2021-2022學(xué)年江蘇省無(wú)錫市第一中學(xué)高一藝術(shù)班上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)集合，，，則A． B．C． D．【答案】C【解析】先求，再求.【詳解】由題意可知，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交并補(bǔ)，屬于簡(jiǎn)單題型.2．已知為第二象限角，且,則的值為A． B．C． D．【答案】A【解析】先求，再求的值.【詳解】是第二象限角，，.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系式，重點(diǎn)考查基本公式和基本計(jì)算，屬于簡(jiǎn)單題型.3．已知函數(shù)，則A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)分段函數(shù)的定義域，代入求和的值.【詳解】， ，.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)求值，屬于簡(jiǎn)單題型.4．已知，則A． B．C． D．【答案】B【解析】首先表示角的變換，然后利用誘導(dǎo)公式求值.【詳解】 ， 故選：B【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)給值求值的問(wèn)題，意在考查角的變換和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.5．函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是A． B．C． D．【答案】C【解析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理證明零點(diǎn)所在的區(qū)間.【詳解】在和是單調(diào)遞增函數(shù)，， ， ，的零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查零點(diǎn)存在性定理，意在考查基本判斷方法，屬于簡(jiǎn)單題型.6．函數(shù)是上的減函數(shù)，若，，，則A． B．C． D．【答案】A【解析】首先判斷，和的大小關(guān)系，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷的大小關(guān)系.【詳解】，，，，，，是上的減函數(shù)，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，重點(diǎn)考查指對(duì)數(shù)比較大小，屬于簡(jiǎn)單題型.7．命題“?x∈[1，3]，x2－a≤0”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（       ）A．a≥9 B．a≤9C．a≥10 D．a≤10【答案】C【分析】先把“?x∈[1，3]，x2－a≤0”為真命題轉(zhuǎn)化為a≥9，再用集合法求解.【詳解】命題“?x∈[1，3]，x2－a≤0”?“?x∈[1，3]，x2≤a”?9≤a.從集合的包含關(guān)系可以判斷， a≥10是命題“?x∈[1，3]，x2－a≤0”為真命題的一個(gè)充分不必要條件．故選：C.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：有關(guān)充要條件類(lèi)問(wèn)題的判斷，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：(1)若是的必要不充分條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；(2)若是的充分不必要條件， 則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；(3)若是的充分必要條件，則對(duì)應(yīng)集合與對(duì)應(yīng)集合相等；(4)若是的既不充分又不必要條件，對(duì)應(yīng)集合與對(duì)應(yīng)集合互不包含．8．函數(shù)的大致圖象是（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性和最值，利用排除法，對(duì)選項(xiàng)中的函數(shù)的圖象分析?判斷，即可求得答案.【詳解】函數(shù)是定義域上的奇函數(shù)其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，排除選項(xiàng)D；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，的圖象在軸上方，排除選項(xiàng)B；當(dāng)時(shí)，，的圖象在軸下方，排除選項(xiàng)C；綜上所述，函數(shù)的大致圖象為選項(xiàng)A.故選：A.二、多選題9．若a，b，c∈R，且a>b，則下列不等式一定成立的是（       ）A．a+c>b+c B．ac2≥bc2C． D．(a+b)(a-b)>0【答案】AB【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及特殊值法，逐一判斷作答.【詳解】對(duì)于A，因a，b，c∈R，a>b，則a+c>b+c，A正確；對(duì)于B，因c2≥0，a>b，則ac2≥bc2，B正確；對(duì)于C，當(dāng)c=0時(shí)，，C不正確；對(duì)于D，當(dāng)a=1，b=-1，滿足a>b，但(a+b)(a-b)=0，D不正確．故選：AB10．函數(shù)在下列那些區(qū)間上單調(diào)遞增（       ）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】令，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】令，在 上遞減，在 上遞增，又 在R上遞減，所以函數(shù)在 上遞增，在 上遞減，故選;ABD11．設(shè)函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的有（       ）A．的最小正周期是B．滿足C．在上單調(diào)遞減，那么的最大值是D．的圖象可以由的圖象向右平移個(gè)單位得到【答案】AC【分析】首先化簡(jiǎn)，再利用三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，逐項(xiàng)分析判斷即可得解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)，即A正確：對(duì)于選項(xiàng)，即不是的對(duì)稱(chēng)軸，故B錯(cuò)誤：對(duì)于選項(xiàng)時(shí)，單調(diào)遞堿，故減區(qū)間為，，的最大值是，故C正確；對(duì)于的圖象向右平移個(gè)單位得到，故D錯(cuò)誤．故選：AC．12．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，如果對(duì)任意的，存在，使得成立，則稱(chēng)函數(shù)為“H函數(shù)”.下列為“H函數(shù)”的是（       ）A． B． C． D．【答案】AB【分析】運(yùn)用二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)y，再結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)可判斷A；由函數(shù)的單調(diào)性和值域，可判斷B；由指數(shù)函數(shù)的值域即可判斷C；運(yùn)用配方法，可取可判斷D，即可求得答案.【詳解】對(duì)于A，由，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，是奇函數(shù)，由，故只需與互為相反數(shù)時(shí)，，即可滿足，故A為“H函數(shù)”；對(duì)于B，由，和在上都是單調(diào)增函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)由于遞增，且，即有任一個(gè)，可得唯一的，使得可得，即，故B為“H函數(shù)”；對(duì)于C，由可得，可得不成立不成立故C不為“H函數(shù)”；對(duì)于D，由若可取，可得y無(wú)解，可得不成立不成立故D不為“H函數(shù)”.故選：AB.【點(diǎn)睛】“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念?新公式?新定理?新法則?新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問(wèn)題，有時(shí)還需要用類(lèi)比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.但是，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說(shuō)“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬(wàn)變才是制勝法寶.三、填空題13．冪函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則_______.【答案】【解析】設(shè)冪函數(shù)，由條件求，再求的值.【詳解】設(shè)冪函數(shù)，圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，，.故答案為：3【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)求冪函數(shù)的解析式和求值，意在考查基本公式，屬于簡(jiǎn)單題型.14．已知扇形的圓心角為，扇形的周長(zhǎng)為，則扇形的面積為_______.【答案】【解析】首先設(shè)扇形弧長(zhǎng)為，半徑為，列方程求解，再利用扇形面積求解.【詳解】設(shè)扇形弧長(zhǎng)為，半徑為， ，解得：，則扇形的面積.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積的求法，意在考查基本公式，屬于簡(jiǎn)單題型.15．如果函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，那么的最小值為_____.【答案】 【詳解】由得圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)知，，即，即.因此，的最小值為.故答案為16．已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是__________．【答案】9【分析】設(shè)，可得，結(jié)合得到，利用基本不等式可得結(jié)果.【詳解】，，，設(shè)，可得，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)“=”成立，即的最小值是9，故答案為9.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用基本不等式求最值，屬于難題.利用基本不等式求最值時(shí)，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。?；三相等是，最后一定要驗(yàn)證等號(hào)能否成立（主要注意兩點(diǎn)，一是相等時(shí)參數(shù)是否在定義域內(nèi)，二是多次用或時(shí)等號(hào)能否同時(shí)成立）.四、解答題17．設(shè)(1)分別求(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】(1)；或(2)【分析】（1）解不等式，直接計(jì)算集合的交集并集與補(bǔ)集；（2）根據(jù)集合間的計(jì)算結(jié)果判斷集合間關(guān)系，進(jìn)而確定參數(shù)取值范圍.【詳解】(1)解：解不等式可得，，所以，或，或；(2)解：由可得，且，所以，解得，即.18．已知銳角滿足.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）利用公式，轉(zhuǎn)化為的一元二次方程求解；（2）首先根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的齊次式子，然后再上下同時(shí)除以，代入求值.【詳解】解：（1）依題化簡(jiǎn)可得：或為銳角 （2）原式    將代入上式，原式【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)恒等變形，意在考查公式的熟練掌握，屬于基礎(chǔ)題型.19．已知函數(shù)（1）求它的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，求此函數(shù)的值域.【答案】（1）（）；（2）.【分析】（1）化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間代入求解即可．（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，再根據(jù)求出的范圍結(jié)合的值域?yàn)?/span>，即可求出結(jié)果．【詳解】（1）由，得，.故此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）.（2）由，得.的值域?yàn)?/span>.的值域?yàn)?/span>，故此函數(shù)的值域?yàn)?/span>【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，?？既呛瘮?shù)的性質(zhì)有：對(duì)稱(chēng)軸、單調(diào)性、最值、對(duì)稱(chēng)中心．屬于中檔題．20．小王大學(xué)畢業(yè)后，決定利用所學(xué)專(zhuān)業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè)．經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本為3萬(wàn)元，每生產(chǎn)x萬(wàn)件，需另投入流動(dòng)成本為萬(wàn)元．在年產(chǎn)量不足8萬(wàn)件時(shí)，萬(wàn)元；在年產(chǎn)量不小于8萬(wàn)件時(shí)，萬(wàn)元，每件產(chǎn)品售價(jià)為5元．通過(guò)市場(chǎng)分析，小王生產(chǎn)的商品當(dāng)年能全部售完．(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)萬(wàn)元關(guān)于年產(chǎn)量x萬(wàn)件的函數(shù)解析式．注：年利潤(rùn)=年銷(xiāo)售收入-固定成本-流動(dòng)成本(2)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí)，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【答案】(1)(2)年產(chǎn)量為10萬(wàn)件時(shí)，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是15萬(wàn)元【分析】（1）根據(jù)題意分和求出利潤(rùn)，得利潤(rùn)的分段函數(shù)；（2）分別利用二次函數(shù)及均值不等式求最值，比較大小可得函數(shù)的最大值.【詳解】(1)因?yàn)槊考a(chǎn)品售價(jià)為5元，則x（萬(wàn)件）商品銷(xiāo)售收入為5x萬(wàn)元，依題意得：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴．(2)當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最大值9；時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)即時(shí)，取得最大值15；∵，∴年產(chǎn)量為10萬(wàn)件時(shí)，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是15萬(wàn)元．21．已知函數(shù)，且為奇函數(shù).(1)求的值；(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明；(3)解不等式：.【答案】(1)(2)函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）由函數(shù)為奇函數(shù)且定義為，，可求得a的值；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明，即可求得答案；（3）利用函數(shù)是奇函數(shù)和函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增的性質(zhì)解不等式，即可求得答案.【詳解】(1)由函數(shù)為奇函數(shù)且定義為當(dāng)時(shí)，可得的故則，得(2)由（1）知設(shè)由在定義域內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)∵∴即∴即函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增.(3)，且為奇函數(shù)，∴∵函數(shù)單調(diào)遞增∴∴∴不等式的解集為.22．設(shè)函數(shù)，其中為常數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的定義域；（2）若對(duì)任意，關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】（1）轉(zhuǎn)化為，解不等式；（2）由題意轉(zhuǎn)化為當(dāng)恒成立，參變分離為和恒成立求參數(shù)的取值范圍.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，要使函數(shù)有意義，只需要或，，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?/span>；（2），，的取值范圍是，又恒成立，可得恒成立，，，即，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查解復(fù)合型的一元二次不等式和利用不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想和計(jì)算能力，屬于中檔題型. 

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