?蘇科版初二上冊 第二章 2.4 線段的軸對稱
一、單選題
1.到三角形三個頂點距離相等的點是（　?。?
A.?三角形三條邊的垂直平分線的交點??????????????????????B.?三角形三條角平分線的交點
C.?三角形三條高的交點???????????????????????????????????????????D.?三角形三條邊的中線的交點
2.如圖，在△ABC中，BC=9，AB的垂直平分線分別交AB，AC于點D，E。若△BCE的周長為17，則AC的長為(??? )

A.?8??????????????????????????????????????????B.?9??????????????????????????????????????????C.?15??????????????????????????????????????????D.?17
3.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，分別以點A和點C為圓心，以大于 AC的長為半徑作弧，兩弧相交于點M和點N，作直線MN交AB于點D，交AC于點E，連接CD．若∠B＝34°，則∠BDC的度數(shù)是(?? )

A.?68°?????????????????????????????????????B.?112°?????????????????????????????????????C.?124°?????????????????????????????????????D.?146°
4.如圖，△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB ， 若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周長為30，則BE的長為（?? ）

A.?5?????????????????????????????????????????B.?10?????????????????????????????????????????C.?12?????????????????????????????????????????D.?13
5.如圖，DE是OABC中AC邊的垂直平分線，若BC=8，AB=10，則△EBC的周長為(??? )

A.?16?????????????????????????????????????????B.?18?????????????????????????????????????????C.?26?????????????????????????????????????????D.?28
6.若一個三角形兩邊的垂直平分線的交點在第三邊上，則這個三角形是（　?。?br />
A.?銳角三角形????????????????????????B.?鈍角三角形????????????????????????C.?直角三角形????????????????????????D.?不能確定
7.如圖在△ABC中，BC＝8，AB，AC的垂直平分線與BC分別交于E，F(xiàn)兩點，則△AEF的周長為(?? )

A.?2???????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????C.?8???????????????????????????????????????D.?不能確定
8.如圖，直線m是ΔABC中BC邊的垂直平分線，點P是直線m上的動點。若AB=6，AC=4，BC=7。則△APC周長的最小值是（?? ）

A.?10????????????????????????????????????????B.?11????????????????????????????????????????C.?11.5????????????????????????????????????????D.?13
二、填空題
9.在△ABC中，邊AB、BC、AC的垂直平分線相交于P，則PA、PB、PC的大小關系是________.

10.如圖,在△ABC中,AB=AC,DE是AB的垂直平分線,△BCE的周長為24,BC=10則AB的長為________

11.如圖,△ABC中,AB邊的垂直平分線分別交BC、AB于點D、E兩點,AE=3cm,△ADC的周長為10cm,則△ABC的周長是________.

12.如圖，在周長為10 cm的□ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于點O，OE⊥BD交AD于點E，連接BE，則△ABE的周長為________.

13.如圖，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分線交AB于點D，交AC與點E，若三角形BCE的周長等于50，則BC的長為________.

14.如圖所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分別是AB、AC的垂直平分線，點E、N在BC上，則∠EAN=________．

15.如圖，等腰三角形 ABC 的底邊 BC 長為 4，面積是 12，腰 AB 的垂直平分線 EF 分別交AB，AC 于點 E、F，若點 D 為底邊 BC 的中點，點 M 為線段 EF 上一動點，則△BDM 的周長的最小值為 ________

三、解答題
16.某公園有海盜船、摩天輪、碰碰車三個娛樂項目，現(xiàn)要在公園內(nèi)建一個售票中心，使三個娛樂項目所處位置到售票中心的距離相等，請在圖中確定售票中心的位置．

17.如圖，AD與BC相交于點O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE．求證：OE垂直平分BD．
18.如圖四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點E，若△ABC為等邊三角形， AD⊥AB，AD=DC=4；

（1）求證：BD垂直平分AC；
（2）求BE的長；
（3）若點F為BC的中點，請在BD上找出一點P，使PC+PF取得最小值。PC+PF的最小值為 ________（直接寫出結(jié)果）。
四、綜合題（共4題；共40分）
19.在△ABC中，AB邊的垂直平分線l1交BC于D，AC邊的垂直平分線l2交BC于E，l1與l2相交于點O．△ADE的周長為8cm．

（1）求BC的長；
（2）分別連結(jié)OA、OB、OC，若△OBC的周長為18cm，求OA的長．
20.如圖，在△ABC中，DM、EN分別垂直平分AC和BC，交AB于M、N，

（1）若△CMN的周長為21cm，求AB的長；
（2）若∠MCN=50°，求∠ACB的度數(shù)．
21.如圖，在△ABC中，∠C=90°，點P在AC上運動，點D在AB上，PD始終保持與PA相等，BD的垂直平分線交BC于點E，交BD于點F，連接DE．

（1）判斷DE與DP的位置關系，并說明理由；
（2）若AC=6，BC=8，PA=2，求線段DE的長．
22.如圖，在△ABC中，邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于E、F．

（1）若BC=10，求△AEF周長．
（2）若∠BAC=128°，求∠FAE的度數(shù)．

答案解析部分
一、單選題
1.【答案】 A
【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)
解：∵線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，
∴到三角形三個頂點的距離相等的點是三角形三邊垂直平分線的交點．
故答案為：A．
【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等解答．
2.【答案】 A
【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)
解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∵△BCE的周長為17，
∴BC+BE+CE=17，
∴BC+AE+CE=AC+BC=17，
∵BC=9，
∴AC=8.
故答案為：A.
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AE=BE，則△BCE的周長可轉(zhuǎn)化為AC+BC，結(jié)合BC的長度即可求解.
3.【答案】 B
【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)
解：∵∠ACB＝90°，∠B＝34°，
∴∠A＝56°，
∵DE是AC的垂直平分線，
∴DA＝DC，
∴∠DCA＝∠A＝56°，
∴∠BCD＝90°﹣56°＝34°，
∴∠BDC＝180°﹣34°﹣34°＝112°，
故答案為：B．
【分析】根據(jù)題意可知DE是AC的垂直平分線，可得DA＝DC，根據(jù)已知條件和等邊對等角可求得∠DCA的度數(shù)，即可進一步求得∠BDC的度數(shù).
4.【答案】 D
【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)
解：∵ED垂直平分AB ，
∴BE＝AE ，
∵AC＝12，EC＝5，且△ACE的周長為30，
∴12+5+AE＝30，
∴AE＝13，
∴BE＝AE＝13，
故答案為：D ．
【分析】ED垂直平分AB，BE＝AE，在通過△ACE的周長為30計算即可
5.【答案】 B
【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)
解：∵DE是△ABC中AC邊的垂直平分線
∴AE＝CE
∴AE＋BE＝CE＋BE＝10
∴△EBC的周長＝BC＋BE＋CE＝10＋8＝18.
故答案為：B.
【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)得AE＝CE，再等量代換即可求得三角形的周長.
6.【答案】 C
【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)
【解析】根據(jù)題意，畫出圖形，用線段垂直平分線的性質(zhì)解答。
【解答】如圖，CA、CB的中點分別為D、E，CA、CB的垂直平分線OD、OE相交于點O，且點O落在AB邊上， 連接CO，

∵OD是AC的垂直平分線，
∴OC=OA，
同理OC=OB，
∴OA=OB=OC，
∴A、B、C都落在以O為圓心，以AB為直徑的圓周上，
∴∠C是直角。
故選C．
【點評】準確畫出圖形，可以快速解答此題，發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢。

7.【答案】 C
【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)
解：∵AB、AC的垂直平分線分別交BC于點E、F，
∴AE=BE，AF=CF，
∴BC=BE+EF+CF=AE+EF+AF，
∵BC＝8，
∴△AEF的周長=BC=8
故答案為：C.

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AE=BE，AF=CF，由△AEF的周長為AE+EF+AF，利用等量代換即可求出.
8.【答案】 A
【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)
解：如圖，連接BP

∵直線m是ΔABC中BC邊的垂直平分線,
∴BP=PC,
∴△APC周長=AC+AP+PC=AC+AP+BP,
∵兩點之間線段最短
∴AP+BP≥AB，
∴△APC周長最小為AC+AB=10.
【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)BP=PC，所以△APC周長=AC+AP+PC=AC+AP+BP≥AC+AB=10.
二、填空題
9.【答案】 PA=PB=PC
【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)
解：∵邊AB的垂直平分線相交于P，
∴PA=PB，
∵邊BC的垂直平分線相交于P，
∴PB=PC，
∴PA=PB=PC.
故答案為：PA=PB=PC.
【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點，到線段兩個端點的距離相等得出PA=PB，PB=PC，進而根據(jù)等量代換即可得出結(jié)論.
10.【答案】 14
【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)
解：∵DE是AB的垂直平分線，
∴AE=BE.
∵△BCE的周長為24，
∴BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=24.
∵BC=10.
∴AC=14.
∵AB=AC，
∴AB=14.
【分析】根據(jù)“線段垂直平分線的性質(zhì)定理”即可得到AE=BE，由于△BCE的周長為24，利用線段的等量代換即可得到AC+BC的值；已知BC的長度，即可得到AC的長度，由于AB=AC，則問題得解．
11.【答案】 16
【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)
解： 垂直平分

的周長為10

?


的周長為16
【分析】要求 的周長，就是求 的值，已知 ，則 ，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可知 ，則 的周長可轉(zhuǎn)化為 ，則 的周長可求.
12.【答案】 5cm
【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)
解：先判斷出EO是BD的中垂線，得出BE=ED，從而可得出△ABE的周長=AB+AD，再由平行四邊形的周長為10cm，即可得出答案.
∵點O是BD中點，EO⊥BD，
∴EO是線段BD的中垂線，
∴BE=ED，
故可得△ABE的周長=AB+AD，
又∵平行四邊形的周長為10cm，
∴AB+AD=5cm.

【分析】根據(jù)垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得BE=ED即可求解.
13.【答案】 23
【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)
解：∵DE是線段AB的垂直平分線，
∴AE=BE，
∴△BCE的周長=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC，
∴BC=50-27=23.
故答案為：23.

【分析】由線段的垂直平分線上的點到這條線段兩端點的距離相等可得AE=BE，再根據(jù)△BCE的周長及等量代換即可求出BC的長 .
14.【答案】 32°
【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)
解：∵△ABC中，∠BAC=106°，
∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=180°﹣106°=74°，
∵EF、MN分別是AB、AC的中垂線，
∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAN，
即∠B+∠C=∠BAE+∠CAN=74°，
∴∠EAN=∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）=106°﹣74°=32°．
故答案為32°
【分析】利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠B+∠C的值，再利用線段垂直平分線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，可證得∠B=∠BAE，∠C=∠CAN，從而可求出∠BAE+∠CAN的值，然后求出∠EAN的度數(shù)即可。
15.【答案】 8
【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)
解：∵EF垂直平分AB，
∴點A、B關于直線EF對稱，
連接AD與EF相交，則當點M移到交點處時，DM+BM的值最小，此時DM+BM=DM+AM=AD，
∴C△BDM最小=AD+BD.
∵D為等腰△ABC的底邊BC的中點，BC=4，
∴BD=2，AD⊥BC，
∴S△ABC= BC·AD=12，即2AD=12，解得AD=6，
∴BD+AD=2+6=8.
即：△BDM的周長最小為8.


【分析】連接AD，由于△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，故AD⊥BC。根據(jù)三角形面積公式求出AD，再由EF是AB 的垂直平分線 ，得點B關于直線EF的對稱點為A，故AD的長為BM+MD的最小值。
三、解答題
16.【答案】解：如圖，①連接AB，AC，

②分別作線段AB，AC的垂直平分線，兩垂直平分線相較于點P，
則P即為售票中心。
【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)
【解析】連接AB和AC，根據(jù)垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等，可通過兩條垂直平分線的交點找到售票中心的位置。
17.【答案】證明：在△AOB與△COD中， ，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OB=OD，
∴點O在線段BD的垂直平分線上，
∵BE=DE，
∴點E在線段BD的垂直平分線上，
∴OE垂直平分BD
【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)
【解析】先利用ASA證明△AOB≌△COD，得出OB=OD，根據(jù)線段垂直平分線的判定可知點O在線段BD的垂直平分線上，再由BE=DE，得出點E在線段BD的垂直平分線上，即O，E兩點都在線段BD的垂直平分線上，從而可證明OE垂直平分BD．
18.【答案】 （1）解：∵AB=BC，AD=CD
∴ BD垂直平分AC.

（2）解：∵BD=8，DE=2
∴BE=6

（3）6
【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)
【解析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可得出結(jié)論。
（2）根據(jù)已知的長度，可得出BE的長度。
（3）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可得出最小值。
四、綜合題
19.【答案】 （1）解： 分別是線段 的垂直平分線，


的周長為 ，
即



（2）解： 邊的垂直平分線 交 于 ， 邊的垂直平分線 交 于 ，
?
的周長為 即
?
?
?
【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)
【解析】（1）先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出 再根據(jù) 即可得出結(jié)論；（2）先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出 再由 的周長為 求出 的長，進而得出結(jié)論．
20.【答案】 （1）解：∵DM、EN分別垂直平分AC和BC，
∴AM=CM，CN=BN，
∵△CMN的周長為18cm，即CM+CN+MN=18，
∴AM+BN+MN=AB=18cm．
∴AB=18cm

（2）解：∵DM垂直平分AC，
∴∠1=∠2，
∵EN垂直平分BC，
∴∠3=∠4，
又∵∠1+∠2+∠3+∠4+50°=180°，
則2（∠1+∠4）=180°﹣50°=130°，
∠1+∠4═65°，
∴∠ACB=（∠1+∠4）+∠MCN=65°+50°=115°

【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)
【解析】（1）根據(jù)△ABC中，DM、EN分別垂直平分AC和BC，可知AM=CM，CN=BN，可知△CMN的周長即為AB的長．（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可知，∠1=∠2，∠3=∠4，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，整體求出∠1+∠4的值，進而可得∠ACB的度數(shù)．
21.【答案】 （1）解：DE⊥DP，
理由如下：∵PD=PA，
∴∠A=∠PDA，
∵EF是BD的垂直平分線，
∴EB=ED，
∴∠B=∠EDB，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠PDA+∠EDB=90°，
∴∠ODE=180°﹣90°=90°，
∴DE⊥DP

（2）解：連接PE，

設DE=x，則EB=ED=x，CE=8﹣x，
∵∠C=∠PDE=90°，
∴PC2+CE2=PE2=PD2+DE2 ，
∴42+（8﹣x）2=22+x2 ，
解得：x=4.75，
則DE=4.75
【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)
【解析】（1）連接OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A=∠PDA，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EB=ED，于是得到結(jié)論；（2）連接PE，設DE=x，則EB=ED=x，CE=8﹣x，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
22.【答案】 （1）解：∵在△ABC中，邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于E、F，
∴AE=BE，AF=CF，
∵BC=10，
∴△AEF周長為：AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC=10

（2）解：∵AE=BE，AF=CF，
∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAF，
∵∠BAC=128°，
∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=52°，
∴∠BAE+∠CAF=∠B+∠C=52°，
∴∠FAE=∠BAC﹣（∠BAE+∠CAF）=76°
【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)
【解析】（1）由在△ABC中，邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于E、F，易得AE=BE，AF=CF，即可得△AEF周長=BC；（2）由∠BAC=128°，可求得∠B+∠C的值，即可得∠BAE+∠CAF的值，繼而求得答案．





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2.4 線段、角的軸對稱性

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