考點25-1 二次函數(shù)與面積綜合-2022年中考數(shù)學專項分類提分訓練（天津?qū)Ｓ茫?試卷下載-教習網(wǎng)

?考點25—1 二次與面積綜合
1．已知二次函數(shù)的圖象過點（3，0）、（－1，0）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點，二次函數(shù)圖象的對稱軸與直線交于點，求點的坐標；
（3）在第一象限內(nèi)的拋物線上有一點，當?shù)拿娣e最大時，求點的坐標．

【答案】（1）拋物線的解析式為y=-x2+2x+3;(2) P（1，2）．(3) Q（，）．
【解析】
試題分析：（1）將A、C的坐標代入函數(shù)解析式，解方程組求出b、c的值，即可得到函數(shù)的解析式；
（2）先令x＝0求出B點坐標，然后利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，再在直線AB解析式中令x＝1即可得出點P坐標；
（3）設Q（m，），△QAB的面積為S，連接QA，QB，OQ，則S＝，用含m的代數(shù)式表示S，然后利用二次函數(shù)的最值即可求出點Q的坐標．
試題解析：
（1）把點A（3，0）、C（－1，0）代入中，
得解得
∴拋物線的解析式為．
（2）在中，當x＝0時y＝3，
∴B（0，3），
設直線AB的解析式為，
∴，
∴，
∴直線AB的解析式為，
當x＝1時，y＝2，
∴P（1，2）．
（3）設Q（m，），△QAB的面積為S，
連接QA，QB，OQ，則S＝
＝
又∵，
∴S＝

＝
∴當時S最大，
此時＝，
∴Q（，）．

2．（2019·湖南九年級期中）已知二次函數(shù)圖象的頂點在原點，對稱軸為軸．一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象交于兩點（在的左側(cè)），且點坐標為．平行于軸的直線過點．

（1）求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式；
（2）判斷以線段AB為直徑的圓與直線的位置關(guān)系，并給出證明；
（3）把二次函數(shù)的圖象向右平移 2 個單位，再向下平移 t 個單位（t＞0），二次函數(shù)的圖象與x 軸交于 M，N 兩點，一次函數(shù)圖象交y 軸于 F 點．當 t 為何值時，過 F，M，N 三點的圓的面積最??？最小面積是多少？
【答案】（1）一次函數(shù)的解析式為；二次函數(shù)解析式為．
（2）相切，證明見解析
（3）當時，過三點的圓面積最小，最小面積為．
【解析】
【解析】
把代入得
一次函數(shù)的解析式為
二次函數(shù)圖象的頂點在原點,對稱軸為軸，
二次函數(shù)的解析式為,將代入解析式得
二次函數(shù)的解析式為
由解得或，，取的中點，
過作直線的垂線,垂足為,則
，而直徑

，即圓心到直線的距離等于半徑，
以為直徑的圓與直線相切.

平移后二次函數(shù)的解析式為,
令得
過三點的國的圓心一定在平移后拋物線的對稱軸.上,要使圓面積最小,圓半徑應等于點到直線2的距離,點坐標為.
此時,半徑為,面積為
設圓心為的中點為,連接,則，
在三角形中，
，而
當時，過三點的圓面積最小,最小面積為.
3．（2017·四川中考真題）如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過三點.
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）點是該二次函數(shù)圖象上的一點，且滿足(是坐標原點)，求點的坐標；
（3）點是該二次函數(shù)圖象上位于一象限上的一動點，連接分別交軸與點若的面積分別為求的最大值.
【答案】（1）；（2）滿足條件的點有：；（3）當時，有最大值，最大值為：.
【解析】
試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式即可；（2）設直線與軸的交點為，根據(jù)已知條件求得t=±8，根據(jù)t的值求得直線BD的解析式，把直線BD的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立組成方程組，解方程組即可求得點D的坐標；（3）過點P作PH//軸交直線于點，設，則，所以，分別用t表示出的面積分別為在計算出與t的函數(shù)關(guān)系，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.=
試題解析：
（1）由題意得：設拋物線的解析式為：；
因為拋物線圖像過點,
解得
所以拋物線的解析式為：
即：
(2)設直線與軸的交點為

當時，直線解析式為：

所以，點
當時，直線解析式為：

所以，點
綜上：滿足條件的點有：
（3）：過點P作PH//軸交直線于點，設
BC直線的解析式為故：

AP直線的解析式為：
故：

；

即：
所以，當時，有最大值，最大值為：.
4．（2021·遼寧九年級期末）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點和點，與軸交于點，點在第三象限內(nèi)的二次函數(shù)圖象上運動．
求二次函數(shù)的解析式；
如圖1，設四邊形的面積為，試求的最大值并求出此時點坐標；

如圖2，點在二次函數(shù)圖象上，且位于直線的下方，過點作，垂足為點，連接，若與相似，求點的坐標．

【答案】；的最大值為9，此時；，
【分析】
（1）直接將和點代入解析式，運用待定系數(shù)法求解即可；
（2）連接OP，則四邊形的面積由△OAP，△OCP和△OBC三部分構(gòu)成，分別表示出三部分的面積即可得到關(guān)于S的二次函數(shù)式，運用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解最大值及坐標；
（3）分兩種情況進行分析，和，分別根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可．
【解析】
解：把，代入中，
可求得，，，
∴
如圖1，連接，
=，
∵點在第三象限內(nèi)的二次函數(shù)圖象上運動，
∴，
∴，
當時，，此時；

兩種情形，
①當時，如圖2，
，解得，

②時，如圖3，過點作

設，由
可求得，

代入
解得，

綜上，點的坐標為：，．
【點睛】
本題考查二次函數(shù)與幾何綜合問題，準確分類討論并靈活運用相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
5．（2019·吉林九年級）我們規(guī)定，以二次函數(shù)y=ax2+bx+c的二次項系數(shù)a的2倍為一次項系數(shù)，一次項系數(shù)b為常數(shù)項構(gòu)造的一次函數(shù)y=2ax+b叫做二次函數(shù)y=ax2+bx+c的“子函數(shù)”，反過來，二次函數(shù)y=ax2+bx+c叫做一次函數(shù)y=2ax+b的“母函數(shù)”．
（1）若一次函數(shù)y=2x-4是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的“子函數(shù)”，且二次函數(shù)經(jīng)過點（3，0），求此二次函數(shù)的解析式及頂點坐標．
（2）若“子函數(shù)”y=x-6的“母函數(shù)”的最小值為1，求“母函數(shù)”的函數(shù)表達式．
（3）已知二次函數(shù)y=-x2-4x+8的“子函數(shù)”圖象直線l與x軸、y軸交于C、D兩點，動點P為二次函數(shù)y=-x2-4x+8對稱軸右側(cè)上的動點，求△PCD的面積的最大值．
【答案】(1) ，拋物線的頂點坐標為； (2) “母函數(shù)”的函數(shù)表達式為；(3)當時，最大，最大值為．
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的“子函數(shù)”的定義，可知a=1，b=-4，再把點（3，0）代入解析式即可解決問題．
（2）“子函數(shù)”的“母函數(shù)”為．利用最小值為1即可求出C的值．
（3）得直線的表達式為，可求C,D坐標,再根據(jù)可解決問題．
【解析】
解：(1)由題意得，，
∴拋物線的解析式為，把點代入可得，
∴拋物線的解析式為．
∵，
∴拋物線的頂點坐標為．
(2)“子函數(shù)”的“母函數(shù)”為．
∵，
∴，
∴，
∴“母函數(shù)”的函數(shù)表達式為．
(3)如圖，連接，設點的坐標為．

由題意得直線的表達式為，
∴，，
∴
，
∴當時，最大，最大值為．
【點睛】
本題考查二次函數(shù)的綜合題、待定系數(shù)法、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應用這些知識解決問題，理解題意，學會利用參數(shù)解決問題，學會構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題，屬于中考壓軸題．
6．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點（1，0），（5，0），（3，﹣4）．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）當y＞﹣3，寫出x的取值范圍；
（3）A、B為直線y=﹣2x﹣6上兩動點，且距離為2，點C為二次函數(shù)圖象上的動點，當點C運動到何處時△ABC的面積最??？求出此時點C的坐標及△ABC面積的最小值．
【答案】詳見解析
【分析】
（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（2）求出y=3時x的值，結(jié)合函數(shù)圖象，求出y＞﹣3時x的取值范圍．
（3）△ABC的底邊AB長度為2，是定值，因此當AB邊上的高最小時，△ABC的面積最?。缃獯饒D所示，由點C向直線y=﹣2x﹣6作垂線，利用三角函數(shù)（或相似三角形）求出高CE的表達式，根據(jù)表達式求出CE的最小值，這樣問題得解．
【解析】
解：（1）∵點（1，0），（5，0），（3，﹣4）在拋物線上，
∴，解得．
∴二次函數(shù)的解析式為：y=x2﹣6x+5．
（2）在y=x2﹣6x+5中，令y=﹣3，即x2﹣6x+5=﹣3，
整理得：x2﹣6x+8=0，解得x1=2，x2=4．
結(jié)合函數(shù)圖象，可知當y＞﹣3時，x的取值范圍是：x＜2或x＞4．
（3）設直線y=﹣2x﹣6與x軸，y軸分別交于點M，點N，

令x=0，得y=﹣6；令y=0，得x=﹣2，
∴M（﹣3，0），N（0，﹣6）．
∴OM=3，ON=6，由勾股定理得：MN=，
∴．
設點C坐標為（x，y），則y=x2﹣6x+5．．
過點C作CD⊥y軸于點D，
則CD=x，OD=﹣y，DN=6+y．
過點C作直線y=﹣2x﹣6的垂線，垂足為E，交y軸于點F，
在Rt△CDF中，DF=CD?tan∠MNO=x，．
∴FN=DN﹣DF=6+y﹣x．
在Rt△EFN中，EF=FN?sin∠MNO=（6+y﹣x），
∴CE=CF+EF=x+（6+y﹣x）．
∵C（x，y）在拋物線上，
∴y=x2﹣6x+5，代入上式整理得：CE=（x2﹣4x+11）=（x﹣2）2+．
∴當x=2時，CE有最小值，最小值為．
當x=2時，y=x2﹣6x+5=﹣3，∴C（2，﹣3）．
∴△ABC的最小面積為：AB?CE=×2×=．
∴當C點坐標為（2，﹣3）時，△ABC的面積最小，面積的最小值為．
7．（2020·湖南九年級）如圖所示，已知二次函數(shù)的圖像的頂點為點，與軸的交點為點（點A位于點E的左側(cè)），與軸的交點為B，連接AB，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)后，點B落在點C的位置，得到．
（1）如圖①，求點C的坐標；
（2）如圖②，將二次函數(shù)的圖像沿軸向下平移后，得到的二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點、頂點為、與軸的交點為，連接．
①求二次函數(shù)的解析式；
②點N為平移后得到的二次函數(shù)上的動點，點N的坐標為，且，是否存在這樣的點N，使的面積是面積的2倍，若存在，求點N的坐標；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）點C的坐標為（3，1）；（2）①；②存在，點N的坐標為（1，-1）或（3，1）
【分析】
（1）先求出點B和點A的坐標，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得FC=OB=2，AF=AO=1，∠AFC=90°，從而求出點C的坐標；
（2）①根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律可得平移后的解析式為，然后將點C的坐標代入解析式中即可求出結(jié)論；
②根據(jù)平移性質(zhì)可得BB1=1，DD1=1，然后根據(jù)面積關(guān)系列出方程，然后分類討論，分別求出n的值，即可求出結(jié)論．
【解析】
解：（1）在中，令，得．
∴點B的坐標為（0，2）．
令，得，
解得，．
∴點A的坐標為（1，0）．
則OA=1，OB=2．
將ABO繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后，點B落到點C的位置，得到ACF，
可得，F(xiàn)C=OB=2，AF=AO=1，∠AFC=90°．
故點C的坐標為（3，1）．
（2）①由二次函數(shù)的圖象沿軸向下平移后，得到二次函數(shù)的圖象，則，
對稱軸不變，即，
∴=3．
∴，
又的圖象過點（3，1），
∴，
即，
∴．
②由（2）可知的圖象是由的圖象向下平移1個單位后得到的，
∴BB1=1，DD1=1．
又的圖象的對稱軸為，
若的面積是面積的2倍，
∴，（其中＞0）．
①當0＜時，如圖②，

則，
∴，
此時，
∴點N的坐標為（1，—1）．
②當＞時，如圖③，

則，
∴，
此時，
∴點N的坐標為（3，1）．
故點N的坐標為（1，-1）或（3，1）．
【點睛】
此題考查的是二次函數(shù)的綜合大題，掌握利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和二次函數(shù)的平移規(guī)律是解決此題的關(guān)鍵．
8．（2018·湖北九年級期中）已知二次函數(shù)的圖象對稱軸為，圖象交x軸于A，B，交y軸于，且，直線與二次函數(shù)圖象交于M，在N的右邊，交y軸于P．
求二次函數(shù)圖象的解析式；
若，且的面積為3，求k的值；
若，直線AN交y軸于Q，求的值或取值范圍．

【答案】（1）（2）k=2（3）
【解析】
【分析】
（1）由圖象對稱軸為x=，AB=5，知：A（﹣2，0）、B（3，0），把C點坐標代入二次函數(shù)即可求解；
（2）S△CMN=?HN?xM=6，用韋達定理求解即可；
（3）求出xN=，分2k﹣5＞0時和2k﹣5＜0兩種情況，求出點Q坐標即可求解．
【解析】
（1）由圖象對稱軸為x=，AB=5，知：A（﹣2，0）、B（3，0），設，把代入二次函數(shù)表達式得：－3=－6a，∴a=，∴y= ，即．故函數(shù)表達式為：y=x2﹣x﹣3…①；
（2）∵b′=﹣5，∴直線MN表達式為：y=kx﹣5…②．設：N（x1，y1），M（x2，y2），將①、②聯(lián)立并整理得：x2﹣（2k+1）x+4=0，則：x1+x2=2k+1，x1?x2=4，直線C（0，﹣3）、M（x2，y2）所在的直線方程為：y=，過N點做直線HM∥y軸，交MC于H，則H（x1，）．
∵S△CMN=?HN?xM=6，整理得：x1?y2﹣x2y1+3x1﹣3x2=6，把y1=3x1﹣5，y2=3x2﹣5，代入上式整理得：x2﹣x1=3，即：（x1+x2）2﹣4x1x2=9，k=2或k=－3（舍去）；
（3）b′=﹣3k，直線y=kx+b=kx﹣3k…③，將①、③方程聯(lián)立并整理得：
x2﹣（2k+1）x+（6k﹣6）=0，△=4k2﹣20k+25=（2k﹣5）2＞0，xN=．
①當2k﹣5＞0時，xN=3，則N（3，0），而Q（0，0），P（0，﹣3k），C（0，﹣3），則：CP=3k﹣3，CQ=3，∴=k﹣1，即：＞；
②當2k﹣5＜0時，xN=2k﹣2，則N（2k﹣2，2k2﹣5k），則AN所在的直線方程為：y=，則：Q（0，2k﹣5），而C（0，﹣3），P（0，﹣3k），則：CP=3k﹣3，CQ=2k﹣2，∴=．故：≥．

【點睛】
本題考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．
9．（2020·江陰市臨港實驗學校九年級月考）已知：如圖，一次函數(shù)y=－2x與二次函數(shù)y＝ax2＋2ax＋c的圖像交于A、B兩點(點A在點B的右側(cè))，與其對稱軸交于點C
（1）求點C的坐標；
（2）設二次函數(shù)圖像的頂點為D，點C與點D關(guān)于 x軸對稱，且△ACD的面積等于2．
① 求二次函數(shù)的解析式；
② 在該二次函數(shù)圖像的對稱軸上求一點P（寫出其坐標），使△PBC與△ACD相似．

【答案】（1）C點的坐標為（－1，2）；（2）①y＝2x2＋4x； ②點P的坐標為（－1， 10），（－1，）．
【分析】
（1）把y＝ax2＋2ax＋c配方可得拋物線的對稱軸為直線x=1，由此結(jié)合已知條件即可求得點C的坐標為（-1，2）；
（2）①由（1）中的結(jié)論結(jié)合題意可得點D的坐標為（-1，-2），由此可得CD=4，結(jié)合△ACD的面積為2可得點A到CD的距離為1，結(jié)合點A是拋物線與直線y=-2x的交點可得點A與原點重合，即點A的坐標為（0，0），這樣設拋物線的解析式為y-a(x+1)2-2，再代入點A的坐標即可求得a的值，從而可得拋物線的解析式；
②如下圖，由已得拋物線的解析式結(jié)合題意可求得點B的坐標，再求結(jié)合點A、C、D的坐標即可得到AC、BC、CD的長，然后分△P1BC∽△ACD和△P1BC∽△ACD兩種情況列出比例式，解出對應的P1C和P2C即可得到對應的點P的坐標了．
【解析】
解：（1）∵y＝ax2＋2ax＋c＝a(x＋1)2＋c－a，
∴它的對稱軸為x＝－1．
又∵一次函數(shù)y=－2x與對稱軸交于點C，
∴y＝2，
∴C點的坐標為（－1，2）．
（2）①∵點C與點D 關(guān)于x軸對稱，
∴點D的坐標為（－1，－2）．
∴CD=4，
∵△ACD的面積等于2．
∴點A到CD的距離為1，點A是拋物線與直線y=-2x的交點，
∴可得A點與原點重合，點A的坐標為（0，0），
設二次函數(shù)為y＝a(x+1)2－2，∵其圖象過點A（0，0），
∴a(0+1)2-2=0，解得a＝2
∴二次函數(shù)的解析式為：y＝2x2＋4x；
② 由解得： , ，
∴點B的坐標為（－3，6），
∵點A、B、C、D的坐標分別為（0，0），（-3，6），（-1，2），D（-1，-2），
∴易得△ACD是等腰三角形，CD=4，AC=，BC=，
如下圖，①當△P2BC∽△CAD時，
，即，解得P2C=8，
∴點P2到x軸的距離為10，即點P2的坐標為（-1，10）；
②當△P1BC∽△ACD時，
，即，解得P1C=2.5，
∴點P1到x軸的距離為4.5，即點P1的坐標為
∴綜上所述可得：點P的坐標為（－1， 10），（－1，）

【點睛】
本題考查解本題第3小題的要點（1）畫出符合題意分圖形，即可以幫助我們分析、尋找到解題思路；（2）由圖可知∠PCB=∠ACD，由此可知兩個三角形相似存在兩種情況：△P1BC∽△ACD和△P1BC∽△ACD，這樣結(jié)合已知條件和相似三角形的性質(zhì)解出對應的PC的長度即可得到對應的點P的坐標了．
10．（2021·山東九年級期末）如圖，已知一次函數(shù)的圖象與軸交于點，與二次函數(shù)的圖象交于軸上的一點二次函數(shù)的圖象與軸只有唯一的交點，且．
求二次函數(shù)的表達式；
點為一次函數(shù)下方拋物線上的點，的面積最大時，求點的坐標；
設一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象的另一交點為，已知為軸上的一個動點，且為直角三角形，求點的坐標．

【答案】（1）；（2）；（3）點的坐標為和
【分析】
（1）根據(jù)y＝0.5x＋2交x軸于點A，與y軸交于點B，即可得出A，B兩點坐標，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸只有唯一的交點C，且OC＝2．得出可設二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c＝a（x?2）2，進而求出即可；
（2）作于軸交于點，易證，設，則G（t，），可表示出MH，進而求出的函數(shù)解析式，進而即可求解；
（3）根據(jù)當B為直角頂點，當D為直角頂點，以及當P為直角頂點時，分別利用三角形相似對應邊成比例求出即可．
【解析】
解：交x軸于點，
，
，
，
∵直線與軸交于點，
點坐標為，
二次函數(shù)的圖像與軸只有唯一的交點，且，
可設二次函數(shù)，
把代入得，，
二次函數(shù)的表達式：；
作于軸交于點，
則∠MGH=∠OBA，∠MHG=∠AOB=90°，
∴，
∴，

設，則G（t，），
∴，
又∵AB=，OA=4，
，
，
當時，最大，此時，，
；
（3）當點B為直角頂點時，過作交軸于點，則，如圖1，

，
，得，
；
當點D為直角頂點時，作，如圖2，

將與聯(lián)立，
可得點坐標為，
∴，
，
，
，即，
解得：，則，
故點坐標為；
當為直角頂點時，過點作軸于點，如圖3，

設，
則由，得，
，
方程無解，
點不存在，
點的坐標為和．
【點睛】
此題主要考查了二次函數(shù)綜合應用以及求函數(shù)與坐標軸交點和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，關(guān)鍵是根據(jù)已知進行分類討論得出所有結(jié)果，注意不要漏解．
11．（2018·江陰市暨陽中學九年級期中）如圖，二次函數(shù)y=―ax2+2ax+c(a＞0)的圖象交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，過A的直線y=kx+2k(k≠0)與這個二次函數(shù)圖象交于另一點F，與其對稱軸交于點E，與y軸交于點D，且DE=EF．
（1）求A點坐標；
（2）若△BDF的面積為12，求此二次函數(shù)的表達式；
（3）設二次函數(shù)圖象頂點為P，連接PF，PC，若∠CPF=2∠DAB，求此二次函數(shù)的表達式．

【答案】(1) A(?2,0)；(2) y=?x2+2x+8；(3) y=?x2+x+4.
【解析】
分析：（1）求出一次函數(shù)值為0時對應的自變量的值可得到A點坐標；
（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線的對稱軸為直線x=1，則利用對稱性得到B點坐標為（4，0），把A點坐標代入得c=8a，則拋物線解析式為y=﹣ax2+2ax+8a，再根據(jù)DE=EF可確定F（2，8a），接著把F（2，8a）代入一次函數(shù)得到y(tǒng)=kx+2k得k=2a，所以D（0，4a），然后利用三角形面積公式得到?（4+2）?8a﹣?（4+2）?4a=12，于是解方程求出a，從而得到拋物線解析式；
（3）利用拋物線的解析式為y=﹣ax2+2ax+8a得到C（0，8a），P（1，9a），則可判斷CF∥x軸，所以E（1，8a），根據(jù)二次函數(shù)的對稱性判斷△PCF為等腰三角形，則∠CPF=2∠CPE，于是可證明∠DAB=∠CPE，然后根據(jù)相似三角形的判定方法可得到Rt△ADO∽Rt△PCE，再利用相似比可其求出a的值，從而得到拋物線解析式．
解析：（1）當y=0時，kx+2k=0，解得：x=﹣2，則A（﹣2，0）；
（2）∵二次函數(shù)y=﹣ax2+2ax+c（a＞0）的圖象的對稱軸為直線x=﹣=1，∴B點坐標為（4，0），把A（﹣2，0）代入y=﹣ax2+2ax+c得：﹣4a﹣4a+c=0，∴c=8a，∴拋物線解析式為y=﹣ax2+2ax+8a．∵DE=EF，∴F點的橫坐標為2，∴F（2，8a），把F（2，8a）代入y=kx+2k得8a=2k+2k，解得：k=2a，∴y=2ax+4a，當x=0時，y=4a，則D（0，4a）．∵S△BDF=S△FAB﹣S△DAB，∴?（4+2）?8a﹣?（4+2）?4a=12，解得：a=1，∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+8；
（3）拋物線的解析式表示為y=﹣ax2+2ax+8a，D（0，4a），F(xiàn)（2，8a），當x=0時，y=﹣ax2+2ax+8a=8a，則C（0，8a），當x=1時，y=﹣ax2+2ax+8a=9a，則P（1，9a）．∵F（2，8a），C（0，8a），∴CF∥x軸，E（1，8a），∴△PCF為等腰三角形，∴PE平分∠CPF，即∠CPF=2∠CPE．∵∠CPF=2∠DAB，∴∠DAB=∠CPE，∴Rt△ADO∽Rt△PCE，∴=，即=，解得：a=或a=﹣（舍去），∴拋物線的解析式表示為y=﹣x2+x+4．

點睛：本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質(zhì)；會求二次函數(shù)和一次函數(shù)與坐標軸的交點坐標；能利用相似比表示線段之間的關(guān)系；理解坐標與圖形性質(zhì)．
12．（2020·江蘇九年級期中）如圖，已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點．

（1）求該二次函數(shù)的表達式；
（2）點D是該二次函數(shù)圖像上的一點，且滿足（O是坐標原點），求點D的坐標；
（3）點P是該二次函數(shù)圖像上位于第一象限內(nèi)的一動點，直線分別交、y軸于點E、F，若、的面積分別為、，是否存在點P，使得．若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．
【答案】（1）；（2）點D的坐標為或；（3）存在，．
【分析】
（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）當點D在x軸上方時，由二次函數(shù)的對稱性求解即可，當點D在x軸下方時，由證得，由此求出直線BD的表達式，再聯(lián)立求解即可；
（3）設點F(0，n)，求出AF所在直線表達式，分別聯(lián)立直線BC、二次函數(shù)的表達式求出點E、點P的橫坐標，根據(jù)面積相等得到點E為PF的中點，從而建立方程求解即可．
【解析】
解：（1）由題意可得，，
解得，，
∴拋物線的函數(shù)表達式為；
（2）①當點D在x軸上方時，過C作交拋物線于點D，

由拋物線的軸對稱性，得，即點D滿足條件，
∵拋物線對稱軸為直線，且點C(0，2)，
∴D(3，2)；
②當點D在x軸下方時，
∵，
∴，
∵C(0，2)，
∴設直線AC：，把A(－1，0)代入可求得，
∴直線AC：，
∴設直線BD：，把B(4，0)代入可求得，
∴直線BD：，
聯(lián)立得：，
解得：（舍去）或，
∴；
綜上可知，滿足條件的點D的坐標為或；
（3）設，由，可得AF：，
由B(4，0)，C(0，2)，可得BC：，
聯(lián)立直線BC與AF表達式得：，
解得：E的橫坐標是，
聯(lián)立直線AF與二次函數(shù)得：，
解得：P的橫坐標是，
∵，
∴PE=PF，即點E為PF中點，
∴，
解得：，
∴P(2，3)．
【點睛】
本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應用，熟練掌握表達式求法，二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，中點公式等知識是解題的關(guān)鍵．
13．（2020·湖北思源實驗學校九年級月考）如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于A、D兩點，并經(jīng)過B點，已知A點坐標是（2，0），B點的坐標是（8，6）．
（1）求二次函數(shù)的解析式．
（2）求函數(shù)圖象的頂點坐標及D點的坐標．
（3）該二次函數(shù)的對稱軸交x軸于C點．連接BC，并延長BC交拋物線于E點，連接BD，DE，求BDE的面積．
（4）如果P為拋物線B、E間的一個動點，問是否存在點P使PBE面積最大？如果存在，求PBE面積的最大值及此時P點的坐標；如果不存在，說明理由．

【答案】（1）；（2）頂點（4，－2），D（6，0）；（3）；（4）存在，面積最大值為，此時點P的坐標為
【分析】
（1）利用待定系數(shù)法求出b，c即可求出二次函數(shù)解析式，
（2）把二次函數(shù)式轉(zhuǎn)化可直接求出頂點坐標，由A對稱關(guān)系可求出點D的坐標．
（3）由待定系數(shù)法可求出BC所在的直線解析式，與拋物線組成方程求出點E的坐標，利用求出△BDE的面積．
（4）設P(，)，則Q(，)，由三角形面積公式得出函數(shù)關(guān)系式，進而求出答案．
【解析】
（1）∵二次函數(shù)的圖象過A（2，0），B（8，6）
∴，
解得：，
∴二次函數(shù)解析式為：；
（2）由得：，
∴函數(shù)圖象的頂點坐標為（4，-2），
∵點A，D是二次函數(shù)的圖象與軸的兩個交點，
又∵點A（2，0），對稱軸為，
∴點D的坐標為（6，0）；
（3）∵二次函數(shù)的對稱軸交軸于C點．
∴C點的坐標為（4，0），
∵B（8，6），
設BC所在的直線解析式為，
∴，
解得：，
∴BC所在的直線解析式為，
∵E點是直線與二次函數(shù)的圖象的交點，
∴，
解得：（舍去），
當時，，
∴E(，)，
∴

；
（4）設P(，)，過P作PQ∥y軸交BC于Q，

則Q(，)，
∴

，
∴

，
故當即P(，)，時，△PBE面積最大，最大值為．
【點睛】
本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，解題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)的方法求出函數(shù)解析式以及三角形面積的轉(zhuǎn)化．第(3)問利用數(shù)形結(jié)合表示出線段PQ的長是解題關(guān)鍵．
14．（2019·遼寧中考模擬）如圖，一次函數(shù)y1＝x﹣與x軸交點A恰好是二次函數(shù)y2與x軸的其中一個交點，已知二次函數(shù)圖象的對稱軸為x＝1，并與y軸的交點為D(0，1)．
(1)求二次函數(shù)的解析式；
(2)設該二次函數(shù)與一次函數(shù)的另一個交點為C點，連接DC，求三角形ADC的面積．
(3)根據(jù)圖象，直接寫出當y1＞y2時x的取值范圍．

【答案】(1)y＝x2﹣x+1；(2)S△ADC＝；(3)＜x＜．
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意求得A點坐標，用待定系數(shù)法求解即可.
（2）根據(jù)題意求得C，D兩點的坐標，進而求得三角形的面積.
（3）觀察圖像即可得到y(tǒng)1＞y2時x的取值范圍.
【解析】
解：(1)由已知可得y＝x﹣與x軸交點A的坐標為(，0)
∵二次函數(shù)過(0，1)
∴設二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx+1
∵二次函數(shù)圖象的對稱軸為x＝1，且過A(，0)
∴，
解得
∴二次函數(shù)的解析式為：y＝x2﹣x+1；
(2)由(1)知函數(shù)y＝x2﹣x+1過A(，0)，
當y＝0時，0＝x2﹣x+1，解得x1＝，x2＝，
∴B(，0)
解方程組
解得或，
所以C(，)
直線y＝x﹣與y軸的交點坐標為(0，﹣)，
∴S△ADC＝×(1+)(﹣﹣)＝；
(3)根據(jù)圖象知，當y1＞y2時，x的取值范圍是＜x＜．
【點睛】
本題主要考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì).
15．（2020·廣東九年級月考）如圖，一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（0，1），它的頂點為B（1，3）．
（1）求這個二次函數(shù)的表達式；
（2）過點A作AC⊥AB交拋物線于點C，點P是直線AC上方拋物線上的一點，當△APC面積最大時，求點P的坐標和△APC的面積最大值．

【答案】（1）y＝﹣2x2+4x+1；（2）S△APC最大值為，此時P(,)
【分析】
（1）根據(jù)題意設這個二次函數(shù)的表達式為y＝a(x﹣1)2+3，將A(0,1)代入解方程即可求解；
（2）直線AB與x軸交于點D，直線AC與x軸交于點E,先求得直線AC的解析式，即可求得拋物線和直線AC的交點C的坐標，過P作PQ∥y軸交AC于Q，根據(jù)拋物線解析式和直線AC的解析式設出P，Q點坐標，橫坐標用t表示，即可表示出PQ，根據(jù)S△APC＝PQ|xC﹣xA|，得出關(guān)于t的二次函數(shù)，化為頂點式，即可得到當t為何值時，S△APC有最大值．
【解析】
（1）∵拋物線的頂點為B(1,3)
∴設這個二次函數(shù)的表達式為y＝a(x﹣1)2+3
∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(0,1)
∴a(0﹣1)2+3=1
解得：a＝﹣2
∴二次函數(shù)的表達式為y＝-2(x﹣1)2+3，即y＝﹣2x2+4x+1
故答案為：y＝﹣2x2+4x+1
（2）直線AB與x軸交于點D，直線AC與x軸交于點E，如圖所示
∵A(0,1)，B(1,3)
設直線AB的解析式為y=kx+b
∴
∴y=2x+1
令2x+1=0
解得x=
∴OD=
，
∵AC⊥AB
∴∠DAE=90°
∴
∴
解得OE=2
∴E(2,0)
設直線AC的解析式為y＝mx+n
∵直線AC經(jīng)過A點，E點
∴
∴
∴直線AC的解析式為y＝x+1
令x+1=﹣2x2+4x+1
解得：或
∴C(,)
過P作PQ∥y軸交AC于Q
設P(t,﹣2t2+4t+1)，則Q(t,t+1)
∴PQ＝(﹣2t2+4t+1)﹣(t+1)＝﹣2t2+t
∴S△APC＝PQ|xC﹣xA|＝(﹣2t2+t)(﹣0)＝﹣(t﹣)2+
∴當t＝時，S△APC有最大值，此時，P(,)

故答案為：S△APC最大值為，此時P(,)
【點評】
本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，已知兩個函數(shù)解析式，即可求出交點坐標，已知二次函數(shù)可求出最值，本題是一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合題，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．
16．（2020·山東九年級）如圖，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過點，，其對稱軸為直線．
(1)求該二次函數(shù)的解析式；
(2)若直線將的面積分成相等的兩部分，求的值；
(3)點是該二次函數(shù)圖象與軸的另一個交點，點是直線上位于軸下方的動點，點是第四象限內(nèi)該二次函數(shù)圖象上的動點，且位于直線右側(cè)．若以點為直角頂點的與相似，求點的坐標．

【答案】(1)拋物線的表達式為：，直線的表達式為：；(2)；(3)點坐標為或．
【分析】
(1)把A、C坐標代入二次函數(shù)表達式，再由對稱軸公式以及對稱軸x=2得到關(guān)于a、b、c的方程組，解方程組即可得；
(2)求出直線AC解析式為：，聯(lián)立，求得兩直線交點的橫坐標為，直線與軸的交點為，求出，
由題意得則可知兩直線與y軸圍成的三角形的面積為且m>-6，解方程即可得；
(3)由已知可得，然后分①當時，則，如圖1，過點作直線，垂足為，過點作，垂足為，則，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)則可得到，設點，則，，求得h值即可求得答案；②當時，，過點作直線，垂足為，過點作，垂足為，則，則可得，設點，則，，求得p的值即可求得答案.
【解析】
(1)由已知得：，解得：，
故拋物線的表達式為：；
(2)設直線AC解析式為y=k1x+b1，將A(-2，0)、C(0，-6)分別代入得
，解得：，
所以直線的表達式為：，
聯(lián)立，解得：，
直線與軸的交點為，
∵，
∴由題意得：，
解得：或(舍去)，
；
(3)，，
，
①當時，則，
如圖1，過點作直線，垂足為，過點作，垂足為，

則，
則，則，
設點，則，，
則，即，
點在二次函數(shù)上，故：，
解得：或(舍去)，
則點；
②當時，，
過點作直線，垂足為，過點作，垂足為，

則，則，則，
設點，則，，
則，解得：或(舍去)；
故點坐標為或．
【點睛】
本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及了待定系數(shù)法，三角形的面積，相似三角形的判定與性質(zhì)等，綜合性較強，有一定的難度，熟練掌握和靈活運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應用.
17．（2018·江蘇九年級期末）如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于A、B兩點其中點A在點B的左側(cè)，交y軸正半軸于點C，且，點D在該函數(shù)的第一象限內(nèi)的圖象上．
求點A、點B的坐標；
若的最大面積為平方單位，求點D的坐標及二次函數(shù)的關(guān)系式；
若點D為該函數(shù)圖象的頂點，且是直角三角形，求此二次函數(shù)的關(guān)系式．

【答案】（1）、；（2）；（3）二次函數(shù)表達式為：或．
【解析】
【分析】
(1)函數(shù)的對稱軸為：，，即可求解；
(2)由，即可求解；
(3)分兩種情況，求解即可．
【解析】
解：函數(shù)的對稱軸為：，，
點A、B的坐標為、；
二次函數(shù)表達式為：，即：，
把點B、C坐標代入一次函數(shù)表達式得：，
則一次函數(shù)表達式為：，
過點D作x軸的平行線交BC于E點，
設點D的坐標為，則點E的坐標為，

，
，故有最大值，
當時，最大值為，
解得：，
點D的坐標為，
故：二次函數(shù)表達式為：；
點B、C、D的坐標分別為、，
則直線CD所在直線表達式中的k值為：，
同理，，
當時，
由兩直線垂直k值互為負倒數(shù)得：，解得：正值已舍去，
當時，同理解得：，
故：二次函數(shù)表達式為：或．
【點睛】
主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．
18．如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點為A(1，－3)，并經(jīng)過點C(2，0)．
(1)求該二次函數(shù)的表達式；
(2)直線y＝3x與該二次函數(shù)的圖象交于點B(非原點)，求點B的坐標和△AOB的面積；
(3)點Q在x軸上運動，求出所有使得△AOQ是等腰三角形的點Q的坐標．

【答案】（1）y＝3x2－6x；（2）9；（3）滿足題意的點Q的坐標為(2，0)或(－，0)或(，0)或(5，0)．
【分析】
（1）設拋物線的解析式為y=a（x-1）2-3，由待定系數(shù)法就可以求出結(jié)論；
（2）由拋物線的解析式與一次函數(shù)的解析式構(gòu)成方程組，求出其解即可求出B的坐標，進而可以求出直線AB的解析式，就可以求出AB與x軸的交點坐標，就可以求出△AOB的面積；
（3）分三種情況進行討論即可得.
【解析】
(1)由二次函數(shù)圖象的頂點為A(1，－3)可設該二次函數(shù)的表達式為y＝a(x－1)2－3，
∵其圖象過點C(2，0)，∴0＝a－3，解得a＝3，
∴該二次函數(shù)的表達式為y＝3(x－1)2－3＝3x2－6x；
(2)由題意得，解得：，，
∵交點不是原點，
∴點B的坐標為(3，9)，
設直線AB的解析式為y=kx+b，
把A(1，－3)，B(3，9)分別代入可得，解得：，
所以直線AB的函數(shù)表達式為y＝6x－9，
令y＝0，得x＝，
設直線AB與x軸的交點為D，則OD＝，
∴S△AOB＝S△BOD＋S△AOD＝××9＋××3＝9；
(3)△AOQ是等腰三角形分以下三種情況：
①AO＝AQ，此時點Q與點C重合，
∴點Q的坐標為(2，0)；
②OQ＝OA，
由A(1，－3)可求得OA＝，∴OQ＝，
∴此時點Q的坐標為(－，0)或(，0)；
③QO＝QA，如圖所示，過點A作AE⊥x軸于點E，

則AQ＝x，OE＝1，AE＝3，
設OQ＝x，則AQ＝x，EQ＝x－1，
在Rt△AEQ中，AQ2＝EQ2＋AE2，
∴x2＝(x－1)2＋32，解得x＝5，∴此時點Q的坐標為(5，0)，
綜上，滿足題意的點Q的坐標為(2，0)或(－，0)或(，0)或(5，0)．
【點睛】
本題考查了二次函數(shù)綜合，涉及了待定系數(shù)法、三角形的面積，等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等，綜合性較強，有一定的難度，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵.
19．（2021·廣西九年級期末）如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為C（1，0），直線y＝x+m的圖象與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點，其中A點坐標為（3，4），B點在y軸上．
（1）求m的值及這個二次函數(shù)的解析式；
（2）若P是線段AB下方拋物線上一動點，當△ABP面積最大時，求P點坐標以及△ABP面積最大值；
（3）若D為直線AB與這個二次函數(shù)圖象對稱軸的交點，Q為線段AB之間的一個動點，過Q作x軸的垂線，與這個二次函數(shù)圖象交于點E，問是否存在這樣的點Q，使得四邊形DCEQ為平行四邊形，若存在，請求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）m＝1，y＝x2﹣2x+1；（2）△ABP面積最大值為，點P的坐標為（，）；（3）存在，Q點的坐標為（2，3）
【分析】
（1）用待定系數(shù)法即可求解；
（2）由△ABP面積＝S△PEA＋S△PEB，即可求解；
（3）要使四邊形DCEQ是平行四邊形，必需有QE＝DC，即可求解．
【解析】
解：（1）∵點A（3，4）在直線y＝x+m上，
∴4＝3+m．
∴m＝1．
設所求二次函數(shù)的關(guān)系式為y＝a（x﹣1）2，
∵點A（3，4）在二次函數(shù)y＝a（x﹣1）2的圖象上，
∴4＝a（3﹣1）2，
∴a＝1．
∴所求二次函數(shù)的關(guān)系式為y＝（x﹣1）2．
即y＝x2﹣2x+1；
（2）過點P作y軸的平行線交AB于點E，

則△ABP面積＝S△PEA+S△PEB＝PE?（xA﹣xB）＝×[（x+1）﹣（x2﹣2x+1）]×3
＝﹣x2+x，
∵﹣＜0，故△ABP面積存在最大值，當x＝時，△ABP面積最大值為，
此時點P的坐標為（，）；
（3）存在．
理由：要使四邊形DCEQ是平行四邊形，必需有QE＝DC．

∵點D在直線y＝x+1上，
∴點D的坐標為（1，2），
∴﹣x2+3x＝2．
即x2﹣3x+2＝0．
解得：x1＝2，x2＝1（不合題意，舍去）
∴當Q點的坐標為（2，3）時，四邊形DCEQ是平行四邊形．
【點睛】
本題為二次函數(shù)綜合題，考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及函數(shù)圖象上點的坐標特征，結(jié)合圖形有利于解答，其中（3）是一道存在性問題，有一定的開放性，需要先假設點P存在，然后進行驗證計算．
20．（2020·山東九年級）已知二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點，與軸交于點，點在直線上，橫坐標為．
（1）確定二次函數(shù)的解析式；
（2）如圖1，時，交二次函數(shù)的圖象于點的面積記作為何值時的值最大，并求出的最大值；

（3）如圖2，過點作軸的平行線交二次函數(shù)的圖象于點點與點關(guān)于直線對稱是否存在點使四邊形為菱形，若存在直接寫出的值;若不存在請說明理由．
【答案】（1）；（2）m=；；（3）存在，m的值為或．
【分析】
（1）把點A、B的坐標代入，即可得到答案；
（2）過點D作DE∥軸，交直線BC于點E，令點D（，），則點E(，)，易證MED是等腰直角三角形，由，得到二次函數(shù)解析式，進而即可求解；
（3）由題意得：當MN=MC時，四邊形為菱形，設M(m，-m+3)，則N（m，），從而得MN，MC的表達式，列出關(guān)于m的方程，進而即可求解．
【解析】
（1）A（-1，0）、B（3，0）代入可得，解得·
∴
（2）過點D作DE∥軸，交直線BC于點E
∵
∴點C（0，3）
∴直線BC：·
令點D（，），則點E(，)
∴DE=
∵OB=OC=3，
∴∠OBC=45°，
∵DE⊥x軸，
∴MED是等腰直角三角形，
∴MD=
∴·
則時，
此時，點D（，），點E（，）
∴DE=-=，
∴m=；
（3）由題意得：當MN=MC時，四邊形為菱形，
設M(m，-m+3)，則N（m，），
∴MN=，MC=，
∴=，解得：m=或
或．

【點睛】
本題主要考查二次函數(shù)，一次函數(shù)與平面幾何的綜合，涉及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)定理，熟練掌握二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，是解題的關(guān)鍵．
21．如圖，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點．
（1）求正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
（2）把直線OA向下平移后與反比例函數(shù)的圖象交于點，求的值和這個一次函數(shù)的解析式；
（3）第（2）問中的一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于C、D，求過A、B、D三點的二次函數(shù)的解析式；
（4）在第（3）問的條件下，二次函數(shù)的圖象上是否存在點E，使的面積與的面積S滿足：？若存在，求點E的坐標；若不存在，請說明理由．

【答案】解：（1）這個正比例函數(shù)的解析式為．
這個反比例函數(shù)的解析式為．
（2）因為點在的圖象上，所以
，則點．
一次函數(shù)的解析式為．……2分
（3）因為的圖象交軸于點，所以的坐標為．
設二次函數(shù)的解析式為．
因為的圖象過點、、和，
所以……1分解得
這個二次函數(shù)的解析式為．
（4）交軸于點，點的坐標是，
．
假設存在點，使．
∴
在二次函數(shù)的圖象上，
∴或或
點的坐標為．
【解析】
（1）由點A的坐標根據(jù)待定系數(shù)法即可求得兩個函數(shù)的解析式；
（2）先根據(jù)反比例函數(shù)解析式求得點B的坐標，再由平移的特征設出一次函數(shù)解析式，最后把點B的坐標代入即可；
（3）先求出點D的坐標，由A、B、D三點坐標根據(jù)待定系數(shù)法即得二次函數(shù)解析式；
（4）先求出點C的坐標，從而得到的面積S，再根據(jù)求得點E的縱坐標，最后根據(jù)二次函數(shù)解析式求得點E的橫坐標即可．
22．（2019·廣東深圳外國語學校九年級月考）如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為，與坐標軸交于B、C、D三點，且B點的坐標為．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）在二次函數(shù)圖象位于x軸上方部分有兩個動點M、N，且點N在點M的左側(cè)，過M、N作x軸的垂線交x軸于點G、H兩點，當四邊形MNHG為矩形時，求該矩形周長的最大值；
（3）當矩形MNHG的周長最大時，能否在二次函數(shù)圖象上找到一點P，使的面積是矩形MNHG面積的？若存在，求出該點的橫坐標；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）（2）最大值為10
（3）故點P坐標為：或或．
【解析】
【分析】
（1）二次函數(shù)表達式為：，將點B的坐標代入上式，即可求解；
（2）矩形MNHG的周長，即可求解；
（3），解得：，即可求解．
【解析】
（1）二次函數(shù)表達式為：，
將點B的坐標代入上式得：，解得：，
故函數(shù)表達式為：…①；
（2）設點M的坐標為，則點，
則，，
矩形MNHG的周長，
∵，故當，C有最大值，最大值為10，
此時，點與點D重合；
（3）的面積是矩形MNHG面積的，
則，
連接DC，在CD得上下方等距離處作CD的平行線m、n，
過點P作y軸的平行線交CD、直線n于點H、G，即，
過點P作于點K，

將、坐標代入一次函數(shù)表達式并解得：
直線CD的表達式為：，
，∴，，
設點，則點，
，
解得：，
則，
解得：，
故點，
直線n的表達式為：…②，
聯(lián)立①②并解得：，
即點、的坐標分別為、；
故點P坐標為：或或．
【點睛】
主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．
23．（2018·山西中考模擬）如圖，平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖線與坐標軸分別交于點A、B、C，其中點A（0，8），OB=OA．
（1）求二次函數(shù)的表達式；
（2）若OD=OB，點F為該二次函數(shù)在第二象限內(nèi)圖象上的動點，E為DF的中點，當△CEF的面積最大時，求出點E的坐標；
（3）將三角形CEF繞E旋轉(zhuǎn)180°，C點落在M處，若M恰好在該拋物線上，求出此時△CEF的面積．

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+8；（2）E（﹣，）；（3）
【解析】
分析：（1）根據(jù)題意得出B點坐標，進而利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；
（2）首先求出直線DC的解析式進而表示出FP的長，再表示出S△CEF，進而得出E的坐標；
（3）根據(jù)題意表示出M點坐標，進而代入二次函數(shù)解析式得出m的值，即可得出答案．
解析：（1）∵OA=8，
∴OB=OA=4，
∴B（4，0），
∵y=﹣x2+bx+c的圖象過點A（0，8），B（4，0），
∴，解得：，
∴二次函數(shù)表達式為：y=﹣x2﹣x+8；
（2）當y=0時，﹣x2﹣x+8=0，
解得：x1=4，x2=﹣8，
∴C點坐標為：（﹣8，0），
∵D點坐標為：（0，4），
∴設CD的解析為：y=kx+d，
故，解得：，
故直線DC的解析為：y=x+4；
如圖1，過點F作y軸的平行線交DC于點P，

設F點坐標為：（m，﹣m2﹣m+8），則P點坐標為：（m，m+4），
則FP=﹣m2﹣m+4，
∴S△FCD=?FP?OC=×（﹣m2﹣m+4）×8
=﹣m2﹣6m+16，
∵E為FD中點，
∴S△CEF=×S△FCD=﹣m2﹣3m+8=﹣（m﹣3）2+，
當m=﹣3時，S△CEF有最大值，
∴﹣m2﹣m+8=﹣×9+3+8=，
E點縱坐標為：×（﹣4）+4=，
∴F（﹣3，），
∴E（﹣，）；
（3）如圖2，∵F點坐標為：（m，﹣m2﹣m+8），

C點坐標為：（﹣8，0），D點坐標為：（0，4），
∴M（m+8，﹣m2﹣m+12），
又∵M點在拋物線上，
∴﹣（m+8）2﹣（m+8）+8=﹣m2﹣m+12，
解得：m=﹣7，
故S△CEF=﹣m2﹣3m+8=．
點睛：此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及三角形面積求法和待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等知識，正確表示出各點坐標是解題關(guān)鍵．
24．（2016·山東九年級期末）（2015?黑龍江二模）如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象交x軸于A、D兩點，并經(jīng)過B點，已知A點坐標是（2，0），B點的坐標是（8，6）．

（1）求二次函數(shù)的解析式．
（2）求函數(shù)圖象的頂點坐標及D點的坐標．
（3）該二次函數(shù)的對稱軸交x軸于C點，連接BC，并延長BC交拋物線于E點，連接BD，DE，直接寫出△BDE的面積．
【答案】（1）y=x2﹣4x+6；（2）頂點坐標為（4，﹣2），y=x2﹣4x+6；（3）．
【解析】
試題分析：（1）把A（2，0），B（8，6）代入y=x2+bx+c得到關(guān)于b、c的方程組，然后解方程組求出b、c即可得到拋物線解析式；
（2）先把（1）中的解析式配成頂點式即可得到頂點坐標，然后利用拋物線對稱性確定D點坐標；
（3）先利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，再利用解方程組得E點坐標，然后利用S△BDE=S△BDC+S△EDC進行計算即可．
解：（1）把A（2，0），B（8，6）代入y=x2+bx+c得，解得，
所以二次函數(shù)解析式為y=x2﹣4x+6；
（2）y=x2﹣4x+6=（x﹣4）2﹣2，
所以二次函數(shù)圖象的頂點坐標為（4，﹣2），
由于拋物線的對稱軸為直線x=4，而A（2，0），
所以D點坐標為（6，0）；
（3）C（4，0），
設直線BC的解析式為y=mx+n，
把B（8，6），C（4，0）代入得，解得，
所以直線BC的解析式為y=x﹣6，
解方程組得或，
所以E點坐標為（3，﹣），
所以S△BDE=S△BDC+S△EDC=×（6﹣4）×6+×（6﹣4）×=．
考點：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的性質(zhì)．
25．（2020·江蘇九年級）如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為A（1，4），與坐標軸交于B、C、D三點，且B點的坐標為（﹣1，0）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）在二次函數(shù)圖象位于x軸上方部分有兩個動點M、N，且點N在點M的左側(cè)，過M、N作x軸的垂線交x軸于點G、H兩點，當四邊形MNHG為矩形時，求該矩形周長的最大值；
（3）當矩形MNHG的周長最大時，能否在二次函數(shù)圖象上找到一點P，使△PNC的面積是矩形MNHG面積的？若存在，求出該點的橫坐標；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3 （2）10 （3）存在；（，）或（，）或（，）
【分析】
（1）將拋物線的解析式設為頂點式，然后將點B代入即可求出拋物線的解析式；
（2）由四邊形MNHG為矩形知MN∥x軸，MG∥y軸，故可設出點M坐標，則矩形MNHG的周長C＝2MN+2GM＝2（2x﹣2）+2（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+8x+2，利用二次函數(shù)性質(zhì)即可求解；
（3）由（2）中知，D與N重合，由已知先求出S△PNC值，連接DC，在CD得上下方等距離處作CD的平行線m、n，過點P作y軸的平行線交CD、直線n于點H、G，即PH＝GH，過點P作PK⊥CD于點K，設出點P坐標，通過推導計算，即可求解出點P的坐標.
【解析】
（1）二次函數(shù)表達式為：y＝a（x﹣1）2+4，
將點B的坐標代入上式得：0＝4a+4，解得：a＝﹣1，
故函數(shù)表達式為：y＝﹣x2+2x+3…①；
（2）設點M的坐標為（x，﹣x2+2x+3），則點N（2﹣x，﹣x2+2x+3），
則MN＝x﹣2+x＝2x﹣2，GM＝﹣x2+2x+3，
矩形MNHG的周長C＝2MN+2GM＝2（2x﹣2）+2（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+8x+2，
∵﹣2＜0，故當x＝＝2，C有最大值，最大值為10，
此時x＝2，點N（0，3）與點D重合；
（3）△PNC的面積是矩形MNHG面積的，
則S△PNC＝×MN×GM＝×2×3＝，
連接DC，在CD得上下方等距離處作CD的平行線m、n，過點P作y軸的平行線交CD、直線n于點H、G，即PH＝GH，過點P作PK⊥CD于點K，
將C（3，0）、D（0，3）坐標代入一次函數(shù)表達式并解得：
直線CD的表達式為：y＝﹣x+3，
OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝45°＝∠PHK，CD＝3，
設點P（x，﹣x2+2x+3），則點H（x，﹣x+3），
S△PNC＝＝×PK×CD＝×PH×sin45°×3，
解得：PH＝＝HG，
則PH＝﹣x2+2x+3+x﹣3＝，
解得：x＝，
故點P（，），
直線n的表達式為：y＝﹣x+3﹣＝﹣x+…②，
聯(lián)立①②并解得：x＝，
即點P′、P″的坐標分別為(，）、（，）；
故點P坐標為：（，）或（，）或（，）.

【點睛】
本題是一道二次函數(shù)與幾何圖形的綜合題，解答的關(guān)鍵是認真審題，提取有效信息，運用待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法等解題方法確定解題思路，對相關(guān)信息進行推導、探究、發(fā)現(xiàn)和計算.
26．（2020·四川九年級期中）如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于，，交軸于，過、畫直線．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）點在軸正半軸上，且，求的長；
（3）若為線段上一個動點，過點作平行于軸交拋物線于點，當點運動到何處時，四邊形的面積最大？求出此時點的坐標及四邊形面積的最大值．

【答案】(1) y=x2-x-2；（2）OP=；（3）M（1，0），S四邊形ACNB面積最大值為4．
【分析】
（1）先根據(jù)點的特點，設成交點式，用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，
（2）設出點P的坐標，表示出PA=m+1，PC=，由PA=PC，求出m即可；
（3）把四邊形分成△AOC，梯形OCNM，△BMN，分別求出面積，確定出函數(shù)解析式即可．
【解析】
解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（2，0）兩點，
∴設拋物線解析式為y=a（x+1）（x-2），
∴拋物線與y軸交于點C（0，-2），
∴-2=a×1×（-2），
∴a=1，
∴拋物線解析式為y=（x+1）（x-2）=x2-x-2，
（2）∵點P在x軸正半軸上，
∴設點P（m，0）（m＞0），
∴PA=m+1，PC=
∵PA=PC，
∴m+1=
∴m=，
∴OP=m=；
（3）如圖，∵M為線段OB上的一個動點，
∴設M（n，0），（0＜n＜2）
∵過點M做MN平行于y軸交拋物線于點N，
∴n（n，n2-n-2）
∵OA=1，OC=2，OM=n，MN=|n2-n-2|=-（n2-n-2）=-n2+n+2，MB=2-n，
∴S四邊形ACNB=S△AOC+S梯形OCNM+S△BMN
=OA×OC+（OC+MN）×OM+MB×MN，
=×1×2+ [2+（-n2+n+2）]n+×（2-n）×（-n2+n+2）
=-n2+2n+3
=-（n-1）2+4，
∵0＜n＜2，
∴當n=1時，S四邊形ACNB面積最大，最大值為4，
∴M（1，0），S四邊形ACNB面積最大值為4．

【點睛】
此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，兩點間的距離公式，面積的計算，解本題的關(guān)鍵是表示線段，難點是四邊形面積的分割．
27．（2015·福建九年級）如圖，頂點為P（2，-4）的二次函數(shù)圖象經(jīng)過原點（0，0），點A在該圖象上，OA交其對稱軸l于點M，

（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式．
（2）若點A的坐標是（3，-3），求△OAP的面積．
（3）當點A在對稱軸l右側(cè)的二次函數(shù)圖象上運動時，l上有一點N，且點M、N關(guān)于點P對稱，試證明：∠ANM=∠ONM．
【答案】（1）y=x2-4x；（2）3；（3）證明見解析．
【解析】
試題分析：（1）由于已知拋物線頂點坐標，則可設頂點式y(tǒng)=a（x-2）2-4，然后把原點坐標代入求出a即可得到二次函數(shù)解析式；
（2）先利用待定系數(shù)法求出直線OA的解析式為y=-x，則確定M（2，-2），則MP=2，由于△OPM和△APM共底邊PM，且PM邊上的高的和為3，于是可利用S△OAP=S△OPM+S△APM進行計算；
（3）過點A作AB⊥x軸于點B，AH⊥l于點H，l與x軸交于點C，如圖，根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，設 A（m，m2-4m），則 H（2，m2-4m），B（m，0），C（2，0），通過證明△OCM∽△OBA，可求出CM=-2m+8，得到M（2，2m-8），再利用點M、N關(guān)于點P對稱得到N（2，-2m），接著計算出，，即有，根據(jù)相似三角形的判定方法得到△OCN∽△AHN，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
試題解析：（1）解：設二次函數(shù)的關(guān)系式為y=a（x-2）2-4，
∵二次函數(shù)圖象經(jīng)過原點（0，0），
∴0=（0-2）2-4，解得a=1，
∴二次函數(shù)解析式為y=（x-2）2-4，即y=x2-4x；
（2）解：設直線OA的解析式為y=kx，
將A（3，-3）代入得-3=3k，解得k=-1，
∴直線OA的解析式為y=-x，
當x=2代入y=-x=-2，
∴M（2，-2），
∴MP=-2+4=2，
∴S△OAP=S△OPM+S△APM=×3×2=3；
（3）證明：過點A作AB⊥x軸于點B，AH⊥l于點H，l與x軸交于點C，如圖，

設 A（m，m2-4m），則 H（2，m2-4m），B（m，0），C（2，0），
∵CM∥AB，
∴△OCM∽△OBA，
∴，即，解得CM=-2m+8，
∴M（2，2m-8），
∴MP=2m-8+4=2m-4，
∵點M、N關(guān)于點P對稱，
∴PN=MP=2m-4，
∴N（2，-2m），
∵OC=2，CN=2m，AH=m-2，NH=m2-2m，
∴，，
∴，
而∠OCN=∠AHN，
∴△OCN∽△AHN，
∴∠ONC=∠ANH，
即∠ANM=∠ONM．
考點：二次函數(shù)綜合題．
28．（2020·江蘇九年級）如圖，已知二次函數(shù)y=x2－mx－m－1的圖像交x軸于A、B兩點（A、B分別位于坐標原點O的左、右兩側(cè)），交y軸于點C，且△ABC的面積為6．
（1）求這個二次函數(shù)的表達式；
（2）若P為平面內(nèi)一點，且PB=3PA，試求當△PAB的面積取得最大值時點P的坐標，并求此時直線PO將△ABC分成的兩部分的面積之比．

【答案】（1）y=x2－2x－3；（2）5∶3或1∶15．
【分析】
（1）分別求出A，B，C的坐標，結(jié)合△ABC的面積為6，列出關(guān)于m的方程，求出m的值，即可得到二次函數(shù)解析式；
（2）設P(a，b)，根據(jù)PB=3PA以及兩點間的距離公式，得到b2關(guān)于a的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出使△PAB面積最大時，點P的坐標，然后分兩種情況：①當P1(－，)時，②當P2(－，－)時，分別求出此時直線PO將△ABC分成的兩部分的面積之比，即可．
【解析】
（1）令y=0，得：0=x2－mx－m－1，解得：x1=－1，x2=m＋1，
∴A(－1，0)，B(m＋1，0)．
當x=0時，y=－m－1，
∴C(0，－m－1)．
∵B(m＋1，0)在y軸的右側(cè)，
∴m＋1＞0，
由“△ABC的面積為6”得：S=（m＋1）（m＋2）=6，
解得：m1=－5（舍去），m2=2，
∴y=x2－2x－3．
（2）設P(a，b)，
∵A(－1，0)，B(3，0)，PB=3PA，
∴PB2=9PA2，即（3－a）2＋b2=9[（－1－a）2＋b2]，
化簡得：b2=－a2－3a．
要使△PAB面積最大，底AB=4為定值，因此只要使AB邊上的高最大，即b2取得最大值．
∵b2=－（a＋）2＋，
∴當a=－時，b2取得最大值為，即取得最大值為，
∴P1(－，)，P2(－，－)．
①當P1(－，)時，直線P1O的解析式為：y=－x，
∵B(3，0)，C(0，-3)，
∴直線BC的解析式為：y=x－3．
聯(lián)立y=－x與y=x－3，得-x=x-3，解得：x=，
∴P1O與BC的交點Q1(，－)，
∴△OBQ1的面積=×3×=，四邊形ACQ1O的面積=6-=，
∴此時直線PO將△ABC分成的兩部分的面積之比為∶，即5∶3．
②當P2(－，－)時，與①同理可得直線PO將△ABC分成的兩部分的面積之比為1∶15．
【點睛】
本題主要考查二次函數(shù)與平面幾何的綜合，涉及二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，函數(shù)圖象的交點坐標，二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，利用二次函數(shù)求最值，是解題的關(guān)鍵．
29．（2019·江蘇九年級期末）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3的圖象與x軸的兩個交點分別為A（1，0）、B（3，0），與y軸的交點為C．

（1）求這個二次函數(shù)的表達式；
（2）在x軸上方的二次函數(shù)圖象上，是否存在一點E使得以B、C、E為頂點的三角形的面積為？若存在，求出點E坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+4x﹣3；（2）存在，
【分析】
（1）設交點式y(tǒng)＝a（x﹣1）（x﹣3），化為一般式得到3a＝﹣3，解得a＝﹣1，從而得到拋物線解析式；
（2）先確定C（0，﹣3），作EF∥y軸交直線BC于F，如圖，利用直線平移得到直線BC的解析式為y＝x﹣3，設E（x，﹣x2+4x﹣3），則F（x，x﹣3），利用三角形面積公式得到S△BCE＝?EF?3＝﹣x2+x＝，然后解方程求出x即可得到滿足條件的E點坐標．
【解析】
解：（1）拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）（x﹣3），即y＝ax2﹣4ax+3a，
∵3a＝﹣3，解得a＝﹣1，
∴拋物線解析式為y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）存在．
當x＝0時，y＝﹣x2+4x﹣3＝-3，
∴C（0，﹣3），
作EF∥y軸交直線BC于F，如圖，
∵B（3，0），C（0，﹣3）；
得直線BC的解析式為y＝x﹣3，
設E（x，﹣x2+4x﹣3），則F（x，x﹣3），
∴EF＝﹣x2+4x﹣3﹣（x﹣3）＝﹣x2+3x，
∴S△BCE＝?EF?3＝﹣x2+x，
即﹣x2+x＝，解得x1＝，x2＝
當x＝時，y＝﹣x2+4x﹣3＝，此時E點坐標為（，），
當x＝時，y＝﹣x2+4x﹣3＝，此時E點坐標為（，），
∵E在x軸上方，此情況不符合題意；
綜上所述，E點坐標為（，）．

【點睛】
本題考查了解二次函數(shù)綜合題的方法：先要運用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，其次要利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而表示出三角形的面積，列出方程去確定點的坐標．
30．（2020·山東九年級）如圖所示，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)交軸，在軸上有一點，連接AE,D是第二象限內(nèi)的拋物線上一動點
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）求面積的最大值并寫出此時點D的坐標；
（3）若，求此時點D的坐標．

【答案】（1）；（2）最大值，；（3）
【分析】
(1)將A(-4,0)，B(2,0)代入y=ax2+bx+6即可求解；
(2)先求出AE的解析式為，設，過D點作DK⊥y軸，進而求出K點坐標，再利用即可求解；
(3) 過點A作AN⊥DE，DE與x中交于點F，由tan∠AED=求出AN和NE的長度，再證明Rt△AFN∽Rt△EFO，進而得到，得到F的坐標，進而求出EF的解析式，再和拋物線聯(lián)立方程組即可求解．
【解析】
（1）將點A(-4,0),B(2,0)代入拋物線的解析式y(tǒng)=ax2+bx+6
得：
∴解析式為
(2)設,
過點D作軸，交于點K，，

當時有最大值，此時．
故答案為：，最大值．
(3)過點A作,DE與X軸交于點F，

∴EF的解析式為,

．

故答案為：．

【點睛】
本題是二次函數(shù)的綜合問題，主要考查二次函數(shù)的圖形及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合解題是關(guān)鍵．

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