?預(yù)測05 函數(shù)的綜合



概率預(yù)測
☆☆☆☆☆
題型預(yù)測
解答題☆☆☆☆☆
考向預(yù)測
反比例與一次函數(shù)的結(jié)合


函數(shù)的綜合題是全國中考的熱點(diǎn)！通常是反比例函數(shù)和一次函數(shù)的結(jié)合，難度系數(shù)中等。
1．從考點(diǎn)頻率看，反比例函數(shù)是高頻考點(diǎn)，中考對函數(shù)的知識點(diǎn)考查，綜合能力要求極高！
2．從題型角度看，以解答題為主，分值8分左右！

一次函數(shù)的概念及其圖象、性質(zhì)

一次函數(shù)的相關(guān)概念
（1） 概念：一般來說，形如y＝kx＋b(k≠0)的函數(shù)叫做一次函數(shù)．特別地，當(dāng)b?＝0 時，稱為正比例函數(shù)．?
（2）圖象形狀：一次函數(shù)y＝kx＋b是一條經(jīng)過點(diǎn)（0,b）和（,0）的直線.特別地，正比例函數(shù)y＝kx的圖象是一條恒經(jīng)過點(diǎn)（0,0）的直線

一次函數(shù)的性質(zhì)
一次函數(shù)y=kx+b中，k確定了傾斜方向和傾斜程度，b確定了與y軸交點(diǎn)的位置.
k＞0，? b>0
一、二、三象限 y隨x的增大而增大
k＞0，?b＜0
一、三、四象限 y隨x的增大而增大
k0
一、二、四象限 y隨x的增大而減小
k0）過點(diǎn)C（1，2）和D（2，n），
∴，解得，．∴反比例函數(shù)的解析式為．
∵直線過點(diǎn)C（1，2）和D（2，1），∴，解得，．
∴一次函數(shù)的解析式為．
（2）當(dāng)x=0時，y1=3，即B（0，3）．∴．如圖所示，過點(diǎn)D作DE⊥y軸于點(diǎn)E．

∵D（2，1），∴DE=2．∴
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二元一次方程組、三角形的面積等知識點(diǎn)，熟知解析式、點(diǎn)坐標(biāo)、線段長三者的相互轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．
2．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的斜邊在軸上，坐標(biāo)原點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，雙曲線經(jīng)過點(diǎn)．

（1）求；（2）直線與雙曲線在第四象限交于點(diǎn)．求的面積．
【答案】（1）；（2）的面積
【分析】（1）過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，由題意易得，進(jìn)而可得，然后可得點(diǎn)，最后問題可求解；（2）由（1）可先求出直線AC的解析式為，然后聯(lián)立直線AC的解析式與反比例函數(shù)，進(jìn)而可得點(diǎn)D的坐標(biāo)，最后利用割補(bǔ)法求解三角形的面積即可．
【詳解】解：（1）過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，如圖所示：

∵，，，
∴，，∴，∴，
∴在Rt△AEC中，，
∵點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，∴OC=2，∴OE=1，∴，∴；
（2）由（1）可得：，，
∴設(shè)直線AC的解析式為，則把點(diǎn)A、C代入得：，解得：，
∴直線AC的解析式為，
聯(lián)立與反比例函數(shù)可得：，
解得：（不符合題意，舍去），∴點(diǎn)，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)與幾何的綜合及含30°直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握反比例函數(shù)與幾何的綜合及含30°直角三角形的性質(zhì)、勾股定理是解題的關(guān)鍵．
3.（2021·四川廣安市·中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)在軸上，且滿足的面積等于4，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．

【答案】（1），；（2）（1，0）或（3，0）
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)B坐標(biāo)求出m，得到反比例函數(shù)解析式，據(jù)此求出點(diǎn)A坐標(biāo)，再將A，B代入一次函數(shù)解析式；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，0），求出直線AB與x軸交點(diǎn)，再結(jié)合△ABP的面積為4得到關(guān)于a的方程，解之即可．
【詳解】解：（1）由題意可得：點(diǎn)B（3，-2）在反比例函數(shù)圖像上，
∴，則m=-6，∴反比例函數(shù)的解析式為，
將A（-1，n）代入，得：，即A（-1，6），
將A，B代入一次函數(shù)解析式中，得，解得：，∴一次函數(shù)解析式為；
（2）∵點(diǎn)P在x軸上，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，0），
∵一次函數(shù)解析式為，令y=0，則x=2，∴直線AB與x軸交于點(diǎn)（2，0），
由△ABP的面積為4，可得：，即，解得：a=1或a=3，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）或（3，0）．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)相交的有關(guān)問題；通常先求得反比例函數(shù)解析式；較復(fù)雜三角形的面積可被x軸或y軸分割為2個三角形的面積和．
4.（2021·浙江杭州市·中考真題）在直角坐標(biāo)系中，設(shè)函數(shù)（是常數(shù)，，）與函數(shù)（是常數(shù)，）的圖象交于點(diǎn)A，點(diǎn)A關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)．

（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，①求，的值．②當(dāng)時，直接寫出的取值范圍．
（2）若點(diǎn)在函數(shù)（是常數(shù)，）的圖象上，求的值．
【答案】（1）①，；②；（2）0
【分析】（1）①根據(jù)點(diǎn)A關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)是，再將點(diǎn)A的坐標(biāo)分別代入反比例函數(shù)、正比例函數(shù)的解析式中，即可求得，；②觀察圖象可解題；
（2）將點(diǎn)B代入，解得的值即可解題．
【詳解】解（1）①由題意得，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，
因為函數(shù)的圖象過點(diǎn)A，所以，同理．
②由圖象可知，當(dāng)時，反比例函數(shù)的圖象位于正比例函數(shù)圖象的下方，即當(dāng)時，．
（2）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)是，則點(diǎn)的坐標(biāo)是，所以，，所以．
【點(diǎn)睛】本題考查關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的特征、待定系數(shù)法求反比例函數(shù)、正比例函數(shù)的解析式等知識，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
5.（2021·四川遂寧市·中考真題）如圖，一次函數(shù)＝k x ＋ b （k≠0）與反比例函數(shù)（m≠0）的圖象交于點(diǎn)A（1，2）和B（－2，a），與y軸交于點(diǎn)M．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
（2）在y軸上取一點(diǎn)N，當(dāng)△AMN的面積為3時，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（3）將直線向下平移2個單位后得到直線y3，當(dāng)函數(shù)值時，求x的取值范圍．

【答案】（1）y1＝x＋1；；（2）N（0，7）或（0，－5）；（3）－2＜x＜－1或1＜x＜2
【分析】（1）先用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，再求出B點(diǎn)坐標(biāo)，再求一次函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)面積求出MN長，再根據(jù)M點(diǎn)坐標(biāo)求出N點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（3）求出直線y3解析式，再求出它與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)圖象，可直接寫出結(jié)果．
【詳解】解：（1）∵過點(diǎn)A（1，2）， ∴m＝1×2＝2， 即反比例函數(shù)：，
當(dāng)x＝－2時，a＝－1，即B（－2，－1） y1＝kx＋b過A（1，2）和B（－2，－1）
代入得，解得， ∴一次函數(shù)解析式為y1＝x＋1，
（2）當(dāng)x＝0時，代入y＝x＋1中得，y＝1，即M（0，1）
∵S△AMN＝1 ∴MN＝6， ∴N（0，7）或（0，－5），
（3）如圖，設(shè)y2與y3的圖像交于C，D兩點(diǎn)
∵y1向下平移兩個單位得y3且y1＝x＋1 ∴y3＝x－1，
聯(lián)立得解得或 ∴C（－1，－2），D（2，1），
在A、D兩點(diǎn)之間或B、C兩點(diǎn)之間時，y1＞y2＞y3， ∴－2＜x＜－1或1＜x＜2．

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)綜合，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用待定系數(shù)法求出解析式，利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題．
6.（2021·河南中考真題）如圖，大、小兩個正方形的中心均與平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O重合，邊分別與坐標(biāo)軸平行，反比例函數(shù)的圖象與大正方形的一邊交于點(diǎn)A(1，2)，且經(jīng)過小正方形的頂點(diǎn)B．

（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）求圖中陰影部分的面積．
【答案】（1）反比例函數(shù)的解析式為；（2）陰影部分的面積為8．
【分析】
（1）利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）根據(jù)點(diǎn)B是小正方形在第一象限的一個點(diǎn)，知其橫縱坐標(biāo)相等，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，繼而求得小正方形的面積，再求得大正方形的面積，從而求得陰影部分的面積．
【詳解】
解：（1）由題意，點(diǎn)A(1，2)在反比例函數(shù)y=的圖象上，
∴，
∴反比例函數(shù)的解析式為；
（2）點(diǎn)B是小正方形在第一象限的一個點(diǎn)，由題意知其橫縱坐標(biāo)相等，
設(shè)B(a，a)，則有，
∴，即B(，)，
∴小正方形的邊長為，
∴小正方形的面積為，
大正方形經(jīng)過點(diǎn)A(1，2)，則大正方形的邊長為，
∴大正方形的面積為，
∴圖中陰影部分的面積為16-8=8．
【點(diǎn)睛】
本題考查了反比例函數(shù)與幾何的綜合，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式．
7.（2021·山東菏澤市·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的兩邊、分別在坐標(biāo)軸上，且，，連接．反比例函數(shù)（）的圖象經(jīng)過線段的中點(diǎn)，并與、分別交于點(diǎn)、．一次函數(shù)的圖象經(jīng)過、兩點(diǎn)．

（1）分別求出一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)是軸上一動點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r，點(diǎn)的坐標(biāo)為______．
【答案】（1）, ；（2）
【分析】
（1）先求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，再由反比例函數(shù)過點(diǎn)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入即可，
由矩形的性質(zhì)可得、坐標(biāo)，代入即可求出解析式；
（2）“將軍飲馬問題”，作關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接,直線與軸交點(diǎn)即為所求．
【詳解】
（1） 四邊形是矩形，，

為線段的中點(diǎn)

將代入，得




將，代入，得：
，解得

（2）如圖：作關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)P

當(dāng)三點(diǎn)共線時，有最小值

，
設(shè)直線的解析式為

將，代入，得
，解得

令，得

【點(diǎn)睛】
本題考查了矩形的性質(zhì)，反比例函數(shù)性質(zhì)，反比例函數(shù)和一次函數(shù)待定系數(shù)法求解析式，反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的特點(diǎn)，線段和距離最值問題，正確的作輔助線，理解并記憶待定系數(shù)法求解的技巧是解題關(guān)鍵．
8. （2021·黑龍江大慶市·中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖象與軸的正半軸交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖像交于兩點(diǎn)．以為邊作正方形，點(diǎn)落在軸的負(fù)半軸上，已知的面積與的面積之比為．
（1）求一次函數(shù)的表達(dá)式：
（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)及外接圓半徑的長．


【答案】(1)；(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為；外接圓半徑的長為
【分析】
(1)過D點(diǎn)作DE∥y軸交x軸于H點(diǎn)，過A點(diǎn)作EF∥x軸交DE于E點(diǎn)，過B作BF∥y軸交EF于F點(diǎn)，證明△ABF≌△DAE，，的面積與的面積之比為得到，進(jìn)而得到，求出A、D兩點(diǎn)坐標(biāo)即可求解；
(2)聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)；再求出C點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出CP長度，Rt△CPD外接圓的半徑即為CP的一半．
【詳解】
解：(1)過D點(diǎn)作DE∥y軸交x軸于H點(diǎn)，過A點(diǎn)作EF∥x軸交DE于E點(diǎn)，過B作BF∥y軸交EF于F點(diǎn)，如下圖所示：

∵與有公共的底邊BO，其面積之比為1:4，
∴DH:OA=1:4，
設(shè)，則，
∵ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAF+∠EAD=90°，
∵∠BAF+∠FBA=90°，
∴∠FBA=∠EAD，
在△ABF和△DAE中： ,
∴△ABF≌△DAE(AAS)，
∴
又，
∴，解得(負(fù)值舍去)，
∴，代入中，
∴ ，解得 ，
∴一次函數(shù)的表達(dá)式為；
(2)聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式： ，
整理得到：，
解得 ，，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；D點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,1）
∵四邊形ABCD為正方形，
∴，
且，
在中，由勾股定理：，
∴，
又△CPD為直角三角形，其外接圓的圓心位于斜邊PC的中點(diǎn)處，
∴△CPD外接圓的半徑為．
【點(diǎn)睛】
本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理求線段長，本題屬于綜合題，解題的關(guān)鍵是正確求出點(diǎn)A、D兩點(diǎn)坐標(biāo)．
9.（2021·湖南常德市·中考真題）如圖，在中，．軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A的坐標(biāo)為，反比例函數(shù)的圖象的一支過A點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象的一支過B點(diǎn)，過A作軸于H，若的面積為．

（1）求n的值；
（2）求反比例函數(shù)的解析式．
【答案】（1）1；（2）
【分析】
（1）根據(jù)三角形面積公式求解即可；
（2）證明，求出BE的長即可得出結(jié)論．
【詳解】
解：（1）∵A，且軸
∴AH=，OH=n
又的面積為．
∴ ,即
解得，；
（2）由(1)得，AH=，OH=1
∴AO=2
如圖，

∵，軸，
∴，四邊形AHOE是矩形，
∴AE=OH=1
又
∴
∴，即：
解得，BE=3
∴B(-3,1)
∵B在反比例函數(shù)的圖象上，
∴
∴．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及求反比例函數(shù)解析式，求出B(-3,1)是解答此題的關(guān)鍵．
10.（2021·湖南株洲市·中考真題）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像（記為）交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)，且，點(diǎn)在線段上（不含端點(diǎn)），且，過點(diǎn)作直線軸，交于點(diǎn)，交圖像于點(diǎn)．

（1）求的值，并且用含的式子表示點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
（2）連接、、，記、的面積分別為、，設(shè)，求的最大值．
【答案】（1），D點(diǎn)橫坐標(biāo)為；（2）
【分析】
（1）先求出A點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求出k的值，利用OC=t和D點(diǎn)在直線l上即可得到D點(diǎn)橫坐標(biāo)；
（2）分別用含t的式子表示出、，得到關(guān)于t的二次函數(shù)，求函數(shù)的最大值即可．
【詳解】
解：（1）∵，
∴A點(diǎn)橫坐標(biāo)為1,
∵A點(diǎn)在一次函數(shù)的圖像上，
∴，
∴,
∵A點(diǎn)也在反比例函數(shù)圖像上，
∴，
∴反比例函數(shù)解析式為：，
∵，直線軸，
∴D點(diǎn)縱坐標(biāo)為t，
∵D點(diǎn)在直線l上，
∴D點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
綜上可得：，D點(diǎn)橫坐標(biāo)為．
（2）直線軸，交于點(diǎn)，交圖像于點(diǎn)，
∴E點(diǎn)縱坐標(biāo)為t，
將縱坐標(biāo)t代入反比例函數(shù)解析式中得到E點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴，A點(diǎn)到DE的距離為，
∴，
∵軸于點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)時，最大=；
∴的最大值為．
【點(diǎn)睛】
本題綜合考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)，涉及到了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段的長、平面直角坐標(biāo)系中三角形的面積表示、平行于x軸的直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征等內(nèi)容，本題綜合性較強(qiáng)，要求學(xué)生對概念的理解和掌握應(yīng)做到深刻與扎實，本題蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想方法等．
11.（2021·山東濟(jì)寧市·中考真題）如圖，中，，，點(diǎn)，點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A．

（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）將直線向上平移個單位后經(jīng)過反比例函數(shù)，圖象上的點(diǎn)，求，的值．
【答案】（1）；（2），
【分析】
（1）作軸，可知，得出點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)法求出解析式即可，
（2）將點(diǎn)代入（1）中解析式和直線的解析式中，分別求出，的值即可．
【詳解】
（1）如圖，作軸，則

，，




點(diǎn)，點(diǎn)

，
∴OD=OC+CD=6，

代入中，

．
（2）在上，


設(shè)直線OA解析式為
，

直線向上平移個單位后的解析式為：


圖象經(jīng)過（1，12）

解得：
，．
【點(diǎn)睛】
本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，正比例函數(shù)解析式，函數(shù)圖像的平移，三角形全等的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合思想．
12.（2021·山東泰安市·中考真題）如圖，點(diǎn)P為函數(shù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4，軸，垂足為點(diǎn)B．

（1）求m的值；
（2）點(diǎn)M是函數(shù)圖象上一動點(diǎn)，過點(diǎn)M作于點(diǎn)D，若，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【答案】（1）24；（2）M點(diǎn)的坐標(biāo)為
【分析】
(1)根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)的意義，求得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，利用k=xy計算m即可；
（2）利用分類思想，根據(jù)正切的定義，建立等式求解即可.
【詳解】
解：（1）∵點(diǎn)P縱坐標(biāo)為4，
∴，解得，

∴，
∴．
（2）∵，
∴，
設(shè)，則，
當(dāng)M點(diǎn)在P點(diǎn)右側(cè)，

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴（6+2t）（4-t）=24，
解得：，（舍去），
當(dāng)時，，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為，
當(dāng)M點(diǎn)在P點(diǎn)的左側(cè)，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴（6-2t）（4+t）=24，
解得：，，均舍去．
綜上，M點(diǎn)的坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】
本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，反比例函數(shù)解析式的確定，三角函數(shù)，一元二次方程的解法，熟練掌握函數(shù)圖像交點(diǎn)的意義，靈活運(yùn)用三角函數(shù)的定義，構(gòu)造一元二次方程并準(zhǔn)確解答是解題的關(guān)鍵．
13.（2021·四川廣元市·中考真題）如圖，直線與雙曲線相交于點(diǎn)A、B，已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，

（1）求直線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）以線段為斜邊在直線的上方作等腰直角三角形．求經(jīng)過點(diǎn)C的雙曲線的解析式．
【答案】（1）y=-0.5x+2；點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，0.5）；（2）過點(diǎn)C的雙曲線解析式為．
【分析】
（1）把點(diǎn)A橫坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，可求出點(diǎn)A坐標(biāo)，代入可求出直線解析式，聯(lián)立反比例函數(shù)與一次函數(shù)解析式即可得點(diǎn)B坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（m，n），過點(diǎn)C的雙曲線解析式為，根據(jù)點(diǎn)A、B坐標(biāo)可求出AB的長，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AC=BC=，根據(jù)兩點(diǎn)間距離個數(shù)求出m、n的值即可得點(diǎn)C坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式求出k值即可得答案．
【詳解】
（1）∵點(diǎn)A在雙曲線上，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，
∴當(dāng)x=1時，y=1.5，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，1.5），
∵直線與雙曲線相交于點(diǎn)A、B，
∴k+2=1.5，
解得：k=-0.5，
∴直線的解析式為y=-0.5x+2，
聯(lián)立反比例函數(shù)與一次函數(shù)解析式得，
解得：，（舍去），
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，0.5）．
（2）設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（m，n），過點(diǎn)C的雙曲線解析式為，
∵A（1，1.5），B（3，0.5），
∴AB==，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC==，
∴，
整理得：，
∴，
解得：，
∴或0（舍去），
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（，2），
把點(diǎn)C坐標(biāo)代入雙曲線解析式得：，
解得：，
∴過點(diǎn)C的雙曲線解析式為．
【點(diǎn)睛】
本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，熟練掌握反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題關(guān)鍵．
14.（2021·浙江中考真題）已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上的一個動點(diǎn)，連結(jié)的延長線交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)．

（1）如圖1，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連結(jié)．①若，求證：四邊形是平行四邊形；
②連結(jié)，若，求的面積．（2）如圖2，過點(diǎn)作，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)，連結(jié)．試探究：對于確定的實數(shù)，動點(diǎn)在運(yùn)動過程中，的面積是否會發(fā)生變化？請說明理由．
【答案】（1）①證明見解析，②1；（2）不改變，見解析
【分析】（1）①計算得出，利用平行四邊形的判定方法即可證明結(jié)論；
②證明，利用反比例函數(shù)的幾何意義求得，即可求解；
（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，可知四邊形是平行四邊形，由，利用相似三角形的性質(zhì)得到關(guān)于的一元二次方程，利用三角形的面積公式即可求解．
【詳解】（1）①證明：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則當(dāng)時，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
軸，，∴四邊形是平行四邊形；
②解：過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
軸，，， ，
∴當(dāng)時，則，即．；

（2）解 不改變． 理由如下：
過點(diǎn)作軸于點(diǎn)與軸交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則，OH=b，由題意，可知四邊形是平行四邊形，
∴OG=AE=a，∠HPG=∠OEG=∠EOA，且∠PHG=∠OEA=90°，
∴， ，即，
∴，，解得，
異號，，，．
∴對于確定的實數(shù)，動點(diǎn)在運(yùn)動過程中，的面積不會發(fā)生變化．
．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，相似三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．



1．（廣東省廣州市越秀區(qū)八一實驗中學(xué)2020-2021學(xué)年九年級下學(xué)期中考數(shù)學(xué)二模試卷）如圖，以菱形OABC的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B、C在第一象限內(nèi)．反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖
像過點(diǎn)C，交直線OB于點(diǎn)D．點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，4）．
（1）求直線OB的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

【答案】（1）；（2）(，)．
【解析】
【分析】（1）觀察圖像可知直線OB為正比例函數(shù)，設(shè)直線OB：y=kx，把B(8，4)代入計算即可；
（2）作BH⊥x軸，垂足為H，則可得到OH=8，BH=4，然后利用勾股定了和菱形的性質(zhì)可計算出菱形的邊長，然后算出點(diǎn)C的坐標(biāo)，計算反比例函數(shù)表達(dá)式，聯(lián)立反比例函數(shù)和正比例函數(shù)解方程即可．
【詳解】解：（1）設(shè)直線OB：y=kx，把B(8，4)代入可得：4=8k，解得：k=，
∴設(shè)直線OB的函數(shù)表達(dá)式為：；
（2）作BH⊥x軸，垂足為H，則OH=8，BH=4，

設(shè)OA=a，則AH=8-a，
∵四邊形OABC是菱形
∴AB=OA=BC=a，
Rt△BHA中，BH2+AH2=AB2，即，解得a=5，
∴BC=5，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3，4)，
把C(3，4)代入，解得k=12，
∴，
聯(lián)立解得：，，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為(，)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)和勾股定理，利用相關(guān)性質(zhì)表示和計算邊長是解題的關(guān)鍵．
2．（四川省宜賓市第二中學(xué)校2020-2021年九年級下學(xué)期第三次診斷性考試數(shù)學(xué)試題）如圖，平行四邊形中，，，它的邊在軸的負(fù)半軸上，對角線在軸的正半軸上．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過、兩點(diǎn)且與反比例函數(shù)圖象的另一支交于點(diǎn)．

（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）連接，求的面積．
【答案】（1）反比例函數(shù)解析式是y=，一次函數(shù)解析式是y=x+2；（2）的面積為2．
【解析】
【分析】（1）由題意得OB=4，即可得到A、C的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；
（2）解析式聯(lián)立，解方程組求得C的坐標(biāo)，然后根據(jù)S△BDC=S△ABD-S△ABC求得即可．
【詳解】解：（1）∵四邊形OABC是平行四邊形，且BO⊥OC，
∴AB∥OC，AB=OC，
∴∠ABO=∠BOC=90，
∴OB==4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，4），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（-2，0），
把點(diǎn)A代入y=得m=8，
∴反比例函數(shù)解析式是y=，
又∵一次函數(shù)y=kx+b的圖象過點(diǎn)A（2，4），點(diǎn)C（-2，0），
∴，解得，
∴一次函數(shù)解析式是：y=x+2；
（2）聯(lián)立解得或，
∴D（-4，-2），
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，三角形面積計算等知識，求得交點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
3．（2021年湖南省常德市漢壽縣中考數(shù)學(xué)模擬試卷） 如圖，雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，且與直線有兩個不同的交點(diǎn)．
（1）求的值．
（2）求的取值范圍．

【解析】解：（1）雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，
；
（2）雙曲線與直線有兩個不同的交點(diǎn)，
，整理為：，
△，
，
的取值范圍是．

4.（2021年四川省成都市邛崍市、崇州市、簡陽市中考數(shù)學(xué)二診試卷）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，反比例函數(shù)y＝與一次函數(shù)y＝x+（k﹣1）的圖象交于A、C兩點(diǎn)，且A（1，4）；直線AO與反比例函數(shù)y＝的圖象交于另一點(diǎn)B，過點(diǎn)A作y軸的平行線，交x軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)B作x軸的平行線，兩直線交于點(diǎn)E．
（1）求反比例函數(shù)y＝的表達(dá)式及△AEB的面積；
（2）若P是x軸上一點(diǎn)，當(dāng)△PAC的面積是△AEB面積的2倍時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【解析】（1）由題意得，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱，即OA＝OB，則△ANO∽△AEB，故，即可求解；
（2）求出點(diǎn)A（1，4）、點(diǎn)C（﹣4，﹣1）．由，即可求解．
【解答】解：（1）反比例函數(shù)過點(diǎn)A（1，4），
∴，即k＝4，
∴，
∴．
由題意得，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱，即OA＝OB，

∵ON∥EB，
∴△ANO∽△AEB，
∴，
∴S△AEB＝4S△AON＝8．

（2）由k＝4可得一次函數(shù)表達(dá)式為：y＝x+3，
∴聯(lián)立方程組，解得，，，
∵點(diǎn)A（1，4），
∴點(diǎn)C（﹣4，﹣1）．
如圖，設(shè)一次函數(shù)y＝x+3與x軸的交點(diǎn)為M，則M的坐標(biāo)為（﹣3，0），
設(shè)點(diǎn)P（a，0），
則，
∴或，
∴或．

5.（2021年河南省三甲名校中考數(shù)學(xué)內(nèi)部押題試卷（一））如圖，在平面直角坐標(biāo)系 中，函數(shù)的圖象與直線交于點(diǎn)A(3,m).
（1）求k、m的值；
（2）已知點(diǎn)P(n，n)(n>0)，過點(diǎn)P作平行于軸的直線，交直線y=x-2于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作平行于y軸的直線，交函數(shù) 的圖象于點(diǎn)N.
①當(dāng)n=1時，判斷線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
②若PN≥PM，結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出n的取值范圍.

【答案】(1) k的值為3，m的值為1；（2）03.
【解析】
（1）把A點(diǎn)坐標(biāo)代入中即可得出m的值；
（2）①求出C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）代入直線即可得出b的值；
②根據(jù)圖象可得結(jié)論.
【詳解】（1）把A（1，2）代入函數(shù)中，
∴.
∴.
（2）①過點(diǎn)C作軸的垂線，交直線l于點(diǎn)E，交軸于點(diǎn)F.

當(dāng)點(diǎn)C是線段BD的中點(diǎn)時，
.
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為1，
把代入函數(shù)中，
得.
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，1）.
把C（2，1）代入函數(shù)中，得.
②由圖象可知，當(dāng)時，.

8.（湖北省襄陽市保康縣2021年中考數(shù)學(xué)適應(yīng)性試卷）下面是九年級某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)時的一個活動片段．大家知道，對于三個反比例函數(shù)、、，只研究第一象限的情形，根據(jù)對稱性，便可知道對應(yīng)另一象限的情況．
（1）繪制函數(shù)圖象：



1
2
3



2
1





8
4
2




18
9

3

列表：如表是與的幾組對應(yīng)值．
描點(diǎn)：請根據(jù)表中各組對應(yīng)值，在平面直角坐標(biāo)系中描出各點(diǎn)；
連線：請用平滑的曲線順次連接各點(diǎn)，畫出圖象；
（2）觀察并猜想結(jié)論：對于任意兩個不同的反比例函數(shù)和，它們的圖象會不會相交：　不相交　；你的理由是：　?。?br />
【解析】解：（1）畫出函數(shù)圖象如圖：

（2）觀察并猜想結(jié)論：對于任意兩個不同的反比例函數(shù)和，它們的圖象永遠(yuǎn)不會相交；理由是：反比例函數(shù)和，由于，所以當(dāng)相等時，各自對應(yīng)的函數(shù)一定不相等，即對應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)不同，也就是不同的點(diǎn)，因此反映到圖象是即不相交．
故答案為：不相交，反比例函數(shù)和，由于，所以當(dāng)相等時，各自對應(yīng)的函數(shù)一定不相等，即對應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)不同，也就是不同的點(diǎn)，因此反映到圖象是即不相交．

9.（江西省南昌市2021年九年級中考數(shù)學(xué)第一次調(diào)研檢測（一模）試卷）在初中階段的函數(shù)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)歷了列表，描點(diǎn)，連線畫函數(shù)圖象，并結(jié)合圖象研究函數(shù)性質(zhì)的過程．若一個函數(shù)當(dāng)自變量在不同范圍內(nèi)取值時，函數(shù)表達(dá)式不同，我們稱這樣的函數(shù)為分段函數(shù)．下面我們參照函數(shù)學(xué)習(xí)的過程與方法，探究分段函數(shù)y＝的圖象與性質(zhì)，探究過程如下，請補(bǔ)充完整．
（1）列表：
x
…
﹣6
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…


m

1
n
1
2
3
4
…
其中，m＝　　，n＝　0　．
（2）描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中，以自變量x的取值為橫坐標(biāo)，以相應(yīng)的函數(shù)值y為縱坐標(biāo)，描出相應(yīng)的點(diǎn)，如圖所示，請畫出函數(shù)的圖象．

（3）研究函數(shù)并結(jié)合圖象與表格，回答下列問題：
①點(diǎn)A（﹣3，y1），B（﹣，y2），C（x1，），D（x2，）在函數(shù)圖象上，則y1?。尽2，x1?。肌2；（填“＞”，“＝”或“＜”）；
②直線y＝t與圖象相交，交點(diǎn)依次從左到右為M，N，K三點(diǎn)，如果MN＝NK，求t的值．
【解析】（1）根據(jù)自變量x的不同取值范圍分別代入相應(yīng)函數(shù)解析式中即可求解．
（2）在x≤﹣2部分用平滑曲線描出；在x＞﹣2部分，用直線連接．
（3）①將x＝﹣3，x＝﹣分別代入y＝﹣，y＝中可比較y1，y2的大?。挥桑?）中圖象可知x1，x2大?。?br /> ②將y＝t分別代入分段函數(shù)中，求得點(diǎn)M，點(diǎn)N，點(diǎn)K的橫坐標(biāo)，再表示出MN，NK的長度，抓住MN＝NK，列出方程求解即可．
【解答】解：（1）∵x＝﹣4＜﹣2，
∴把x＝﹣4代入y＝﹣中，得y＝，
即m＝；
∵﹣1＞﹣2，
∴把x＝﹣1代入y＝中，得y＝0，
即n＝0．
（2）如答圖所示：
（3）①把x＝﹣3代入y＝﹣中，得y1＝；
把x＝﹣代入y＝中，得y2＝．
∴y1＞y2；
由（2）中圖象可知，當(dāng)y＝時，x1＝﹣或或﹣4，
當(dāng)y＝時，x2＝．
∴x1＜x2．
②根據(jù)題意可得，由﹣＝t，得xM＝；
＝t，得﹣x﹣1＝t或x+1＝t，
得xN＝﹣t﹣1，xK＝t﹣1．
∴MN＝﹣t﹣1﹣（﹣），
NK＝t﹣1﹣（﹣t﹣1）＝2t，
∵M(jìn)N＝NK，
∴﹣t﹣1﹣（﹣）＝2t．
解得t＝或t＝﹣1（不合題意，舍去） 故答案為：t＝．


10.（2021年河南師范大學(xué)附屬中學(xué)中考數(shù)學(xué)摸底卷試題） 如圖，關(guān)于x的一次函數(shù)y＝k1x+b的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于A（﹣2，8），B（4，m）兩點(diǎn)．
（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式．
（2）設(shè)一次函數(shù)y＝k1x+b的圖象與x軸，y軸的交點(diǎn)分別為M，N，P是x軸上一動點(diǎn)，當(dāng)以P，M，N三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【答案】（1）y＝﹣，y＝﹣2x+4；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)是（﹣2，0）或（2+2，0）或（2﹣2，0）或（﹣3，0）．
【解析】
【分析】（1）先把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝可求出k2的值，從而確定反比例函數(shù)解析式；再把B（4，m）代入反比例函數(shù)解析式求出m的值，可確定點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；
（2）先根據(jù)一次函數(shù)的解析式確定M和N的坐標(biāo)，根據(jù)以P，M，N三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形分三種情況討論：①NP＝NM；②MP＝MN；③PN＝PM；前兩種直接根據(jù)線段的長得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，第三種根據(jù)兩點(diǎn)的距離列方程可得結(jié)論．
【詳解】解：（1）把，代入反比例函數(shù)得：，
，，
∴反比例函數(shù)解析式為，且，
把，代入得：，
解得，
∴一次函數(shù)解析式為；
（2），
當(dāng)時，，當(dāng)時，，，
，，
，，
①當(dāng)時，如圖1，

，
，
；
②當(dāng)時，如圖2，

由勾股定理得：，
，或，；
③當(dāng)時，如圖3，
是軸上一動點(diǎn)，
設(shè)，

，
，
，
，
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)是或，或，或．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題和等腰三角形的性質(zhì)和判定，并注意等腰三角形在沒確定腰和底邊時要分情況討論，注意利用數(shù)形結(jié)合的思想

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