高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中模擬卷（8）（人教A版2019）一、單選題1．（2022·陜西·西安市鄠邑區(qū)第一中學(xué)高二階段練習(xí)（理））二項式的展開式中系數(shù)為無理數(shù)的項數(shù)為（       ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【分析】寫出二項展開式通項公式，由的指數(shù)不為整數(shù)可得無理項的個數(shù)．【詳解】展開式通項公式為，，當(dāng)時，是整數(shù)，時，是不是整數(shù)，系數(shù)是無理數(shù)，共有3項．故選：B．2．（2022·山西運城·高二階段練習(xí)）把語文，數(shù)學(xué)，英語，物理等7本不同的書放入書架，若數(shù)學(xué)書和物理書相鄰，語文書不放在最左邊，英語書不放在最右邊，則不同的放法共有（       ）A．780 B．960 C．1440 D．1008【答案】D【解析】【分析】把數(shù)學(xué)書和物理書捆綁，從語文書的位置進行分類，結(jié)合排列知識求解.【詳解】先把數(shù)學(xué)書和物理書捆綁看作一個元素，共有種方法；當(dāng)語文書放在最右邊時，英語書和其它書排列，共有種方法；當(dāng)語文書放不在最右邊時，最右邊放置除語文和英語之外的書，有4種方法，最左邊放置除語文之外的余下的書，有4種方法，其它位置沒有要求，有種方法；綜上共有種方法；故選：D3．（2022·遼寧·沈陽市第八十三中學(xué)高二開學(xué)考試）數(shù)列 的前項和等于（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先設(shè)數(shù)列，前項和為，當(dāng)為奇數(shù)時，求出并項，再根據(jù)并項求出當(dāng)為偶數(shù)時的表達式，代值計算即可.【詳解】設(shè)數(shù)列，數(shù)列的前項和為，當(dāng)為奇數(shù)時，，所以當(dāng)為偶數(shù)時， ，所以.故選：D.4．（2022·廣西·高二期末（文））“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學(xué)成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了多年，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記為圖中虛線上的數(shù)，，，，…構(gòu)成的數(shù)列的第項，則的值為（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)楊輝三角可得數(shù)列的遞推公式，結(jié)合累加法可得數(shù)列的通項公式與.【詳解】由已知可得數(shù)列的遞推公式為，且，且，故，，，，，等式左右兩邊分別相加得，，故選：B.5．（2022·云南·無高二開學(xué)考試）已知函數(shù)，若存在，使得不等式成立，則實數(shù)m的取值范圍為（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，依題意存在，使得成立，參變分離，即可求出參數(shù)的取值范圍；【詳解】解：因為定義域為，又，即為奇函數(shù)，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以為在定義域上單調(diào)遞增的奇函數(shù)，因為存在，使得成立，即成立，即成立，所以存在，使得成立，則成立，因為，所以，所以，即；故選：A6．（2022·北京市十一學(xué)校高二期末）某公司要建造一個長方體狀的無蓋箱子，其容積為48m3，高為3m，如果箱底每1m2的造價為15元，箱壁每1m2造價為12元，則箱子的最低總造價為（　?。?/span>A．72元 B．300元 C．512元 D．816元【答案】D【解析】【分析】設(shè)這個箱子的箱底的長為x m，則寬為 m，設(shè)箱子總造價為f（x）元，則f (x)＝72(x)+240，由此利用均值不等式能求出箱子的最低總造價．【詳解】設(shè)這個箱子的箱底的長為x m，則寬為 m，設(shè)箱子總造價為f (x)元，∴f (x)＝15×16+12×3(2x)＝72(x)+240≥144240＝816，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x＝4時，f（x）取最小值816元．故選：D．7．（2022·全國·高二課時練習(xí)）數(shù)列滿足，則數(shù)列的前60項和等于（       ）A．1830 B．1820 C．1810 D．1800【答案】D【解析】【分析】當(dāng)為正奇數(shù)時，可推出，當(dāng)為正偶數(shù)時，可推出，將該數(shù)列的前項和表示為，結(jié)合前面的規(guī)律可計算出數(shù)列的前項和.【詳解】當(dāng)為正奇數(shù)時，由題意可得，，兩式相加得；當(dāng)為正偶數(shù)時，由題意可得，，兩式相減得.因此，數(shù)列的前項和為.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查數(shù)列求和，找出數(shù)列的規(guī)律是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的推理能力與運算求解能力，分類討論思想，屬于中等題.8．（2022·陜西·西安中學(xué)高二期末（文））對于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)圖象都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.設(shè)函數(shù)，則（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)“拐點”的概念可判斷函數(shù)的對稱中心，進而求解.【詳解】，，，令，解得：，而，故函數(shù)關(guān)于點對稱，，，故選：B.二、多選題9．（2022·福建省龍巖第一中學(xué)高二開學(xué)考試）記數(shù)列的前n項和為，則下列條件中一定能得出是等比數(shù)列的有（       ）A． B．C． D．【答案】BC【解析】【分析】應(yīng)用特殊數(shù)列，令數(shù)列為的常數(shù)列即可判斷A、D；利用關(guān)系求得、即可判斷B；由對數(shù)的運算性質(zhì)有，結(jié)合等比中項性質(zhì)判斷C.【詳解】當(dāng)為常數(shù)列且時，、都成立，但不是等比數(shù)列，A、D不符合要求；B：由，則；當(dāng)時，，即，故是首項為1，公比為2的等比數(shù)列；C：由，即且，故是等比數(shù)列；故選：BC10．（2022·全國·高二單元測試）關(guān)于及其展開式，下列說法正確的是（       ）A．該二項式展開式中二項式系數(shù)和是B．該二項式展開式中第8項為C．當(dāng)時，除以100的余數(shù)是9D．該二項式展開式中不含有理項【答案】BC【解析】【分析】由二項式系數(shù)和與各項系數(shù)和可判斷A；由展開式通項可判斷B和D，變形展開式可判斷C.【詳解】對于選項A：令得展開式各項系數(shù)和為，但其二項式系數(shù)和為，故A錯誤；對于選項B：展開式中第8項為，故B正確；對于選項C：當(dāng)時，，能被100整除，而，除以100的余數(shù)是9，當(dāng)時，除以100的余數(shù)是9，故正確；對于選項D：的展開式的通項，當(dāng)為整數(shù)，即，3，，2021時，為有理項，故D錯誤.故選：BC.11．（2022·湖北·石首市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）對于函數(shù)圖象上的任意一點，都存在另外一點，使得的圖象在這兩個不同點處的切線互相平行，則稱函數(shù)具有性質(zhì)，下列函數(shù)中不具有性質(zhì)的有（       ）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】【分析】由至少有兩個不同的解對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】函數(shù)具有性質(zhì)，等價于對于導(dǎo)函數(shù)值域中任意的值，至少有兩個不同的解．對于A，，當(dāng)時，只有唯一的解，故函數(shù)不具有性質(zhì)；對于B，只有唯一的解，故函數(shù)不具有性質(zhì)；對于C，是周期函數(shù)，對于任意的，有無數(shù)個解，故函數(shù)具有性質(zhì)；對于D，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，不存在兩個解，故函數(shù)不具有性質(zhì)．故選：ABD12．（2022·福建·福州三中高二期末）關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（       ）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增B．函數(shù)的值域是C．對任意的正實數(shù)，方程總有兩個實數(shù)解D．若恒成立，則【答案】AC【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)可確定在上恒成立，知A正確；由知B錯誤；利用導(dǎo)數(shù)可分別求得和時的單調(diào)性，結(jié)合的正負(fù)可確定方程解的個數(shù)，知C正確；由且時不等式不恒成立知D錯誤.【詳解】對于A，，令，則當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，，即在上恒成立，在上單調(diào)遞增，A正確；對于B，，的值域不是，B錯誤；對于C，由A的推導(dǎo)過程知：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，又，且當(dāng)時，，在上有且僅有一個解；當(dāng)時，由知：在上單調(diào)遞減，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上有且僅有一個解；綜上所述：對任意的正實數(shù)，方程總有兩個實數(shù)解，C正確；對于D，當(dāng)時，，，；若此時，則不成立，D錯誤.故選：AC.三、填空題13．（2022·江蘇·昆山震川高級中學(xué)高二階段練習(xí)）不等式的解集為________．【答案】【解析】【分析】直接利用排列數(shù)公式化簡求解即可【詳解】由，得，，因為，所以，所以，整理得，解得，因為，且，所以得，所以，所以不等式的解集為，故答案為：14．（2022·重慶市第七中學(xué)校高二階段練習(xí)）古人用天干、地支來記年，把天干中的一個字?jǐn)[在前面，后面配上地支中的一個字，這樣就構(gòu)成一對干支，如“甲子”、“乙卯”等，現(xiàn)用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，或用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，則共可配成________對干支．【答案】60【解析】【分析】依題意分兩種情況，按照分步乘法計數(shù)原理與分類加法計數(shù)原理計算可得；【詳解】解：依題意，若用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，則有對干支；若用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，則有對干支；綜上可得一共可配成對干支；故答案為：15．（2022·廣東·普寧市華僑中學(xué)高二階段練習(xí)）在等比數(shù)列中，已知，則________．【答案】【解析】【分析】求得等比數(shù)列的通項公式，再去求即可解決.【詳解】設(shè)等比數(shù)列首項為，公比為 則，解之得，則則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.則故答案為：16．（2022·四川省通江中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知函數(shù)，，當(dāng)實數(shù)的取值范圍為________時，的零點最多.【答案】【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象，由得，設(shè)，分，，分別討論與的交點個數(shù)，當(dāng)時，求得與相切時切線的斜率，與相切時切線的斜率，由此可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】解：作出函數(shù)的圖象如圖：由得，設(shè)，當(dāng)時，與有2個交點；當(dāng)時，與有2個交點；.當(dāng)時，設(shè)與相切，切點為，則，所以切線的斜率為，其切線方程為：，又因切線恒過點，所以，解得，所以切線的斜率為，當(dāng)時，設(shè)與相切，切點為，則，所以切線的斜率為，其切線方程為：，又因切線恒過點，所以，解得，所以切線的斜率為，所以當(dāng)時，與有1個交點；當(dāng)時，與有2個交點；當(dāng)時，與有3個交點；當(dāng)時，與有4個交點；所以實數(shù)的取值范圍為時，的零點最多，故答案為：.四、解答題17．（2022·山西朔州·高二期末（文））（1）若在是減函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；（2）已知函數(shù)在R上無極值點，求a的值.【答案】（1）；（2）1【解析】【分析】（1）將問題轉(zhuǎn)化為在內(nèi)恒成立，求出的最小值，即可得到答案；（2）對函數(shù)求導(dǎo)得，由，即可得到答案；【詳解】（1）依題意知，在內(nèi)恒成立，所以在內(nèi)恒成立，所以，因為的最小值為1，所以，所以實數(shù)m的取值范圍是. （2），依題意有，即，，解得.18．（2022·浙江·義烏市商城學(xué)校高二階段練習(xí)）某工廠共有10臺機器共同生產(chǎn)一種儀器的元件，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平等因素的影響，會產(chǎn)生一定數(shù)量的次品.根據(jù)經(jīng)驗知道，每臺機器生產(chǎn)的次品數(shù)（萬件）與每臺機器的日產(chǎn)量（萬件）之間滿足關(guān)系：，已知每生產(chǎn)1萬件合格的元件可盈利2萬元，但每生產(chǎn)1萬件次品將虧損1萬元.(1)試將該工廠每天生產(chǎn)這種元件所獲得的利潤（萬元）表示為關(guān)于（萬件）的函數(shù)（利潤盈利虧損）；(2)當(dāng)每臺機器的日產(chǎn)量（萬件）為多少時，獲得的利潤最大，最大利潤為多少?【答案】(1)(2)日產(chǎn)量為6（萬件）時所獲得的利潤最大，最大利潤為萬元．【解析】【分析】（1）利用利潤盈利虧損，得到與的關(guān)系，將代入整理即可；（2）對（1）的解析式求導(dǎo)，判定取最大值時的值，求最大利潤．(1)解：由題意，所獲得的利潤為(2)解：由（1），所以，令，得到或（舍去）；所以當(dāng)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；所以當(dāng)時，函數(shù)取極大值，即最大值，所以當(dāng)時利潤最大，為（萬元），當(dāng)每臺機器的日產(chǎn)量為6（萬件）時所獲得的利潤最大，最大利潤為萬元．19．（2022·遼寧·沈陽市第八十三中學(xué)高二開學(xué)考試）已知數(shù)列{an}滿足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝.(1)證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）要證明{bn}是等差數(shù)列，即證明－等于一個常數(shù)即可.（2）由（1）知bn＝n＋，又因為bn＝，即可求出{an}的通項公式.(1)證明：∵(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)－＝＝，∴bn＋1－bn＝，∴{bn}是以首項為b1＝＝＝1，公差為的等差數(shù)列．(2)由(1)及b1＝＝＝1，知bn＝n＋，∴an－1＝，∴an＝.20．（2022·重慶南開中學(xué)高二期末）已知函數(shù).(1)若與在處有相同的切線，求實數(shù)的取值；(2)若時，方程在上有兩個不同的根，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得函數(shù)在處的切線方程，再由有相同的切線這一條件即可求解；（2）先分離，再研究函數(shù)的單調(diào)性，最后運用數(shù)形結(jié)合的思想求解即可.(1)設(shè)公切線與的圖像切于點，在處的切線為，由題意得：；(2)當(dāng)時，，①，①式可化為為，令令，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.，當(dāng)時，由題意知：21．（2022·四川省通江中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知正項數(shù)列的前項和為，且 ；(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)當(dāng)時;當(dāng) 時,;【解析】【分析】（1）利用時，，結(jié)合可得，由此求得，進而求得數(shù)列的通項公式；（2）求出 時的結(jié)果，當(dāng) 時，利用裂項相消法求得結(jié)果，即得答案.(1)由題意正項數(shù)列的前項和為，當(dāng)時， ，故，所以 ，即，所以 是以為首項，以1為公差的等差數(shù)列，則 ，所以 ，即，但 不適合上式，故；(2)當(dāng) 時，；當(dāng) 時， .22．（2022·福建省龍巖第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知函數(shù)．（1）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．（2）若函數(shù)的兩個零點為，，證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）分離常數(shù)后構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后利用函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最小值即可得出結(jié)論；（2）要證，即要證，即證．構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后利用函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】（1）解：因為恒成立，所以，即恒成立．令，則，易知在上單調(diào)遞增，且．所以當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，故．（2）證明：由題意可知方程的兩根為，．令，則的兩個零點為，．．當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，不存在兩個零點；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，得．設(shè)，則，．因為，所以，．要證，即要證，即證．令，．則，所以在上單調(diào)遞減，所以．因為，所以．因為，，且在上單調(diào)遞減，所以，即，故成立． 
 

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