高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中模擬卷（7）（人教A版2019）一、單選題1．（2022·寧夏·銀川一中高二期末（理））設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的解集是（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】先由圖像分析出的正負(fù)，直接解不等式即可得到答案.【詳解】由函數(shù)的圖象可知, 在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞增，即當(dāng)時(shí), ;當(dāng)x∈(0,2)時(shí), .因?yàn)?/span>可化為或，解得：0<x<2或x<0,所以不等式的解集為.故選:C2．（2022·福建·古田縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）函數(shù)在處有極值10，則為（       ）A． B．15 C．或15 D．不存在【答案】B【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)極值的定義列方程組即可求得的值.【詳解】由，得則，解之得或當(dāng)時(shí)，，則在定義域上單調(diào)遞增，在處無極值，不符合題意，舍去.當(dāng)時(shí)，，則在處取極小值10，符合題意.則故選：B3．（2022·黑龍江·雞東縣第二中學(xué)高二開學(xué)考試）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.已知，則公比q為（       ）A． B．1 C． D．1或【答案】D【解析】【分析】就公比是否為1分類討論可得q的值.【詳解】∵，①當(dāng)時(shí)，，滿足條件.②當(dāng)時(shí)，可得解得.綜上可知：或.故選：D.4．（2022·江蘇省南菁高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）乘積展開后的項(xiàng)數(shù)是（        ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】由題意可知乘積展開后的項(xiàng)數(shù)是.故選：C.5．（2022·福建·古田縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)，，（），則a，b，c的大小關(guān)系為（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性對(duì)a，b，c進(jìn)行大小比較即可.【詳解】令，則由，得，由，得則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在時(shí)取最小值.故，且又由，可得，則即，則綜上，有，即故選：A6．（2022·重慶·高二期末）已知等比數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，且，，成等差數(shù)列，則（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求得公比，然后由等比數(shù)列的性質(zhì)得結(jié)論．【詳解】設(shè)的公比為，　因?yàn)?/span>，，成等差數(shù)列，所以，即，，或（舍去，因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)為正）．所以．故選：A．7．（2022·湖南·高二階段練習(xí)）有4種不同顏色的涂料，給圖中的6個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域的顏色不相同，則不同的涂色方法共有（       ） A．1512種 B．1346種 C．912種 D．756種【答案】D【解析】【分析】先從A區(qū)域涂色，討論B，D區(qū)域涂相同、不同顏色的兩種情況，再確定C，E，F區(qū)域涂色方法，應(yīng)用分類分步計(jì)數(shù)原理求不同涂色方法數(shù).【詳解】1、先涂A區(qū)域，則有4種方法，若B，D區(qū)域涂相同顏色，則有3種方法，C，E，F區(qū)域分別有3種方法，共有4×3×3×3×3=324種方法．2、先涂A區(qū)域，則有4種方法，若B，D區(qū)域涂不同顏色，則有3×2種方法，則E區(qū)域有2種方法，C，F分別有3種方法，共有4×3×2×2×3×3=432種方法．故不同的涂色方法共有756種．故選：D8．（2022·江西省臨川第二中學(xué)高二階段練習(xí)）已知a，，且，則（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】得出答案可用特殊值法，嚴(yán)謹(jǐn)證明則要構(gòu)造函數(shù)，判斷不等式【詳解】法1：令，；，．法2：由于，則，分析．令，則，可知，故在上單調(diào)遞減時(shí)，，同理時(shí)，，法3：由不等式鏈：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由于在上單調(diào)遞增，則；由不等式鏈：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由于在上單調(diào)遞增，則．故選：D二、多選題9．（2022·江蘇省南菁高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）關(guān)于排列組合數(shù)，下列結(jié)論正確的是（       ）A． B．C． D．【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)排列數(shù)計(jì)算公式，可判斷A錯(cuò)誤，D正確；根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)或組合數(shù)的計(jì)算公式，可得出B正確；利用排列與組合的關(guān)系可判斷C錯(cuò)誤.【詳解】解：，而，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，，所以，故B正確；，，所以，故C錯(cuò)誤；，故D正確；綜上所述，故選：BD.10．（2022·山西運(yùn)城·高二階段練習(xí)）在的展開式中，二項(xiàng)式的系數(shù)和為，則下列說法正確的是（       ）A． B．展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為C．第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大 D．展開式中所有系數(shù)的絕對(duì)值的和為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理相關(guān)性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由二項(xiàng)式定理可知，二項(xiàng)式系數(shù)之和為，解得，A選項(xiàng)正確；令，得，B選項(xiàng)正確；時(shí)，的展開式共項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第項(xiàng)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；，則，，，為負(fù)數(shù)，，，，，為正數(shù)，故展開式中所有系數(shù)的絕對(duì)值的和為，令，得，D選項(xiàng)正確；故選：ABD.11．（2022·重慶·西南大學(xué)附中高二階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，且，則下列結(jié)論正確的是（       ）A．B．的最小值為C．D．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值【答案】AB【解析】【分析】由遞推關(guān)系式可得，知數(shù)列為等差數(shù)列，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可知A正確；由通項(xiàng)公式可知當(dāng)時(shí)，，知B正確；分別在和求得的前項(xiàng)和，知C錯(cuò)誤；由當(dāng)時(shí)，，可知D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，由得：，數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，，A正確；對(duì)于B，，且當(dāng)時(shí)，，的最小值為，B正確；對(duì)于C，令，解得：，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上所述：，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，取最大值，D錯(cuò)誤.故選：AB.12．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）已知直線分別與函數(shù)和的圖像交于點(diǎn)，，則下列不等式正確的是（       ）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)反函數(shù)的知識(shí)可得函數(shù)和的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，然后可得，，然后利用均值不等式可判斷A，利用可得，，然后可判斷B，由可得，然后利用函數(shù)的單調(diào)性可判斷C，由可得，然后可判斷D.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)和的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，又因?yàn)橹本€的斜率1與直線的斜率的乘積為，因此直線與直線互相垂直，顯然直線也關(guān)于直線對(duì)稱，解方程組得所以直線和的交點(diǎn)為，所以，，，，，．對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?/span>，，，所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?/span>，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以有，因此有，即，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，而，所以，因此，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?/span>，，，所以，因此有，設(shè)函數(shù)，，因?yàn)?/span>，所以，因此函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，有，即，因此有，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?/span>，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，因此，所以，即，故D正確．故選：ABD．三、填空題13．（2022·浙江·高二階段練習(xí)）將1，2，3，4，5這5個(gè)數(shù)字自左向右排成一行，要求數(shù)字4，5都不能排在兩端，則不同的排法共有_______種.（用數(shù)字作答）【答案】36【解析】【分析】先從1，2，3中選2個(gè)數(shù)排在兩端，再將剩下的一個(gè)數(shù)和4，5全排列，然后利用分步計(jì)數(shù)原理求解.【詳解】解：由題意，先從1，2，3中選2個(gè)數(shù)排在兩端，有種方法；再將剩下的一個(gè)數(shù)和4，5全排列，有種方法；然后由分步計(jì)數(shù)原理得，共有種方法，故答案為：3614．（2022·遼寧·沈陽市第八十三中學(xué)高二開學(xué)考試）已知等差數(shù)列的公差為2，若成等比數(shù)列，則數(shù)列的前n項(xiàng)和的最小值為_______．【答案】【解析】【分析】利用給定條件求出等差數(shù)列的通項(xiàng)，確定其所有非正數(shù)項(xiàng)即可計(jì)算作答.【詳解】因成等比數(shù)列，則，即，解得，因此，，由得：，于是得等差數(shù)列是遞增數(shù)列，前5項(xiàng)均為非正數(shù)，從第6項(xiàng)起為正數(shù)，而，則有數(shù)列的前4項(xiàng)和與前5項(xiàng)和相等，并且最小，，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和的最小值為.故答案為：15．（2022·上海·格致中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為（為實(shí)數(shù)），若是嚴(yán)格增數(shù)列，則的取值范圍為______【答案】【解析】【分析】由已知條件推導(dǎo)出對(duì)恒成立，即可求出的取值范圍.【詳解】因?yàn)閿?shù)列的通項(xiàng)公式為，且是嚴(yán)格增數(shù)列，所以，即所以對(duì)恒成立，所以.所以的取值范圍為.故答案為：16．（2022·江蘇省南菁高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知函數(shù)，且對(duì)任意的恒成立，則整數(shù)的最大值為___________.【答案】【解析】【分析】由參變量分離法可得，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最小值的取值范圍，即可得出整數(shù)的最大值.【詳解】由題意可知，對(duì)任意的，，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，令，其中，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?/span>，，所以存在，使得，即，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，所以，，故整數(shù)的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.四、解答題17．（2022·江蘇省南菁高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）（1）解不等式；（2）求的值 ．【答案】（1）的取值集合為；（2）.【解析】【分析】（1）利用組合數(shù)公式化簡可得出關(guān)于的不等式，結(jié)合的取值范圍可得出的取值；（2）根據(jù)題意列出關(guān)于的不等式組，結(jié)合可求得的值，再結(jié)合排列數(shù)公式可求得結(jié)果.【詳解】解：（1）由得，整理得，整理可得，解得，因?yàn)?/span>且，故的取值集合為；（2）由已知可得，解得，因?yàn)?/span>，所以，因此，.18．（2022·浙江省浦江中學(xué)高二階段練習(xí)）已知函數(shù)，(1)若，求的極值；(2)當(dāng)時(shí)，在上的最大值為，求在該區(qū)間上的最小值．【答案】(1)極大值為，極小值為(2)【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，由此得到極值點(diǎn)，代入可得極值；（2）利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，結(jié)合，可知，利用可構(gòu)造方程求得，從而得到.(1)當(dāng)時(shí)，，，令，解得：，，則變化情況如下表：極大值極小值 的極大值為；極小值為(2)，，又，；令，解得：，；則變化情況如下表：極大值極小值 在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，，又，，在上的最大值為，解得：；.19．（2022·上海市松江二中高二階段練習(xí)）在一次招聘會(huì)上，應(yīng)聘者小李被甲?乙兩家公司同時(shí)意向錄取.甲公司給出的工資標(biāo)準(zhǔn)：第一年的年薪為4.2萬元，以后每年的年薪比上一年增加6000元；乙公司給出的工資標(biāo)準(zhǔn)：第一年的年薪為4.8萬元，以后每年的年薪比上一年增加8%.(1)若小李在乙公司連續(xù)工作5年，則他在第5年的年薪是多少萬元？(2)為了吸引小李的加盟，乙公司決定在原有工資的基礎(chǔ)上每年固定增加交通補(bǔ)貼0.72萬元.那么小李在甲公司至少要連續(xù)工作幾年，他的工資總收入才不低于在乙公司工作10年的總收入？（參考數(shù)據(jù)：，，，【答案】(1)萬元(2)小李在甲公司至少要連續(xù)工作11年，他的工資總收入才不低于在乙公司工作10年的總收入．【解析】【分析】（1）依題意可得小李在乙公司工作第年的年薪為，代入，即可得解；（2）求出小李在甲公司工作連續(xù)工作年的工資總收入，小李在乙公司工作10年的總收入，建立不等式，即可得出結(jié)論．(1)解：依題意，小李在乙公司工作第年的年薪為．所以小李在乙公司連續(xù)工作5年，則萬元；(2)解：由題意，小李在甲公司工作連續(xù)工作年的工資總收入為，小李在乙公司工作10年的總收入，則，，，小李在甲公司至少要連續(xù)工作11年，他的工資總收入才不低于在乙公司工作10年的總收入．20．（2022·福建省龍巖第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知函數(shù)在處取得極值(1)求函數(shù)的單調(diào)性；(2)證明：對(duì)于任意的正整數(shù)，不等式都成立.【答案】(1)增區(qū)間是，減區(qū)間是(2)證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，利用極值點(diǎn)列方程求出，代入，求導(dǎo)即可得單調(diào)性；（2）由（1）可得，令，則，利用其即可證明不等式.(1)，為的極值點(diǎn)，令＋－ 的增區(qū)間是，減區(qū)間是；(2)由（1）知當(dāng)時(shí)，，即令，則，即，即21．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項(xiàng)，，（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由，【答案】(1)(2)不存在，理由見解析.【解析】【分析】（1）對(duì)題干條件變形得到是首項(xiàng)為4，公比時(shí)2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出答案；（2）假設(shè)存在，根據(jù)題意得到，結(jié)合，，（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，求出，故矛盾，得到答案.(1)，變形為：，，其中，所以是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，故，即，當(dāng)時(shí)，，其中滿足上式，綜上：的通項(xiàng)公式為(2)不存在，理由如下：由（1）知：，，由題意得：，所以，假設(shè)存在3項(xiàng)，，，（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，所以，即，由于m，k，p成等差數(shù)列，故，所以，所以，即，即，所以，進(jìn)而得到，這與假設(shè)矛盾，故在數(shù)列中是否不存在3項(xiàng)，，（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.22．（2022·河南·高二階段練習(xí)（理））已知函數(shù).(1)若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，(2)若，證明.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）將恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，然后由求解；（2）由（1）知，得到，由條件得到，然后將證，轉(zhuǎn)化為證，令，轉(zhuǎn)化為證，然后令證明.(1)解：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?/span>，所以恒成立等價(jià)于恒成立，所以.令，則.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.所以，故，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.(2)證明：由（1）知，即，由，，得，所以.要證，只需證，即證，即，即，也就是.整理得，即證.令，則要證.令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以.所以當(dāng)時(shí)，，故原結(jié)論成立，即.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問關(guān)鍵是將，變形為，結(jié)合，，，轉(zhuǎn)化為而得證. 
 

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