預(yù)測(cè)09  尺規(guī)作圖  概率預(yù)測(cè)☆☆☆題型預(yù)測(cè)選擇題、填空題☆☆☆解答題☆☆☆考向預(yù)測(cè)①利用作圖痕跡和涉及基本作圖幾何性質(zhì)解題。②尺規(guī)作圖并涉及幾何計(jì)算和求證。 尺規(guī)作圖是全國中考的熱點(diǎn)！但總有一部分學(xué)生，因?yàn)槲宸N基本作圖方法沒掌握好，就丟了分?jǐn)?shù)。1．從考點(diǎn)頻率看，作線段的垂直平分線和作角的平分線是高頻考點(diǎn)。2．從題型角度看，選擇題、填空題較多，同時(shí)考查基本作圖和三角形、四邊形結(jié)合的綜合性題目以解答題為主。一：作已知角的平分線（1）以O為圓心，任意長為半徑作弧，分別交OA，OB于點(diǎn)M，N；（2）分別以點(diǎn)M，N為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P；（3）作射線OP，OP即為所作的角平分線.二：作已知線段的垂直平分線（1）分別以M、N為圓心，大于的相同線段為半徑畫弧，兩弧相交于P，Q；（2）連接PQ，交MN于O．則PQ就是所求作的MN的垂直平分線. 尺規(guī)作圖題常用的解題方法歸納：（1）首先分析題設(shè)要用哪種尺規(guī)作圖。（2）對(duì)于已知作法進(jìn)行有關(guān)結(jié)論的判斷或計(jì)算問題，要能通過作圖步驟判斷是哪種基本作圖，作出的線段、角有什么關(guān)系，以及要知道作出圖形的性質(zhì)，進(jìn)而做出判斷或計(jì)算。 1．（海南省2021年中考數(shù)學(xué)真題試卷）如圖，已知，直線與直線分別交于點(diǎn)，分別以點(diǎn)為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)，作直線，交直線b于點(diǎn)C，連接，若，則的度數(shù)是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可得直線是線段AB的垂直平分線，進(jìn)而可得，利用平行線的性質(zhì)及等腰三角形中等邊對(duì)等角，可得，所以可求得．【詳解】∵已知分別以點(diǎn)為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)，作直線，交直線b于點(diǎn)C，連接，∴直線垂直平分線段AB，∴，∵，，∴，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】題目主要考查線段垂直平分線的作法及性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等，根據(jù)題意得出直線垂直平分線段AB是解題關(guān)鍵．2．（2021年貴州省銅仁市中考數(shù)學(xué)真題試卷）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，按下列步驟作圖：步驟1：以點(diǎn)A為圓心，小于AC的長為半徑作弧分別交AC、AB于點(diǎn)D、E．步驟2：分別以點(diǎn)D、E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)M．步驟3：作射線AM交BC于點(diǎn)F．則AF的長為（　?。?/span>A．6 B．3 C．4 D．6【答案】B【解析】利用基本作圖得到AF平分∠BAC，過F點(diǎn)作FH⊥AB于H，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到FH＝FC，再根據(jù)勾股定理計(jì)算出AC＝6，設(shè)CF＝x，則FH＝x，然后利用面積法得到×10?x+×6?x＝×6×8，解得x＝3，最后利用勾股定理計(jì)算AF的長．【解答】解：由作法得AF平分∠BAC，過F點(diǎn)作FH⊥AB于H，如圖，∵AF平分∠BAC，FH⊥AB，FC⊥AC，∴FH＝FC，在△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，∴AC＝＝6，設(shè)CF＝x，則FH＝x，∵S△ABF+S△ACF＝S△ABC，∴×10?x+×6?x＝×6×8，解得x＝3，在Rt△ACF中，AF＝＝＝3．故選：B．3.（2021年湖北省黃石市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，按以下步驟作圖：①以B為圓心，任意長為半徑作弧，分別交BA、BC于M、N兩點(diǎn)；②分別以M、N為圓心，以大于MN的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P；③作射線BP，交邊AC于D點(diǎn)．若AB＝10，BC＝6，則線段CD的長為（　　）A．3 B． C． D．【答案】A【解析】利用基本作圖得BD平分∠ABC，過D點(diǎn)作DE⊥AB于E，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到則DE＝DC，再利用勾股定理計(jì)算出AC＝8，然后利用面積法得到?DE×10+?CD×6＝×6×8，最后解方程即可．【解答】解：由作法得BD平分∠ABC，過D點(diǎn)作DE⊥AB于E，如圖，則DE＝DC，在Rt△ABC中，AC＝＝＝8，∵S△ABD+S△BCD＝S△ABC，∴?DE×10+?CD×6＝×6×8，即5CD+3CD＝24，∴CD＝3．故選：A．4.（2021年吉林省長春市中考數(shù)學(xué)真題試卷）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用無刻度的直尺和圓規(guī)在BC邊上找一點(diǎn)D，使△ACD為等腰三角形．下列作法不正確的是（　　）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)等腰三角形的定義一一判斷即可．【解答】解：A、由作圖可知AD是△ABC的角平分線，推不出△ADC是等腰三角形，本選項(xiàng)符合題意．B、由作圖可知CA＝CD，△ADC是等腰三角形，本選項(xiàng)不符合題意．C、由作圖可知DA＝CD，△ADC是等腰三角形，本選項(xiàng)不符合題意．D、由作圖可知BD＝CD，推出AD＝DC＝BD，△ADC是等腰三角形，本選項(xiàng)不符合題意．故選：A．5.（2021年遼寧省本溪市中考數(shù)學(xué)真題 ）如圖，在△ABC中，AB＝BC，由圖中的尺規(guī)作圖痕跡得到的射線BD與AC交于點(diǎn)E，點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，連接EF，若BE＝AC＝2，則△CEF的周長為（　　）A．+1 B．+3 C．+1 D．4【答案】C【解析】由題意得BE是∠ABC的平分線，再由等腰三角形的性質(zhì)得BE⊥AC，AE＝CE＝AC＝1，由勾股定理得BC＝，然后由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得EF＝BC＝BF＝CF，求解即可．【解答】解：由圖中的尺規(guī)作圖得：BE是∠ABC的平分線，∵AB＝BC，∴BE⊥AC，AE＝CE＝AC＝1，∴∠AEC＝90°，∴BC＝＝＝，∵點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，∴EF＝BC＝BF＝CF，∴△CEF的周長＝CF+EF+CE＝CF+BF+CE＝BC+CE＝+1，故選：C．6.（2021·廣東省·中考真題）如圖，在中，，作的垂直平分線交于點(diǎn)D，延長至點(diǎn)E，使．（1）若，求的周長；（2）若，求的值．【答案】（1）1；（2）【解析】【分析】(1)作出BC的垂直平分線，連接BD，由垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等得到DB=DC，由此即可求出△ABD的周長；(2)設(shè)，，進(jìn)而求出，在Rt△ABD中使用勾股定理求得，由此即可求出的值．【詳解】解：(1)如圖，連接，設(shè)垂直平分線交于點(diǎn)F，∵為垂直平分線，∴，∵，∴．(2)設(shè)，∴，又∵，∴，中，．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等是解決本題的關(guān)鍵． 7.（2021年廣西貴港市中考數(shù)學(xué)真題）尺規(guī)作圖（只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）．如圖，已知△ABC，且AB＞AC．（1）在AB邊上求作點(diǎn)D，使DB＝DC；（2）在AC邊上求作點(diǎn)E，使△ADE∽△ACB．【解析】（1）作線段BC的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，連接CD即可．（2）作∠ADT＝∠ACB，射線DT交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)E即為所求．【解答】解：（1）如圖，點(diǎn)D即為所求．（2）如圖，點(diǎn)E即為所求．8.（2021年江蘇省無錫市中考數(shù)學(xué)真題試卷）如圖，已知銳角△ABC中，AC＝BC．（1）請(qǐng)?jiān)趫D1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：作∠ACB的平分線CD；作△ABC的外接圓⊙O；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若AB＝，⊙O的半徑為5，則sinB＝　　．（如需畫草圖，請(qǐng)使用圖2）【解析】（1）利用尺規(guī)作出∠ACB的角平分線CD，作線段AC的垂直平分線交CD于點(diǎn)O，以O為圓心，OC為半徑作⊙O即可．（2）連接OA，設(shè)射線CD交AB于E．利用勾股定理求出OE，EC，再利用勾股定理求出BC，可得結(jié)論．【解答】解：（1）如圖，射線CD，⊙O即為所求．（2）連接OA，設(shè)射線CD交AB于E．∵CA＝CB，CD平分∠ACB，∴CD⊥AB，AE＝EB＝，∴OE＝＝＝，∴CE＝OC+OE＝5+＝，∴AC＝BC＝＝＝8，∴sinB＝＝＝．故答案為：．9.（北京市2021年中考數(shù)學(xué)真題試題）《淮南子?天文訓(xùn)》中記載了一種確定東西方向的方法，大意是：日出時(shí)，在地面上點(diǎn)處立一根桿，在地面上沿著桿的影子的方向取一點(diǎn)，使兩點(diǎn)間的距離為10步（步是古代的一種長度單位），在點(diǎn)處立一根桿；日落時(shí)，在地面上沿著點(diǎn)處的桿的影子的方向取一點(diǎn)，使兩點(diǎn)間的距離為10步，在點(diǎn)處立一根桿．取的中點(diǎn)，那么直線表示的方向?yàn)闁|西方向．（1）上述方法中，桿在地面上的影子所在直線及點(diǎn)的位置如圖所示．使用直尺和圓規(guī)，在圖中作的中點(diǎn)（保留作圖痕跡）； （2）在如圖中，確定了直線表示的方向?yàn)闁|西方向．根據(jù)南北方向與東西方向互相垂直，可以判斷直線表示的方向?yàn)槟媳狈较?，完成如下證明．證明：在中，______________，是的中點(diǎn)，（______________）（填推理的依據(jù)）．∵直線表示的方向?yàn)闁|西方向，∴直線表示的方向?yàn)槟媳狈较颍?/span>【答案】（1）圖見詳解；（2），等腰三角形的三線合一【解析】【分析】（1）分別以點(diǎn)A、C為圓心，大于AC長的一半為半徑畫弧，交于兩點(diǎn)，然后連接這兩點(diǎn)，與AC的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)D；（2）由題意及等腰三角形的性質(zhì)可直接進(jìn)行作答．【詳解】解：（1）如圖所示： （2）證明：在中，，是的中點(diǎn)，（等腰三角形的三線合一）（填推理的依據(jù)）．∵直線表示的方向?yàn)闁|西方向，∴直線表示的方向?yàn)槟媳狈较颍?/span>故答案為，等腰三角形的三線合一．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂直平分線的尺規(guī)作圖及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握垂直平分線的尺規(guī)作圖及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10.（山東省煙臺(tái)市2021年中考數(shù)學(xué)真題）如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）請(qǐng)按如下要求完成尺規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）．①作∠BAC的角平分線AD，交BC于點(diǎn)D；②作線段AD的垂直平分線EF與AB相交于點(diǎn)O；③以點(diǎn)O為圓心，以OD長為半徑畫圓，交邊AB于點(diǎn)M．（2）在（1）的條件下，求證：BC是⊙O的切線；（3）若AM＝4BM，AC＝10，求⊙O的半徑．【解析】（1）①以A為圓心，以任意長度為半徑畫弧，與AC、AB相交，再以兩個(gè)交點(diǎn)為圓心，以大于兩點(diǎn)之間距離的一半為半徑畫弧相交于∠BAC內(nèi)部一點(diǎn)，將點(diǎn)A與它連接并延長，與BC交于點(diǎn)D，則AD為∠BAC的平分線；②分別以點(diǎn)A、點(diǎn)D為圓心，以大于AD長度為半徑畫圓，將兩圓交點(diǎn)連接，則EF為AD的垂直平分線，EF與AB交于點(diǎn)O；（2）根據(jù)線段垂直平分線及角平分線的性質(zhì)推出角之間的關(guān)系，再根據(jù)平行線的判定得出OD∥AC，從而得出OD⊥BC即可；（3）根據(jù)題意得到線段之間的關(guān)系：OM＝2BM，BO＝3BM，AB＝5BM，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】解：（1）如圖所示，①以A為圓心，以任意長度為半徑畫弧，與AC、AB相交，再以兩個(gè)交點(diǎn)為圓心，以大于兩點(diǎn)之間距離的一半為半徑畫弧相交于∠BAC內(nèi)部一點(diǎn)，將點(diǎn)A與它連接并延長，與BC交于點(diǎn)D，則AD為∠BAC的平分線；②分別以點(diǎn)A、點(diǎn)D為圓心，以大于AD長度為半徑畫圓，將兩圓交點(diǎn)連接，則EF為AD的垂直平分線，EF與AB交于點(diǎn)O；③如圖，⊙O與AB交于點(diǎn)M；（2）證明：∵EF是AD的垂直平分線，且點(diǎn)O在AD上，∴OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵AC⊥BC，∴OD⊥BC，故BC是⊙O的切線．（3）根據(jù)題意可知OM＝OA＝OD＝AM，AM＝4BM，∴OM＝2BM，BO＝3BM，AB＝5BM，∴＝＝，由（2）可知Rt△BOD與Rt△BAC有公共角∠B，∴Rt△BOD∽R(shí)t△BAC，∴＝，即＝，解得DO＝6，故⊙O的半徑為6． 1．（2021年新疆阿勒泰地區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷）如圖已知，按照以下步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L為半徑作弧，分別交的兩邊于，兩點(diǎn)，連接．②分別以點(diǎn)，為圓心，以大于線段的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)，連接，．③連接交于點(diǎn)．不列結(jié)論中錯(cuò)誤的是　　A． B． C． D．【答案】C【解析】解：由作圖可知，，，垂直平分線段，，，在和中，，，，故，，正確，故選：．2．(2021年河南省焦作市武陟縣九年級(jí)數(shù)學(xué)第二次模擬考試)已知銳角，如圖，（1）在射線上取點(diǎn)，，分別以點(diǎn)為圓心，，長為半徑作弧，交射線于點(diǎn)，；（2）連接，交于點(diǎn)．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（   ）A.  B. C. 若，則 D. 點(diǎn)在的平分線上【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可知，即可推斷結(jié)論A；先證明，再證明即可證明結(jié)論B；連接OP，可證明可證明結(jié)論D；由此可知答案．【詳解】解：由題意可知，，，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；在和中，，，在和中，，，，故選項(xiàng)B正確，不符合題意；連接OP，，，在和中，，，，點(diǎn)在的平分線上，故選項(xiàng)D正確，不符合題意；若，，則，而根據(jù)題意不能證明，故不能證明，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，明確以某一半徑畫弧時(shí)，準(zhǔn)確找到相等的線段是解題的關(guān)鍵．3． （2021年云南省昆明市祿勸彝族苗族自治縣中考數(shù)學(xué)模擬試卷（二））如圖，，以點(diǎn)為圓心，小于長為半徑作圓弧，分別交，于，兩點(diǎn)，再分別以，為圓心，大于長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，若，求的度數(shù)　　．【答案】．【解析】解：由作法得平分，，，，，，．故答案為．4.(2021年河南省南陽市淅川縣九年級(jí)第一次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)試題)在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的邊BC在軸上，頂點(diǎn)，連接AC按照下列方法作圖：（1）以點(diǎn)C為圓心，適當(dāng)?shù)拈L度為半徑畫弧分別交CA,CD于點(diǎn)E，F(xiàn)；（2）分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于的長為半徑畫弧交于點(diǎn)G；（3）作射線CG交AD于H，則點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為（   ）A. 6 B. 4 C. 3 D. 1【答案】D【解析】【分析】根據(jù)可得AB=6，BC=8，由勾股定理得AC=10，過H作HQ⊥AC，由角平分線的性質(zhì)得HQ=HD，根據(jù)△AHC的面積+△DHC的面積=△ADC的面積求解即可．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，且∴B(-4,0)∴AC=5由作圖知CH為∠ACD的平分線，過點(diǎn)H作HQ⊥AC，則HQ=HD，∴△AHC的面積+△DHC的面積=△ADC的面積，即： ∵HD=HQ∴HD=3∴點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為：4-3=1．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了坐標(biāo)與圖形，以及矩形的性質(zhì)，勾投定理以及面積法等相關(guān)知識(shí)，熟練掌握它們的心生是解題的關(guān)鍵．5.(2021年河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)中考數(shù)學(xué)二模試題）如圖，已知?AOBC的頂點(diǎn)O（0，0），A（﹣1，2），點(diǎn)B在x軸正半軸上按以下步驟作圖：①以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長度為半徑作弧，分別交邊OA，OB于點(diǎn)D，E；②分別以點(diǎn)D，E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)F；③作射線OF，交邊AC于點(diǎn)G，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（　　）A. （﹣1，2） B. （，2） C. （3﹣，2） D. （﹣2，2）【答案】A【解析】【分析】依據(jù)勾股定理即可得到Rt△AOH中，AO=，依據(jù)∠AGO=∠AOG，即可得到AG=AO=，進(jìn)而得出HG=-1，可得G（-1，2）．【詳解】如圖，過點(diǎn)A作AH⊥x軸于H，AG與y軸交于點(diǎn)M，∵?AOBC的頂點(diǎn)O（0，0），A（-1，2），∴AH=2，HO=1，∴Rt△AOH中，AO=，由題可得，OF平分∠AOB，∴∠AOG=∠EOG，又∵AG∥OE，∴∠AGO=∠EOG，∴∠AGO=∠AOG，∴AG=AO=，∴MG=-1，∴G（-1，2），故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的作法，勾股定理以及平行四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)注意：求圖形中一些點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，過已知點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，然后求出相關(guān)的線段長，是解決這類問題的基本方法和規(guī)律．6.（2021年河南省新鄉(xiāng)市長垣縣中考數(shù)學(xué)模擬試題）如圖，長方形ABCD中∠DAC＝68°，請(qǐng)依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，求出∠α等于(     )A. 34° B. 44° C. 56° D. 68°【答案】C【解析】【分析】如圖（見解析），先根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡可知AE是的角平分線，直線是AC的垂直平分線，從而可得，再根據(jù)直角三角形的兩銳角互余、對(duì)頂角相等即可得．【詳解】如圖，由尺規(guī)作圖的痕跡得：AE是的角平分線，直線是AC的垂直平分線，，，，由對(duì)頂角相等得：，故選：C．7.（2021年湖南省長沙市中考數(shù)學(xué)模擬試卷）如圖，有一塊三角形材料(△ABC)，請(qǐng)你在這塊材料上作一個(gè)面積最大的圓． 【解析】分別作∠B和∠C的角平分線，它們的交點(diǎn)即為圓心O，再過O點(diǎn)作任意一邊的垂線，以垂線段長為半徑作圓，該圓為三角形的內(nèi)切圓，即是能在這塊材料上作出的面積最大的圓．解：如圖所示，為△ABC的內(nèi)切圓． 尺規(guī)作圖如下：【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查的是三角形內(nèi)切圓的意義及作法， 由于三角形的內(nèi)心是三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，可作△ABC的任意兩角的角平分線，它們的交點(diǎn)即為△ABC的內(nèi)切圓的圓心(設(shè)圓心為O)，以O為圓心、O點(diǎn)到任意一邊的距離長為半徑作圓，即可得出△ABC的內(nèi)切圓，即為能作出的最大圓，解決本題的關(guān)鍵是學(xué)生能正確理解三角形的內(nèi)切圓并掌握其作法.8.（2021年福建省廈門市松柏中學(xué)九年級(jí)中考二模數(shù)學(xué)試題）如圖,在△ABC中,AB=AC，點(diǎn)P在BC上．(1)求作:△PCD,使點(diǎn)DAC上，且△PCD∽△ABP；(要求:尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡,不寫作法)(2)在(1)的條件下,若∠APC=2∠ABC，求證:PD//AB．【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得∠CPD=∠BAP，故作∠CPD=∠BAP，∠CPD與AC的交點(diǎn)為D即可；（2）利用外角的性質(zhì)以及（1）中∠CPD=∠BAP可得∠CPD =∠ABC，再根據(jù)平行線的判定即可.【詳解】解：（1）∵△PCD∽△ABP，∴∠CPD=∠BAP，故作∠CPD=∠BAP即可，如圖，即為所作圖形，（2）∵∠APC=∠APD+∠DPC=∠ABC+∠BAP=2∠ABC，∴∠BAP =∠ABC，∴∠BAP=∠CPD=∠ABC，即∠CPD =∠ABC，∴PD∥AB.【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，相似三角形的性質(zhì)，外角的性質(zhì)，難度不大，解題的關(guān)鍵是掌握尺規(guī)作圖的基本作法.9.（廣東省廣州市越秀區(qū)八一實(shí)驗(yàn)中學(xué)2020-2021學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期中考數(shù)學(xué)二模試卷）如圖，中，是邊上一點(diǎn)，連接．（1）在的右側(cè)用尺規(guī)作等邊（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下連接當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的度數(shù).（本題的圖不用再尺規(guī)作圖）【答案】（1）見解析；（2）∠BAD=60°或45°【解析】【分析】（1）分別以點(diǎn)A、D為圓心，AD為半徑畫弧，兩弧在AD的右側(cè)交于一點(diǎn)E，連接AE、DE即可；（2）分三種情況：當(dāng)CD=CE時(shí)，如圖1，先利用SSS證明△ADC≌△AEC，可得∠DAC=∠DAE=30°，再利用角的和差求解；當(dāng)DE=DC時(shí)，如圖2，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)以及角的和差求解；當(dāng)ED=EC時(shí)，如圖3、圖4，分別根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理推出矛盾，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：（1）等邊△ADE如圖所示：（2）當(dāng)CD=CE時(shí)，如圖1，∵△ADE是等邊三角形，∴AD=AE，∠DAE=60°，∵CD=CD，AC=AC，∴△ADC≌△AEC（SSS），∴∠DAC=∠EAC=∠DAE=30°，∴∠BAD=90°－∠DAC=60°；當(dāng)DE=DC時(shí)，如圖2，∵△ADE是等邊三角形，∴AD=ED，∴AD=CD，∵，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠DAC=∠ACD=45°，∴∠BAD=90°－∠DAC=45°；當(dāng)ED=EC時(shí)，如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在△ABC的外部時(shí)，∵EA=ED，∴EA=EC，∴設(shè)∠EAC=∠ECA=x，∵ED=EC，∴∠EDC=∠ECD=45°+x，∠DAC=60°－x，△ADC中，∵∠DAC+∠ACD+∠ADC=60°－x+45°+60°+45°+x=210°≠180°，∴此種情況不存在；如圖4，當(dāng)點(diǎn)E在△ABC的內(nèi)部時(shí)，∵EA=ED=EC，∴∠EAC=∠ECA，∠EDC=∠ECD，∵∠ECD+∠ECA=∠ACD=45°，∴∠EAC+∠ECA+∠EDC+∠ECD=90°，∴∠AEC+∠DEC=360°－90°=270°，∵∠AED=60°，∴∠AEC+∠DEC+∠AED=270°+60°=330°≠360°，故此種情況也不存在；綜上，∠BAD=60°或45°．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作等邊三角形、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，具有一定的綜合性，正確分類、熟練掌握上述知識(shí)是解題的關(guān)鍵．10.（2021年福建省泉州市惠安縣中考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷）如圖，矩形中，為的中點(diǎn)．（1）在邊上求作一點(diǎn)，使得；（2）在（1）中，若，，求的長．【解析】解：（1）如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求；延長和交于點(diǎn)，四邊形是矩形，，，，為的中點(diǎn)．，在和中，，，，，是線段的垂直平分線，，，，，；（2）四邊形是矩形，，，，，，解得，，．11.（2021年山東省青島市青島大學(xué)附屬中學(xué)九年級(jí)數(shù)學(xué)二模試題）已知：和線段，求作：，使它與的兩邊相切，半徑等于線段．【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)與的兩邊相切，半徑等于線段，利用角平分線的尺規(guī)作圖及圓心到射線OB的距離為a，確定圓心P，進(jìn)而做出半徑為a的圓，與的兩邊相切【詳解】解：1.作的平分線OE；2.在上任取一點(diǎn) 過作 垂足為 在上截取 過作交角平分線與 3.以P為圓心，線段a的長為半徑畫圓弧，圓P即為所求．【點(diǎn)睛】本題主要考查基本作圖：作已知角的平分線以及直線和圓相切的性質(zhì)，利用角平分線的尺規(guī)作圖及圓心到射線OB的距離為a確定圓心出P是解題的關(guān)鍵．   
 

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