高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中模擬卷（1）（人教A版2019）考試時間：120分鐘   滿分：150分測試范圍：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、計數(shù)原理與概率統(tǒng)計 一、單選題：本大題共8小題，每個小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1．若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】求導(dǎo)得，再代入即可計算出.【詳解】由題意，所以，得.故選：C.2．造紙術(shù)?印刷術(shù)?指南針?火藥被稱為中國古代四大發(fā)明，這四種發(fā)明對中國古代的政治?經(jīng)濟?文化的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的推動作用；2017年5月，來自“一帶一路”沿線的20國青年評選出了“中國的新四大發(fā)明”：高鐵?掃碼支付?共享單車和網(wǎng)購．若從這8個發(fā)明中任取兩個發(fā)明，則兩個都是新四大發(fā)明的概率為（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】這是一個古典概型，先求得從8個發(fā)明中任取兩個發(fā)明的基本事件數(shù)，再求得兩個都是新四大發(fā)明基本事件數(shù)，代入公式求解.【詳解】從8個發(fā)明中任取兩個發(fā)明共有種，兩個都是新四大發(fā)明的有種，∴所求概率為，故選：C3．若，則的值為                    A． B． C．. D．【答案】C【解析】【詳解】在所給的算式中，令可得：，由二次項的展開式可得：，據(jù)此可得：.本題選擇C選項.點睛：求解這類問題要注意：①區(qū)別二項式系數(shù)與展開式中項的系數(shù)，靈活利用二項式系數(shù)的性質(zhì)；②根據(jù)題目特征，恰當(dāng)賦值代換，常見的賦值方法是使得字母因式的值或目標(biāo)式的值為1，－1.4．下列結(jié)論正確的是（       ）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】A【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)法則，對選項一一判斷即可得解.【詳解】解：選項A，由三角函數(shù)的求導(dǎo)法則知，A正確；選項B，若，則，即B錯誤；選項C，若，則，即C錯誤；選項D，若，則，即D錯誤.故選：A.5．函數(shù)，若關(guān)于x的方程有四個不等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】作出函數(shù)的大致圖象，令，則原問題可轉(zhuǎn)為關(guān)于t的方程有2個不等實根和，結(jié)合的圖象可確定和符合兩種情形：，或，，最后分兩類討論即可求得a的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，，∴，∴當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，函數(shù)的大致圖象如圖所示：令，當(dāng)或4時，方程有2個實根；當(dāng)，方程有1個實根.當(dāng)t∈（0，4）時，方程t＝f（x）有3個實根；則關(guān)于x的方程有四個不等的實數(shù)根可等價于關(guān)于t的方程有2個不等實根和.∴和可符合兩種情形：,或∈（0，4），.若，，則；若∈（0，4），，設(shè)g（t）＝t2﹣at+4a﹣a2，則g（0）?g（4）＜0，∴，解得.綜上，實數(shù)a的取值范圍為.故選：C.【點睛】本題考查方程根的問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．6．設(shè)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍(　　)A． B． C． D．【答案】A【解析】【詳解】分析：求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令，求得函數(shù)的遞增區(qū)間，又由在上單調(diào)遞增，列出不等式組，即可求解實數(shù)的取值范圍．詳解：由函數(shù)，可得，令，即，即，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又由函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得，故選A．點睛：本題主要考查了根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)求解參數(shù)的取值范圍問題，其中熟記導(dǎo)函數(shù)的取值正負與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力．7．若從0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字中選3個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)，則這樣的三位數(shù)一共有A．20個 B．48個 C．52個 D．120個【答案】C【解析】【分析】由于0不能在首位數(shù)字，則分2種情況討論：①若0在個位，此時0一定不在首位，由排列公式即可得此時三位偶數(shù)的數(shù)目；②若0不在個位，要排除0在首位的可能，由分步計數(shù)原理可得此情況下三位偶數(shù)的數(shù)目，綜合2種情況，由分類計數(shù)原理計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，分2種情況討論：①若0在個位，此時只須在1，2，3，4，5中任取2個數(shù)字，作為十位和百位數(shù)字即可，有A52=20個沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)；②若0不在個位，此時必須在2或4中任取1個，作為個位數(shù)字，有2種取法，0不能作為百位數(shù)字，則百位數(shù)字有4種取法，十位數(shù)字也有4種取法，此時共有2×4×4=32個沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)，綜合可得，共有20+32=52個沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)．故選C．【點睛】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分類、分步計數(shù)原理的應(yīng)用，解題需要注意偶數(shù)的末位數(shù)字以及0不能在首位等性質(zhì)．8．設(shè)函數(shù)有且僅有一個零點，則實數(shù)的值為A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】對實行參變分離，對新函數(shù)的圖象求導(dǎo)，研究其導(dǎo)函數(shù)的正負，得新函數(shù)的單調(diào)性，從而求出新函數(shù)的最趨勢和最值，求得的范圍.【詳解】令因為所以 令得時，所以在上單調(diào)遞增；時，所以在上單調(diào)遞減；所以在處取得最大值,又 要使有且僅有一個零點，則的值為.故選B【點睛】本題關(guān)鍵在于對實行參變分離，轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的圖象趨勢和最值，屬于難度題.二、多選題：本大題共4小題，每個小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，只有一項或者多項是符合題目要求的.9．變量，的個樣本點，，，及其線性回歸方程，下列說法正確的有（       ）A．相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近1，表示，的線性相關(guān)程度越強B．相關(guān)指數(shù)的值越接近1，表示線性回歸方程擬合效果越好C．殘差平方和越大，表示線性回歸方程擬合效果越好D．若，則點一定在線性回歸方程上【答案】ABD【解析】【分析】當(dāng)r的絕對值|r|越接近1時，兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，故選項A正確；R2越大，說明模型的擬合效果越好，故選項B正確；殘差的平方和越大，說明擬合效果越差，故選項C錯誤；樣本中心一定在線性回歸方程上，故選項D正確．【詳解】解：由線性相關(guān)系數(shù)的意義可知，當(dāng)r的絕對值|r|越接近1時，兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，故選項A正確；用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸效果，R2越大，說明模型的擬合效果越好，故選項B正確；擬合效果的好壞是由殘差的平方和來體現(xiàn)的，殘差的平方和越大，說明擬合效果越差，故選項C錯誤；樣本中心一定在線性回歸方程上，故選項D正確．故選：ABD．10．已知，為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列不等式一定成立的是（       ）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】【分析】通過構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)對選項逐一分析，由此確定正確選項.【詳解】依題意0＜a＜b＜1，e為自然對數(shù)的底數(shù)，對于A，設(shè) f（x）＝xex，0＜x＜1，則＝（x+1）ex＞0，f（x）在 （0，1）上單調(diào)遞增，故 f（a）＜f（b），即 aea＜beb，故A正確；對于B，設(shè) h（x）＝（0＜x＜1），則h′（x）＝＜0在 （0，1）上恒成立，故函數(shù)h（x）在 （0，1）上單調(diào)遞減，故 h（a）＞h（b），即＞，故 bea＞aeb，故B正確；對于C，設(shè) t（x）＝xlnx（0＜x＜1），則 t′（x）＝lnx+1，當(dāng)x∈（0，） 時，t′（x）＜0，當(dāng)x∈（，1）時，t′（x）＞0，故 t（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，1）上單調(diào)遞增，t（a）與t（b）的大小關(guān)系不確定，故C錯誤；對于D，設(shè)g（x）＝（0＜x＜1），則g′（x）＝＞0，函數(shù)g（x）在 （0，1）上單調(diào)遞增，故g（a）＜g（b），即＜，化為blna＜alnb，即lnab＜lnba，即ab＜ba，故D正確.故選：ABD11．有3臺車床加工同一型號的零件．第1臺加工的次品率為6%，第2，3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起．已知第1，2，3臺車床的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%，則下列選項正確的有（       ）A．任取一個零件是第1臺生產(chǎn)出來的次品概率為0.06B．任取一個零件是次品的概率為0.0525C．如果取到的零件是次品，且是第2臺車床加工的概率為D．如果取到的零件是次品，且是第3臺車床加工的概率為【答案】BD【解析】【分析】記A：車床加工的零件為次品，記Bi：第i臺車床加工的零件，根據(jù)已知確定P(A|B1)、P(A|B2)、P(A|B3)、P(B1)、P(B2)、P(B3)，再利用條件概率公式、全概率公式判斷各選項描述中的概率是否正確即可.【詳解】記事件A：車床加工的零件為次品，記事件Bi：第i臺車床加工的零件，則P(A|B1)＝6%，P(A|B2)＝P(A|B3)＝5%，又P(B1)＝25%，P(B2)＝30%，P(B3)＝45%，A：任取一個零件是第1臺生產(chǎn)出來的次品概率為P(AB1)＝6%×25%＝1.5%，故錯誤；B：任取一個零件是次品的概率為P(A)＝P(AB1)+P(AB2)+P(AB3)＝6%×25%+5%×75%＝5.25%，故正確；C：如果取到的零件是次品，且是第2臺車床加工的概率為P(B2|A)＝＝＝＝，故錯誤；D：如果取到的零件是次品，且是第3臺車床加工的概率為P(B3|A)＝＝＝＝，故正確；故選：BD．12．已知，展開式的各項系數(shù)和為1024，下列說法正確的是（       ）A．展開式中偶數(shù)項的二項式系數(shù)和為256B．展開式中第6項的系數(shù)最大C．展開式中存在常數(shù)項D．展開式中含項的系數(shù)為45【答案】BC【解析】【分析】由結(jié)合展開式的各項系數(shù)和得出，再由二項式定理的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】解：∵展開式的各項系數(shù)之和為1024，∴，∵a＞0，∴a＝1．原二項式為，其展開式的通項公式為：展開式中偶數(shù)項的二項式系數(shù)和為×1024＝512，故A錯；因為本題中二項式系數(shù)和項的系數(shù)一樣，且展開式有11項，故展開式中第6項的系數(shù)最大，B對；令，即展開式中存在常數(shù)項，C對；令，D錯．故選：BC．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13．現(xiàn)有5種不同顏色要對如圖所示的四個部分進行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法種數(shù)為 ______．【答案】180【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)，先從A區(qū)塊著色，判斷各部分的著色方案數(shù)，即可求不同的著色方法種數(shù).【詳解】按A、B、C、D順序著色，A區(qū)塊有5種著色方案，B區(qū)塊有4種著色方案，C區(qū)塊有3種著色方案，D區(qū)塊有3種著色方案，故不同的著色方法種數(shù)為5×4×3×3＝180，故答案為：180．14．若，則______．【答案】【解析】【分析】將x6改寫為[1+(1+x)]6，根據(jù)題設(shè)展開式及展開式通項，即可求的值.【詳解】x6＝[1+(1+x)]6＝a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+……+a6(x+1)6，∴a3＝(1)3＝20，故答案為：20．15．若隨機變量，，若，，則______．【答案】【解析】【分析】解不等式1﹣（1﹣p）3＝0.657得到p＝0.3，再利用正態(tài)分布求解.【詳解】解：∵P（X≥1）＝0.657，∴1﹣（1﹣p）3＝0.657，即（1﹣p）3＝0.343，解得p＝0.3，∴P（0＜Y＜2）＝p＝0.3，∴P（Y＞4）＝＝．故答案為：0.2．16．有2個人在一座8層大樓的底層進入電梯，假設(shè)每一個人自第二層開始在每一層離開電梯是等可能的，則2個人在不同層離開的概率為 ________________．【答案】【解析】【分析】每個人自第二層開始在每一層離開電梯的概率都是，再利用獨立事件的概率公式求解.【詳解】解：∵每一個人自第二層開始在每一層離開電梯是等可能的，∴每個人自第二層開始在每一層離開電梯的概率都是，根據(jù)相互獨立事件的概率乘法公式可得這2個人在不同樓層離開的概率為P＝（）×（）＝．故答案為：．四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟． 17．在某校歌詠比賽中，甲班、乙班、丙班、丁班均可從、、、四首不同曲目中任選一首.（1）求甲、乙兩班選擇不同曲目的概率；（2）設(shè)這四個班級總共選取了首曲目，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）.（2）見解析.【解析】【詳解】試題分析：(1)由題意可得從、、、四首不同曲目中任選一首，共有種選法，甲、乙兩班選擇不同的曲目共有種選法，則甲、乙兩班選擇不同曲目的概率為.(2)由題意可得的可能取值為1，2，3，4，利用概率公式求得分布列，然后計算可得數(shù)學(xué)期望為.試題解析：（1）在某校歌詠比賽中，甲班、乙班、丙班、丁班均可從、、、四首不同曲目中任選一首，共有種選法，甲、乙兩班選擇不同的曲目共有種選法，∴甲、乙兩班選擇不同曲目的概率為.（2）依題意可知，的可能取值為1，2，3，4，則，，，∴的分布列為： 18．某禮品店要制作一批長方體包裝盒，材料是邊長為的正方形紙板．如圖所示，先在其中相鄰兩個角處各切去一個邊長是的正方形，然后在余下兩個角處各切去一個長、寬分別為、的矩形，再將剩余部分沿圖中的虛線折起，做成一個有蓋的長方體包裝盒． (1)求包裝盒的容積關(guān)于的函數(shù)表達式，并求函數(shù)的定義域； (2)當(dāng)為多少時，包裝盒的容積最大？最大容積是多少？【答案】（1），函數(shù)的定義域為．（2）切去的正方形邊長時，包裝盒的容積最大，最大容積是．【解析】【詳解】試題分析：（1）先用x表示長寬高，再根據(jù)長方體體積公式列函數(shù)解析式，最后根據(jù)實際意義確定定義域（2）求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律，確定單調(diào)性，最后根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)最值試題解析：（1）因為包裝盒高，底面矩形的長為，寬為，       所以鐵皮箱的體積 ．函數(shù)的定義域為． （2）由（1）得，，令，解得． 當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減． 所以函數(shù)在處取得極大值，這個極大值就是函數(shù)的最大值．又． 答：切去的正方形邊長時，包裝盒的容積最大，最大容積是．19．在下面三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并對其求解．條件①：第3項與第7項的二項式系數(shù)相等；條件②：只有第5項的二項式系數(shù)最大；條件③：所有項的二項式系數(shù)的和為256．問題：在的展開式中，_____．（1）求的值；（2）若其展開式中的常數(shù)項為112，求其展開式中所有項的系數(shù)的和．【答案】（1）條件選擇見解析，；（2）1．【解析】【分析】（1）選①，則由計算出.選②，則由第項的二項式系數(shù)最大求得.選③，則由求得.（2）化簡展開式的通項公式，根據(jù)其常數(shù)項為求得，利用賦值法求得展開式中所有項的系數(shù)的和.【詳解】（1）選①：因為，所以n＝8；選②：因為只有第5項的二項式系數(shù)最大，所以，則n＝8；選③：因為所有項的二項式系數(shù)的和為256，則2n＝256，則n＝8；（2）二項式的展開式的通項公式為，令，解得r＝6，所以展開式的常數(shù)項為，得a2＝4，又a＞0，所以a＝2，令x＝1可得展開式的所有項的系數(shù)和為．20．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）．【解析】【分析】（1）利用求得的單調(diào)區(qū)間；（2）由在區(qū)間恒成立分離常數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)a＝﹣3時，函數(shù)f（x）＝x﹣﹣4lnx（x＞0），＝1+﹣＝＝，由＞0，可得0＜x＜1或x＞3，由＜0，可得1＜x＜3，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），（3，+∞）；遞減區(qū)間為（1，3）；（2）＝1﹣﹣＝，x＞0，f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，即為≥0在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，即a≤x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，由（x2﹣4x）min＝﹣4，得a≤﹣4，即a∈.21．已知函數(shù)（1）求的極值；（2）若，求的值，并證明：【答案】（1）當(dāng)時，無極值；當(dāng)時，的極小值為，無極大值；（2）1，證明見解析.【解析】【分析】(1)先求導(dǎo)函數(shù),再對參數(shù)進行分類討論,即可求出極值.(2)由(1)得,,即故要證只要證構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)即可求解.【詳解】解：（1）①當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增.在上無極值.②當(dāng)時，令得；令得.在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.的極小值為，無極大值.綜上，當(dāng)時，無極值；當(dāng)時，的極小值為，無極大值. （2）由（1）可知，①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，而，當(dāng)時，，即不恒成立.②當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.令，則當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減.設(shè)，下面證明當(dāng)時，，即只要證令，則當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增.式成立，即成立.22．已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）若函數(shù)存在三個零點，分別記為.（?。┣?/span>的取值范圍；（ⅱ）證明：.【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求斜率，由點斜式求解即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值，（?。?jù)此當(dāng)滿足時，可求出的取值范圍（ⅱ）計算，利用函數(shù)單調(diào)性可得，即可證明.【詳解】（1）當(dāng)時，，得，因為，，所以曲線在點處的切線方程為，即. （2）因為，所以令，得，.，隨的變化如下：+-+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增 所以的極大值為，極小值為.（?。┤艉瘮?shù)存在三個零點，分別記為則，所以.當(dāng)時，，，此時，，，故存在三個零點，所以若函數(shù)存在三個零點，的取值范圍是.（ⅱ）證明：因為是函數(shù)的零點，所以.因為，所以.因為，所以.又因為，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即.【點睛】關(guān)鍵點點睛：證明轉(zhuǎn)化為，先證明，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求證，屬于難題. 
 

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2021--2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中模擬卷07（人教A版2019新高考版本）

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2021--2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中模擬卷11（人教A版2019新高考版本）

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2021--2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中模擬卷06（人教A版2019新高考版本）

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