?2021中考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類匯編-圓解答題1（含答案）

一．圓心角、弧、弦的關(guān)系（共1小題）
1．（2021?興安盟）如圖，AB是⊙O的直徑，＝＝2，過點(diǎn)B作⊙O的切線BM交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）求證：AC＝CD；
（2）連接OE，若DE＝2，求OE的長(zhǎng)．

二．圓周角定理（共7小題）
2．（2021?寧夏）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，點(diǎn)M是弦AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)M作ME⊥BC，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且FA＝FM．
（1）求證：直線BF與半圓O相切；
（2）若已知AB＝3，求BD?BC的值．

3．（2021?徐州）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn) C、D在⊙O上，AE＝EC，OE＝ED．連接BC、CD．求證：
（1）△AOE≌△CDE；
（2）四邊形OBCD是菱形．

4．（2021?包頭）如圖，在銳角三角形ABC中，AD是BC邊上的高，交AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥AB，交于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)M，DE，DF．
（1）求證：∠GAD+∠EDF＝180°；
（2）若∠ACB＝45°，AD＝4，tan∠ABC＝2

5．（2021?深圳）如圖，AB為⊙O的弦，D，C為，延長(zhǎng)DC至點(diǎn)E，AC∥BE．
（1）求證：∠A＝∠E；
（2）若BC＝3，BE＝5，求CE的長(zhǎng)．

6．（2021?臨沂）如圖，已知在⊙O中，＝＝，OC與AD相交于點(diǎn)E．
求證：（1）AD∥BC；
（2）四邊形BCDE為菱形．

7．（2021?安徽）如圖，圓O中兩條互相垂直的弦AB，CD交于點(diǎn)E．
（1）M是CD的中點(diǎn)，OM＝3，CD＝12；
（2）點(diǎn)F在CD上，且CE＝EF，求證：AF⊥BD．

8．（2021?湖州）如圖，已知AB是⊙O的直徑，∠ACD是，∠ACD＝30°．
（1）求∠DAB的度數(shù)；
（2）過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，DE的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)F．若AB＝4

三．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（共1小題）
9．（2021?蘇州）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠1＝∠2，使得CE＝AB，連接ED．
（1）求證：BD＝ED；
（2）若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°

四．三角形的外接圓與外心（共2小題）
10．（2021?北京）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑
（1）求證：∠BAD＝∠CAD；
（2）連接BO并延長(zhǎng)，交AC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)G，OE＝3，求GC和OF的長(zhǎng)．

11．（2021?荊門）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，過A，C，E三點(diǎn)的⊙O交AB邊于另一點(diǎn)F的中點(diǎn)，AD是⊙O的一條直徑
（1）求證：四邊形CDMF為平行四邊形；
（2）當(dāng)CD＝AB時(shí)，求sin∠ACF的值．

五．直線與圓的位置關(guān)系（共4小題）
12．（2021?鎮(zhèn)江）如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P在邊BC上，B，P三點(diǎn)．
（1）若BP＝3，判斷邊CD所在直線與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖2，E是CD的中點(diǎn)，⊙O交射線AE于點(diǎn)Q，求tan∠EAP的值．

13．（2021?淮安）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點(diǎn)D，連接DE．
（1）判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若CD＝3，DE＝，求⊙O的直徑．

14．（2021?赤峰）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)M，C，交對(duì)角線BD于點(diǎn)E，且＝，連接OE交BC于點(diǎn)F．
（1）試判斷AB與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若BD＝，tan∠CBD＝，求⊙O的半徑．

15．（2021?宿遷）如圖，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA為半徑的圓交AB于點(diǎn)C，點(diǎn)D在邊OB上
（1）判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）已知tan∠ODC＝，AB＝40，求⊙O的半徑．

六．切線的性質(zhì)（共14小題）
16．如圖，D是以AB為直徑的⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)D的切線DE交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)F．
（1）求證：AB＝BC；
（2）若⊙O的直徑AB為9，sinA＝．
①求線段BF的長(zhǎng)；
②求線段BE的長(zhǎng)．

17．（2021?陜西）如圖，DP是⊙O的切線，D為切點(diǎn)，連接BO并延長(zhǎng)，與⊙O交于點(diǎn)C，連接AC并延長(zhǎng)，與DP交于點(diǎn)F
（1）求證：AF∥OD；
（2）若OD＝5，AB＝8，求線段EF的長(zhǎng)．

18．（2021?黔西南州）如圖，AB為⊙O的直徑，直線l與⊙O相切于點(diǎn)C，垂足為D，AD交⊙O于點(diǎn)E
（1）求證：∠CAD＝∠CAB；
（2）若EC＝4，sin∠CAD＝，求⊙O的半徑．

19．（2021?濟(jì)南）已知：如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上兩點(diǎn)，DE⊥CE，連接CD
（1）求證：∠DAB＝2∠ABC；
（2）若tan∠ADC＝，BC＝4，求⊙O的半徑．

20．（2021?南通）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，垂足為D，∠CAD＝35°
（1）求∠B的度數(shù)；
（2）若AB＝2，求的長(zhǎng)．

21．（2021?大連）如圖1，△ABC內(nèi)接于⊙O，直線MN與⊙O相切于點(diǎn)D，BC∥MN．
（1）求證：∠BAC＝∠DOC；
（2）如圖2，若AC是⊙O的直徑，E是OD的中點(diǎn)，求AE的長(zhǎng)．

22．（2021?湘西州）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，垂足為D．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）若AD＝8，tan∠CAB＝，求：邊AC及AB的長(zhǎng)．

23．（2021?賀州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AD為直徑的⊙O與BC相切于點(diǎn)E，連接AE
（1）求證：AE平分∠BAC；
（2）若∠B＝30°，求的值．

24．（2021?齊齊哈爾）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上的一點(diǎn)，垂足為E，AE與⊙O相交于點(diǎn)F
（1）求證：AC平分∠EAB；
（2）若AE＝12，tan∠CAB＝，求OB的長(zhǎng)．

25．（2021?鄂州）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以O(shè)為圓心，OB長(zhǎng)為半徑的⊙O與AC邊相切于點(diǎn)D
（1）求證：AB＝AD；
（2）連接DE，若tan∠EDC＝，DE＝2

26．（2021?河南）在古代，智慧的勞動(dòng)人民已經(jīng)會(huì)使用“石磨”，其原理為在磨盤的邊緣連接一個(gè)固定長(zhǎng)度的“連桿”，將糧食磨碎，物理學(xué)上稱這種動(dòng)力傳輸工具為“曲柄連桿機(jī)構(gòu)”．
小明受此啟發(fā)設(shè)計(jì)了一個(gè)“雙連桿機(jī)構(gòu)”，設(shè)計(jì)圖如圖1，兩個(gè)固定長(zhǎng)度的“連桿”AP，當(dāng)點(diǎn)P在?O上轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)點(diǎn)A，ON上滑動(dòng)，OM⊥ON．當(dāng)AP與?O相切時(shí)，如圖2．
請(qǐng)僅就圖2的情形解答下列問題．
（1）求證：∠PAO＝2∠PBO；
（2）若?O的半徑為5，AP＝，求BP的長(zhǎng)．

27．（2021?陜西）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E、F在⊙O上，且，連接OE、AF，過點(diǎn)B作⊙O的切線
（1）求證：∠COB＝∠A；
（2）若AB＝6，CB＝4，求線段FD的長(zhǎng)．

28．（2021?天津）已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝42°
（Ⅰ）如圖①，若BD為⊙O的直徑，連接CD；
（Ⅱ）如圖②，若CD∥BA，連接AD，與OC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，求∠E的大?。?br />
29．（2021?瀘州）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，過點(diǎn)C作⊙O的切線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接EC．
（1）求證：∠ACF＝∠B；
（2）若AB＝BC，AD⊥BC于點(diǎn)D，F(xiàn)C＝4，求AD?AE的值．

七．三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心（共1小題）
30．（2021?畢節(jié)市）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，交⊙O于點(diǎn)D，連接BD
（1）求證：DB＝DE；
（2）若AE＝3，DF＝4，求DB的長(zhǎng)．

八．正多邊形和圓（共1小題）
31．（2021?河北）如圖，⊙O的半徑為6，將該圓周12等分后得到表盤模型n（n為1～12的整數(shù)），過點(diǎn)A7作⊙O的切線交A1A11延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．
（1）通過計(jì)算比較直徑和劣弧長(zhǎng)度哪個(gè)更長(zhǎng)；
（2）連接A7A11，則A7A11和PA1有什么特殊位置關(guān)系？請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由；
（3）求切線長(zhǎng)PA7的值．

九．扇形面積的計(jì)算（共2小題）
32．（2021?貴陽）如圖，在⊙O中，AC為⊙O的直徑，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，交AB于點(diǎn)M，交⊙O于點(diǎn)N，CN．
（1）EM與BE的數(shù)量關(guān)系是 　 ??；
（2）求證：＝；
（3）若AM＝，MB＝1，求陰影部分圖形的面積．

33．（2021?揚(yáng)州）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，CB＝CD，連接BD，BA長(zhǎng)為半徑作⊙B，交BD于點(diǎn)E．
（1）試判斷CD與⊙B的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若AB＝2，∠BCD＝60°，求圖中陰影部分的面積．

一十．圓錐的計(jì)算（共1小題）
34．（2021?邵陽）某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐，它的底面圓直徑ED與母線AD長(zhǎng)之比為1：2．制作這種外包裝需要用如圖所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AE，AF恰好重合．
（1）求這種加工材料的頂角∠BAC的大?。?br /> （2）若圓錐底面圓的直徑ED為5cm，求加工材料剩余部分（圖中陰影部分）的面積．（結(jié)果保留π）


參考答案與試題解析
一．圓心角、弧、弦的關(guān)系（共1小題）
1．（2021?興安盟）如圖，AB是⊙O的直徑，＝＝2，過點(diǎn)B作⊙O的切線BM交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）求證：AC＝CD；
（2）連接OE，若DE＝2，求OE的長(zhǎng)．

【解析】證明：（1）∵＝＝2，
∴AD＝CD，B是CD的中點(diǎn)，
∵AB是直徑，
∴AD＝AC，
∴AC＝CD；
（2）如圖，連接BD，

∵AD＝DC＝AC，
∴∠ADC＝∠DAC＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠DAB＝∠DAC＝30°，
∵BM切⊙O于點(diǎn)B，AB是直徑，
∴BM⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴BM∥CD，
∴∠AEB＝∠ADC＝60°，
∵AB是直徑，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△BDE中，
∵∠DBE＝90°﹣∠DEB＝30°，
∴BE＝2DE＝4，
∴BD＝＝＝7，
在Rt△BDA中，
∵∠DAB＝30°，
∴AB＝2BD＝3，
∴OB＝AB＝2，
在Rt△OBE中，OE＝＝．
二．圓周角定理（共7小題）
2．（2021?寧夏）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，點(diǎn)M是弦AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)M作ME⊥BC，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且FA＝FM．
（1）求證：直線BF與半圓O相切；
（2）若已知AB＝3，求BD?BC的值．

【解析】（1）證明：如圖，連接AO．

∵FE⊥BC，
∴∠CEM＝90°，
∴∠C+∠CME＝90°，
∵FA＝FM，
∴∠FAM＝∠FMA＝∠CME，
∵OA＝OC，
∴∠C＝∠OAC，
∴∠FAM+∠OAC＝90°，
∴∠OAF＝90°，
∴OA⊥AB，
∵OA是半徑，
∴BF是⊙O的切線．

（2）解：連接AD．
∵CD是直徑，
∴∠DAC＝90°，
∴∠C+∠ADC＝90°，
∵∠BAO＝90°，
∴∠BAD+∠OAD＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠BAD+∠ADC＝90°，
∴∠BAD＝∠C，
∵∠B＝∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∴＝，
∴BD?BC＝BA2＝9．
3．（2021?徐州）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn) C、D在⊙O上，AE＝EC，OE＝ED．連接BC、CD．求證：
（1）△AOE≌△CDE；
（2）四邊形OBCD是菱形．

【解析】證明：（1）在△AOE和△CDE中，
，
∴△AOE≌△CDE（SAS）；
（2）∵△AOE≌△CDE，
∴OA＝CD，∠AOE＝∠D，
∴OB∥CD，
∵OA＝OB，
∴OB＝CD，
∴四邊形OBCD為平行四邊形，
∵OB＝OD，
∴四邊形OBCD是菱形．

4．（2021?包頭）如圖，在銳角三角形ABC中，AD是BC邊上的高，交AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥AB，交于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)M，DE，DF．
（1）求證：∠GAD+∠EDF＝180°；
（2）若∠ACB＝45°，AD＝4，tan∠ABC＝2

【解析】（1）證明：由題可知∠AGF＝∠ADF（同弧所對(duì)的圓周角相等），
∵GF⊥AB，AD為圓的直徑，
∴∠AGF+∠GAE＝90°，∠ADF+∠FAD＝90°，
∴∠GAE＝∠FAD，
∴∠GAE+∠DAE＝∠FAD+∠DAE，即∠GAD＝∠EAF，
∵四邊形AEDF是圓的內(nèi)接四邊形，
∴∠EAF+∠EDF＝180°，
∴∠GAD+∠EDF＝180°．
（2）解：如圖，

連接OF，
∵AD是圓的直徑，且AD是△ABC的高，
∴∠AED＝∠ADB＝∠AHM＝∠AFD＝90°，
∵∠HAM＝∠DAB，
∴△AHM∽△ADB，
∴＝，
∵tan∠ABC＝＝2，
∴＝2，
∵∠ACB＝45°，
∴∠DAC＝∠ADF＝∠AFO＝45°，
∴∠AOF＝90°，
∵在Rt△AHM與Rt△FOM中：∠AMH＝∠FMO（對(duì)頂角），
∴△AHM∽△FOM，
∴＝＝5，
∵AD＝4，
∴OF＝OA＝2，
∴＝7，AM＝OA﹣OM＝1，
設(shè)HM＝x，則AH＝2x，
在Rt△AHM中有：AH6+HM2＝AM2，
即（6x）2+x2＝3，解得x1＝，x2＝﹣（舍去），
∴AH＝，
∵OF＝OA＝2，
∴AF＝2，
在Rt△AHF中，有：AH2+HF2＝AF6，
即（）2+HF2＝（5）2，
解得HF＝，或HF＝﹣，
故HF的長(zhǎng)為．
5．（2021?深圳）如圖，AB為⊙O的弦，D，C為，延長(zhǎng)DC至點(diǎn)E，AC∥BE．
（1）求證：∠A＝∠E；
（2）若BC＝3，BE＝5，求CE的長(zhǎng)．

【解析】（1）證明：
∵AC∥BE，
∴∠E＝∠ACD，
∵D，C為，
∴＝＝，
∴∠ACD＝∠A，
∴∠E＝∠A，
（2）解：由（1）知＝＝，
∴∠D＝∠CBD＝∠A＝∠E，
∴BE＝BD＝5，BC＝CD＝3，
∴＝，即，
解得DE＝，
∴CE＝DE﹣CD＝﹣3＝．
6．（2021?臨沂）如圖，已知在⊙O中，＝＝，OC與AD相交于點(diǎn)E．
求證：（1）AD∥BC；
（2）四邊形BCDE為菱形．

【解析】證明：（1）連接BD，
∵，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC；

（2）連接CD，BD，
∵AD∥BC，
∴∠EDF＝∠CBF，
∵，
∴BC＝CD，BF＝DF，
又∠DFE＝∠BFC，
∴△DEF≌△BCF（ASA），
∴DE＝BC，
∴四邊形BCDE是平行四邊形，又BC＝CD，
∴四邊形BCDE是菱形．
7．（2021?安徽）如圖，圓O中兩條互相垂直的弦AB，CD交于點(diǎn)E．
（1）M是CD的中點(diǎn)，OM＝3，CD＝12；
（2）點(diǎn)F在CD上，且CE＝EF，求證：AF⊥BD．

【解析】解：（1）連接OD，如圖：

∵M(jìn)是CD的中點(diǎn)，CD＝12，
∴DM＝CD＝4，∠OMD＝90°，
Rt△OMD中，OD＝，
∴OD＝＝3；
（2）連接AC，延長(zhǎng)AF交BD于G

∵AB⊥CD，CE＝EF，
∴AB是CF的垂直平分線，
∴AF＝AC，即△ACF是等腰三角形，
∵CE＝EF，
∴∠FAE＝∠CAE，
∵＝，
∴∠CAE＝∠CDB，
∴∠FAE＝∠CDB，
Rt△BDE中，∠CDB+∠B＝90°，
∴∠FAE+∠B＝90°，
∴∠AGB＝90°，
∴AG⊥BD，即AF⊥BD．
8．（2021?湖州）如圖，已知AB是⊙O的直徑，∠ACD是，∠ACD＝30°．
（1）求∠DAB的度數(shù)；
（2）過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，DE的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)F．若AB＝4

【解析】解：（1）如圖，連接BD，

∵∠ACD＝30°，
∴∠B＝∠ACD＝30°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB＝90°﹣∠B＝60°；
（2）∵∠ADB＝90°，∠B＝30°，
∴AD＝AB＝5，
∵∠DAB＝60°，DE⊥AB，
∴EF＝DE＝ADsin60°＝，
∴DF＝2DE＝4．
三．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（共1小題）
9．（2021?蘇州）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠1＝∠2，使得CE＝AB，連接ED．
（1）求證：BD＝ED；
（2）若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°

【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠A＝∠DCE，
∵∠1＝∠2，
∴＝，
∴AD＝DC，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴BD＝ED；
（2）解：過點(diǎn)D作DM⊥BE于M，
∵AB＝6，BC＝6，
∴BE＝BC+EC＝10，
∵BD＝ED，DM⊥BE，
∴BM＝ME＝BE＝5，
∴CM＝BC﹣BM＝1，
∵∠ABC＝60°，∠5＝∠2，
∴∠2＝30°，
∴DM＝BM?tan∠8＝5×＝，
∴tan∠DCB＝＝．

四．三角形的外接圓與外心（共2小題）
10．（2021?北京）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑
（1）求證：∠BAD＝∠CAD；
（2）連接BO并延長(zhǎng)，交AC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)G，OE＝3，求GC和OF的長(zhǎng)．

【解析】（1）證明：∵AD是⊙O的直徑，AD⊥BC，
∴＝，
∴∠BAD＝∠CAD；
（2）解：在Rt△BOE中，OB＝5，
∴BE＝＝4，
∵AD是⊙O的直徑，AD⊥BC，
∴BC＝2BE＝6，
∵BG是⊙O的直徑，
∴∠BCG＝90°，
∴GC＝＝2，
∵AD⊥BC，∠BCG＝90°，
∴AE∥GC，
∴△AFO∽△CFG，
∴＝，即＝，
解得：OF＝．

11．（2021?荊門）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，過A，C，E三點(diǎn)的⊙O交AB邊于另一點(diǎn)F的中點(diǎn)，AD是⊙O的一條直徑
（1）求證：四邊形CDMF為平行四邊形；
（2）當(dāng)CD＝AB時(shí)，求sin∠ACF的值．

【解析】（1）證明：連接DF、EF，
∵∠BAC＝90°，
∴FC是⊙O的直徑，
∵F是的中點(diǎn)，
∴＝，
∴∠ADF＝∠EDF，
∵OF＝OD，
∴∠ADF＝∠OFD，
∴∠OFD＝∠EDF，
∴FC∥DM，
∵OA＝OD，OF＝OC，
∴四邊形AFDC為矩形，
∴AF∥CD，
∴四邊形CDMF為平行四邊形；
（2）解：∵四邊形AFDC為矩形，四邊形CDMF為平行四邊形，
∴CD＝AF＝FM＝EF，
∵CD＝AB，
∴CD＝（2CD+BM），
∴CD＝8BM，
∵BM∥CD，
∴△BEM∽△CED，
∴＝＝，
∴EC＝5BE，
設(shè)BM＝a，則CD＝2a，EF＝2a，
在Rt△BEF中，BE＝＝a，
∴EC＝5a，
在Rt△CEF中，F(xiàn)C＝a，
在Rt△FAC中，sin∠ACF＝＝＝．

五．直線與圓的位置關(guān)系（共4小題）
12．（2021?鎮(zhèn)江）如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P在邊BC上，B，P三點(diǎn)．
（1）若BP＝3，判斷邊CD所在直線與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖2，E是CD的中點(diǎn)，⊙O交射線AE于點(diǎn)Q，求tan∠EAP的值．

【解析】解：（1）如圖1﹣1中，連接AP，交CD于E．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝2，∠ABP＝90°，
∴AP是直徑，
∴AP＝＝＝5，
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH，
∵OA＝OP，AH＝HB，
∴OH＝PB＝，
∵∠D＝∠DAH＝∠AHE＝90°，
∴四邊形AHED是矩形，
∴OE⊥CE，EH＝AD＝2，
∴OE＝EH﹣OH＝4﹣＝，
∴OE＝OP，
∴直線CD與⊙O相切．

（2）如圖3中，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于T．

∵∠D＝∠ECT＝90°，DE＝EC，
∴△ADE≌△TCE（ASA），
∴AD＝CT＝4，
∴BT＝BC+CT＝4+6＝8，
∵∠ABT＝90°，
∴AT＝＝＝4，
∵AP是直徑，
∴∠AQP＝90°，
∵PA平分∠EAB，PQ⊥AQ，
∴PB＝PQ，
設(shè)PB＝PQ＝x，
∵S△ABT＝S△ABP+S△APT，
∴×5×8＝×x+，
∴x＝2﹣3，
∴tan∠EAP＝tan∠PAB＝＝．
備注：本題也可以用面積法，連接PQ，設(shè)BP＝x，

在Rt△PEQ中，
PE2＝x2+（3﹣4）8，
在Rt△PEC中，
PE2＝（4﹣x）6+22，
則x5+（2﹣5）2＝（4﹣x）8+22，
解得x＝PB＝2﹣2，
∴tan∠EAP＝tan∠PAB＝＝．
13．（2021?淮安）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點(diǎn)D，連接DE．
（1）判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若CD＝3，DE＝，求⊙O的直徑．

【解析】（1）證明：連接DO，如圖，

∵直徑所對(duì)圓周角，
∴∠ADC＝90°，
∴∠BDC＝90°，E為BC的中點(diǎn)，
∴DE＝CE＝BE，
∴∠EDC＝∠ECD，
又∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
而∠OCD+∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠EDC+∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，
∴DE⊥OD且OD為半徑，
∴DE與⊙O相切；

（2）由（1）得，∠CDB＝90°，
∵CE＝EB，
∴DE＝BC，
∴BC＝2，
∴BD＝＝＝4，
∵∠BCA＝∠BDC＝90°，∠B＝∠B，
∴△BCA∽△BDC，
∴＝，
∴＝，
∴AC＝，
∴⊙O直徑的長(zhǎng)為．
14．（2021?赤峰）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)M，C，交對(duì)角線BD于點(diǎn)E，且＝，連接OE交BC于點(diǎn)F．
（1）試判斷AB與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若BD＝，tan∠CBD＝，求⊙O的半徑．

【解析】解：（1）AB是⊙O的切線，
理由如下：
連接OB，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE，
∵四邊形ABCD是菱形，AC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵＝，OE是⊙O的半徑，
∴OE⊥BC，
∴∠BFE＝90°，
∴∠OEB+∠CBE＝90°，
∴∠ABD+∠OBE＝90°，
∴OB⊥AB，即AB是⊙O的切線；
（2）∵四邊形ABCD是菱形，AC，BD＝，
∴BM＝BD＝，
∵tan∠CBD＝，
∴CM＝BM＝，
∴BC＝＝8，
∵＝，OE是⊙O的半徑，
∴BF＝BC＝4，
∵tan∠CBD＝，OE⊥BC，
∴EF＝BF＝3，
設(shè)⊙O的半徑為r，則OF的長(zhǎng)為r﹣2，
在Rt△OFB中，
OF2+BF6＝OB2，即（r﹣2）8+42＝r5，
解得：r＝5，
∴⊙O的半徑為5．

15．（2021?宿遷）如圖，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA為半徑的圓交AB于點(diǎn)C，點(diǎn)D在邊OB上
（1）判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）已知tan∠ODC＝，AB＝40，求⊙O的半徑．

【解析】解：（1）直線CD與⊙O相切，
理由如下：如圖，連接OC，

∵OA＝OC，CD＝BD，
∴∠A＝∠ACO，∠B＝∠DCB，
∵∠AOB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠ACO+∠DCB＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∴OC⊥CD，
又∵OC為半徑，
∴CD是⊙O的切線，
∴直線CD與⊙O相切；
（2）∵tan∠ODC＝＝，
∴設(shè)CD＝7x＝DB，OC＝24x＝OA，
∵∠OCD＝90°，
∴OD＝＝＝25x，
∴OB＝32x，
∵∠AOB＝90°，
∴AB2＝AO2+OB2，
∴1600＝576x2+1024x2，
∴x＝6，
∴OA＝OC＝24，
∴⊙O的半徑為24．
六．切線的性質(zhì)（共14小題）
16．如圖，D是以AB為直徑的⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)D的切線DE交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)F．
（1）求證：AB＝BC；
（2）若⊙O的直徑AB為9，sinA＝．
①求線段BF的長(zhǎng)；
②求線段BE的長(zhǎng)．

【解析】解：（1）證明：連接OD，如圖1，

∵DE是⊙O的切線，
∴OD⊥DE．
∵BC⊥DE，
∴OD∥BC．
∴∠ODA＝∠C．
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠A．
∴∠A＝∠C．
∴AB＝BC．
（2）①連接BD，則∠ADB＝90°，

在Rt△ABD中，
∵sinA＝，AB＝9，
∴BD＝3．
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD．
∵∠OBD+∠A＝∠FDB+∠ODB＝90°，
∴∠A＝∠FDB．
∴sin∠A＝sin∠FDB．
在Rt△BDF中，
∵sin∠BDF＝＝，
∴BF＝1．
②由（1）知：OD∥BF，
∴△EBF∽△EOD．
∴．
即：．
解得：BE＝．
17．（2021?陜西）如圖，DP是⊙O的切線，D為切點(diǎn)，連接BO并延長(zhǎng)，與⊙O交于點(diǎn)C，連接AC并延長(zhǎng)，與DP交于點(diǎn)F
（1）求證：AF∥OD；
（2）若OD＝5，AB＝8，求線段EF的長(zhǎng)．

【解析】（1）證明：延長(zhǎng)DO交AB于點(diǎn)H，
∵DP是⊙O的切線，
∴OD⊥DP，
∵AB∥DP，
∴HD⊥AB，
∵BC為⊙O的直徑，
∴∠BAC＝90°，
∴AF∥OD；
（2）∵OH⊥AB，AB＝8，
∴BH＝AH＝4，
∴OH＝＝＝4，
∵BH∥ED，
∴△BOH∽△EOD，
∴＝，即＝，
解得：ED＝，
∵∠BAC＝90°，DH⊥AB，
∴四邊形AFDH為矩形，
∴DF＝AH＝4，
∴EF＝ED﹣DF＝﹣4＝．

18．（2021?黔西南州）如圖，AB為⊙O的直徑，直線l與⊙O相切于點(diǎn)C，垂足為D，AD交⊙O于點(diǎn)E
（1）求證：∠CAD＝∠CAB；
（2）若EC＝4，sin∠CAD＝，求⊙O的半徑．

【解析】（1）證明：連接OC，
∵CD為⊙O的切線，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠CAD＝∠ACO．
又∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠OAC，
∴∠CAD＝∠OAC，
即∠CAD＝∠BAC；
（2）解：連接BC，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B+∠CAB＝90°，
∴∠CAD+∠B＝90°，
∵∠CED＝∠B，∠CED+∠ECD＝90°，
∴∠DCE＝∠CAD，
∵sin∠CAD＝sin∠DCE＝＝，
∴DE＝，
∴CD＝＝，
∴AC＝8，
∵∠BAC＝∠CAD，
∴sin∠CAD＝sin∠BAC＝＝，
∴設(shè)AB＝3x，BC＝x，
∴AC＝2x＝8，
∴x＝4，
∴AB＝3x＝12，
∴⊙O的半徑為8．
方法二：∵∠CAD＝∠BAC，
∴EC＝CB＝4，
連接BC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴sin∠CAB＝，
∴AB＝12，

∴半徑為6

19．（2021?濟(jì)南）已知：如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上兩點(diǎn)，DE⊥CE，連接CD
（1）求證：∠DAB＝2∠ABC；
（2）若tan∠ADC＝，BC＝4，求⊙O的半徑．

【解析】（1）證明：連接OC，
∵EC是⊙O的切線，
∴OC⊥CE，
∵DE⊥CE，
∴OC∥DE，
∴∠DAB＝∠AOC，
由圓周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，
∴∠DAB＝2∠ABC；
（2）解：連接AC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
由圓周角定理得：∠ABC＝∠ADC，
∴tan∠ABC＝tan∠ADC＝，即＝，
∵BC＝4，
∴AC＝2，
由勾股定理得：AB＝＝＝7，
∴⊙O的半徑為．

20．（2021?南通）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，垂足為D，∠CAD＝35°
（1）求∠B的度數(shù)；
（2）若AB＝2，求的長(zhǎng)．

【解析】解：（1）連接OC，如圖，

∵CD是⊙O的切線，
∴OC⊥CD，
∵AE⊥CD，
∴OC∥AE，
∴∠CAD＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠CAD＝∠OAC＝35°，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠OAC+∠B＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠OAC＝90°﹣35°＝55°；

（2）連接OE，
∵⊙O的直徑AB＝2，
∴OA＝1，
∵＝，
∴∠COE＝5∠CAE＝2×35°＝70°，
∴的長(zhǎng)為：＝．

21．（2021?大連）如圖1，△ABC內(nèi)接于⊙O，直線MN與⊙O相切于點(diǎn)D，BC∥MN．
（1）求證：∠BAC＝∠DOC；
（2）如圖2，若AC是⊙O的直徑，E是OD的中點(diǎn)，求AE的長(zhǎng)．

【解析】（1）證明：連接OB，如圖1，

∵直線MN與⊙O相切于點(diǎn)D，
∴OD⊥MN，
∵BC∥MN，
∴OD⊥BC，
∴＝，
∴∠BOD＝∠COD，
∵∠BAC＝∠BOC，
∴∠BAC＝∠COD；
（2）∵E是OD的中點(diǎn)，
∴OE＝DE＝2，
在Rt△OCE中，CE＝＝，
∵OE⊥BC，
∴BE＝CE＝4，
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ABC＝90°，
∴AB＝＝＝3，
在Rt△ABE中，AE＝＝．
22．（2021?湘西州）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，垂足為D．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）若AD＝8，tan∠CAB＝，求：邊AC及AB的長(zhǎng)．

【解析】（1）證明：連接OC，如圖，
∵CD為⊙O的切線，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠DAC＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴AC平分∠DAB；
（2）解：連接BC，如圖，
∵∠DAC＝∠OAC，
∴tan∠DAC＝tan∠CAB＝，
在Rt△DAC中，∵tan∠DAC＝＝，
∴CD＝×8＝6，
∴AC＝＝＝10，
∵AB為直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴tan∠CAB＝＝，
∴BC＝×10＝，
∴AB＝＝．

23．（2021?賀州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AD為直徑的⊙O與BC相切于點(diǎn)E，連接AE
（1）求證：AE平分∠BAC；
（2）若∠B＝30°，求的值．

【解析】（1）證明：連接OE，
∵BC是⊙O的切線，
∴OE⊥BC，即∠OEB＝90°，
∵∠C＝90°，
∴OE∥AC，
∴∠OEA＝∠EAC，
∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠OAE，
∴∠OAE＝∠EAC，即AE平分∠BAC；
（2）解：∵AD為⊙O的直徑，
∴∠AED＝90°，
∵∠OAE＝∠EAC，∠C＝90°，
∴△DAE∽△EAC，
∴＝，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝90°﹣30°＝60°，
∴∠DAE＝∠BAC＝30°，
∵cos∠DAE＝，cos30°＝，
∴＝＝．

24．（2021?齊齊哈爾）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上的一點(diǎn)，垂足為E，AE與⊙O相交于點(diǎn)F
（1）求證：AC平分∠EAB；
（2）若AE＝12，tan∠CAB＝，求OB的長(zhǎng)．

【解析】（1）證明：連接OC，
∵CD為⊙O的切線，
∴OC⊥DE，
∵AE⊥DE，
∴OC∥AE，
∴∠EAC＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠EAC＝∠OAC，即AC平分∠EAB；
（2）解：連接BC，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵tan∠CAB＝，∠EAC＝∠OAC，
∴tan∠EAC＝，即＝，
∴＝，
解得：EC＝5，
在Rt△AEC中，AC＝＝，
∵tan∠CAB＝＝，
∴BC＝8，
在Rt△ABC中，AB＝＝，
∴OB＝5．

25．（2021?鄂州）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以O(shè)為圓心，OB長(zhǎng)為半徑的⊙O與AC邊相切于點(diǎn)D
（1）求證：AB＝AD；
（2）連接DE，若tan∠EDC＝，DE＝2

【解析】（1）證明：∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥OB，
∵AB經(jīng)過⊙O半徑的外端點(diǎn)B，
∴AB切⊙O于點(diǎn)B，
又⊙O與AC邊相切于點(diǎn)D，
∴AB＝AD．
（2）解：如圖，

連接BD，
∵BE為⊙O的直徑，
∴∠BDE＝90°，
∴∠CDE+∠ADB＝90°，
又∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴∠CDE+∠ABD＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠EBD＝90°，
∴∠EBD＝∠EDC，
又∵，
∴，
即，
∵DE＝2，
∴BD＝4，，
又∵∠C＝∠C，∠EBD＝∠EDC，
∴△CDE∽△CBD，
∴，
設(shè)CE＝x，則DC＝2x，
∴，
∴x7＝0（舍去），，
即線段EC的長(zhǎng)為．
26．（2021?河南）在古代，智慧的勞動(dòng)人民已經(jīng)會(huì)使用“石磨”，其原理為在磨盤的邊緣連接一個(gè)固定長(zhǎng)度的“連桿”，將糧食磨碎，物理學(xué)上稱這種動(dòng)力傳輸工具為“曲柄連桿機(jī)構(gòu)”．
小明受此啟發(fā)設(shè)計(jì)了一個(gè)“雙連桿機(jī)構(gòu)”，設(shè)計(jì)圖如圖1，兩個(gè)固定長(zhǎng)度的“連桿”AP，當(dāng)點(diǎn)P在?O上轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)點(diǎn)A，ON上滑動(dòng)，OM⊥ON．當(dāng)AP與?O相切時(shí)，如圖2．
請(qǐng)僅就圖2的情形解答下列問題．
（1）求證：∠PAO＝2∠PBO；
（2）若?O的半徑為5，AP＝，求BP的長(zhǎng)．

【解析】（1）證明：如圖①，

連接OP，延長(zhǎng)BO與圓交于點(diǎn)C，
∵AP與?O相切于點(diǎn)P，
∴∠APO＝90°，
∴∠PAO+∠AOP＝90°，
∵M(jìn)O⊥CN，
∴∠AOP+∠POC＝90°，
∴∠PAO＝∠POC，
∵OP＝OB，
∴∠OPB＝∠PBO，
∴∠POC＝∠OPB+∠PBO＝2∠PBO，
∴∠PAO＝2∠PBO；
（2）解：如圖②所示，

連接OP，延長(zhǎng)BO與圓交于點(diǎn)C，過點(diǎn)P作PD⊥OC于點(diǎn)D，
則有：AO＝＝，
由（1）可知∠POC＝∠PAO，
∴Rt△POD∽R(shí)t△OAP，
∴，即，解得PD＝3，
∴CD＝OC﹣OD＝1，
在Rt△PDC中，PC＝＝，
∵CB為圓的直徑，
∴∠BPC＝90°，
∴BP＝＝＝3，
故BP長(zhǎng)為3．
27．（2021?陜西）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E、F在⊙O上，且，連接OE、AF，過點(diǎn)B作⊙O的切線
（1）求證：∠COB＝∠A；
（2）若AB＝6，CB＝4，求線段FD的長(zhǎng)．

【解析】（1）證明：取的中點(diǎn)M、OF，
∵＝2，
∴＝＝，
∴∠COB＝∠BOF，
∵∠A＝∠BOF，
∴∠COB＝∠A；
（2）解：連接BF，如圖，
∵CD為⊙O的切線，
∴AB⊥CD，
∴∠OBC＝∠ABD＝90°，
∵∠COB＝∠A，
∴△OBC∽△ABD，
∴＝，即＝，解得BD＝6，
在Rt△ABD中，AD＝＝，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AFB＝90°，
∵∠BDF＝∠ADB，
∴Rt△DBF∽R(shí)t△DAB，
∴＝，即＝，解得DF＝．

28．（2021?天津）已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝42°
（Ⅰ）如圖①，若BD為⊙O的直徑，連接CD；
（Ⅱ）如圖②，若CD∥BA，連接AD，與OC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，求∠E的大?。?br />
【解析】解：（Ⅰ）如圖①，∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝，
∵BD為直徑，
∴∠BCD＝90°，
∵∠D＝∠BAC＝42°，
∴∠DBC＝90°﹣∠D＝90°﹣42°＝48°；
∴∠ACD＝∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝69°﹣48°＝21°；
（Ⅱ）如圖②，連接OD，
∵CD∥AB，
∴∠ACD＝∠BAC＝42°，
∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣∠B＝180°﹣69°＝111°，
∴∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣42°﹣111°＝27°，
∴∠COD＝2∠CAD＝54°，
∵DE為切線，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE＝90°，
∴∠E＝90°﹣∠DOE＝90°﹣54°＝36°．

29．（2021?瀘州）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，過點(diǎn)C作⊙O的切線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接EC．
（1）求證：∠ACF＝∠B；
（2）若AB＝BC，AD⊥BC于點(diǎn)D，F(xiàn)C＝4，求AD?AE的值．

【解析】（1）證明：如圖1，連接OC，

∵CF是⊙O的切線，
∴∠OCF＝90°，
∴∠OCA+∠ACF＝90°，
∵OE＝OC，
∴∠E＝∠OCE，
∵AE是⊙O的直徑，
∴∠ACE＝90°，
∴∠OCA+∠OCE＝90°，
∴∠ACF＝∠OCE＝∠E，
∵∠B＝∠E，
∴∠ACF＝∠B；
（2）解：∵∠ACF＝∠B，∠F＝∠F，
∴△ACF∽△CBF，
∴＝，
∵AF＝2，CF＝8，
∴，
∴BF＝8，
∴AB＝BC＝8﹣3＝6，AC＝3，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ACE＝90°，
∵∠B＝∠E，
∴△ABD∽△AEC，
∴＝，即AE?AD＝AB×AC＝7×3＝18．
七．三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心（共1小題）
30．（2021?畢節(jié)市）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，交⊙O于點(diǎn)D，連接BD
（1）求證：DB＝DE；
（2）若AE＝3，DF＝4，求DB的長(zhǎng)．

【解析】（1）證明：∵點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，
∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE，
又∵∠CAD與∠CBD所對(duì)弧為，
∴∠CAD＝∠CBD＝∠BAD．
∴∠BED＝∠ABE+∠BAD，∠DBE＝∠CBE+∠CBD，
即∠BED＝∠DBE，
故DB＝DE．
（2）解：∵∠D＝∠D，∠DBF＝∠CAD＝∠BAD，
∴△ABD∽△BFD，
∴①，
∵DF＝4，AE＝3，
由（1）可得DB＝DE＝5+x，
則①式化為，
解得：x1＝6，x2＝﹣6（不符題意，舍去），
則DB＝5+x＝4+2＝8．
八．正多邊形和圓（共1小題）
31．（2021?河北）如圖，⊙O的半徑為6，將該圓周12等分后得到表盤模型n（n為1～12的整數(shù)），過點(diǎn)A7作⊙O的切線交A1A11延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．
（1）通過計(jì)算比較直徑和劣弧長(zhǎng)度哪個(gè)更長(zhǎng)；
（2）連接A7A11，則A7A11和PA1有什么特殊位置關(guān)系？請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由；
（3）求切線長(zhǎng)PA7的值．

【解析】解：（1）由題意，∠A7OA11＝120°，
∴的長(zhǎng)＝，
∴比直徑長(zhǎng)．

（2）結(jié)論：PA1⊥A7A11．
理由：連接A1A7，A3A11，OA11．
∵A1A7是⊙O的直徑，
∴∠A2A11A1＝90°，
∴PA1⊥A5A11．

（3）∵PA7是⊙O的切線，
∴PA7⊥A5A7，
∴∠PA7A4＝90°，
∵∠PA1A7＝60°，A5A7＝12，
∴PA7＝A4A7?tan60°＝12．

九．扇形面積的計(jì)算（共2小題）
32．（2021?貴陽）如圖，在⊙O中，AC為⊙O的直徑，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，交AB于點(diǎn)M，交⊙O于點(diǎn)N，CN．
（1）EM與BE的數(shù)量關(guān)系是 　BE＝EM　；
（2）求證：＝；
（3）若AM＝，MB＝1，求陰影部分圖形的面積．

【解析】解：（1）∵AC為⊙O的直徑，點(diǎn)E是，
∴∠ABE＝45°，
∵AB⊥EN，
∴△BME是等腰直角三角形，
∴BE＝EM，
故答案為BE＝EM；

（2）連接EO，
∵AC是⊙O的直徑，E是，
∴∠AOE＝90°，
∴∠ABE＝∠AOE＝45°，
∵EN⊥AB，垂足為點(diǎn)M，
∴∠EMB＝90°
∴∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴＝，
∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，
∴＝，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
∴＝；

（3）連接AE，OB，
∵EN⊥AB，垂足為點(diǎn)M，
∴∠AME＝∠EMB＝90°，
∵BM＝1，由（2）得∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴EM＝BM＝2，
又∵BE＝EM，
∴BE＝，
∵在Rt△AEM中，EM＝4，
∴tan∠EAB＝＝，
∴∠EAB＝30°，
∵∠EAB＝∠EOB，
∴∠EOB＝60°，
又∵OE＝OB，
∴△EOB是等邊三角形，
∴OE＝BE＝，
又∵＝，
∴BE＝CN，
∴△OEB≌△OCN（SSS），
∴CN＝BE＝
又∵S扇形OCN＝＝，S△OCN＝CN××＝，
∴S陰影＝S扇形OCN﹣S△OCN＝﹣．

33．（2021?揚(yáng)州）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，CB＝CD，連接BD，BA長(zhǎng)為半徑作⊙B，交BD于點(diǎn)E．
（1）試判斷CD與⊙B的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若AB＝2，∠BCD＝60°，求圖中陰影部分的面積．

【解析】解：（1）過點(diǎn)B作BF⊥CD，垂足為F，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵CB＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴∠ADB＝∠CDB．
在△ABD和△FBD中，
，
∴△ABD≌△FBD（AAS），
∴BF＝BA，則點(diǎn)F在圓B上，
∴CD與⊙B相切；


（2）∵∠BCD＝60°，CB＝CD，
∴△BCD是等邊三角形，
∴∠CBD＝60°
∵BF⊥CD，
∴∠ABD＝∠DBF＝∠CBF＝30°，
∴∠ABF＝60°，
∵AB＝BF＝，
∴AD＝DF＝AB·tan30°＝3，
∴陰影部分的面積＝S△ABD﹣S扇形ABE
＝
＝．
一十．圓錐的計(jì)算（共1小題）
34．（2021?邵陽）某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐，它的底面圓直徑ED與母線AD長(zhǎng)之比為1：2．制作這種外包裝需要用如圖所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AE，AF恰好重合．
（1）求這種加工材料的頂角∠BAC的大小．
（2）若圓錐底面圓的直徑ED為5cm，求加工材料剩余部分（圖中陰影部分）的面積．（結(jié)果保留π）

【解析】解：（1）設(shè)∠BAC＝n°．
由題意得π?DE＝，AD＝2DE，
∴n＝90，
∴∠BAC＝90°．

（2）∵AD＝2DE＝10（cm），
∴S陰＝?BC?AD﹣S扇形AEF＝×10×20﹣2．

相關(guān)試卷

2021中考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類匯編-圓選擇題2（含答案）：

這是一份2021中考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類匯編-圓選擇題2（含答案），共40頁。

2021中考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類匯編-圓填空題1（含答案）：

這是一份2021中考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類匯編-圓填空題1（含答案），共34頁。

2021中考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類匯編-圓選擇題1（含答案）：

這是一份2021中考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類匯編-圓選擇題1（含答案），共29頁。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2021中考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類匯編-圓選擇題3（含答案）

2021中考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類匯編-圓選擇題3（含答案）
2021中考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類匯編-圓填空題2（含答案）

2021中考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類匯編-圓填空題2（含答案）
2021中考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類匯編-圓解答題2-切線的判斷與性質(zhì)（含答案）

2021中考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類匯編-圓解答題2-切線的判斷與性質(zhì)（含答案）
2021中考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類匯編-圓解答題3圓綜合題（含答案）

2021中考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類匯編-圓解答題3圓綜合題（含答案）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部