教學(xué)目標(biāo)
【知識與技能】
1.了解二次根式及最簡二次根式的概念.
2.會化簡二次根式.
3.理解并掌握二次根式的性質(zhì).
【過程與方法】
經(jīng)歷觀察、分析、討論、歸納二次根式及最簡二次根式的過程,發(fā)展學(xué)生的歸納概括能力和語言表達(dá)能力.
【情感、態(tài)度與價值觀】
積極參與數(shù)學(xué)活動,感受數(shù)學(xué)活動充滿了探索性和創(chuàng)造性,體會到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣.
教學(xué)重難點(diǎn)
【重點(diǎn)】
理解并掌握二次根式及最簡二次根式的概念,化簡二次根式.
【難點(diǎn)】
化簡二次根式.
教學(xué)過程
一、知識回顧,引入新課
師:同學(xué)們還記得平方根的概念嗎?
生:記得.一般地,如果一個數(shù)的平方等于a,那么這個數(shù)叫做a的平方根.
師:什么叫做算術(shù)平方根呢?
生:正數(shù)的正的平方根以及零的平方根,統(tǒng)稱算術(shù)平方根.
師:很好!非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根用(a≥0)表示.一般地,例如(a≥0)的式子,我們叫做二次根式.這就是今天這節(jié)課我們要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.
二、講授新課
師:請同學(xué)們觀察下列代數(shù)式,你能發(fā)現(xiàn)它們有什么共同特征嗎?
,,,,(其中b=24,c=25).
生:它們都含有開方運(yùn)算,并且被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù).
師:很好!一般地,例如(a≥0)的式子,叫做二次根式,a叫做被開方數(shù).那么二次根式具有什么性質(zhì)呢?下面我們一起來探究一下.請同學(xué)們完成以下填空:
= ,×= ;
= ,×= ;
= ,×= ;
= ,÷= .
學(xué)生獨(dú)立完成填空,然后集體訂正.并根據(jù)上面的猜想,估計下列式子是否相等,再借助計算器驗(yàn)證.
= ,÷= .
師:請同學(xué)們比較左右兩邊的等式,你發(fā)現(xiàn)了什么?你能用字母表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎?
學(xué)生分組討論交流,然后由小組代表發(fā)言,教師予以補(bǔ)充完善.
師:通過剛才的探究,我們可以發(fā)現(xiàn)積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和商的算術(shù)平方根性質(zhì).即:
(1)積的算術(shù)平方根的性質(zhì):積的算術(shù)平方根,等于積中各因式的算術(shù)平方根的積(各因式必須是非負(fù)數(shù)),即=·(a≥0,b≥0);
(2)商的算術(shù)平方根的性質(zhì):商的算術(shù)平方根,等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根.(被除式必須是非負(fù)數(shù),除式必須是正數(shù)),即=(a≥0,b>0).
師:知道了二次根式的這些性質(zhì),下面我們來看幾個例題,加深理解.
三、例題講解
【例1】 化簡:
(1);(2);(3).
【答案】 (1)=×=9×8=72;
(2)=×=5;
(3)==.
例1的化簡結(jié)果5,中,被開方數(shù)中都不含分母,也不含能開得盡方的因數(shù).一般地,被開方數(shù)不含分母,也不含能開得盡方的因數(shù)或因式,這樣的二次根式,叫做最簡二次根式.
化簡時,通常要求最終結(jié)果中分母不含有根號,而且各個二次根式是最簡二次根式.
【例2】 化簡:
(1);(2);(3) .
【答案】 (1)==×=5;
(2)===;
(3)==.
判斷最簡二次根式的方法:通常將不含分母的被開方數(shù)分解因數(shù)或因式后,不含能開得盡方的因數(shù)或因式,即為最簡二次根式.
【例3】 先化簡,再求出下面算式的近似值(精確到0.01).
(1);(2);(3).
(合理應(yīng)用二次根式的性質(zhì),可以幫助我們簡化實(shí)數(shù)的運(yùn)算.)
【答案】 (1)===·=12≈20.78;
(2)===≈1.01;
(3)===×=10-2×=0.01×≈0.02.
四、鞏固練習(xí)
1.化簡:
;(2);(3);(4)
【答案】 (1)165 (2)4 (3) (4)
2.化簡:-
【答案】 原式=-=.
3.若b>0,x0)
2.想一想:你能計算嗎?
(1)× ; (2)× ;(3)× .
師:先計算每組數(shù)中的左邊的式子,再計算右邊的式子.它們相等嗎?你發(fā)現(xiàn)了什么?
學(xué)生先獨(dú)立完成,然后分組討論交流,再集體訂正.
3.提出問題.
(1)兩列火車分別運(yùn)煤2x噸和3x噸,問這兩列火車共運(yùn)煤多少噸?
(2)兩列火車分別運(yùn)煤2x噸和3y噸,問這兩列火車共運(yùn)煤多少噸?
這是以前學(xué)過的多項(xiàng)式加減法,同類項(xiàng)可以合并,想一想在計算二次根式加減法的時候能運(yùn)用此類方法嗎?請嘗試計算以下幾題.
(1)3+4;(2)+;(3)++4.
二、講授新課
1.在學(xué)生進(jìn)行練習(xí)后進(jìn)行總結(jié).
①二次根式的乘除運(yùn)算法則.
=·(a≥0,b≥0)
=(a≥0,b>0)
即將二次根式的性質(zhì)等式左右兩邊對換,就得到二次根式的乘法法則和除法法則.
②二次根式的加減運(yùn)算法則.
師:與合并同類項(xiàng)類似,我們可以把相同二次根式的項(xiàng)合并.
下列計算結(jié)果哪些正確,哪些不正確?
+=;a+=a;-=;
a+b=(a+b);
-=-=0.
學(xué)生回答,教師予以訂正.
③二次根式的四則混合運(yùn)算.
二次根式即可以進(jìn)行乘除運(yùn)算,也可以進(jìn)行加減運(yùn)算.以前學(xué)習(xí)的實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則、運(yùn)算律仍然適用.說說下列算式的運(yùn)算順序,并計算出結(jié)果.
(+)·
(+) ·56
×+×
2.例題學(xué)習(xí).
【例1】 計算.
(1)×; (2); (3).
(歸納二次根式的乘除運(yùn)算的一般步驟:(1)運(yùn)用法則,化歸為根號內(nèi)的實(shí)數(shù)運(yùn)算;(2)完成根號內(nèi)乘除運(yùn)算;(3)化簡二次根式.)
【答案】 (1)×===;
(2)==;
(3)====.
【例2】 計算:
(1)3×2;(2)×-5;(3)(+1)2;
(4)(+3)(-3);(5)-×;
(6)
【答案】 (1)3×2=3×2×=6;
(2)×-5=-5=-5=6-5=1;
(3)(+1)2=()2+2+1=5+2+1=6+2;
(4)(+3)(-3)=()2-32=13-9=4;
(5)(-)×=×-×=-=6-1=5;
(6)=+=+=2+3=5.
【例3】 計算:
(1)+;(2)-;(3)(+)×.
【答案】 (1)+3=+=×+=4+=5;
(2)-=-=-=;
(3)(+)×=+=+=2+3=5.
三、課堂小結(jié)
師:本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識?還有什么疑惑的地方嗎?
師生共同總結(jié).
第3課時 二次根式的運(yùn)算(2)
教學(xué)目標(biāo)
【知識與技能】
1.鞏固對二次根式的四則混合運(yùn)算的掌握.
2.進(jìn)一步學(xué)會應(yīng)用整式的運(yùn)算法則進(jìn)行二次根式的運(yùn)算.
【過程與方法】
引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般,用總結(jié)歸納的方法以及類比的方法解決數(shù)學(xué)問題.
【情感、態(tài)度與價值觀】
體驗(yàn)并掌握遷移、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想與方法.
教學(xué)重難點(diǎn)
【重點(diǎn)】
進(jìn)一步應(yīng)用二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行二次根式的四則混合運(yùn)算.
【難點(diǎn)】
熟練進(jìn)行二次根式的四則混合運(yùn)算.
教學(xué)過程
一、引入新課
師:通過上節(jié)課的學(xué)習(xí),同學(xué)們已經(jīng)掌握了二次根式的相關(guān)運(yùn)算法則,這節(jié)課我們進(jìn)一步來學(xué)習(xí)二次根式的加減乘除混合運(yùn)算.
二、例題講解
【例1】 先化簡,再求出近似值(精確到0.01).
--
(二次根式加減運(yùn)算的一般步驟是:先化簡,再合并.)
【答案】 原式=--=2--=(2--)=≈1.73.
【例2】 計算.
(1)-3×;
(2)(-3)·;
(3)(-)÷.
(說明:(1)二次根式混合運(yùn)算的運(yùn)算次序是:先乘除,后加減;(2)整式運(yùn)算的運(yùn)算法則和運(yùn)算律對二次根式同樣適用;(3)二次根式的運(yùn)算結(jié)果能化簡的必須化簡.)
【答案】 (1)原式=3-6=-3;
(2)原式=·-3·=-3=-9;
(3)原式=÷-÷=-=4-3=1.
【例3】 計算:
(1)-;(2)-8+;
(3)(-)÷;(4)+-.
【答案】 (1)-=-
=-=;
(2)-+=-+
=3-2+=;
(3)(-)÷=÷-÷
=-=-=-=2-=;
(4)+-=+-=+-3=-+.
在上面第(4)題中,很容易看出,化成最簡二次根式后與,化簡后的被開方數(shù)不可能相同,因此,結(jié)果中可以保留,不必將它化成最簡二次根式.
三、課堂小結(jié)
師:本堂課我們學(xué)到了什么新知識?
學(xué)生發(fā)言,教師予以補(bǔ)充.

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