如圖，點(diǎn)E、F在線段BC上，AB∥CD，∠A＝∠D，BE＝CF，證明：AE＝DF．

【解答】證明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C．
在△ABE和△DCF中，

∴△ABE≌△DCF（AAS）．
∴AE＝DF．
11．（2021?大連）如圖，點(diǎn)A，D，B，E在一條直線上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF．求證：BC＝EF．

【解答】證明：∵AD＝BE，
∴AD+BD＝BE+BD，
即AB＝DE，
∵AC∥DF，
∴∠A＝∠EDF，
在△ABC與△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC＝EF．
12．（2021?常州）如圖，B、F、C、E是直線l上的四點(diǎn)，AB∥DE，AB＝DE，BF＝CE．
（1）求證：△ABC≌△DEF；
（2）將△ABC沿直線l翻折得到△A′BC．
①用直尺和圓規(guī)在圖中作出△A′BC（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；
②連接A′D，則直線A′D與l的位置關(guān)系是 　平行　．

【解答】證明：（1）∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+FC，
即BC＝EF，
∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DEF，
在△ABC與△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
（2）①如圖所示，△A′BC即為所求：

②直線A′D與l的位置關(guān)系是平行，
故答案為：平行．
13．（2021?黃石）如圖，D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，CF∥AB，DF交AC于E點(diǎn)，DE＝EF．
（1）求證：△ADE≌△CFE；
（2）若AB＝5，CF＝4，求BD的長．

【解答】（1）證明：∵CF∥AB，
∴∠ADF＝∠F，∠A＝∠ECF．
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS）．
（2）∵△ADE≌△CFE，
∴AD＝CF＝4．
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣4＝1．
14．（2021?銅仁市）如圖，AB交CD于點(diǎn)O，在△AOC與△BOD中，有下列三個(gè)條件：①OC＝OD，②AC＝BD，③∠A＝∠B．請你在上述三個(gè)條件中選擇兩個(gè)為條件，另一個(gè)能作為這兩個(gè)條件推出來的結(jié)論，并證明你的結(jié)論（只要求寫出一種正確的選法）．
（1）你選的條件為 ?、佟　ⅰ、邸?，結(jié)論為 ?、凇?；
（2）證明你的結(jié)論．

【解答】（1）解：由AAS，選的條件是：①，③，結(jié)論是②，
故答案為：①，③，②（答案不唯一）；
（2）證明：在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∴AC＝BD．
15．（2021?永州）如圖，已知點(diǎn)A，D，C，B在同一條直線上，AD＝BC，AE＝BF，AE∥BF．
（1）求證：△AEC≌△BFD．
（2）判斷四邊形DECF的形狀，并證明．

【解答】（1）證明：∵AD＝BC，
∴AD+DC＝BC+DC，
∴AC＝BD，
∵AE∥BF，
∴∠A＝∠B，
在△AEC和△BFD中，
，
∴△AEC≌△BFD（SAS）．
（2）四邊形DECF是平行四邊形，
證明：∵△AEC≌△BFD，
∴∠ACE＝∠BDF，CE＝DF，
∴CE∥DF，
∴四邊形DECF是平行四邊形．
16．（2021?威海）（1）已知△ABC，△ADE如圖①擺放，點(diǎn)B，C，D在同一條直線上，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝45°．連接BE，過點(diǎn)A作AF⊥BD，垂足為點(diǎn)F，直線AF交BE于點(diǎn)G．求證：BG＝EG．
（2）已知△ABC，△ADE如圖②擺放，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠ADE＝30°．連接BE，CD，過點(diǎn)A作AF⊥BE，垂足為點(diǎn)F，直線AF交CD于點(diǎn)G．求的值．

【解答】（1）證明：如圖，

連接EC，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝45°，
∴△ABC和△ADE為等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD與△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE＝45°，
∴∠ACB+∠ACE＝90°，則CE⊥BD，
∵AF⊥BD，
∴AF∥CE，BF＝FC，
∴＝＝1，
∴BG＝EG．
（2）解：如圖，

過點(diǎn)D作DM⊥AG，垂足為點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CN⊥AG，交AG的延長線于點(diǎn)N，
在△ABC和△AED中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠ADE＝30°，
設(shè)AE＝a，AB＝b，則AD＝a，AC＝b，
∵∠1+∠EAF＝90°，∠2+∠EAF＝90°，
∴∠1＝∠2，
∴sin∠1＝sin∠2，
∴＝，即＝＝＝，
同理可證∠3＝∠4，＝＝，
∴＝，
∴DM＝CN，
在△DGM和△CGN中，有：
，
∴△DGM≌△CGN（AAS），
∴DG＝CG，
∴＝1．
17．（2021?福建）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．線段EF是由線段AB平移得到的，點(diǎn)F在邊BC上，△EFD是以EF為斜邊的等腰直角三角形，且點(diǎn)D恰好在AC的延長線上．
（1）求證：∠ADE＝∠DFC；
（2）求證：CD＝BF．

【解答】（1）證明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠CDF+∠DFC＝90°，
∵△EFD是以EF為斜邊的等腰直角三角形，
∴∠EDF＝90°，DE＝FD，
∵∠EDF＝∠ADE+∠CDF＝90°，
∴∠ADE＝∠DFC；
（2）

連接AE，
∵線段EF是由線段AB平移得到的，
∴EF∥AB，EF＝AB，
∴四邊形ABFE是平行四邊形，
∴AE∥BC，AE＝BF，
∴∠DAE＝∠BCA＝90°，
∴∠DAE＝∠FCD，
在△ADE和△CFD中，
，
∴△ADE≌△CFD（AAS），
∴AE＝CD，
∵AE＝BF，
∴CD＝BF．
18．（2021?無錫）已知：如圖，AC，DB相交于點(diǎn)O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO．
求證：（1）△ABO≌△DCO；
（2）∠OBC＝∠OCB．

【解答】證明：（1）在△ABO和△DCO中，
，
∴△ABO≌△DCO（AAS）；
（2）由（1）知，△ABO≌△DCO，
∴OB＝OC
∴∠OBC＝∠OCB．
19．（2021?福建）如圖，在△ABC中，D是邊BC上的點(diǎn)，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE＝DF，CE＝BF．求證：∠B＝∠C．

【解答】證明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠BFD＝∠CED＝90°，
在△BDF和△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE（SAS），
∴∠B＝∠C．
20．（2021?南京）如圖，AC與BD交于點(diǎn)O，OA＝OD，∠ABO＝∠DCO，E為BC延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥CD，交BD的延長線于點(diǎn)F．
（1）求證△AOB≌△DOC；
（2）若AB＝2，BC＝3，CE＝1，求EF的長．

【解答】（1）證明：在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（AAS）；
（2）解：由（1）得：△AOB≌△DOC，
∴AB＝DC＝2，
∵BC＝3，CE＝1，
∴BE＝BC+CE＝4，
∵EF∥CD，
∴△BCD∽△BEF，
∴＝，
即＝，
解得：EF＝．
21．（2021?陜西）如圖，BD∥AC，BD＝BC，點(diǎn)E在BC上，且BE＝AC．求證：∠D＝∠ABC．

【解答】證明：∵BD∥AC，
∴∠ACB＝∠EBD，
在△ABC和△EDB中，
，
∴△ABC≌△EDB（SAS），
∴∠ABC＝∠D．
22．（2021?臺(tái)州）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝20，BC＝DC＝10．
（1）求證：△ABC≌△ADC；
（2）當(dāng)∠BCA＝45°時(shí)，求∠BAD的度數(shù)．

【解答】解：（1）證明：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS）；
（2）過點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，如圖所示，

∵∠BCA＝45°，BC＝10，
∴sin∠BCA＝sin45°＝＝＝，
∴BE＝10，
又∵在Rt△ABE中，AB＝20，BE＝10，
∴∠BAE＝30°，
又∵△ABC≌△ADC，
∴∠BAD＝∠BAE+∠DAC＝2∠BAE＝2×30°＝60°．
23．（2021?杭州）在①AD＝AE，②∠ABE＝∠ACD，③FB＝FC這三個(gè)條件中選擇其中一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并完成問題的解答．
問題：如圖，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，點(diǎn)D在AB邊上（不與點(diǎn)A，點(diǎn)B重合），點(diǎn)E在AC邊上（不與點(diǎn)A，點(diǎn)C重合），連接BE，CD，BE與CD相交于點(diǎn)F．若 ?、貯D＝AE（②∠ABE＝∠ACD或③FB＝FC）　，求證：BE＝CD．

【解答】證明：選擇條件①的證明為：
∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE＝CD；
選擇條件②的證明為：
∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴BE＝CD；
選擇條件③的證明為：
∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∵FB＝FC，
∴∠FBC＝∠FCB，
∴∠ABC﹣∠FBC＝∠ACB﹣∠FCB，
即∠ABE＝∠ACD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴BE＝CD．
故答案為①AD＝AE（②∠ABE＝∠ACD或③FB＝FC）
24．（2021?南充）如圖，∠BAC＝90°，AD是∠BAC內(nèi)部一條射線，若AB＝AC，BE⊥AD于點(diǎn)E，CF⊥AD于點(diǎn)F．求證：AF＝BE．

【解答】證明：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠FAC＝90°，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BEA＝∠AFC＝90°，
∴∠BAE+∠EBA＝90°，
∴∠EBA＝∠FAC,
在△ACF和△BAE中，
,
∴△ACF≌△BAE(AAS),
∴AF＝BE．
25．（2021?樂山）如圖．已知AB＝DC，∠A＝∠D，AC與DB相交于點(diǎn)O，求證：∠OBC＝∠OCB．

【解答】證明：在△AOB與△COD中，
，
∴△AOB≌△DOC（AAS），
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB．
26．（2021?云南）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，AC＝BD，AC與BD相交于點(diǎn)E．求證：∠DAC＝∠CBD．

【解答】證明：在△CDA和△DCB中，
，
∴△CDA≌△DCB（SSS），
∴∠DAC＝∠CBD．
27．（2021?涼山州）如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC＝∠B＝90°，過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，若DE＝BE．
（1）求證：DA＝DC；
（2）連接AC交DE于點(diǎn)F，若∠ADE＝30°，AD＝6，求DF的長．

【解答】（1）證明：作DG⊥BC，交BC的延長線于點(diǎn)G，如右圖所示，
∵DE⊥AB，∠B＝90°，DG⊥BC，
∴∠DEB＝∠B＝∠BGD＝90°，
∴四邊形DEBG是矩形，
又∵DE＝BE，
∴四邊形DEBG是正方形，
∴DG＝BE，∠EDG＝90°，
∴DG＝DE，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠EDC+∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（ASA），
∴DA＝DC；
（2）∵∠ADE＝30°，AD＝6，∠DEA＝90°，
∴AE＝3，DE＝＝＝3，
由（1）知，△ADE≌△CDG，四邊形DEBG是正方形，
∴DG＝DE＝3，AE＝CG＝3，BE＝DG＝BG＝3，
∴BC＝BG﹣CG＝3﹣3，AB＝AE+BE＝3+3，
∵FE⊥AB，BC⊥AB，
∴FE∥CB，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
即，
解得EF＝6﹣3，
∴DF＝DE﹣EF＝3﹣（6﹣3）＝3﹣6+3＝6﹣6，
即DF的長是6﹣6．

28．（2021?瀘州）如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求證：BD＝CE．

【解答】證明：在△ABE與△ACD中
，
∴△ABE≌△ACD（ASA）．
∴AD＝AE．
∴AB﹣AD＝AC﹣AE，
∴BD＝CE．
29．（2021?吉林）如圖，點(diǎn)D在AB上，E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求證：AD＝AE．

【解答】證明：在△ABE與△ACD中，
，
∴△ACD≌△ABE（ASA），
∴AD＝AE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）．
四．全等三角形的應(yīng)用（共1小題）
30．（2021?柳州）如圖，有一池塘，要測池塘兩端A、B的距離，可先在平地上取一個(gè)點(diǎn)C，從點(diǎn)C不經(jīng)過池塘可以直接到達(dá)點(diǎn)A和B，連接AC并延長到點(diǎn)D，使CD＝CA，連接BC并延長到點(diǎn)E，使CE＝CB，連接DE，那么量出DE的長就是A、B的距離，為什么？請結(jié)合解題過程，完成本題的證明．
證明：在△DEC和△ABC中，
，
∴△DEC≌△ABC（SAS），
∴　DE＝AB?。?br />
【解答】證明：在△DEC和△ABC中，
，
∴△DEC≌△ABC（SAS），
∴DE＝AB．
故答案為：CA，∠DCE＝∠ACB，CB，DE＝AB．
五．線段垂直平分線的性質(zhì)（共1小題）
31．（2021?長沙）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，BD＝CD，延長BC至E，使得CE＝CA，連接AE．
（1）求證：∠B＝∠ACB；
（2）若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周長和面積．

【解答】解：（1）證明：∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴AD是BC的中垂線，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB；
（2）在Rt△ADB中，BD＝＝＝3，
∴BD＝CD＝3，AC＝AB＝CE＝5，
∴BE＝2BD+CE＝2×3+5＝11，
在Rt△ADE中，AE＝＝＝4，
∴C△ABE＝AB+BE+AE＝5+11+4＝16+4，
S△ABE＝＝＝22．
六．等腰三角形的性質(zhì)（共2小題）
32．（2021?溫州）如圖，BE是△ABC的角平分線，在AB上取點(diǎn)D，使DB＝DE．
（1）求證：DE∥BC；
（2）若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度數(shù)．

【解答】解：（1）∵BE是△ABC的角平分線，
∴∠DBE＝∠EBC，
∵DB＝DE，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴∠DEB＝∠EBC，
∴DE∥BC；
（2）∵DE∥BC，
∴∠C＝∠AED＝45°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°．
∵BE是△ABC的角平分線，
∴∠DBE＝∠EBC＝．
33．（2021?紹興）如圖，在△ABC中，∠A＝40°，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，BD＝BC＝CE，連結(jié)CD，BE．
（1）若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度數(shù)；
（2）寫出∠BEC與∠BDC之間的關(guān)系，并說明理由．

【解答】解：（1）∵∠ABC＝80°，BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝（180°﹣80°）＝50°，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
∵CE＝BC，
∴△BCE是等邊三角形，
∴∠EBC＝60°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝80°﹣60°＝20°；
（2）∠BEC與∠BDC之間的關(guān)系：∠BEC+∠BDC＝110°，
理由：設(shè)∠BEC＝α，∠BDC＝β，
在△ABE中，α＝∠A+∠ABE＝40°+∠ABE，
∵CE＝BC，
∴∠CBE＝∠BEC＝α，
∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝∠A+2∠ABE＝40°+2∠ABE，
在△BDC中，BD＝BC，
∴∠BDC+∠BCD+∠DBC＝2β+40°+2∠ABE＝180°，
∴β＝70°﹣∠ABE，
∴α+β＝40°+∠ABE+70°﹣∠ABE＝110°，
∴∠BEC+∠BDC＝110°．
七．等腰三角形的判定（共1小題）
34．（2021?淄博）如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥BC交AB于點(diǎn)E．
（1）求證：BE＝DE；
（2）若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠BDE的度數(shù)．

【解答】解：（1）證明：在△ABC中，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE．
（2）∵∠A＝80°，∠C＝40°
∴∠ABC＝60°，
∵∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝30°，
由（1）知∠EDB＝∠EBD＝30°，
故∠BDE的度數(shù)為30°．
八．含30度角的直角三角形（共1小題）
35．（2021?杭州）如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線BD交AC邊于點(diǎn)D，AE⊥BC于點(diǎn)E．已知∠ABC＝60°，∠C＝45°．
（1）求證：AB＝BD；
（2）若AE＝3，求△ABC的面積．

【解答】（1）證明：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，
∵∠C＝45°，
∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝75°，
∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝75°，
∴∠BAC＝∠ADB，
∴AB＝BD；
（2）解：在Rt△ABE中，∠ABC＝60°，AE＝3，
∴BE＝＝，
在Rt△AEC中，∠C＝45°，AE＝3，
∴EC＝＝3，
∴BC＝3+，
∴S△ABC＝BC×AE＝．
九．勾股定理（共1小題）
36．（2021?大連）如圖，矩形ABCD中，BC＝4cm，CD＝3cm，P，Q兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P沿BC→CD以1cm/s的速度向終點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿BA→AC以2cm/s的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)．
設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），△BPQ 的面積為S （cm2）．
（1）求AC的長；
（2）求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量t的取值范圍．

【解答】解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠B＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC＝（cm），
∴AC的長為5cm；
（2）當(dāng)0＜t≤1.5時(shí)，如圖，

S＝；
當(dāng)1.5＜t≤4時(shí)，如圖，作QH⊥BC于H，

∴CQ＝8﹣2t，
∵sin∠BCA＝，
∴，
∴QH＝，
∴S＝＝﹣；
③當(dāng)4＜t≤7時(shí)，

CP＝t﹣4，BQ＝BC＝4，
∴S＝S△BPQ＝＝＝2t﹣8，
綜上所述：S＝．
一十．勾股定理的證明（共1小題）
37．（2021?攀枝花）如圖是“弦圖”的示意圖，“弦圖”最早是由三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)給出的，它標(biāo)志著中國古代的數(shù)學(xué)成就．它由4個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形組成，恰好拼成一個(gè)大正方形，每個(gè)直角三角形的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c．請你運(yùn)用此圖形證明勾股定理：a2+b2＝c2．

【解答】解：由圖可知：
S正方形＝4×ab+（b﹣a）2
＝2ab+b2+a2﹣2ab
＝a2+b2．
S正方形＝c2，
所以a2+b2＝c2．
一十一．勾股定理的應(yīng)用（共1小題）
38．（2021?包頭）某工程隊(duì)準(zhǔn)備從A到B修建一條隧道，測量員在直線AB的同一側(cè)選定C，D兩個(gè)觀測點(diǎn)，如圖．測得AC長為km，CD長為（+）km，BD長為km，∠ACD＝60°，∠CDB＝135°（A、B、C、D在同一水平面內(nèi)）．
（1）求A、D兩點(diǎn)之間的距離；
（2）求隧道AB的長度．

【解答】解：（1）過A作AE⊥CD于E，如圖所示：
則∠AEC＝∠AED＝90°，
∵∠ACD＝60°，
∴∠CAE＝90°﹣60°＝30°，
∴CE＝AC＝（km），AE＝CE＝（km），
∴DE＝CD﹣CE＝（+）﹣＝（km），
∴AE＝DE，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AD＝AE＝×＝（km）；
（2）由（1）得：△ADE是等腰直角三角形，
∴AD＝AE＝（km），∠ADE＝45°，
∵∠CDB＝135°，
∴∠ADB＝135°﹣45°＝90°，
∴AB＝＝＝3（km），
即隧道AB的長度為3km．

一十二．三角形綜合題（共14小題）
39．（2021?青島）問題提出：
最長邊長為128的整數(shù)邊三角形有多少個(gè)？（整數(shù)邊三角形是指三邊長度都是整數(shù)的三角形．）
問題探究：
為了探究規(guī)律，我們先從最簡單的情形入手，從中找到解決問題的方法，最后得出一般性的結(jié)論．
（1）如表①，最長邊長為1的整數(shù)邊三角形，顯然，最短邊長是1，第三邊長也是1．按照（最長邊長，最短邊長，第三邊長）的形式記為（1，1，1），有1個(gè)，所以總共有1×1＝1個(gè)整數(shù)邊三角形．
表①
最長邊長
最短邊長
（最長邊長，最短邊長，第三邊長）
整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)
計(jì)算方法
算式
1
1
（1，1，1）
1
1個(gè)1
1×1
（2）如表②，最長邊長為2的整數(shù)邊三角形，最短邊長是1或2．根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，當(dāng)最短邊長為1時(shí)，第三邊長只能是2，記為（2，1，2），有1個(gè)；當(dāng)最短邊長為2時(shí)，顯然第三邊長也是2，記為（2，2，2），有1個(gè)，所以總共有1+1＝1×2＝2個(gè)整數(shù)邊三角形．
表②
最長邊長
最短邊長
（最長邊長，最短邊長，第三邊長）
整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)
計(jì)算方法
算式
2
1
（2，1，2）
1
2個(gè)1
1×2
2
（2，2，2）
1
（3）下面在表③中總結(jié)最長邊長為3的整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)情況：
表③
最長邊長
最短邊長
（最長邊長，最短邊長，第三邊長
整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)
計(jì)算方法
算式
3
1
（3，1，3）
1
2個(gè)2
2×2
2
（3，2，2），（3，2，3）
2
3
（3，3，3）
1
（4）下面在表④中總結(jié)最長邊長為4的整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)情況：
表④
最長邊長
最短邊長
（最長邊長，最短邊長，第三邊長）
整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)
計(jì)算方法
算式
4
1
（4，1，4）
1
3個(gè)2
2×3
2
（4，2，3），（4，2，4）
2
3
（4，3，3），（4，3，4）
2
4
（4，4，4）
1
（5）請?jiān)诒恝葜锌偨Y(jié)最長邊長為5的整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)情況并填空：
表⑤
最長邊長
最短邊長
（最長邊長，最短邊長，三邊長
整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)
計(jì)算方法
算式
5
1
（5，1，5）
1
　3個(gè)3　
　3×3　
2
（5，2，4）（5，2，5）
2
3
?。?，3，3）（5，3，4）（5，3，5）　
　3　
4
（5，4，4）（5，4，5）
2
5
（5，5，5）
1
問題解決：
（1）最長邊長為6的整數(shù)邊三角形有 　12　個(gè)．
（2）在整數(shù)邊三角形中，設(shè)最長邊長為n，總結(jié)上述探究過程，當(dāng)n為奇數(shù)或n為偶數(shù)時(shí)，整數(shù)邊三角形個(gè)數(shù)的規(guī)律一樣嗎？請寫出最長邊長為n的整數(shù)邊三角形的個(gè)數(shù)．
（3）最長邊長為128的整數(shù)邊三角形有 　4160　個(gè)．
拓展延伸：
在直三棱柱中，若所有棱長均為整數(shù)，則最長棱長為9的直三棱柱有 　295　個(gè)．
【解答】解：（1）最長邊 三角形個(gè)數(shù)
1 1×1
2 1×2
3 2×2
4 2×3
5 3×3
6 3×4
.....．
故答案是：12；
（2）最長邊是奇數(shù)時(shí) 算式
1 1×1
3 2×2
5 3×3
7 4×4
.....．
n ，
最長邊是偶數(shù)時(shí) 算式
2 1×2
4 2×3
6 3×4
.....．
n ；
（3）當(dāng)n＝128時(shí)，
＝＝4160；
故答案是4160；
拓展延伸：
當(dāng)側(cè)棱是9時(shí)，
底邊三角形的最長邊可以是1，2，3，4，5，6，7，8，
∴直三棱柱個(gè)數(shù)共：1+2+4+6+9+12+16+20＝70，
當(dāng)9是底的棱長時(shí)，
×9＝225，
70+225＝295，
故答案是295．
40．（2021?錦州）在△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝α，D為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接DC，將DC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到DE，連接CE，BE．

（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時(shí)，求證：△CAD≌△CBE；
（2）如圖2，當(dāng)tanα＝時(shí)，
①探究AD和BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
②若AC＝5，H是BC上一點(diǎn)，在點(diǎn)D移動(dòng)過程中，CE+EH是否存在最小值？若存在，請直接寫出CE+EH的最小值；若不存在，請說明理由．
【解答】（1）證明：如圖1中，

∵α＝60°，AC＝AB，
∴△ABC是等邊三角形，
∴CA＝CB，∠ACB＝60°，
∵將DC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到DE，
∴DC＝DE，∠CDE＝60°，
∴△CDE是等邊三角形，
∴CD＝CE，∠DCE＝∠ACB＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△CAD≌△CBE（SAS）．

（2）解：①結(jié)論：＝．
如圖2中，過點(diǎn)C作CK⊥AB于K．
∵tan∠CAK＝＝，
∴可以假設(shè)CK＝3k，AK＝4k，則AC＝AB＝5k，BK＝AB﹣AK＝k，
∴BC＝＝k，
∵∠A＝∠CDE，AC＝AB，CD＝DE，
∴∠ACB＝∠ABC＝∠DCE＝∠DEC，
∴△ACB∽△DCE，
∴＝，
∴＝，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD∽△BCE，
∴＝＝＝．

②如圖2中，過點(diǎn)C作CJ⊥BE交BE的延長線于J．作點(diǎn)C關(guān)于BE的對稱點(diǎn)R，連接BR，ER，過點(diǎn)R作RT⊥BC于T．
∵AC＝5，
由①可知，AK＝4，CK＝3，BC＝，
∵△CAD∽△BCE，CK⊥AD，CJ⊥BE，
∴＝＝（全等三角形對應(yīng)邊上的高的比等于相似比），
∴CJ＝，
∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段BE，
∵C，R關(guān)于BE對稱，
∴CR＝2CJ＝，
∵BJ＝＝＝，
∵S△CBR＝?CR?BJ＝?CB?RT，
∴RT＝＝，
∵EC+EH＝ER+EH≥RT，
∴EC+EH≥，
∴EC+EH的最小值為．

41．（2021?淮安）【知識(shí)再現(xiàn)】
學(xué)完《全等三角形》一章后，我們知道“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等（簡稱‘HL’定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．
【簡單應(yīng)用】
如圖（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在邊AC、AB上．若CE＝BD，則線段AE和線段AD的數(shù)量關(guān)系是 　AE＝AD　．

【拓展延伸】
在△ABC中，∠BAC＝α（90°＜α＜180°），AB＝AC＝m，點(diǎn)D在邊AC上．
（1）若點(diǎn)E在邊AB上，且CE＝BD，如圖（2）所示，則線段AE與線段AD相等嗎？如果相等，請給出證明；如果不相等，請說明理由．
（2）若點(diǎn)E在BA的延長線上，且CE＝BD．試探究線段AE與線段AD的數(shù)量關(guān)系（用含有α、m的式子表示），并說明理由．
【解答】【簡單應(yīng)用】解：如圖（1）中，結(jié)論：AE＝AD．

理由：∵∠A＝∠A＝90°，AB＝AC，BD＝CE，
∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），
∴AD＝AE．
故答案為：AE＝AD．

【拓展延伸】解：①結(jié)論：AE＝AD．

理由：如圖（2）中，過點(diǎn)C作CM⊥BA交BA的延長線于M，過點(diǎn)B作BN⊥CA交CA的延長線于N．
∵∠M＝∠N＝90°，∠CAM＝∠BAN，CA＝BA，
∴△CAM≌△BAN（AAS），
∴CM＝BN，AM＝AN，
∵∠M＝∠N＝90°，CE＝BD，CM＝BN，
∴Rt△CME≌Rt△BND（HL），
∴EM＝DN，
∵AM＝AN，
∴AE＝AD．

②如圖（3）中，結(jié)論：AE﹣AD＝2m?cos（180°﹣α）．

理由：在AB上取一點(diǎn)E′，使得BD＝CE′，則AD＝AE′．過點(diǎn)C作CT⊥AE于T．
∵CE′＝BD，CE＝BD，
∴CE＝CE′，
∵CT⊥EE′，
∴ET＝TE′，
∵AT＝AC?cos（180°﹣α）＝m?cos（180°﹣α），
∴AE﹣AD＝AE﹣AE′＝2AT＝2m?cos（180°﹣α）．
42．（2021?撫順）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB中點(diǎn)，點(diǎn)E在直線BC上（點(diǎn)E不與點(diǎn)B，C重合），連接DE，過點(diǎn)D作DF⊥DE交直線AC于點(diǎn)F，連接EF．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合時(shí)，請直接寫出線段EF與BE的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F不與點(diǎn)A重合時(shí)，請寫出線段AF，EF，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）若AC＝5，BC＝3，EC＝1，請直接寫出線段AF的長．

【解答】解：（1）結(jié)論：EF＝BE．
理由：如圖1中，

∵AD＝DB，DE⊥AB，
∴EF＝EB．

（2）結(jié)論：AF2+BE2＝EF2．
理由：如圖2中，過點(diǎn)A作AJ⊥AC交ED的延長線于J，連接FJ．

∵AJ⊥AC，EC⊥AC，
∴AJ∥BE，
∴∠AJD＝∠DEB，
在△AJD和△BED中，
，
∴△AJD≌△BED（AAS），
∴AJ＝BE，DJ＝DE，
∵DF⊥EJ，
∴FJ＝EF，
∵∠FAJ＝90°，
∴AF2+AJ2＝FJ2，
∴AF2+BE2＝EF2．

（3）如圖3﹣1中，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，設(shè)AF＝x，則CF＝5﹣x．

∵BC＝3，CE＝1，
∴BE＝2，
∵EF2＝AF2+BE2＝CF2+CE2，
∴x2+22＝（5﹣x）2+12，
∴x＝，
∴AF＝．
如圖3﹣2中，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長線上時(shí)，設(shè)AF＝x，則CF＝5﹣x．

∵BC＝3，CE＝1，
∴BE＝4，
∵EF2＝AF2+BE2＝CF2+CE2，
∴x2+42＝（5﹣x）2+12，
∴x＝1，
∴AF＝1，
綜上所述，滿足條件的AF的長為或1．
43．（2021?郴州）如圖1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，H為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)E，F(xiàn)重合），將線段AH繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到AG，連接GC，HB．
（1）證明：△AHB≌△AGC；
（2）如圖2，連接GF，HG，HG交AF于點(diǎn)Q．
①證明：在點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)過程中，總有∠HFG＝90°；
②若AB＝AC＝4，當(dāng)EH的長度為多少時(shí)△AQG為等腰三角形？

【解答】（1）證明：如圖1，

由旋轉(zhuǎn)得：AH＝AG，∠HAG＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAH＝∠CAG，
∵AB＝AC，
∴△ABH≌△ACG（SAS）；
（2）①證明：如圖2，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，
∴EF是△ABC的中位線，
∴EF∥BC，AE＝AB，AF＝AC，
∴AE＝AF，∠AEF＝∠ABC＝45°，∠AFE＝∠ACB＝45°，
∵∠EAH＝∠FAG，AH＝AG，
∴△AEH≌△AFG（SAS），
∴∠AFG＝∠AEH＝45°，
∴∠HFG＝45°+45°＝90°；
②分兩種情況：
i）如圖3，AQ＝QG時(shí)，

∵AQ＝QG，
∴∠QAG＝∠AGQ，
∵∠HAG＝∠HAQ+∠QAG＝∠AHG+∠AGH＝90°，
∴∠QAH＝∠AHQ，
∴AQ＝QH＝QG，
∵AH＝AG，
∴AQ⊥GH，
∵∠AFG＝∠AFH＝45°，
∴∠FGQ＝∠FHQ＝45°，
∴∠HFG＝∠AGF＝∠AHF＝90°，
∴四邊形AHFG是正方形，
∵AC＝4，
∴AF＝2，
∴FG＝EH＝，
∴當(dāng)EH的長度為時(shí)，△AQG為等腰三角形；
ii）如圖4，當(dāng)AG＝QG時(shí)，∠GAQ＝∠AQG，

∵∠AEH＝∠AGQ＝45°，∠EAH＝∠GAQ，
∴∠AHE＝∠AQG＝∠EAH，
∴EH＝AE＝2，
∴當(dāng)EH的長度為2時(shí)，△AQG為等腰三角形；
綜上，當(dāng)EH的長度為或2時(shí)，△AQG為等腰三角形．
44．（2021?大連）已知AB＝BD，AE＝EF，∠ABD＝∠AEF．
（1）找出與∠DBF相等的角并證明；
（2）求證：∠BFD＝∠AFB；
（3）AF＝kDF，∠EDF+∠MDF＝180°，求．

【解答】解：（1）如圖1，∠BAE＝∠DBF，
證明：∵∠DBF+∠ABF＝∠ABD，∠ABD＝∠AEF，
∴∠DBF+∠ABF＝∠AEF，
∵∠AEF＝∠BAE+∠ABF，
∴∠BAE+∠ABF＝∠DBF+∠ABF，
∴∠BAE＝∠DBF．
（2）證明：如圖2，連接AD交BF于點(diǎn)G，
∵AB＝BD，AE＝EF，
∴，
∵∠ABD＝∠AEF，
∴△ABD∽△AEF，
∴∠BDG＝∠AFB，
∵∠BGD＝∠AGF，
∴△BGD∽△AGF，
∴，
∴，
∵∠AGB＝∠FGD，
∴△AGB∽△FGD，
∴∠BAD＝∠BFD，
∵∠BAD＝∠BDG＝∠AFB，
∴∠BFD＝∠AFB．
（3）如圖3，在FA上取一點(diǎn)D′，使D′F＝DF，連接D′M，作EH∥MD′交AC于點(diǎn)H，
∵∠MFD＝∠MFD′，F(xiàn)M＝FM，
∴△D′MF≌△DMF，
∴∠EHF＝∠MD′F＝∠MDF，
∵∠EDF+∠MDF＝180°，∠EHA+∠EHF＝180°，
∴∠EDF＝∠EHA，
∵∠EFD＝∠AFB＝∠EAH，EF＝AE，
∴△EFD≌△EAH（AAS），
∴DF＝AH，
∵，D′F＝DF，
∴，
∵AF＝kDF，
∴，
∴．



45．（2021?營口）如圖，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，DE＝DF，∠EDF＝90°，D為BC邊中點(diǎn)，連接AF，且A、F、E三點(diǎn)恰好在一條直線上，EF交BC于點(diǎn)H，連接BF，CE．
（1）求證：AF＝CE；
（2）猜想CE，BF，BC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（3）若CH＝2，AH＝4，請直接寫出線段AC，AE的長．

【解答】（1）證明：連接AD．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，
∴AD⊥CB，
AD＝DB＝DC．
∵∠ADC＝∠EDF＝90°，
∴∠ADF＝∠CDE，
∵DF＝DE，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴AF＝CE．

（2）結(jié)論：CE2+BF2＝BC2．
理由：∵△ABC，△DEF都是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，∠DFE＝∠DEF＝45°，
∵△ADF≌△CDE（SAS），
∴∠AFD＝∠DEC＝135°，∠DAF＝∠DCE，
∵∠BAD＝∠ACD＝45°，
∴∠BAD+∠DAF＝∠ACD+∠DCE，
∴∠BAF＝∠ACE，
∵AB＝CA，AF＝CE，
∴△BAF≌△ACE（SAS），
∴BF＝AE，
∵∠AEC＝∠DEC﹣∠DEF＝135°﹣45°＝90°，
∴AE2+CE2＝AC2，
∴BF2+CE2＝BC2．

（3）解：設(shè)EH＝m．
∵∠ADH＝∠CEH＝90°，∠AHD＝∠CHE，
∴△ADH∽△CEH，
∴＝＝＝＝2，
∴DH＝2m，
∴AD＝CD＝2m+2，
∴EC＝m+1，
在Rt△CEH中，CH2＝EH2+CE2，
∴22＝m2+（m+1）2，
∴2m2+2m﹣3＝0，
∴m＝或（舍棄），
∴AE＝AH+EH＝，
∴AD＝1+，
∴AC＝AD＝+．

46．（2021?湖北）如圖1，已知∠RPQ＝45°，△ABC中，∠ACB＝90°，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度在線段AC上向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，PQ，PR分別與射線AB交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且PE⊥AB，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，如圖2，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs，∠RPQ與△ABC的重疊部分面積為ycm2，y與x的函數(shù)關(guān)系由C1（0＜x≤5）和C2（5＜x≤n）兩段不同的圖象組成．
（1）填空：①當(dāng)x＝5s時(shí)，EF＝　10　cm；
②sinA＝　?。?br /> （2）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（3）當(dāng)y≥36cm2時(shí)，請直接寫出x的取值范圍．

【解答】解：（1）當(dāng)x＝5時(shí)，如圖3中，點(diǎn)F與B重合．

∵∠RPQ＝45°，PE⊥AB，
∴∠PEF＝90°，
∴∠EPF＝∠PFE＝45°，
∴EF＝EP，
由題意?EF?PE＝50，
∴EF＝PE＝10（cm），
∵AP＝5×2＝10（cm），
∴sinA＝＝＝．
故答案為：10，．

（2）當(dāng)0＜x≤5時(shí)，重疊部分是△PEF，y＝×（×2x）2＝2x2．
如圖3中，在Rt△APE中，AE＝＝＝20（cm），
∴AB＝EF+AE＝30（cm），
∴BC＝AB＝6（cm），
∴AC＝＝＝12，
∴點(diǎn)P從A運(yùn)動(dòng)到C的時(shí)間x＝＝6，
當(dāng)5＜x≤6時(shí)，如圖4中，重疊部分是四邊形PTBE，作BL∥PF交AC于L，過點(diǎn)L作LJ⊥AB于J，LK⊥AC交AB于K，過點(diǎn)B作BH⊥PF于H．

∵BL∥PF，
∴∠LBJ＝∠PFE＝45°，
∴△BLJ是等腰直角三角形，
∴BJ＝LJ＝10（cm），BL＝10（cm），
∵tanA＝＝，
∴LK＝5，AK＝25，
∴BK＝AB﹣AK＝30﹣25＝5，
∵BC∥KL，
∴∠FBT＝∠BKL，
∴△FBT∽△BKL，
∴＝，
∴＝，
∴FT＝（12x﹣60）（cm），
∵BH＝BF＝（6x﹣30）＝3x﹣15，
∴y＝S△PEF﹣S△BTF＝×2x×2x﹣×（12x﹣60）?（3x﹣15）＝﹣34x2+360x﹣900．
解法二：過點(diǎn)T作TW⊥BF于W，求出TW，根據(jù)S△TBF＝?BF?TW，求解．
綜上所述，y＝．

（3）當(dāng)y＝36時(shí)，2x2＝36，x＝3，
﹣34x2+360x﹣900＝36，
解得x＝6或，
∵＜5，
∴x＝不符合題意舍棄，
觀察圖象可知，滿足條件的x的值為3≤x≤6．
47．（2021?銅仁市）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6cm，AC＝12cm．點(diǎn)P是CA邊上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)以每秒2cm的速度沿CA方向勻速運(yùn)動(dòng)，以CP為邊作等邊△CPQ（點(diǎn)B、點(diǎn)Q在AC同側(cè)），設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒，△ABC與△CPQ重疊部分的面積為S．
（1）當(dāng)點(diǎn)Q落在△ABC內(nèi)部時(shí)，求此時(shí)△ABC與△CPQ重疊部分的面積S（用含x的代數(shù)式表示，不要求寫x的取值范圍）；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q落在AB上時(shí)，求此時(shí)△ABC與△CPQ重疊部分的面積S的值；
（3）當(dāng)點(diǎn)Q落在△ABC外部時(shí)，求此時(shí)△ABC與△CPQ重疊部分的面積S（用含x的代數(shù)式表示）．

【解答】解：（1）如圖1中，當(dāng)點(diǎn)Q落在△ABC內(nèi)部時(shí)，S＝×（2x）2＝x2．

（2）如圖2中，當(dāng)點(diǎn)Q落在AB上時(shí)，過點(diǎn)Q作QH⊥AC于H．

∵∠QHA＝∠ACB＝90°，
∴QH∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴x＝4，
∴CP＝8，CH＝PH＝4，
∴S＝×82＝16．

（3）如圖3中，點(diǎn)Q落在△ABC外部時(shí)，設(shè)CQ交AB于N，PQ交AB于M，過點(diǎn)N作NH⊥AC于H，過點(diǎn)M作MJ⊥AC于J，作NT∥PQ交AC于T．

由（2）可知，CH＝HT＝4，CT＝NT＝8，NH＝4，AT＝4，
∴S△BCN＝×6×4＝12，
∵NT∥PM，
∴△AMP∽△ANT，
∴＝，
∴＝，
∴MJ＝12﹣2x，
∴S＝S△ABC﹣S△BCN﹣S△AMP＝×6×12﹣12﹣×（12﹣2x）×（12﹣2x）＝﹣2x2+24x﹣48（4＜x≤6）．
48．（2021?河南）下面是某數(shù)學(xué)興趣小組探究用不同方法作一個(gè)角的平分線的討論片段，請仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．
小明：如圖1，（1）分別在射線OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（點(diǎn)C，E不重合）；（2）分別作線段CE，DF的垂直平分線l1，l2，交點(diǎn)為P，垂足分別為點(diǎn)G，H；（3）作射線OP，射線OP即為∠AOB的平分線．
簡述理由如下：
由作圖知，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，則∠POG＝∠POH，即射線OP是∠AOB的平分線．
小軍：我認(rèn)為小明的作圖方法很有創(chuàng)意，但是太麻煩了，可以改進(jìn)如下，如圖2，（1）分別在射線OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（點(diǎn)C，E不重合）；（2）連接DE，CF，交點(diǎn)為P；（3）作射線OP．射線OP即為∠AOB的平分線．
……
任務(wù)：

（1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依據(jù)是 　⑤?。ㄌ钚蛱枺?br /> ①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL
（2）小軍作圖得到的射線OP是∠AOB的平分線嗎？請判斷并說明理由．
（3）如圖3，已知∠AOB＝60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在射線OA，OB上，且OE＝OF＝+1．點(diǎn)C，D分別為射線OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，且OC＝OD，連接DE，CF，交點(diǎn)為P，當(dāng)∠CPE＝30°時(shí)，直接寫出線段OC的長．
【解答】解：（1）如圖1，由作圖得，OC＝OD，OE＝OF，PG垂直平分CE，PH垂直平分DF，
∴∠PGO＝∠PHO＝90°，
∵OE﹣OC＝OF﹣OD，
∴CE＝DF，
∵CG＝CE，DH＝DF，
∴CG＝DH，
∴OC+CG＝OD+DH，
∴OG＝OH，
∵OP＝OP，
∴Rt△PGO≌Rt△PHO（HL），
故答案為：⑤．
（2）射線OP是∠AOB的平分線，理由如下：
如圖2，∵OC＝OD，∠DOE＝∠COF，OE＝OF，
∴△DOE≌△COF（SAS），
∴∠PEC＝∠PFD，
∵∠CPE＝∠DPF，CE＝DF，
∴△CPE≌△DPF（AAS），
∴PE＝PF，
∵OE＝OF，∠PEO＝∠PFO，PE＝PF，
∴△OPE≌△OPF（SAS），
∴∠POE＝∠POF，即∠POA＝∠POB，
∴射線OP是∠AOB的平分線．
（3）如圖3，OC＜OE，連接OP，作PM⊥OA，則∠PMO＝∠PME＝90°，
由（2）得，OP平分∠AOB，∠PEC＝∠PFD，
∴∠PEC+30°＝∠PFD+30°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠POE＝∠POF＝∠AOB＝30°，
∵∠CPE＝30°，
∴∠OCP＝∠PEC+∠CPE＝∠PEC+30°，∠OPC＝∠PFD+∠POF＝∠PFD+30°，
∴∠OCP＝∠OPC＝（180°﹣∠POE）＝×（180°﹣30°）＝75°，
∴OC＝OP，∠OPE＝75°+30°＝105°，
∴∠OPM＝90°﹣30°＝60°，
∴∠MPE＝105°﹣60°＝45°，
∴∠MEP＝90°﹣45°＝45°，
∴MP＝ME，
設(shè)MP＝ME＝m，則OM＝MP?tan60°＝m，
由OE＝+1，得m+m＝+1，解得m＝1，
∴MP＝ME＝1，
∴OP＝2MP＝2，
∴OC＝OP＝2；
如圖4，OC＞OE，連接OP，作PM⊥OA，則∠PMO＝∠PMC＝90°，
同理可得，∠POE＝∠POF＝∠AOB＝30°，∠OEP＝∠OPE＝75°，∠OPM＝60°，∠MPC＝∠MCP＝45°，
∴OE＝OP＝+1，
∵M(jìn)C＝MP＝OP＝OE＝，
∴OM＝MP?tan60°＝×＝，
∴OC＝OM+MC＝+＝2+．
綜上所述，OC的長為2或2+．




49．（2021?湖北）已知△ABC和△DEC都為等腰三角形，AB＝AC，DE＝DC，∠BAC＝∠EDC＝n°．
（1）當(dāng)n＝60時(shí)，
①如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在AC上時(shí)，請直接寫出BE與AD的數(shù)量關(guān)系：　BE＝AD??；
②如圖2，當(dāng)點(diǎn)D不在AC上時(shí)，判斷線段BE與AD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）當(dāng)n＝90時(shí)，
①如圖3，探究線段BE與AD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
②當(dāng)BE∥AC，AB＝3，AD＝1時(shí)，請直接寫出DC的長．

【解答】解：（1）①當(dāng)n＝60時(shí)，△ABC和△DEC均為等邊三角形，
∴BC＝AC，EC＝DC，
又∵BE＝BC﹣EC，
AD＝AC﹣DC，
∴BE＝AD，
故答案為：BE＝AD；
②BE＝AD，理由如下：
當(dāng)點(diǎn)D不在AC上時(shí)，
∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝60°，∠DCE＝∠BCE+∠DCB＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
（2）①BE＝AD，理由如下：
當(dāng)n＝90時(shí)，在等腰直角三角形DEC中：＝sin45，
在等腰直角三角形ABC中：＝，
∵∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝45°，∠DCE＝∠ACE+∠DCA＝45°，
∴∠ECB＝∠DCA
在△DCA和△ECB中，
，
∴△DCA∽△ECB，
∴，
∴BE＝，
②DC＝5或，理由如下：
當(dāng)點(diǎn)D在△ABC外部時(shí)，設(shè)EC與AB交于點(diǎn)F，如圖所示：

∵AB＝3，AD＝1
由上可知：AC＝AB＝3，BE＝＝，
又∵BE∥AC，
∴∠EBF＝∠CAF＝90°，
而∠EFB＝∠CFA，
∴△EFB∽△CFA，
∴＝＝，
∴AF＝3BF，而AB＝BF+AF＝3，
∴BF＝＝，
在Rt△EBF中：EF＝＝＝，
又∵CF＝3EF＝3×＝，
∴EC＝EF+CF＝＝5（或EC＝4EF＝5），
在等腰直角三角形DEC中，DC＝EC?cos45°＝5×＝5．
當(dāng)點(diǎn)D在△ABC內(nèi)部時(shí)，過點(diǎn)D作DH⊥AC于H

∵AC＝3，AD＝1，∠DAC＝45°
∴AH＝DH＝，CH＝AC﹣AH＝，
∴CD＝＝＝，
綜上所述，滿足條件的CD的值為5或．
50．（2021?婁底）如圖①，E、F是等腰Rt△ABC的斜邊BC上的兩動(dòng)點(diǎn)，∠EAF＝45°，CD⊥BC且CD＝BE．
（1）求證：△ABE≌△ACD；
（2）求證：EF2＝BE2+CF2；
（3）如圖②，作AH⊥BC，垂足為H，設(shè)∠EAH＝α，∠FAH＝β，不妨設(shè)AB＝，請利用（2）的結(jié)論證明：當(dāng)α+β＝45°時(shí)，tan（α+β）＝成立．

【解答】證明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵CD⊥BC，
∴∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝45°＝∠B，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS）；

（2）由（1）知，△ABE≌△ACD，
∴AE＝AD，∠BAE＝∠CAD，
∵∠BAC＝90°，
∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝∠CAE+∠BAE＝∠BAC＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAF＝∠DAE﹣∠EAF＝45°＝∠EAF，
∵AF＝AF，
∴△AEF≌△ADF（SAS），
∴DF＝EF，
在Rt△DCF中，根據(jù)勾股定理得，DF2＝CF2+CD2，
∵CD＝BE，
∴EF2＝CF2+BE2；

（3）在Rt△ABC中，AC＝AB＝，
∴BC＝AB＝2，
∵AH⊥BC，
∴AH＝BH＝CH＝BC＝1，
∴BE＝1﹣EH，CF＝1﹣FH，
由（2）知，EF2＝CF2+BE2，
∵EF＝EH+FH，
∴（EH+FH）2＝（1﹣FH）2+（1﹣EH）2，
∴1﹣EH?FH＝EH+FH，
在Rt△AHE中，tanα＝＝EH，
在Rt△AHF中，tanβ＝＝FH，
∴右邊＝＝＝＝1，
∵α+β＝45°，
∴左邊＝tan（α+β）＝tan45°＝1，
∴左邊＝右邊，
即當(dāng)α+β＝45°時(shí)，tan（α+β）＝成立．
51．（2021?資陽）已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．

（1）如圖1，已知點(diǎn)D在BC邊上，∠DAE＝90°，AD＝AE，連結(jié)CE．試探究BD與CE的關(guān)系；
（2）如圖2，已知點(diǎn)D在BC下方，∠DAE＝90°，AD＝AE，連結(jié)CE．若BD⊥AD，AB＝2，CE＝2，AD交BC于點(diǎn)F，求AF的長；
（3）如圖3，已知點(diǎn)D在BC下方，連結(jié)AD、BD、CD．若∠CBD＝30°，∠BAD＞15°，AB2＝6，AD2＝4+，求sin∠BCD的值．
【解答】解：（1）∵∠EAC+∠CAD＝∠EAD＝90°，∠BAD+∠DAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD＝45°，BD＝CE，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，
∴BD＝CE且BD⊥CE；

（2）延長BD和EC交于點(diǎn)H，

同法可證BD⊥CE，即∠H＝90°，CE＝BD＝2，
而∠ADH＝90°，∠DAE＝90°，
故四邊形ADHE為矩形，
而AD＝AE，
故四邊形ADHE為正方形，
在Rt△ACE中，AE＝＝＝＝6＝DH＝EH＝AD，
則BH＝BD+DH＝2+6＝8，CH＝HE﹣CE＝6﹣2＝4，
在Rt△BCH中，tan∠CBH＝，
在Rt△BDF中，DF＝BDtan∠CBH＝2×＝1，
故AF＝AD﹣DF＝6﹣1＝5；

（3）作∠DAE＝90°，使AD＝AE，連結(jié)CE，延長EC和BD交于點(diǎn)H，連接DE，

由（1）BD＝CE且BD⊥CE，即∠H＝90°，
由作圖知，△ADE為等腰直角三角形，
設(shè)CE＝BD＝x，
在Rt△BHC中，∠HBC＝30°，BC＝AB＝＝2，
則CH＝BC，BH＝BCcos30°＝3，
則DH＝BH﹣x＝3﹣x，EH＝CH+CE＝x+，
則DE2＝2AD2＝DH2+EH2，
即（3﹣x）2+（+x）2＝2×（4+），
解得x＝2﹣（舍去，理由是此時(shí)∠BAD小于15°）或1，
即BD＝x＝1，
過點(diǎn)D作DN⊥BC于點(diǎn)N，
在Rt△BND中，∠CBD＝30°，BC＝2，BD＝1，
則ND＝BD＝，BN＝BDcos30°＝，
則CN＝CB﹣BN＝2﹣＝，
∴CD＝＝，
則sin∠BCD＝＝＝．
52．（2021?湖州）已知在△ACD中，P是CD的中點(diǎn)，B是AD延長線上的一點(diǎn)，連結(jié)BC，AP．

（1）如圖1，若∠ACB＝90°，∠CAD＝60°，BD＝AC，AP＝，求BC的長．
（2）過點(diǎn)D作DE∥AC，交AP延長線于點(diǎn)E，如圖2所示，若∠CAD＝60°，BD＝AC，求證：BC＝2AP．
（3）如圖3，若∠CAD＝45°，是否存在實(shí)數(shù)m，當(dāng)BD＝mAC時(shí)，BC＝2AP？若存在，請直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠CAD＝60°，
∴AB＝，
∵BD＝AC，
∴AD＝AC，
∴△ADC是等邊三角形，
∴∠ACD＝60°，
∵P是CD的中點(diǎn)，
∴AP⊥CD，
在Rt△APC中，AP＝，
∴，
∴，
（2）證明：連接BE，

∵DE∥AC，
∴∠CAP＝∠DEP，
在△CPA和△DPE中
，
∴△CPA≌△DPE（AAS），
∴AP＝EP＝，DE＝AC，
∵BD＝AC，
∴BD＝DE，
又∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠CAD＝60°，
∴△BDE是等邊三角形，
∴BD＝BE，∠EBD＝60°，
∵BD＝AC，
∴AC＝BE，
在△CAB和△EBA中
，
∴△CAB≌△EBA（SAS），
∴AE＝BC，
∴BC＝2AP，
（3）存在這樣的m，m＝．
理由如下：作DE∥AC交AP延長線于E，連接BE，
由（2）同理可得DE＝AC，∠EDB＝∠CAD＝45°，AE＝2AP，
當(dāng)BD＝時(shí)，
∴BD＝，
作BF⊥DE于F，
∵∠EDB＝45°，
∴BD＝，
∴DE＝DF，
∴點(diǎn)E，F(xiàn)重合，
∴∠BED＝90°，
∴∠EBD＝∠EDB＝45°，
∴BE＝DE＝AC，
同（2）可證：△CAB≌△EBA（SAS），
∴BC＝AE＝2AP，
∴存在m＝，使得BC＝2AP，

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