?2021中考數(shù)學(xué)真題知識點(diǎn)分類匯編-三角形填空題

一．三角形的面積（共3小題）
1．（2021?泰州）如圖，四邊形ABCD中，AB＝CD＝4，且AB與CD不平行，P、M、N分別是AD、BD、AC的中點(diǎn)，設(shè)△PMN的面積為S，則S的范圍是 　 　．

2．（2021?聊城）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E，AD與CE交于點(diǎn)O，連接BO并延長交AC于點(diǎn)F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，則CE：AD：BF值為 　 　．

3．（2021?黑龍江）如圖，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝1，延長CD至A1，使DA1＝CD，以A1C為一邊，在BC的延長線上作菱形A1CC1D1，連接AA1，得到△ADA1；再延長C1D1至A2，使D1A2＝C1D1，以A2C1為一邊，在CC1的延長線上作菱形A2C1C2D2，連接A1A2，得到△A1D1A2…按此規(guī)律，得到△A2020D2020A2021，記△ADA1的面積為S1，△A1D1A2的面積為S2…，△A2020D2020A2021的面積為S2021，則S2021＝　 ?。?br />
二．三角形三邊關(guān)系（共4小題）
4．（2021?淮安）一個三角形的兩邊長分別是1和4，若第三邊的長為偶數(shù)，則第三邊的長是 　 ?。?br /> 5．（2021?大慶）三個數(shù)3，1﹣a，1﹣2a在數(shù)軸上從左到右依次排列，且以這三個數(shù)為邊長能構(gòu)成三角形，則a的取值范圍為 　 ?。?br /> 6．（2021?柳州）若長度分別為3，4，a的三條線段能組成一個三角形，則整數(shù)a的值可以是 　 ?。▽懗鲆粋€即可）
7．（2021?十堰）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，點(diǎn)P是平面內(nèi)一個動點(diǎn)，且AP＝3，Q為BP的中點(diǎn)，在P點(diǎn)運(yùn)動過程中，設(shè)線段CQ的長度為m，則m的取值范圍是 　 　．

三．三角形內(nèi)角和定理（共1小題）
8．（2021?常州）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在BC、AC上，∠B＝40°，∠C＝60°，若DE∥AB，則∠AED＝　 　°．

四．三角形的外角性質(zhì)（共1小題）
9．（2021?河北）如圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），AE與BD的交點(diǎn)為C，且∠A，∠B，∠E保持不變．為了舒適，需調(diào)整∠D的大小，使∠EFD＝110°，則圖中∠D應(yīng) 　 ?。ㄌ睢霸黾印被颉皽p少”） 　 　度．

五．全等三角形的判定（共3小題）
10．（2021?德州）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D．請?zhí)砑右粋€條件 　 　，使△ABF≌△DCE．

11．（2021?齊齊哈爾）如圖，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，應(yīng)添加的條件是 　 　．（只需寫出一個條件即可）

12．（2021?濟(jì)寧）如圖，四邊形ABCD中，∠BAC＝∠DAC，請補(bǔ)充一個條件 　 　，使△ABC≌△ADC．

六．全等三角形的判定與性質(zhì)（共8小題）
13．（2021?達(dá)州）如圖，在邊長為6的等邊△ABC中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AC，BC上的動點(diǎn)，且AE＝CF，連接BE，AF交于點(diǎn)P，連接CP，則CP的最小值為 　 ?。?br />
14．（2021?德州）如圖，在等邊三角形ABC各邊上分別截取AD＝BE＝CF，DJ⊥BC交CA延長線于點(diǎn)J，EK⊥AC交AB延長線于點(diǎn)K，F(xiàn)L⊥AB交BC延長線于點(diǎn)L；直線DJ，EK，F(xiàn)L兩兩相交得到△GHI，若S△GHI＝3，則AD＝　 ?。?br />
15．（2021?日照）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BC邊向點(diǎn)C運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)C停止，同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以vcm/s的速度沿CD邊向點(diǎn)D運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)D停止，規(guī)定其中一個動點(diǎn)停止運(yùn)動時，另一個動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．當(dāng)v為 　 　時，△ABP與△PCQ全等．

16．（2021?濱州）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2．若點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則PA+PB+PC的最小值為 　 　．

17．（2021?廣州）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，且BE＝3，以點(diǎn)A為圓心，3為半徑的圓分別交AB、AD于點(diǎn)F、G，DF與AE交于點(diǎn)H．并與⊙A交于點(diǎn)K，連結(jié)HG、CH．給出下列四個結(jié)論．其中正確的結(jié)論有 　 ?。ㄌ顚懰姓_結(jié)論的序號）．
（1）H是FK的中點(diǎn)
（2）△HGD≌△HEC
（3）S△AHG：S△DHC＝9：16
（4）DK＝

18．（2021?貴陽）在綜合實(shí)踐課上，老師要求同學(xué)用正方形紙片剪出正三角形且正三角形的頂點(diǎn)都在正方形邊上．小紅利用兩張邊長為2的正方形紙片，按要求剪出了一個面積最大的正三角形和一個面積最小的正三角形．則這兩個正三角形的邊長分別是 　 ?。?br /> 19．（2021?鄂州）如圖，四邊形ABDC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥BD于點(diǎn)D．若BD＝2，CD＝4，則線段AB的長為 　 　．

20．（2021?紹興）已知△ABC與△ABD在同一平面內(nèi)，點(diǎn)C，D不重合，∠ABC＝∠ABD＝30°，AB＝4，AC＝AD＝2，則CD長為 　 ?。?br /> 七．角平分線的性質(zhì)（共3小題）
21．（2021?福建）如圖，AD是△ABC的角平分線．若∠B＝90°，BD＝，則點(diǎn)D到AC的距離是 　 　．

22．（2021?長沙）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB，垂足為E，若BC＝4，DE＝1.6，則BD的長為 　 　．

23．（2021?常德）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若CD＝3，BD＝5，則BE的長為 　 ?。?br />
八．線段垂直平分線的性質(zhì)（共2小題）
24．（2021?錦州）如圖，在△ABC中，AC＝4，∠A＝60°，∠B＝45°，BC邊的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，連接CD，則AB的長為 　 ?。?br />
25．（2021?遂寧）如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直線DE垂直平分BC，垂足為E，交AC于點(diǎn)D，則△ABD的周長是　 　．

九．等腰三角形的性質(zhì)（共9小題）
26．（2021?朝陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，4），過點(diǎn)M作MN∥x軸，點(diǎn)P在射線MN上，若△MAP為等腰三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 　 ?。?br />
27．（2021?濱州）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC上的一點(diǎn)．若AB＝AD＝DC，∠BAD＝44°，則∠C的大小為 　 ?。?br />
28．（2021?牡丹江）過等腰三角形頂角頂點(diǎn)的一條直線，將該等腰三角形分成的兩個三角形均為等腰三角形，則原等腰三角形的底角度數(shù)為 　 ?。?br /> 29．（2021?婁底）如圖，△ABC中，AB＝AC＝2，P是BC上任意一點(diǎn)，PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F，若S△ABC＝1，則PE+PF＝　 　．

30．（2021?南京）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝BD．設(shè)∠ABC＝α，則∠ADC＝　 ?。ㄓ煤恋拇鷶?shù)式表示）．

31．（2021?蘇州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AF＝EF．若∠CFE＝72°，則∠B＝　 　°．

32．（2021?紹興）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，以點(diǎn)C為圓心，CA長為半徑作弧，交直線BC于點(diǎn)P，連結(jié)AP，則∠BAP的度數(shù)是 　 ?。?br />
33．（2021?泰安）若△ABC為直角三角形，AC＝BC＝4，以BC為直徑畫半圓如圖所示，則陰影部分的面積為 　 ?。?br />
34．（2021?連云港）如圖，OA、OB是⊙O的半徑，點(diǎn)C在⊙O上，∠AOB＝30°，∠OBC＝40°，則∠OAC＝　 　°．

一十．含30度角的直角三角形（共4小題）
35．（2021?陜西）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8．若E、F是BC邊上的兩個動點(diǎn)，以EF為邊的等邊△EFP的頂點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部或邊上，則等邊△EFP的周長的最大值為 　 　．

36．（2021?廣州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，線段AB的垂直平分線分別交AC、AB于點(diǎn)D、E，連接BD．若CD＝1，則AD的長為 　 　．

37．（2021?常州）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CBA＝30°，AC＝1，D是AB上一點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)A不重合）．若在Rt△ABC的直角邊上存在4個不同的點(diǎn)分別和點(diǎn)A、D成為直角三角形的三個頂點(diǎn)，則AD長的取值范圍是 　 　．

38．（2021?樂山）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一個銳角為60°，AB＝4．若點(diǎn)P在直線AB上（不與點(diǎn)A，B重合），且∠PCB＝30°，則CP的長為 　 ?。?br /> 一十一．直角三角形斜邊上的中線（共1小題）
39．（2021?鹽城）如圖，在Rt△ABC中，CD為斜邊AB上的中線，若CD＝2，則AB＝　 ?。?br />
一十二．勾股定理（共6小題）
40．（2021?南通）平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P（m，3n2﹣9），且實(shí)數(shù)m，n滿足m﹣n2+4＝0，則點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離的最小值為 　 　．
41．（2021?南通）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑畫弧，交AC延長線于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CE∥AB，交于點(diǎn)E，連接BE，則的值為 　 　．

42．（2021?丹東）如圖，在△ABC中，∠B＝45°，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E（BE＞CE），點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，連接AE、EF，若BC＝7，AC＝5，則△CEF的周長為 　 ?。?br />
43．（2021?深圳）如圖，已知∠BAC＝60°，AD是角平分線且AD＝10，作AD的垂直平分線交AC于點(diǎn)F，作DE⊥AC，則△DEF周長為 　 ?。?br />
44．（2021?齊齊哈爾）直角三角形的兩條邊長分別為3和4，則這個直角三角形斜邊上的高為 　 ?。?br /> 45．（2021?成都）如圖，數(shù)字代表所在正方形的面積，則A所代表的正方形的面積為 　 ?。?br />
一十三．勾股定理的證明（共1小題）
46．（2021?陜西）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽巧妙地用“弦圖”證明了勾股定理，標(biāo)志著中國古代的數(shù)學(xué)成就．如圖所示的“弦圖”，是由四個全等的直角三角形和中間的一個小正方形拼成的一個大正方形．直角三角形的斜邊長為13，一條直角邊長為12，則小正方形ABCD的面積的大小為 　 　．

一十四．勾股定理的應(yīng)用（共3小題）
47．（2021?玉林）如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上，甲、乙輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙輪船每小時分別航行12海里和16海里，1小時后兩船分別位于點(diǎn)A，B處，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，則乙船沿 　 　方向航行．

48．（2021?宿遷）《九章算術(shù)》中一道“引葭赴岸”問題：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深，葭長各幾何？”題意是：有一個池塘，其地面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦AC生長在它的中央，高出水面部分BC為1尺，如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緾恰好碰到岸邊的C'處（如圖），水深和蘆葦長各多少尺？則該問題的水深是 　 　尺．

49．（2021?岳陽）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，書中有下列問題：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈．問戶高、廣各幾何？”其意思為：今有一門，高比寬多6尺8寸，門對角線距離恰好為1丈．問門高、寬各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如圖，設(shè)門高AB為x尺，根據(jù)題意，可列方程為 　 　．

一十五．三角形中位線定理（共7小題）
50．（2021?西寧）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，連接AE，DE，若DE＝，AE＝，則點(diǎn)A到BC的距離是 　 　．

51．（2021?桂林）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，若DE＝4，則BC＝　 ?。?br />
52．（2021?青海）如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，若△DEF的周長為10，則△ABC的周長為 　 ?。?br />
53．（2021?菏澤）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝30°，D、E分別為AC、BC的中點(diǎn)，DE＝2，過點(diǎn)B作BF∥AC，交DE的延長線于點(diǎn)F，則四邊形ABFD的面積為 　 ?。?br />
54．（2021?邵陽）如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為△ABC三邊的中點(diǎn)．若△ABC的周長為10，則△DEF的周長為 　 ?。?br />
55．（2021?揚(yáng)州）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，連接CD，若CD＝5，BC＝8，則DE＝　 ?。?br />
56．（2021?云南）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是BC，AC的中點(diǎn)，AD與BE相交于點(diǎn)F．若BF＝6，則BE的長是 　 ?。?br />

參考答案與試題解析
一．三角形的面積（共3小題）
1．（2021?泰州）如圖，四邊形ABCD中，AB＝CD＝4，且AB與CD不平行，P、M、N分別是AD、BD、AC的中點(diǎn)，設(shè)△PMN的面積為S，則S的范圍是 　0＜S≤2?。?br />
【解答】解：作ME⊥PN，如圖所示，

∵P，M，N分別是AD，BD，AC中點(diǎn)，
∴PM＝AB＝2，PN＝CD＝2，
∴S△PMN＝＝ME，
∵AB與CD不平行，
∴M，N不能重合，
∴ME＞0
∵M(jìn)E≤MP＝2
∴0＜S△≤2．
故答案是：0＜S≤2．
2．（2021?聊城）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E，AD與CE交于點(diǎn)O，連接BO并延長交AC于點(diǎn)F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，則CE：AD：BF值為 　12：15：10　．

【解答】解：在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，AD與CE交于點(diǎn)O，連接BO并延長交AC于點(diǎn)F，
∴BF⊥AC，
∴AB×CE＝BC×AD＝AC×BF，
∵AB＝5，BC＝4，AC＝6，
∴×5×CE＝×4×AD＝×6×BF，
∴CE：AD：BF＝12：15：10．
故答案為：12：15：10．
3．（2021?黑龍江）如圖，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝1，延長CD至A1，使DA1＝CD，以A1C為一邊，在BC的延長線上作菱形A1CC1D1，連接AA1，得到△ADA1；再延長C1D1至A2，使D1A2＝C1D1，以A2C1為一邊，在CC1的延長線上作菱形A2C1C2D2，連接A1A2，得到△A1D1A2…按此規(guī)律，得到△A2020D2020A2021，記△ADA1的面積為S1，△A1D1A2的面積為S2…，△A2020D2020A2021的面積為S2021，則S2021＝　24038?。?br />
【解答】解：∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝1，
∴∠ADC＝120°，AD＝CD＝1，
∴∠ADA1＝60°，
∵DA1＝CD，
∴AD＝DA1，
∴△ADA1為等邊三角形且邊長為1，
同理：△A1D1A2為等邊三角形且邊長為2，
△A2D2A3為等邊三角形且邊長為4，
△A3D3A4為等邊三角形且邊長為8，
…，
△A2021D2021A2022為等邊三角形且邊長為22021，
∴S1＝×12，
S2＝×22，
S3＝×42，
…，
Sn＝×22n﹣2，
∴S2021＝×24040＝24038，
故答案為24038．
二．三角形三邊關(guān)系（共4小題）
4．（2021?淮安）一個三角形的兩邊長分別是1和4，若第三邊的長為偶數(shù)，則第三邊的長是 　4?。?br /> 【解答】解：設(shè)第三邊為a，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系知，
4﹣1＜a＜4+1，即3＜a＜5，
又∵第三邊的長是偶數(shù)，
∴a為4．
故答案為：4．
5．（2021?大慶）三個數(shù)3，1﹣a，1﹣2a在數(shù)軸上從左到右依次排列，且以這三個數(shù)為邊長能構(gòu)成三角形，則a的取值范圍為 　﹣3＜a＜﹣2　．
【解答】解：∵3，1﹣a，1﹣2a在數(shù)軸上從左到右依次排列，
∴3＜1﹣a＜1﹣2a，
∴a＜﹣2，
∵這三個數(shù)為邊長能構(gòu)成三角形，
∴3+（1﹣a）＞1﹣2a，
∴a＞﹣3，
∴﹣3＜a＜﹣2，
故答案為﹣3＜a＜﹣2．
6．（2021?柳州）若長度分別為3，4，a的三條線段能組成一個三角形，則整數(shù)a的值可以是 　5（答案不唯一）?。▽懗鲆粋€即可）
【解答】解：由三角形三邊關(guān)系定理得：4﹣3＜a＜4+3，
即1＜a＜7，
即符合的整數(shù)a的值可以是5（答案不唯一），
故答案為：5（答案不唯一）．
7．（2021?十堰）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，點(diǎn)P是平面內(nèi)一個動點(diǎn)，且AP＝3，Q為BP的中點(diǎn)，在P點(diǎn)運(yùn)動過程中，設(shè)線段CQ的長度為m，則m的取值范圍是 　≤m≤?。?br />
【解答】解：如圖，取AB的中點(diǎn)M，連接QM，CM，

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
∵點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，
∴AM＝BM＝CM＝AB＝5，
∵點(diǎn)Q是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，
∴QM是△APB的中位線，
∴QM＝AP＝，
在△CMQ中，CM﹣MQ＜CQ＜CM+MQ，
∴＜m＜，
∵點(diǎn)C，點(diǎn)M是定點(diǎn)，點(diǎn)Q是動點(diǎn)，且點(diǎn)Q以點(diǎn)M為圓心，QM長為半徑的圓上運(yùn)動，
∴當(dāng)點(diǎn)C，M，Q三點(diǎn)共線，且點(diǎn)Q在線段CM上時，m取得最小值，
當(dāng)點(diǎn)C，M，Q三點(diǎn)共線，且點(diǎn)Q在射線CM上時，m取得最大值，
綜上，m的取值范圍為：≤m≤．
故答案為：≤m≤．
三．三角形內(nèi)角和定理（共1小題）
8．（2021?常州）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在BC、AC上，∠B＝40°，∠C＝60°，若DE∥AB，則∠AED＝　100　°．

【解答】解：在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∵DE∥AB，
∴∠A+∠AED＝180°，
∴∠AED＝180°﹣80°＝100°．
故答案為：100．
四．三角形的外角性質(zhì)（共1小題）
9．（2021?河北）如圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），AE與BD的交點(diǎn)為C，且∠A，∠B，∠E保持不變．為了舒適，需調(diào)整∠D的大小，使∠EFD＝110°，則圖中∠D應(yīng) 　減少?。ㄌ睢霸黾印被颉皽p少”） 　10　度．

【解答】解：延長EF，交CD于點(diǎn)G，如圖：

∵∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∴∠ECD＝∠ACB＝70°．
∵∠DGF＝∠DCE+∠E，
∴∠DGF＝70°+30°＝100°．
∵∠EFD＝110°，∠EFD＝∠DGF+∠D，
∴∠D＝10°．
而圖中∠D＝20°，
∴∠D應(yīng)減少10°．
故答案為：減少，10．
五．全等三角形的判定（共3小題）
10．（2021?德州）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D．請?zhí)砑右粋€條件 　∠B＝∠C（答案不唯一）　，使△ABF≌△DCE．

【解答】解：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
∴BF＝CE，
添加∠B＝∠C，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
故答案為：∠B＝∠C（答案不唯一）．
11．（2021?齊齊哈爾）如圖，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，應(yīng)添加的條件是 　∠B＝∠E或∠C＝∠D或AB＝AE　．（只需寫出一個條件即可）

【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD，
即∠BAC＝∠EAD，
∵AC＝AD，
∴當(dāng)添加∠B＝∠E時，可根據(jù)“AAS”判斷△ABC≌△AED；
當(dāng)添加∠C＝∠D時，可根據(jù)“ASA”判斷△ABC≌△AED；
當(dāng)添加AB＝AE時，可根據(jù)“SAS”判斷△ABC≌△AED．
故答案為∠B＝∠E或∠C＝∠D或AB＝AE．
12．（2021?濟(jì)寧）如圖，四邊形ABCD中，∠BAC＝∠DAC，請補(bǔ)充一個條件 　AD＝AB（答案不唯一）　，使△ABC≌△ADC．

【解答】解：添加的條件是AD＝AB，
理由是：在△ABC和△ADC中
，
∴△ABC≌△ADC（SAS），
故答案為：AD＝AB（答案不唯一）．
六．全等三角形的判定與性質(zhì)（共8小題）
13．（2021?達(dá)州）如圖，在邊長為6的等邊△ABC中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AC，BC上的動點(diǎn)，且AE＝CF，連接BE，AF交于點(diǎn)P，連接CP，則CP的最小值為 　2?。?br />
【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠CAB＝∠ACB＝60°，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（SAS），
∴∠ABE＝∠CAF，
∴∠BPF＝∠PAB+∠ABP＝∠CAP+∠BAP＝60°，
∴∠APB＝120°，
如圖，過點(diǎn)A，點(diǎn)P，點(diǎn)B作⊙O，連接CO，PO，

∴點(diǎn)P在上運(yùn)動，
∵AO＝OP＝OB，
∴∠OAP＝∠OPA，∠OPB＝∠OBP，∠OAB＝∠OBA，
∴∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OPA﹣∠OPB﹣∠OBP＝120°，
∴∠OAB＝30°，
∴∠CAO＝90°，
∵AC＝BC，OA＝OB，
∴CO垂直平分AB，
∴∠ACO＝30°，
∴cos∠ACO＝，CO＝2AO，
∴CO＝4，
∴AO＝2，
在△CPO中，CP≥CO﹣OP，
∴當(dāng)點(diǎn)P在CO上時，CP有最小值，
∴CP的最小值＝4﹣2＝2，
故答案為2．
14．（2021?德州）如圖，在等邊三角形ABC各邊上分別截取AD＝BE＝CF，DJ⊥BC交CA延長線于點(diǎn)J，EK⊥AC交AB延長線于點(diǎn)K，F(xiàn)L⊥AB交BC延長線于點(diǎn)L；直線DJ，EK，F(xiàn)L兩兩相交得到△GHI，若S△GHI＝3，則AD＝　2?。?br />
【解答】解：延長JD交BC于點(diǎn)N，

∵△ABC是等邊三角形，
∴AC＝BC＝AB，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，
∴∠BDN＝∠JDA＝90°﹣60°＝30°，
∴∠J＝∠BAC﹣∠JDA＝30°，
同理可得：∠L＝∠K＝∠CFL＝∠JFH＝∠GEL＝∠BEK＝30°，
∴AD＝AJ＝CF＝CL＝BE＝BK，
∴DK＝EL＝JF，
∴△JDA≌△LFC≌△KEB（AAS），△JHF≌△LGE≌△DIK（ASA），
過點(diǎn)A作AT⊥BC，交BC于點(diǎn)T，
設(shè)AB＝BC＝AC＝a，

在Rt△ABT中，∠BAT＝30°，
∴BT＝，AT＝，
∴S△ABC＝，
∵AD＝AJ＝CF＝CL＝BE＝BK，△JHF≌△LGE≌△DIK，
∴JF＝EL＝DK＝a，
過點(diǎn)H作HM⊥AC，交AC于點(diǎn)M，

∵∠J＝∠JFH＝30°，
∴JH＝FH，
∴JM＝，
在Rt△JHM中，HM＝，
∴S△JHF＝，
∴S△JHF+S△LJE+S△DIK＝3S△JHF＝3×＝S△ABC，
∴S△JDA+S△FCL+S△BEK＝3S△JDA＝S△GHI，
過點(diǎn)A作AP⊥DJ，交DJ于點(diǎn)P，

設(shè)AD＝x，
在Rt△APD中，∠ADP＝30°，
∴AP＝，DP＝，
∴JD＝2DP＝，
∴3S△JDA＝3×，
∴，
解得：x＝±2（負(fù)值舍去），
即AD的值為2，
故答案為：2．
15．（2021?日照）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BC邊向點(diǎn)C運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)C停止，同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以vcm/s的速度沿CD邊向點(diǎn)D運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)D停止，規(guī)定其中一個動點(diǎn)停止運(yùn)動時，另一個動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．當(dāng)v為 　2或　時，△ABP與△PCQ全等．

【解答】解：①當(dāng)BP＝CQ，AB＝PC時，△ABP≌△PCQ，
∵AB＝8cm，
∴PC＝8cm，
∴BP＝12﹣8＝4（cm），
∴2t＝4，解得：t＝2，
∴CQ＝BP＝4cm，
∴v×2＝4，
解得：v＝2；
②當(dāng)BA＝CQ，PB＝PC時，△ABP≌△QCP，
∵PB＝PC，
∴BP＝PC＝6cm，
∴2t＝6，解得：t＝3，
∵CQ＝AB＝8cm，
∴v×3＝8，
解得：v＝，
綜上所述，當(dāng)v＝2或時，△ABP與△PQC全等，
故答案為：2或．
16．（2021?濱州）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2．若點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則PA+PB+PC的最小值為 　?。?br />
【解答】解：以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)△APB到△AP′B′，旋轉(zhuǎn)角是60°，連接BB′、PP′，如圖所示，
則∠PAP′＝60°，AP＝AP′，PB＝P′B′，
∴△APP′是等邊三角形，
∴AP＝PP′，
∴PA+PB+PC＝PP′+P′B′+PC，
∵PP′+P′B′+PC≥CB′，
∴PP′+P′B′+PC的最小值就是CB′的值，
即PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，
∵∠BAC＝30°，∠BAB′＝60°，AB＝2，
∴∠CAB′＝90°，AB′＝2，AC＝AB?cos∠BAC＝2×cos30°＝2×＝，
∴CB′＝＝＝，
故答案為：．

17．（2021?廣州）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，且BE＝3，以點(diǎn)A為圓心，3為半徑的圓分別交AB、AD于點(diǎn)F、G，DF與AE交于點(diǎn)H．并與⊙A交于點(diǎn)K，連結(jié)HG、CH．給出下列四個結(jié)論．其中正確的結(jié)論有 ?。?）（3）（4）　（填寫所有正確結(jié)論的序號）．
（1）H是FK的中點(diǎn)
（2）△HGD≌△HEC
（3）S△AHG：S△DHC＝9：16
（4）DK＝

【解答】解：（1）在△ABE與△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠AFD＝∠AEB，
∴∠AFD+∠BAE＝∠AEB+∠BAE＝90°，
∴AH⊥FK，
由垂徑定理，
得：FH＝HK，
即H是FK的中點(diǎn)，故（1）正確；
（2）如圖，過H分別作HM⊥AD于M，HN⊥BC于N，

∵AB＝4，BE＝3，
∴AE＝＝5，
∵∠BAE＝∠HAF＝∠AHM，
∴cos∠BAE＝cos∠HAF＝cos∠AHM，
∴，
∴AH＝，HM＝，
∴HN＝4﹣＝，
即HM≠HN，
∵M(jìn)N∥CD，
∴MD＝CN，
∵HD＝，
HC＝，
∴HC≠HD，
∴△HGD≌△HEC是錯誤的，故（2）不正確；
（3）過H分別作HT⊥CD于T，
由（2）知，AM＝＝，
∴DM＝，
∵M(jìn)N∥CD，
∴MD＝HT＝，
∴＝＝，故（3）正確；
（4）由（2）知，HF＝＝，
∴，
∴DK＝DF﹣FK＝，故（4）正確．
18．（2021?貴陽）在綜合實(shí)踐課上，老師要求同學(xué)用正方形紙片剪出正三角形且正三角形的頂點(diǎn)都在正方形邊上．小紅利用兩張邊長為2的正方形紙片，按要求剪出了一個面積最大的正三角形和一個面積最小的正三角形．則這兩個正三角形的邊長分別是 　2﹣2，2　．
【解答】解：如圖，設(shè)△GEF為正方形ABCD的一個內(nèi)接正三角形，
作正△GEF的高EK，連接KA，KD，
∵∠EKG＝∠EDG＝90°，
∴E、K、D、G四點(diǎn)共圓，
∴∠KDE＝∠KGE＝60°，
同理∠KAE＝60°，
∴△KAD是一個正三角形，
則K必為一個定點(diǎn)，
∵正三角形面積取決于它的邊長，
∴當(dāng)FG⊥AB時，邊長FG最小，面積也最小，此時邊長等于正方形邊長為2，
當(dāng)FG過B點(diǎn)時，即F'與點(diǎn)B重合時，邊長最大，面積也最大，
此時作KH⊥BC于H，
由等邊三角形的性質(zhì)可知，
K為FG的中點(diǎn)，
∵KH∥CD，
∴KH為三角形F'CG'的中位線，
∴CG'＝2HK＝2（EH﹣EK）＝2（2﹣2×sin60°）＝4﹣2，
∴F'G'＝＝＝＝2﹣2，
故答案為：2﹣2，2．

19．（2021?鄂州）如圖，四邊形ABDC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥BD于點(diǎn)D．若BD＝2，CD＝4，則線段AB的長為 　2　．

【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CE⊥CD交AD于E，
∴∠ECD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠ECD，
∴∠ACB﹣∠BCE＝∠ECD﹣∠BCE，
∴∠ACE＝∠BCD，
∵AC＝BC，
BC與AD的交點(diǎn)記作點(diǎn)F，
∵∠ACB＝90°，
∴∠AFC+∠CAE＝90°，
∵∠AFC＝∠DFB，
∴∠DFB+∠CAE＝90°，
∵∠ADB＝90°，
∴∠DFB+∠CBD＝90°，
∴∠CAE＝∠CBD，
∴△ACE≌△BCD（ASA），
∴AE＝BD，CE＝CD，
在Rt△DCE中，CE＝CD＝4，
∴DE＝CD＝＝8，
∵BD＝2，
∴AE＝2，
∴AD＝AE+DE＝2+8＝10，
在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理得，AB＝＝＝2，
故答案為．

20．（2021?紹興）已知△ABC與△ABD在同一平面內(nèi)，點(diǎn)C，D不重合，∠ABC＝∠ABD＝30°，AB＝4，AC＝AD＝2，則CD長為 　2±2或4或2　．
【解答】解：如圖，當(dāng)C，D同側(cè)時，過點(diǎn)A作AE⊥CD于E．

在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AB＝4，∠ABE＝30°，
∴AE＝AB＝2，
∵AD＝AC＝2，
∴DE＝＝2，EC＝＝2，
∴DE＝EC＝AE，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴CD＝4，
當(dāng)C，D異側(cè)時，過C′作C′H⊥CD于H，
∵△BCC′是等邊三角形，BC＝BE﹣EC＝2﹣2，
∴CH＝BH＝﹣1，C′H＝CH＝3﹣，
在Rt△DC′H中，DC′＝＝＝2，
∵△DBD′是等邊三角形，
∴DD′＝2+2，
∴CD的長為2±2或4或2．
故答案為：2±2或4或2．
七．角平分線的性質(zhì)（共3小題）
21．（2021?福建）如圖，AD是△ABC的角平分線．若∠B＝90°，BD＝，則點(diǎn)D到AC的距離是 　?。?br />
【解答】解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AC于E，

∵AD是△ABC的角平分線．∠B＝90°，DE⊥AC，
∴DE＝BD＝，
∴點(diǎn)D到AC的距離為，
故答案為．
22．（2021?長沙）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB，垂足為E，若BC＝4，DE＝1.6，則BD的長為 　2.4?。?br />
【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE，
∵DE＝1.6，
∴CD＝1.6，
∴BD＝BC﹣CD＝4﹣1.6＝2.4．
故答案為：2.4
23．（2021?常德）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若CD＝3，BD＝5，則BE的長為 　4　．

【解答】解：∵AD平分∠CAB，
又∵DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC＝3，
∵BD＝5，
∴BE＝＝＝4，
故答案為4．
八．線段垂直平分線的性質(zhì)（共2小題）
24．（2021?錦州）如圖，在△ABC中，AC＝4，∠A＝60°，∠B＝45°，BC邊的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，連接CD，則AB的長為 　2+2?。?br />
【解答】解：∵DE是BC的垂直平分線，
∴DB＝DC，
∴∠DCB＝∠B＝45°，
∴∠ADC＝∠DCB+∠B＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝2，
由勾股定理得：DC＝＝＝2，
∴DB＝DC＝2，
∴AB＝AD+DB＝2+2，
故答案為：2+2．
25．（2021?遂寧）如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直線DE垂直平分BC，垂足為E，交AC于點(diǎn)D，則△ABD的周長是　12?。?br />
【解答】解：∵DE垂直平分BC，
∴DB＝DC．
∴C△ABD＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝12．
∴△ABD的周長是12．
故答案為：12．
九．等腰三角形的性質(zhì)（共9小題）
26．（2021?朝陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，4），過點(diǎn)M作MN∥x軸，點(diǎn)P在射線MN上，若△MAP為等腰三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ?。ǎ?）或（，4）或（10，4）?。?br />
【解答】解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，4），
分三種情況：①PM＝PA，

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，4），
∴PM＝x，PA＝，
∵PM＝PA，
∴x＝，解得：x＝，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，4）；
②MP＝MA，

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，4），
∴MP＝x，MA＝＝，
∵M(jìn)P＝MA，
∴x＝，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，4）；
③AM＝AP，

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，4），
∴AP＝，MA＝＝，
∵AM＝AP，
∴＝，解得：x1＝10，x2＝0（舍去），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（10，4）；
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，4）或（，4）或（10，4）．
故答案為：（，4）或（，4）或（10，4）．
27．（2021?濱州）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC上的一點(diǎn)．若AB＝AD＝DC，∠BAD＝44°，則∠C的大小為 　34°?。?br />
【解答】解：∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB，
∵∠BAD＝44°，
∴∠ADB＝＝68°，
∵AD＝DC，∠ADB＝∠C+∠DAC，
∴∠C＝∠DAC＝∠ADB＝34°，
故答案為：34°．
28．（2021?牡丹江）過等腰三角形頂角頂點(diǎn)的一條直線，將該等腰三角形分成的兩個三角形均為等腰三角形，則原等腰三角形的底角度數(shù)為 　36°或45°　．
【解答】解：（1）如圖，△ABC中，AB＝AC，BD＝AD，AC＝CD，求∠ABC的度數(shù)．
∵AB＝AC，BD＝AD，AC＝CD，
∴∠ABC＝∠C＝∠BAD，∠CDA＝∠CAD，
∵∠CDA＝2∠ABC，
∴∠CAB＝3∠ABC，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴5∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝36°，
（2）如圖，△ABC中，AB＝AC，AD＝BD＝CD，求∠ABC的度數(shù)．
∵AB＝AC，AD＝BD＝CD，
∴∠B＝∠C＝∠DAC＝∠DAB
∴∠BAC＝2∠ABC，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴4∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝45°，
故答案為：36°或45°．


29．（2021?婁底）如圖，△ABC中，AB＝AC＝2，P是BC上任意一點(diǎn)，PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F，若S△ABC＝1，則PE+PF＝　1?。?br />
【解答】解：如圖所示，連接AP，則S△ABC＝S△ACP+S△ABP，
∵PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F，
∴S△ACP＝AC×PF，S△ABP＝AB×PE，
又∵S△ABC＝1，AB＝AC＝2，
∴1＝AC×PF+AB×PE，
即1＝×2×PF+×2×PE，
∴PE+PF＝1，
故答案為：1．

30．（2021?南京）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝BD．設(shè)∠ABC＝α，則∠ADC＝　180°?。ㄓ煤恋拇鷶?shù)式表示）．

【解答】解：∵AB＝BD＝BC，
∴∠BAD＝∠BDA，∠BDC＝∠BCD，
∵四邊形內(nèi)角和為360°，
∴∠ABD+∠BAD+∠BDA+∠DBC+∠BDC+∠BCD＝360°，
∴∠ABC+∠ADB+∠ADB+∠BDC+∠BDC＝360°，
即∠ABC+2∠ADB+2∠BDC＝360°，
∵∠ABC＝α，∠ADB+∠BDC＝∠ADC，
∴2∠ADC＝360°﹣α，
∴．
解法二：∵AB＝BC＝BD，∴A，C，D可看作是以點(diǎn)B為圓心，BD為半徑的圓上的點(diǎn)，則弧AC所對的圓周角的度數(shù)為，
∴∠ADC＝180°﹣．
故答案為：180．
31．（2021?蘇州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AF＝EF．若∠CFE＝72°，則∠B＝　54　°．

【解答】解：∵AF＝EF，
∴∠A＝∠AEF，
∵∠A+∠AEF＝∠CFE＝72°，
∴∠A＝×72°＝36°，
在Rt△ABC中，∠A＝36°，
∴∠B＝90°﹣36°＝54°．
故答案為：54．
32．（2021?紹興）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，以點(diǎn)C為圓心，CA長為半徑作弧，交直線BC于點(diǎn)P，連結(jié)AP，則∠BAP的度數(shù)是 　15°或75°?。?br />
【解答】解：如右圖所示，
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)時，
∵AB＝AC，∠ABC＝70°，
∴∠ACB＝∠ABC＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵CA＝CP1，
∴∠CAP1＝∠CP1A＝＝＝55°，
∴∠BAP1＝∠CAP1﹣∠CAB＝55°﹣40°＝15°；
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C的右側(cè)時，
∵AB＝AC，∠ABC＝70°，
∴∠ACB＝∠ABC＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵CA＝CP2，
∴∠CAP2＝∠CP2A＝＝＝35°，
∴∠BAP2＝∠CAP2+∠CAB＝35°+40°＝75°；
由上可得，∠BAP的度數(shù)是15°或75°，
故答案為：15°或75°．

33．（2021?泰安）若△ABC為直角三角形，AC＝BC＝4，以BC為直徑畫半圓如圖所示，則陰影部分的面積為 　4?。?br />
【解答】解：設(shè)AB交半圓于點(diǎn)D，連接CD．

∵BC是直徑，
∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB；
又∵△ABC為等腰直角三角形，
∴CD垂直平分斜邊AB，
∴CD＝BD＝AD，
∴＝，
∴S弓形BD＝S弓形CD，
∴S陰影＝SRt△ABC﹣SRt△BCD；
∵△ABC為等腰直角三角形，CD是斜邊AB的垂直平分線，
∴SRt△ABC＝2SRt△BCD；
又SRt△ABC＝×4×4＝8，
∴S陰影＝4；
故答案為：4．
34．（2021?連云港）如圖，OA、OB是⊙O的半徑，點(diǎn)C在⊙O上，∠AOB＝30°，∠OBC＝40°，則∠OAC＝　25　°．

【解答】解：連接OC，

∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣40°×2＝100°，
∴∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝100°+30°＝130°，
∵OC＝OA，
∴∠OAC＝∠OCA＝×（180°﹣∠AOC）＝）＝25°，
故答案為：25．
一十．含30度角的直角三角形（共4小題）
35．（2021?陜西）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8．若E、F是BC邊上的兩個動點(diǎn)，以EF為邊的等邊△EFP的頂點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部或邊上，則等邊△EFP的周長的最大值為 　6?。?br />
【解答】解：如圖，

當(dāng)點(diǎn)F與C重合時，△EFP的邊長最長，周長也最長，
∵∠ACB＝90°，∠PFE＝60°，
∴∠PCA＝30°，
∵∠A＝60°，
∴∠APC＝90°，
△ABC中，AC＝AB＝4，
△ACP中，AP＝AC＝2，
∴PC＝＝＝2，
∴周長為2×3＝6．
故答案為：6．
36．（2021?廣州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，線段AB的垂直平分線分別交AC、AB于點(diǎn)D、E，連接BD．若CD＝1，則AD的長為 　2?。?br />
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∵∠A＝30°，
∴∠ABD＝30°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝30°+30°＝60°，
∵∠C＝90°，
∴∠CBD＝30°，
∵CD＝1，
∴BD＝2CD＝2，
∴AD＝2．
故答案為2．
37．（2021?常州）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CBA＝30°，AC＝1，D是AB上一點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)A不重合）．若在Rt△ABC的直角邊上存在4個不同的點(diǎn)分別和點(diǎn)A、D成為直角三角形的三個頂點(diǎn)，則AD長的取值范圍是 　＜AD＜2?。?br />
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CBA＝30°，AC＝1，
∴AB＝2，
設(shè)Rt△ABC的直角邊上存在點(diǎn)E，使以點(diǎn)A，點(diǎn)D，點(diǎn)E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，
①當(dāng)點(diǎn)D是直角頂點(diǎn)時，過點(diǎn)D作AB的垂線；②當(dāng)點(diǎn)E是直角頂點(diǎn)時，點(diǎn)E是以AD長為直徑的圓與直角邊的交點(diǎn)，
如圖所示，當(dāng)此圓與直角邊有3個交點(diǎn)時，符合題意；

當(dāng)以AD為直徑的圓與BC相切時，如圖所示，

設(shè)圓的半徑為r，即AF＝DF＝EF＝r，
∵EF⊥BC，∠B＝30°，
∴BF＝2EF＝2r，
∴r+2r＝2，解得r＝；
∴AD＝2r＝；
綜上，AD的長的取值范圍為：＜AD＜2．
故答案為：＜AD＜2．
38．（2021?樂山）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一個銳角為60°，AB＝4．若點(diǎn)P在直線AB上（不與點(diǎn)A，B重合），且∠PCB＝30°，則CP的長為 　2或或2?。?br /> 【解答】解：（1）當(dāng)∠ABC＝60°時，則BC＝AB＝2，
當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時，

∵∠PCB＝30°，
∴CP⊥AB，
則PC＝BCcos30°＝2×＝；
當(dāng)點(diǎn)P（P′）在AB的延長線上時，
∵∠P′CB＝30°，∠ABC＝60°，
∴P'C＝2PC＝2．
（2）當(dāng)∠ABC＝30°時，如圖，

∵∠PCB＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠ACP＝60°，
∵∠BAC＝60°，
∴△PAC為等邊三角形．
∴PC＝AC，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴AC＝AB＝2．
∴PC＝2．
綜上，PC的長為：2或或2．
故答案為2或或2．
一十一．直角三角形斜邊上的中線（共1小題）
39．（2021?鹽城）如圖，在Rt△ABC中，CD為斜邊AB上的中線，若CD＝2，則AB＝　4　．

【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD為△ABC斜邊AB上的中線，
∴CD＝AB，
∵CD＝2，
∴AB＝2CD＝4，
故答案為：4．
一十二．勾股定理（共6小題）
40．（2021?南通）平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P（m，3n2﹣9），且實(shí)數(shù)m，n滿足m﹣n2+4＝0，則點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離的最小值為 　?。?br /> 【解答】解：∵m﹣n2+4＝0，
∴n2﹣4＝m，
∴3n2﹣9＝3m+3，
∵P（m，3n2﹣9），
∴P點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為＝，
∴點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離的最小值為，
故答案為．
41．（2021?南通）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑畫弧，交AC延長線于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CE∥AB，交于點(diǎn)E，連接BE，則的值為 　?。?br />
【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作CE的垂線交EC延長線于F，
過E作EG⊥AB交AB于G，連AE，

∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝45°，
∵CE∥AB，
∴∠FAB＝90°，
∴∠FAC＝45°，
∴△AFC為等腰直角三角形，
設(shè)AF＝x，則CF＝x，
∴AC＝＝，
∴AB＝，
∵AE、AB均為⊙的半徑，
∴AE＝2x，
∴EF＝＝，
∴CE＝，
∵∠F＝∠FAB＝∠AGE＝90°，
∴四邊形FAGE為矩形，
∴AF＝EG＝x，EF＝AG＝，
∴BG＝AB﹣AG＝（2）x，
∴BE＝＝，
∴＝．
故答案為：．
42．（2021?丹東）如圖，在△ABC中，∠B＝45°，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E（BE＞CE），點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，連接AE、EF，若BC＝7，AC＝5，則△CEF的周長為 　8?。?br />
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分線，
∴∠BAE＝∠ABE＝45°，BE＝AE，
∴∠BEA＝90°，
∵BC＝7，
∴BE+CE＝7，
∴AE+CE＝7，AE＝7﹣CE，
又∵AC＝5，
在△AEC中，AE2+CE2＝AC2，（7﹣CE）2+CE2＝52，
解得：CE＝3，
又∵點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，
∴，
∴△CEF的周長＝CF+CE+FE＝．
故答案為：8．
43．（2021?深圳）如圖，已知∠BAC＝60°，AD是角平分線且AD＝10，作AD的垂直平分線交AC于點(diǎn)F，作DE⊥AC，則△DEF周長為 　5+5?。?br />
【解答】解：∵AD的垂直平分線交AC于點(diǎn)F，
∴FA＝FD，
∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠DAE＝30°，
∴DE＝AD＝5，
∴AE＝＝＝5，
∴△DEF周長＝DE+DF+EF＝DE+FA+EF＝DE+AE＝5+5，
故答案為：5+5．
44．（2021?齊齊哈爾）直角三角形的兩條邊長分別為3和4，則這個直角三角形斜邊上的高為 　或?。?br /> 【解答】解：設(shè)直角三角形斜邊上的高為h，
當(dāng)4是直角邊時，斜邊長＝＝5，
則×3×4＝×5×h，
解得：h＝，
當(dāng)4是斜邊時，另一條直角邊長＝＝，
則×3×＝×4×h，
解得：h＝，
綜上所述：直角三角形斜邊上的高為或，
故答案為：或．
45．（2021?成都）如圖，數(shù)字代表所在正方形的面積，則A所代表的正方形的面積為 　100?。?br />
【解答】解：由題意可知，直角三角形中，一條直角邊的平方＝36，一直角邊的平方＝64，
則斜邊的平方＝36+64＝100．
故答案為100．
一十三．勾股定理的證明（共1小題）
46．（2021?陜西）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽巧妙地用“弦圖”證明了勾股定理，標(biāo)志著中國古代的數(shù)學(xué)成就．如圖所示的“弦圖”，是由四個全等的直角三角形和中間的一個小正方形拼成的一個大正方形．直角三角形的斜邊長為13，一條直角邊長為12，則小正方形ABCD的面積的大小為 　49?。?br />
【解答】解：根據(jù)勾股定理，得AF＝＝＝5．
所以AB＝12﹣5＝7．
所以正方形ABCD的面積為：7×7＝49．
故答案是：49．

一十四．勾股定理的應(yīng)用（共3小題）
47．（2021?玉林）如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上，甲、乙輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙輪船每小時分別航行12海里和16海里，1小時后兩船分別位于點(diǎn)A，B處，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，則乙船沿 　北偏東50°　方向航行．

【解答】解：由題意可知：AP＝12，BP＝16，AB＝20，
∵122+162＝202，
∴△APB是直角三角形，
∴∠APB＝90°，
由題意知∠APN＝40°，
∴∠BPN＝90°﹣∠APN＝90°﹣40°＝50°，
即乙船沿北偏東50°方向航行，
故答案為：北偏東50°．
48．（2021?宿遷）《九章算術(shù)》中一道“引葭赴岸”問題：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深，葭長各幾何？”題意是：有一個池塘，其地面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦AC生長在它的中央，高出水面部分BC為1尺，如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緾恰好碰到岸邊的C'處（如圖），水深和蘆葦長各多少尺？則該問題的水深是 　12　尺．

【解答】解：依題意畫出圖形，

設(shè)蘆葦長AC＝AC′＝x尺，
則水深A(yù)B＝（x﹣1）尺，
∵C′E＝10尺，
∴C′B＝5尺，
在Rt△AC′B中，
52+（x﹣1）2＝x2，
解得x＝13，
即蘆葦長13尺，水深為12尺，
故答案為：12．
49．（2021?岳陽）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，書中有下列問題：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈．問戶高、廣各幾何？”其意思為：今有一門，高比寬多6尺8寸，門對角線距離恰好為1丈．問門高、寬各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如圖，設(shè)門高AB為x尺，根據(jù)題意，可列方程為 ?。▁﹣6.8）2+x2＝102　．

【解答】解：設(shè)門高AB為x尺，則門的寬為（x﹣6.8）尺，AC＝1丈＝10尺，
依題意得：AB2+BC2＝AC2,
即（x﹣6.8）2+x2＝102．
故答案為：（x﹣6.8）2+x2＝102．
一十五．三角形中位線定理（共7小題）
50．（2021?西寧）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，連接AE，DE，若DE＝，AE＝，則點(diǎn)A到BC的距離是 　?。?br />
【解答】解：設(shè)點(diǎn)A到BC的距離是h，
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E是BC的中點(diǎn)，AE＝，
∴BC＝2AE＝15，
∵D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，DE＝，
∴AC＝2DE＝9，
由勾股定理得：AB＝＝＝12，
則×15×h＝×12×9，
解得：h＝，
故答案為：．
51．（2021?桂林）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，若DE＝4，則BC＝　8?。?br />
【解答】解：∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)．
∴DE是△ABC的中位線，
∴BC＝2DE，
∵DE＝4，
∴BC＝2×4＝8．
故答案是：8．
52．（2021?青海）如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，若△DEF的周長為10，則△ABC的周長為 　20?。?br />
【解答】解：∵點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是△ABC的AB，BC，CA邊的中點(diǎn)，
∴EF、DE、DF為△ABC的中位線，
∴EF＝AB，DF＝BC，DE＝AC，
∴AB＝2EF，BC＝2DF，AC＝2DE，
∵△DEF的周長為10，
∴EF+DE+DF＝10，
∴2EF+2DE+2DF＝20，
∴AB+BC+AC＝20，
∴△ABC的周長為20．
故答案為：20．
53．（2021?菏澤）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝30°，D、E分別為AC、BC的中點(diǎn)，DE＝2，過點(diǎn)B作BF∥AC，交DE的延長線于點(diǎn)F，則四邊形ABFD的面積為 　8　．

【解答】解：∵D、E分別為AC、BC的中點(diǎn)，
即DE是△ABC的中位線，
∴DE∥AB，DE＝AB，
∴AB＝2DE，DF∥AB，
又∵BF∥AC，
∴BF∥AD，
∴四邊形ABFD是平行四邊形，
∵AB⊥BE，
∴S平行四邊形ABFD＝AB?BE，
∵DE＝2，
∴AB＝2×2＝4，
在Rt△ABC中，
∵∠C＝30°，
∴AC＝2AB＝2×4＝8，
∴BC＝＝＝4，
∴BE＝BC＝2，
∴S平行四邊形ABFD＝4×2＝8，
故答案為8．
54．（2021?邵陽）如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為△ABC三邊的中點(diǎn)．若△ABC的周長為10，則△DEF的周長為 　5?。?br />
【解答】解：∵D、E、F分別是AB、AC、BC的中點(diǎn)，
∴FD、FE、DE為△ABC中位線，
∴DF＝AC，F(xiàn)E＝AB，DE＝BC；
∴DF+FE+DE＝AC+AB+BC＝（AB+AC+CB）＝×10＝5，
故答案為：5．
55．（2021?揚(yáng)州）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，連接CD，若CD＝5，BC＝8，則DE＝　3?。?br />
【解答】解：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，
∴DE∥AC，
∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴E是BC的中點(diǎn)，AB＝2CD＝10，
∴AC＝2DE，
∵BC＝8，
∴AC＝＝＝6，
∴DE＝3．
故答案為3．
56．（2021?云南）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是BC，AC的中點(diǎn)，AD與BE相交于點(diǎn)F．若BF＝6，則BE的長是 　9　．

【解答】解：如圖，
在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是BC，AC的中點(diǎn)，
∴DE∥AB，且DE＝AB，
∴＝＝，
∵BF＝6，
∴EF＝3．
∴BE＝BF+EF＝9．
故答案為：9．

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