2021-2022學(xué)年江蘇省南京市金陵中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．經(jīng)過(guò)直線 與直線 的交點(diǎn)，且平行于直線 的直線方程為（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)所求直線的方程為，將交點(diǎn)坐標(biāo)代入求得，即可的解.【詳解】解：由，解得，即兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)所求直線的方程為，則有，解得，所以所求直線方程為，即.故選：B.2．已知等比數(shù)列滿足，，則數(shù)列前6項(xiàng)的和（       ）A．510 B．126 C．256 D．512【答案】B【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題設(shè)條件，求得，再結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?/span>，，可得，解得，所以數(shù)列前6項(xiàng)的和.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.3．若圓與圓相外切，則的值為（       ）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】確定出兩圓的圓心和半徑，然后由兩圓的位置關(guān)系建立方程求解即可.【詳解】由可得，所以圓的圓心為，半徑為，由可得，所以圓的圓心為，半徑為，因?yàn)閮蓤A相外切，所以，解得，故選：D4．下圖是一個(gè)“雙曲狹縫”模型，直桿沿著與它不平行也不相交的軸旋轉(zhuǎn)時(shí)形成雙曲面，雙曲面的邊緣為雙曲線．已知該模型左、右兩側(cè)的兩段曲線(曲線AB與曲線CD)所在的雙曲線離心率為2，曲線AB與曲線CD中間最窄處間的距離為10cm，點(diǎn)A與點(diǎn)C，點(diǎn)B與點(diǎn)D均關(guān)于該雙曲線的對(duì)稱中心對(duì)稱，且|AB|＝30cm，則|AD|＝（       ）A．10cm B．20cm C．25cm D．30cm【答案】B【分析】由離心率求出雙曲線方程，由對(duì)稱性設(shè)出點(diǎn)A，B，D坐標(biāo)，求出坐標(biāo)，求出答案.【詳解】由題意得：，解得：，因?yàn)殡x心率，所以，，故雙曲線方程為，設(shè)，則，，則，所以，則，解得：，故.故選：B5．已知為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，其中為的導(dǎo)數(shù)，則不等式的解集為(       )A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知不等式和要求解的不等式特征，構(gòu)造函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式.通過(guò)已知條件研究g(x)的奇偶性和單調(diào)性即可解該不等式.【詳解】令，則根據(jù)題意可知，，∴g(x)是奇函數(shù)，∵，∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，∵g(x)是奇函數(shù)，g(0)＝0，∴g(x)在R上單調(diào)遞減，由不等式得，.故選：A.6．函數(shù)的圖象的大致形狀是（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】對(duì)A，根據(jù)當(dāng)時(shí)，的值即可判斷；對(duì)B，根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)性即可判斷；對(duì)C，根據(jù)函數(shù)的奇偶性即可判斷；對(duì)D，根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)性即可判斷.【詳解】解：對(duì)A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，的定義域?yàn)?/span>，且，故為奇函數(shù)；，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即，又，，故存在，故在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)C，為奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，函數(shù) 在上不單調(diào)，故D錯(cuò)誤.故選：B.7．已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)于任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知得，根據(jù)等比數(shù)列的定義得數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，由此求得，然后利用裂項(xiàng)求和法求得，進(jìn)而求得的取值范圍.【詳解】解：依題意，當(dāng)時(shí)，，則，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，即，所以，所以，所以的取值范圍是.故選：C.8．已知數(shù)列滿足，在任意相鄰兩項(xiàng)與 (k＝1，2，…)之間插入個(gè)2，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則的值為（       ）A．162 B．163 C．164 D．165【答案】C【分析】確定數(shù)列的前70項(xiàng)含有的前6項(xiàng)和64個(gè)2，從而求出前70項(xiàng)和.【詳解】，其中之間插入2個(gè)2，之間插入4個(gè)2，之間插入8個(gè)2，之間插入16個(gè)2，之間插入32個(gè)2，之間插入64個(gè)2，由于，，故數(shù)列的前70項(xiàng)含有的前6項(xiàng)和64個(gè)2，故故選：C 二、多選題9．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，，則（       ）A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 B．C．當(dāng)時(shí)，最大 D．當(dāng)時(shí)，n的最大值為14【答案】BCD【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)可知，進(jìn)而得出，，依次判斷各選項(xiàng)即可得出結(jié)果.【詳解】等差數(shù)列中，，，，，公差，數(shù)列是遞減數(shù)列，A錯(cuò)誤 ，，B正確.，數(shù)列是遞減數(shù)列，當(dāng)時(shí)，最大,C正確.,,.當(dāng)時(shí)，n的最大值為14,D正確.故選:BCD.10．已知函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?/span>R，導(dǎo)數(shù)為，如圖是函數(shù)的圖象，則下列說(shuō)法正確的有（       ） A．函數(shù)f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間是B．函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間是C．x＝0是函數(shù)f (x)的零點(diǎn)D．x＝－2時(shí)函數(shù)f (x)取極小值【答案】BD【分析】根據(jù)的圖像，分析出各個(gè)區(qū)間的導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可判斷每個(gè)區(qū)間的單調(diào)性.【詳解】由圖可知，當(dāng) ，   ，即 是單調(diào)遞減的，當(dāng) 時(shí)，   ，是單調(diào)遞增的， 時(shí)， ，是單調(diào)遞增的，∴在x=-2時(shí)取極小值，故A錯(cuò)誤，B正確，D正確，對(duì)于C，不能判定是的零點(diǎn)，故錯(cuò)誤；故選：BD.11．已知P(x，y)為曲線上一動(dòng)點(diǎn)，則（       ）A．若z＝x－y，則z的最大值為1B．存在一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線，使得點(diǎn)P到該定點(diǎn)的距離等于點(diǎn)P到該定直線的距離C．P到直線y＝－x－2的距離的最小值為D．的最小值為6【答案】ABD【分析】由曲線為拋物線的右半部分（包含原點(diǎn)）即可判斷B正確；借助二次函數(shù)的最值即可判斷A正確；數(shù)形結(jié)合判斷C選項(xiàng)錯(cuò)誤；利用拋物線的定義即可求出的最小值，從而判斷D正確.【詳解】由題意知：，即曲線為拋物線的右半部分（包含原點(diǎn)），由拋物線定義可知，B正確；，當(dāng)時(shí)，，A正確；由圖像可知，原點(diǎn)到直線y＝－x－2的距離最小，此時(shí)距離為，C錯(cuò)誤；設(shè)點(diǎn)，易知拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，設(shè)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，則，D正確.故選：ABD.12．已知函數(shù)，g(x)＝lnx，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．下列結(jié)論正確的是（       ）A．函數(shù)y＝f(x)－g(x)在(0，1)上單調(diào)遞減B．函數(shù)y＝f(x)－g(x)的最小值大于2C．若P，Q分別是曲線y＝f(x)和y＝g(x)上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|的最小值為D．若f(mx)－g(x)≥(1－m)x對(duì)恒成立，則【答案】BCD【分析】AB.令，用導(dǎo)數(shù)法判斷；C. 由與關(guān)于對(duì)稱，且與切于，與切于求解判斷；D.將f(mx)－g(x)≥(1－m)x對(duì)恒成立，轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，用導(dǎo)數(shù)法求解判斷.【詳解】解：設(shè)，則，所以在上遞增，又，又，則存在，當(dāng)時(shí)，，遞減，當(dāng)時(shí)，，遞增，故A錯(cuò)誤；有，即，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，又，則，故B正確；易知與關(guān)于對(duì)稱，且與切于，與切于，所以|PQ|的最小值為，故C正確；若f(mx)－g(x)≥(1－m)x對(duì)恒成立，則對(duì)恒成立，令，則，所以在上遞增，則，即，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，則，解得，故D錯(cuò)誤；故選：BCD 三、填空題13．曲線在點(diǎn)處的切線方程為______．【答案】【分析】求導(dǎo)后令求出切線斜率，即可寫出切線方程.【詳解】由題意知：，當(dāng)時(shí)，，故切線方程為，即.故答案為：.14．已知是等差數(shù)列，，，設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，則______．【答案】-3033【分析】先求得，進(jìn)而得到，再利用并項(xiàng)法求解.【詳解】解：因?yàn)?/span>是等差數(shù)列，且，，所以，解得，所以，則，所以，，，，.故答案為：-303315．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為橢圓上一點(diǎn)，滿足 (O為坐標(biāo)原點(diǎn))．若，則橢圓的離心率為______．【答案】 【分析】由可得，再結(jié)合橢圓的性質(zhì)可得為直角三角形，由題意設(shè)，則，由勾股定理可得，再結(jié)合橢圓的定義可求出離心率【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以為直角三角形，即，所以設(shè)，則，所以，得，因?yàn)閯t，所以，所以，即離心率為，故答案為：16．已知函數(shù)集合，若A 中有且僅有4個(gè)元素，則滿足條件的整數(shù)a的個(gè)數(shù)為______．【答案】32【分析】作出的圖像，由時(shí)，不等式成立，所以，判斷出符合條件的非零整數(shù)根只有三個(gè)，即等價(jià)于時(shí)，；時(shí)，；利用數(shù)形結(jié)合，進(jìn)行求解.【詳解】作出的圖像如圖所示：因?yàn)?/span>時(shí)，不等式成立，所以，符合條件的非零整數(shù)根只有三個(gè).由可得：時(shí)，；時(shí)，；所以在y軸左側(cè)，的圖像都在的下方；在y軸右側(cè)，的圖像都在的上方；而，，，，.平移直線，由圖像可知：當(dāng)時(shí)，集合A中除了0只含有1，2，3，符合題意，此時(shí)整數(shù)a可以?。?/span>-23，-22，-21……-9.一共15個(gè)；當(dāng)時(shí)，集合A中除了0含有1，-1，-2，符合題意.當(dāng)時(shí)，集合A中除了0只含有-1，-2，-3，符合題意，此時(shí)整數(shù)a可以?。?/span>5，6，7……20一共16個(gè).所以整數(shù)a的值一共有15+1+16=32（個(gè)）.故答案為：32【點(diǎn)睛】分離參數(shù)法求零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題是轉(zhuǎn)化為，分別做出和的圖像，觀察交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．用數(shù)形結(jié)合法解決零點(diǎn)問(wèn)題常有以下幾種類型：(1)零點(diǎn)個(gè)數(shù)：幾個(gè)零點(diǎn)；(2)幾個(gè)零點(diǎn)的和；(3)幾個(gè)零點(diǎn)的積. 四、解答題17．已知圓的圓心在直線上，且過(guò)點(diǎn)（1）求圓的方程；（2）已知直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，并且被圓截得的弦長(zhǎng)為2，求直線l的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）根據(jù)題意設(shè)圓心坐標(biāo)為，進(jìn)而得，解得，故圓的方程為（2）分直線的斜率存在和不存在兩種情況討論求解即可.【詳解】（1）圓的圓心在直線上，設(shè)所求圓心坐標(biāo)為∵ 過(guò)點(diǎn)，解得∴ 所求圓的方程為（2）直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，并且被圓截得的弦長(zhǎng)為2①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線被圓截得的弦長(zhǎng)為2，滿足條件；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由于直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，故圓心到直線的距離為 故由點(diǎn)到直線的距離公式得：解得，所以直線l的方程為綜上所述，則直線l的方程為或【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)在解題的過(guò)程中要注意直線斜率不存在情況的討論，即分直線的斜率存在和不存在兩種，避免在解題的過(guò)程中忽視斜率不存在的情況致錯(cuò)，考查運(yùn)算求解能力與分類討論思想，是中檔題.18．已知等差數(shù)列中，，，等比數(shù)列中，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求的最小值．【答案】(1)(2)0【分析】（1）利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算可求得，進(jìn)而利用等比數(shù)列的基本量的計(jì)算即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可知，則，觀察分析即可解．【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，所以由，，得所以，從而，，所以，，q＝3，所以．(2)由（1）可知，所以，當(dāng)n＝1時(shí)，為正值﹐所以；當(dāng)n＝2時(shí)，為負(fù)值﹐所以；當(dāng)時(shí)，為正值﹐所以．又綜上：當(dāng)n＝3時(shí)，有最小值0．19．已知函數(shù)f(x)＝ax－2lnx．(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝x－2，若存在，使得f(x)≤g(x)，求a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)實(shí)數(shù)a的正負(fù)性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)分類討論求解即可；（2）利用常變量分離法，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】(1)當(dāng)a≤0時(shí)，在(0，＋∞)上恒成立；當(dāng)a＞0時(shí)，令得；令得；綜上：a≤0時(shí)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；a＞0時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；(2)由題意知 ax－2lnx≤x－2 在(0，＋∞)上有解則ax≤x－2＋2lnx，．令，xg'(x)＋0－g(x)↗極大值↘所以，因此有所以a的取值范圍為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用常變量分離法利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.20．等差數(shù)列的公差d不為0，滿足成等比數(shù)列，數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式：(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到方程求出公差，即可求出的通項(xiàng)公式，由，當(dāng)時(shí)，求出，當(dāng)時(shí)，兩式作差，即可求出；（2）由（1）可得，利用錯(cuò)位相減法求和即可；【詳解】(1)解：由已知，又，所以故解得（舍去）或∴∵①故當(dāng)時(shí)，可知，∴，當(dāng)時(shí)，可知②①②得∴又也滿足，故當(dāng)時(shí)，都有；(2)解：由（1）知，故③，∴④，由③④得整理得.21．已知橢圓C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)是否存在⊙O：，使得⊙O的任意切線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，都有．若存在，求出r的值，并求此時(shí)△AOB的面積S的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在，，【分析】（1）利用離心率和橢圓所過(guò)的點(diǎn)列出方程組，求出，求出橢圓方程；（2）假設(shè)存在，分切線斜率存在和不存在分類討論，根據(jù)向量數(shù)量積為0求出r的值，表達(dá)出△AOB的面積，利用基本不等式求出的取值范圍，進(jìn)而求出△AOB面積的取值范圍.【詳解】(1)因?yàn)闄E圓C：的離心率，且過(guò)點(diǎn)．所以解得所以橢圓C的方程為．(2)假設(shè)存在⊙O：滿足題意，①切線方程l的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程l：y＝kx＋m與橢圓方程聯(lián)立，消去y得，()設(shè)，，由題意知，()有兩解所以，即由根與系數(shù)的關(guān)系可得，所以因?yàn)?/span>，所以，即化簡(jiǎn)得，且，O到直線l的距離所以，又，此時(shí)，所以滿足題意所以存在圓的方程為⊙O：．△AOB的面積，又因?yàn)?/span>當(dāng)k≠0時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)．又因?yàn)?/span>，所以，所以．當(dāng)k＝0時(shí)，②斜率不存在時(shí)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)或兩點(diǎn)．易知存在圓的方程為⊙O：且．綜上，所以．【點(diǎn)睛】求解圓錐曲線相關(guān)的三角形或四邊形面積取值范圍問(wèn)題，需要先設(shè)出變量，表達(dá)出面積，利用基本不等式或者配方，導(dǎo)函數(shù)等求出最值，求出取值范圍，特別注意直線斜率存在和不存在的情況，需要分類討論.22．函數(shù)．(1)求在上的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為和(2)【分析】（1）求出，然后可得答案；（2）由條件可得，設(shè)，則，然后利用導(dǎo)數(shù)可得在上單調(diào)遞增，，然后分、兩種情況討論求解即可.【詳解】(1)由題可得令，得；令，得，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為和．(2)由，得，即．設(shè)，則．設(shè)，則． 當(dāng)時(shí)，，，所以．所以即在上單調(diào)遞增，則．若，則，所以h(x)在上單調(diào)遞增．所以h(x)≥h(0)＝0恒成立，符合題意．若a＞2，則，必存在正實(shí)數(shù)，滿足：當(dāng)時(shí)，，h(x)單調(diào)遞減，此時(shí)h(x)＜h(0)＝0，不符合題意．綜上所述，a的取值范圍是．

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