考點(diǎn)25-3 二次函數(shù)綜合-2022年中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)分類提分訓(xùn)練（天津?qū)Ｓ茫?試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?考點(diǎn)25—3 二次函數(shù)綜合
1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線軸，且直線與拋物線和軸分別交于點(diǎn)，，，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)．若點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1．
（1）線段的長(zhǎng)度等于______；
（2）點(diǎn)為線段上方拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的最小值；
（3）在（2）的條件下，刪除拋物線在直線左側(cè)部分圖象并將右側(cè)部分圖象沿直線翻折，與拋物線在直線右側(cè)部分圖象組成新的函數(shù)的圖象．現(xiàn)有平行于的直線：，若直線與函數(shù)的圖象有且只有2個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍（請(qǐng)直接寫(xiě)出的取值范圍，無(wú)需解答過(guò)程）．

【答案】（1）2，（2），（3）
【分析】
（1）先求拋物線的對(duì)稱軸，由于已知點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用對(duì)稱性可求點(diǎn)坐標(biāo)；從而得的長(zhǎng)度；
（2）先根據(jù)和坐標(biāo)得出的解析式，然后設(shè)與其平行的直線為，過(guò)點(diǎn)作的垂線，可求得和，從而得解；
（3）可根據(jù)頂點(diǎn)位置的變動(dòng)，得出拋物線右側(cè)部分圖象沿直線翻折后拋物線的解析式；由（2）直線解析式，平行于的直線，其值可求；令與翻折后拋物線相切，可求得的臨界值，結(jié)合圖象可得最后答案．
【解析】
解：（1）拋物線的對(duì)稱軸為直線．
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1．代入得：，
，由拋物線的對(duì)稱性得：點(diǎn)的坐標(biāo)為．
．
故答案為：2．
（2），，
直線解析式為，作，且與拋物線相切，設(shè)的解析式為：．
根據(jù)該直線與拋物線相切，列一元二次方程，，即，
△，，
，
切點(diǎn)坐標(biāo)為：，，

過(guò)點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，則，，
，．
，
．
的最小值為：．
（3）在（2）的條件下，平行于的直線，若直線與函數(shù)的圖象有且只有2個(gè)交點(diǎn)，
，，
，，
拋物線的頂點(diǎn)為，點(diǎn)為，點(diǎn)為，，
拋物線右側(cè)部分圖象沿直線翻折后拋物線頂點(diǎn)為，其解析式為．
當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，，
，△
；
時(shí)直線與函數(shù)的圖象有且只有2個(gè)交點(diǎn)．
的取值范圍為：．

【點(diǎn)睛】
本題屬于二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)的對(duì)稱性，函數(shù)的最值，以及一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，綜合性比較強(qiáng)，難度較大．
2．如圖1，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OC=3OA．點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交直線BC于點(diǎn)D，連接PC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖2，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P只在第一象限的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F，試問(wèn)△PDF的周長(zhǎng)是否有最大值？如果有，請(qǐng)求出其最大值，如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，將△CPD沿直線CP翻折，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q，試問(wèn)，四邊形CDPQ是否成為菱形？如果能，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】(1) y=﹣+x+3；(2) 有最大值,;(3) 存在這樣的Q點(diǎn)，使得四邊形CDPQ是菱形，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，﹣）．
【解析】
試題分析: （1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)P（m，﹣m2+m+3），△PFD的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，再利用待定系數(shù)法求直線BC的解析式為：y=﹣x+3，表示PD=﹣，證明△PFD∽△BOC，根據(jù)周長(zhǎng)比等于對(duì)應(yīng)邊的比得：，代入得：L=﹣（m﹣2）2+，求L的最大值即可；
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)Q落在y軸上時(shí)，四邊形CDPQ是菱形，根據(jù)翻折的性質(zhì)知：CD=CQ，PQ=PD，∠PCQ=∠PCD，又知Q落在y軸上時(shí)，則CQ∥PD，由四邊相等：CD=DP=PQ=QC，得四邊形CDPQ是菱形，表示P（n，﹣ +n+3），則D（n，﹣n+3），G（0，﹣n+3），利用勾股定理表示PD和CD的長(zhǎng)并列式可得結(jié)論．
試題解析:
（1）由OC=3OA，有C（0，3），
將A（﹣1，0），B（4，0），C（0，3）代入y=ax2+bx+c中，得：
，
解得：，
故拋物線的解析式為：y=﹣+x+3；
（2）如圖2，設(shè)P（m，﹣m2+m+3），△PFD的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，
∵直線BC經(jīng)過(guò)B（4，0），C（0，3），
設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，
則
解得：
∴直線BC的解析式為：y=﹣x+3，
則D（m，﹣），PD=﹣，
∵PE⊥x軸，PE∥OC，
∴∠BDE=∠BCO，
∵∠BDE=∠PDF，
∴∠PDF=∠BCO，
∵∠PFD=∠BOC=90°，
∴△PFD∽△BOC，
∴，
由（1）得：OC=3，OB=4，BC=5，
故△BOC的周長(zhǎng)=12，
∴，
即L=﹣（m﹣2）2+，
∴當(dāng)m=2時(shí)，L最大=；
（3）存在這樣的Q點(diǎn)，使得四邊形CDPQ是菱形，如圖3，
當(dāng)點(diǎn)Q落在y軸上時(shí)，四邊形CDPQ是菱形，
理由是：由軸對(duì)稱的性質(zhì)知：CD=CQ，PQ=PD，∠PCQ=∠PCD，
當(dāng)點(diǎn)Q落在y軸上時(shí)，CQ∥PD，
∴∠PCQ=∠CPD，
∴∠PCD=∠CPD，
∴CD=PD，
∴CD=DP=PQ=QC，
∴四邊形CDPQ是菱形，
過(guò)D作DG⊥y軸于點(diǎn)G，
設(shè)P（n，﹣ +n+3），則D（n，﹣n+3），G（0，﹣），
在Rt△CGD中，CD2=CG2+GD2=[（﹣n+3）﹣3]2+n2=，
而|PD|=|（﹣）﹣（﹣n+3）|=|﹣+3n|，
∵PD=CD，
∴﹣①，
﹣，
解方程①得：n=或0（不符合條件，舍去），
解方程②得：n=或0（不符合條件，舍去），
當(dāng)n=時(shí)，P（，），如圖3，

當(dāng)n=時(shí)，P（，﹣），如圖4，

綜上所述，存在這樣的Q點(diǎn)，使得四邊形CDPQ是菱形，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，﹣）．
點(diǎn)睛: 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、菱形的性質(zhì)和判定、三角形相似的性質(zhì)和判定，將周長(zhǎng)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題，此類問(wèn)題要熟練掌握利用解析式表示線段的長(zhǎng)，并利用相似比或勾股定理列方程解決問(wèn)題．
3．如圖，拋物線y=ax2+6x+c交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．直線y=x﹣5經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）過(guò)點(diǎn)A的直線交直線BC于點(diǎn)M．
①當(dāng)AM⊥BC時(shí)，過(guò)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P（不與點(diǎn)B，C重合），作直線AM的平行線交直線BC于點(diǎn)Q，若以點(diǎn)A，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；
②連接AC，當(dāng)直線AM與直線BC的夾角等于∠ACB的2倍時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+6x﹣5；（2）①P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4或或；②點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，﹣）或（，﹣）．
【解析】
分析：（1）利用一次函數(shù)解析式確定C（0，-5），B（5，0），然后利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；
（2）①先解方程-x2+6x-5=0得A（1，0），再判斷△OCB為等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，則△AMB為等腰直角三角形，所以AM=2，接著根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到PQ=AM=2，PQ⊥BC，作PD⊥x軸交直線BC于D，如圖1，利用∠PDQ=45°得到PD=PQ=4，設(shè)P（m，-m2+6m-5），則D（m，m-5），討論：當(dāng)P點(diǎn)在直線BC上方時(shí)，PD=-m2+6m-5-（m-5）=4；當(dāng)P點(diǎn)在直線BC下方時(shí)，PD=m-5-（-m2+6m-5），然后分別解方程即可得到P點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
②作AN⊥BC于N，NH⊥x軸于H，作AC的垂直平分線交BC于M1，交AC于E，如圖2，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)得到∠AM1B=2∠ACB，再確定N（3，-2），
AC的解析式為y=5x-5，E點(diǎn)坐標(biāo)為（，-），利用兩直線垂直的問(wèn)題可設(shè)直線EM1的解析式為y=-x+b，把E（，-）代入求出b得到直線EM1的解析式為y=-x-，則解方程組得M1點(diǎn)的坐標(biāo)；作直線BC上作點(diǎn)M1關(guān)于N點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)M2，如圖2，利用對(duì)稱性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，設(shè)M2（x，x-5），根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到3=，然后求出x即可得到M2的坐標(biāo)，從而得到滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．
解析：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=x﹣5=﹣5，則C（0，﹣5），
當(dāng)y=0時(shí)，x﹣5=0，解得x=5，則B（5，0），
把B（5，0），C（0，﹣5）代入y=ax2+6x+c得
，解得，
∴拋物線解析式為y=﹣x2+6x﹣5；
（2）①解方程﹣x2+6x﹣5=0得x1=1，x2=5，則A（1，0），
∵B（5，0），C（0，﹣5），
∴△OCB為等腰直角三角形，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∵AM⊥BC，
∴△AMB為等腰直角三角形，
∴AM=AB=×4=2，
∵以點(diǎn)A，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，AM∥PQ，
∴PQ=AM=2，PQ⊥BC，
作PD⊥x軸交直線BC于D，如圖1，則∠PDQ=45°，

∴PD=PQ=×2=4，
設(shè)P（m，﹣m2+6m﹣5），則D（m，m﹣5），
當(dāng)P點(diǎn)在直線BC上方時(shí)，
PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m2+5m=4，解得m1=1，m2=4，
當(dāng)P點(diǎn)在直線BC下方時(shí)，
PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）=m2﹣5m=4，解得m1=，m2=，
綜上所述，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4或或；
②作AN⊥BC于N，NH⊥x軸于H，作AC的垂直平分線交BC于M1，交AC于E，如圖2，

∵M(jìn)1A=M1C，
∴∠ACM1=∠CAM1，
∴∠AM1B=2∠ACB，
∵△ANB為等腰直角三角形，
∴AH=BH=NH=2，
∴N（3，﹣2），
易得AC的解析式為y=5x﹣5，E點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣，
設(shè)直線EM1的解析式為y=﹣x+b，
把E（，﹣）代入得﹣+b=﹣，解得b=﹣，
∴直線EM1的解析式為y=﹣x﹣
解方程組得，則M1（，﹣）；
作直線BC上作點(diǎn)M1關(guān)于N點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)M2，如圖2，則∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，
設(shè)M2（x，x﹣5），
∵3=
∴x=，
∴M2（，﹣）.
綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，﹣）或（，﹣）．
點(diǎn)睛：本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰直角的判定與性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．
4．如圖，拋物線頂點(diǎn)P（1，4），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），與x軸交于點(diǎn)A，B．
（1）求拋物線的解析式．
（2）Q是拋物線上除點(diǎn)P外一點(diǎn)，△BCQ與△BCP的面積相等，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
（3）若M，N為拋物線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)M，N作直線BC的垂線段，垂足分別為D，E．是否存在點(diǎn)M，N使四邊形MNED為正方形？如果存在，求正方形MNED的邊長(zhǎng)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）①Q(mào)（2，3）；②Q2（，），Q3（，）；（3）存在點(diǎn)M，N使四邊形MNED為正方形，MN=9或．理由見(jiàn)解析.
【分析】
（1）設(shè)出拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，把C坐標(biāo)代入求出即可；
（2）由△BCQ與△BCP的面積相等，得到PQ與BC平行，①過(guò)P作作PQ∥BC，交拋物線于點(diǎn)Q，如圖1所示；②設(shè)G（1，2），可得PG=GH=2，過(guò)H作直線Q2Q3∥BC，交x軸于點(diǎn)H，分別求出Q的坐標(biāo)即可；
（3）存在點(diǎn)M，N使四邊形MNED為正方形，如圖2所示，過(guò)M作MF∥y軸，過(guò)N作NF∥x軸，過(guò)N作NH∥y軸，則有△MNF與△NEH都為等腰直角三角形，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），設(shè)直線解析式為y=-x+b，與二次函數(shù)解析式聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系表示出NF2，由△MNF為等腰直角三角形，得到MN2=2NF2，若四邊形MNED為正方形，得到NE2=MN2，求出b的值，進(jìn)而確定出MN的長(zhǎng)，即為正方形邊長(zhǎng)．
【解析】
（1）設(shè)y=a（x﹣1）2+4（a≠0），
把C（0，3）代入拋物線解析式得：a+4=3，即a=﹣1，
則拋物線解析式為y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3；
（2）由B（3，0），C（0，3），得到直線BC解析式為y=﹣x+3，
∵S△OBC=S△QBC，
∴PQ∥BC，
①過(guò)P作PQ∥BC，交拋物線于點(diǎn)Q，如圖1所示，

∵P（1，4），∴直線PQ解析式為y=﹣x+5，
聯(lián)立得：，
解得：或，即Q（2，3）；
②設(shè)G（1，2），∴PG=GH=2，
過(guò)H作直線Q2Q3∥BC，交x軸于點(diǎn)H，則直線Q2Q3解析式為y=﹣x+1，
聯(lián)立得：，
解得：或，
∴Q2（，），Q3（，）；
（3）存在點(diǎn)M，N使四邊形MNED為正方形，

如圖2所示，過(guò)M作MF∥y軸，過(guò)N作NF∥x軸，過(guò)N作NH∥y軸，則有△MNF與△NEH都為等腰直角三角形，
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），設(shè)直線MN解析式為y=﹣x+b，
聯(lián)立得：，
消去y得：x2﹣3x+b﹣3=0，
∴NF2=|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1x2=21﹣4b，
∵△MNF為等腰直角三角形，
∴MN2=2NF2=42﹣8b，
∵NH2=（b﹣3）2，∴NF2=（b﹣3）2，
若四邊形MNED為正方形，則有NE2=MN2，
∴42﹣8b=（b2﹣6b+9），
整理得：b2+10b﹣75=0，
解得：b=﹣15或b=5，
∵正方形邊長(zhǎng)為MN=，
∴MN=9或．
【點(diǎn)睛】
此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，根與系數(shù)的關(guān)系，等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，以及一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．
5．如圖，已知拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，交軸于點(diǎn).過(guò)點(diǎn)作軸，交拋物線于點(diǎn).
（1）求拋物線的解析式；
（2）若直線與線段、分別交于、兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，求矩形的最大面積；
（3）若直線將四邊形分成左、右兩個(gè)部分，面積分別為、，且，求的值.

【答案】（1）y=x2+2x﹣3；（2）3；（3）.
【分析】
（1）利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；
（2）先利用待定系數(shù)法求出直線AD，BD的解析式，進(jìn)而求出G，H的坐標(biāo)，進(jìn)而求出GH，即可得出結(jié)論；
（3）先求出四邊形ADNM的面積，再求出直線y＝kx＋1與線段CD，AB的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．
【解析】
（1）∵拋物線y=ax2+bx﹣3與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0）和點(diǎn)B（1，0），
∴，
∴，
∴拋物線的解析式為y=x2+2x﹣3；
（2）由（1）知，拋物線的解析式為y=x2+2x﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴x2+2x﹣3=﹣3，
∴x=0或x=﹣2，
∴D（﹣2，﹣3），
∵A（﹣3，0）和點(diǎn)B（1，0），
∴直線AD的解析式為y=﹣3x﹣9，直線BD的解析式為y=x﹣1，
∵直線y=m（﹣3＜m＜0）與線段AD、BD分別交于G、H兩點(diǎn)，
∴G（﹣m﹣3，m），H（m+1，m），
∴GH=m+1﹣（﹣m﹣3）=m+4，
∴S矩形GEFH=﹣m（m+4）=﹣（m2+3m）=﹣（m+）2+3，
∴m=﹣，矩形GEFH的最大面積為3．
（3）∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB=4，
∵C（0，﹣3），D（﹣2，﹣3），
∴CD=2，
∴S四邊形ABCD=×3（4+2）=9，
∵S1：S2=4：5，
∴S1=4，
如圖，設(shè)直線y=kx+1與線段AB相交于M，與線段CD相交于N，

∴M（﹣，0），N（﹣，﹣3），
∴AM=﹣+3，DN=﹣+2，
∴S1=（﹣+3﹣+2）×3=4，
∴k=
【點(diǎn)睛】
此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，矩形的面積公式，梯形的面積公式，求出相關(guān)線段的長(zhǎng)是解本題的關(guān)鍵．
6．如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并與x軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸l上任意一點(diǎn)（點(diǎn)M，B，C三點(diǎn)不在同一直線上）．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）在拋物線上找出點(diǎn)P，使得以M，C，B，P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，并直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】（1）y=x2-x-2；（2）點(diǎn)P坐標(biāo)為或或．
【分析】
（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）分3種情況：①如圖1中，當(dāng)四邊形PCBM是平行四邊形時(shí)；②如圖2中，當(dāng)四邊形PMCB是平行四邊形時(shí)；③當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí)．利用平移變換以及平行四邊形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．
【解析】
解：（1）把代入拋物線中，得
，解得，
∴拋物線的解析式為y=x2-x-2；
（2）∵y=x2-x-2＝(x-)2-，
∴對(duì)稱軸是直線x=.
①如圖1，當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，，且，
∵點(diǎn)B向右平移個(gè)單位到點(diǎn)M橫坐標(biāo)位置，
∴由點(diǎn)C向右平移個(gè)單位到點(diǎn)P橫坐標(biāo)位置，
∵點(diǎn),
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴；

②如圖2中，當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，
∵點(diǎn)C向左平移2個(gè)單位到B橫坐標(biāo)，
∴點(diǎn)M向左平移2個(gè)單位到點(diǎn)P橫坐標(biāo)，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為．
當(dāng)時(shí)，，
∴；

③當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，
∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，，
∴．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為或或．
【點(diǎn)睛】
本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)、以及平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（2）分三種情形討論求解．
7．如圖，直線y=-x+2與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，C和點(diǎn)A(-1，0)．
(1)求B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
(2)求該二次函數(shù)的解析式．
(3)若拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)D，則在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形?如果存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(4)點(diǎn)E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形CDBF的面積最大?求出四邊形CDBF的最大面積及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)．

【答案】（1）B(4，0)，C(0，2)；（2）y=-x2+x+2；（3）存在，P1(，4)，P2()，P3(，-)；（4）當(dāng)a=2時(shí)，S四邊形CDBF的最大值=，此時(shí)E(2，1)．
【分析】
（1）分別令解析式y(tǒng)=-x+2中x=0，y=0，求出點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）二次函數(shù)的解析式為，將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入解析式，求出a，b，c的值，進(jìn)而求出二次函數(shù)的解析式；
（3）由（2）的解析式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，再由勾股定理求出CD的值，再以點(diǎn)C為圓心，CD為半徑作弧交對(duì)稱軸于，以點(diǎn)D為圓心，CD為半徑作圓交對(duì)稱軸于，，作CE垂直對(duì)稱軸于點(diǎn)E，由等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理就可以求出結(jié)論；
（4）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，就可以表示出F的坐標(biāo)，由求出S與a的關(guān)系式，由二次函數(shù)的性質(zhì)就可以求出結(jié)論．
【解析】
解：(1)在y=-x+2中，令x=0，可得y=2，令y=0，可得x=4，
即B(4，0)，C(0，2)．
(2)設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c，
將點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)代入解析式，得
，
解得
即該二次函數(shù)的解析式為y=-x2+x+2．
(3)存在．∵y=-x2+x+2，
∴y=-(x-)2+，
∴拋物線的對(duì)稱軸是直線x=，∴OD=．
∵C(0，2)，∴OC=2．
在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=．
∵△PCD是以CD為腰的等腰三角形，
∴CP1=DP2=DP3=CD．
如圖①所示，作CH⊥對(duì)稱軸于點(diǎn)H，∴HP1=HD=2，
∴DP1=4．
∴P1(，4)，P2()，P3(，-)．

(4)∵B(4，0)，C(0，2)，
∴直線BC的解析式為y=-x+2．
如圖②，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥EF于點(diǎn)M，

設(shè)E(a，-a+2)，F(xiàn)(a，-a2+a+2)，
∴EF=-a2+a+2-(-a+2)=-a2+2a(0≤a≤4)．
∵S四邊形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD·OC+EF·CM+EF·BN
=×(4-)×2+a(-a2+2a)+(4-a)( -a2+2a)
=-a2+4a+
=-(a-2)2+，
∴當(dāng)a=2時(shí)，S四邊形CDBF的最大值=，此時(shí)E(2，1)．
【點(diǎn)睛】
本題屬于一次函數(shù)、二次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法，等腰三角形的存在性，面積最值問(wèn)題，等腰三角形的存在性問(wèn)題能正確的進(jìn)行分類并作圖，利用等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求出結(jié)論，本題中求面積最值問(wèn)題的解題思路是：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，表示相應(yīng)的線段，表示出四邊形CDBF的面積，再利用配方法求出最值即可．
8．已知，點(diǎn)為二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，直線分別交軸正半軸，軸于點(diǎn).
（1）如圖1，若二次函數(shù)圖象也經(jīng)過(guò)點(diǎn)，試求出該二次函數(shù)解析式，并求出的值.
（2）如圖2，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)在內(nèi)，若點(diǎn)，都在二次函數(shù)圖象上，試比較與的大小.

【答案】（1）,；（2）①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，
【分析】
（1）根據(jù)一次函數(shù)表達(dá)式求出B點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)B點(diǎn)在拋物線上，求出b值，從而得到二次函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)二次函數(shù)表達(dá)式求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，最后代入一次函數(shù)求出m值.（2）根據(jù)解方程組，可得頂點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的范圍，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．
【解析】
（1）如圖1，∵直線與軸交于點(diǎn)為，∴點(diǎn)坐標(biāo)為
又∵在拋物線上，∴，解得
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為
∴當(dāng)時(shí)，得，
∴
代入得，，∴
（2）如圖2，根據(jù)題意，拋物線的頂點(diǎn)為，即點(diǎn)始終在直線上，
∵直線與直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，而直線表達(dá)式為
解方程組，得
∴點(diǎn)，
∵點(diǎn)在內(nèi)，∴
當(dāng)點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸（直線）對(duì)稱時(shí)，，∴
且二次函數(shù)圖象的開(kāi)口向下，頂點(diǎn)在直線上
綜上：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，.

【點(diǎn)睛】
本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度系數(shù)大同學(xué)們需要認(rèn)真分析即可.
9．如圖，拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，拋物線與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0）．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）將拋物線圖象x軸下方部分沿x軸向上翻折，保留拋物線在x軸上的點(diǎn)和x軸上方圖象，得到的新圖象與直線y=t恒有四個(gè)交點(diǎn)，從左到右四個(gè)交點(diǎn)依次記為D，E，F(xiàn)，G．當(dāng)以EF為直徑的圓過(guò)點(diǎn)Q（2，1）時(shí)，求t的值；
（3）在拋物線上，當(dāng)m≤x≤n時(shí)，y的取值范圍是m≤y≤7，請(qǐng)直接寫(xiě)出x的取值范圍．

【答案】（1）；（2）t的值為；（3）x的取值范圍是或．
【解析】
【分析】
（1）拋物線的對(duì)稱軸是x=2，且過(guò)點(diǎn)A（-1，0）點(diǎn)，∴
，即可求解；
（2）翻折后得到的部分函數(shù)解析式為：y=-（x-2）2+9=-x2+4x+5，（-1＜x＜5），新圖象與直線y=t恒有四個(gè)交點(diǎn)，則0＜t＜9，由
解得：解得，，即可求解；
（3）分m、n在函數(shù)對(duì)稱軸左側(cè)、m、n在對(duì)稱軸兩側(cè)、m、n在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，三種情況分別求解即可．
【解析】
（1）拋物線的對(duì)稱軸是x=2，且過(guò)點(diǎn)A(-1，0)點(diǎn)，∴，解得：，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：；
（2）解：∵，∴x軸下方圖象翻折后得到的部分函數(shù)解析式為：=(-1＜x＜5)，其頂點(diǎn)為(2，9)．
∵新圖象與直線y=t恒有四個(gè)交點(diǎn)，∴0＜t＜9．
設(shè)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)．
由得，
解得，
∵以EF為直徑的圓過(guò)點(diǎn)Q(2，1)，∴，
即，解得．
又∵0＜t＜9，∴t的值為；

（3）x的取值范圍是：或．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、圓的基本性質(zhì)性質(zhì)、圖形的翻折等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．
10．如圖，拋物線y＝ax2＋bx（a≠0）過(guò)A（4，0），B（1，3）兩點(diǎn)，點(diǎn)C、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)B作直線BH⊥x軸，交x軸于點(diǎn)H．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出△ABC的面積；
（3）點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得△ABP的面積為△ABC面積的2倍？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）若點(diǎn)M在直線BH上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)C，M，N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)△CMN的面積．

【答案】（1）y＝－x2＋4x；（2）C（3，3），面積為3；（3）P的坐標(biāo)為（5，－5）；（4）或5．
【解析】
試題分析：（1）利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可；
（2）先求出拋物線的對(duì)稱軸，利用對(duì)稱性即可寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用三角形面積公式即可求面積；
（3）利用三角形的面積以及點(diǎn)P所處象限的特點(diǎn)即可求；
（4）分情況進(jìn)行討論，確定點(diǎn)M、N，然后三角形的面積公式即可求.
試題解析：（1）將A（4，0），B（1，3）代入到y(tǒng)＝ax2＋bx中，得，解得，
∴拋物線的表達(dá)式為y＝－x2＋4x．
（2）∵拋物線的表達(dá)式為y＝－x2＋4x，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2．
又C，B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴C（3，3）．∴BC＝2，∴S△ABC＝×2×3＝3．
（3）存在點(diǎn)P．作PQ⊥BH于點(diǎn)Q，設(shè)P（m，－m2＋4m）．
∵S△ABP＝2S△ABC，S△ABC＝3，∴S△ABP＝6．
∵S△ABP＋S△BPQ＝S△ABH＋S梯形AHQP
∴6＋×（m－1）×（3＋m2－4m）＝×3×3＋×（3＋m－1）（m2－4m）
整理得m2－5m＝0，解得m1＝0（舍），m2＝5，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，－5）．
（4）或5．
提示：①當(dāng)以M為直角頂點(diǎn)，則S△CMN＝；
②當(dāng)以N為直角頂點(diǎn)，S△CMN＝5；
③當(dāng)以C為直角頂點(diǎn)時(shí)，此種情況不存在．

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查待定系數(shù)法求解析式，三角形面積、直角三角形的判定等，能正確地根據(jù)題意確定圖形，分情況進(jìn)行討論是解題的關(guān)鍵.
11．如圖，拋物線過(guò)點(diǎn)，且與直線交于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)D為拋物線上位于直線上方的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作軸交直線于點(diǎn)E，點(diǎn)P為對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段的長(zhǎng)度最大時(shí)，求的最小值；
（3）設(shè)點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）拋物線的解析式；（2）的最小值為；（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)：、．
【分析】
（1）將點(diǎn)B的坐標(biāo)為代入，，B的坐標(biāo)為，將，代入，解得，，因此拋物線的解析式；
（2）設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，有最大值為2，此時(shí)，作點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，與對(duì)稱軸交于點(diǎn)P．，此時(shí)最??；
（3）作軸于點(diǎn)H，連接、、、、，由，，可得，因?yàn)?，，所以，可知外接圓的圓心為H，于是設(shè)，則，或，求得符合題意的點(diǎn)Q的坐標(biāo)：、．
【解析】
解：（1）將點(diǎn)B的坐標(biāo)為代入，
，
∴B的坐標(biāo)為，
將，代入，

解得，，
∴拋物線的解析式；
（2）設(shè)，則，
，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值為2，
此時(shí)，
作點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，與對(duì)稱軸交于點(diǎn)P．

，此時(shí)最小，
∵，
∴，
，
即的最小值為；
（3）作軸于點(diǎn)H，連接、、、、，

∵拋物線的解析式，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
可知外接圓的圓心為H，

∴
設(shè)，
則，
或
∴符合題意的點(diǎn)Q的坐標(biāo)：、．
【點(diǎn)睛】
本題考查了二次函數(shù)，熟練運(yùn)用二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)與一次函數(shù)的性質(zhì)以及圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
12．如圖，拋物線經(jīng)過(guò)x軸上的點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B及y軸上的點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的直線為．
①求拋物線的解析式．
②點(diǎn)P從A出發(fā)，在線段AB上以每秒1個(gè)單位的速度向B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從B出發(fā)，在線段BC上以每秒2個(gè)單位的速度向C運(yùn)動(dòng)．當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求t為何值時(shí)，△PBE的面積最大并求出最大值．
③過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)M，過(guò)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)N（不與點(diǎn)B、C重合）作直線AM的平行線交直線BC于點(diǎn)Q．若點(diǎn)A、M、N、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)N的橫坐標(biāo)．

【答案】①；②當(dāng)時(shí)，△PBE的面積最大，最大值為；③點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為：4或或．
【分析】
①點(diǎn)B、C在直線為上，則B（﹣n，0）、C（0，n），點(diǎn)A（1，0）在拋物線上，所以，解得，，因此拋物線解析式：；
②先求出點(diǎn)P到BC的高h(yuǎn)為，于是，當(dāng)時(shí)，△PBE的面積最大，最大值為；
③由①知，BC所在直線為：，所以點(diǎn)A到直線BC的距離，過(guò)點(diǎn)N作x軸的垂線交直線BC于點(diǎn)P，交x軸于點(diǎn)H．設(shè)，則、，易證△PQN為等腰直角三角形，即，，Ⅰ．，所以解得（舍去），，Ⅱ．，解得，（舍去），Ⅲ．，，解得（舍去），．
【解析】
解：①∵點(diǎn)B、C在直線為上，
∴B（﹣n，0）、C（0，n），
∵點(diǎn)A（1，0）在拋物線上，
∴，
∴，，
∴拋物線解析式：；
②由題意，得，
，，
由①知，，
∴點(diǎn)P到BC的高h(yuǎn)為，
∴，
當(dāng)時(shí)，△PBE的面積最大，最大值為；
③由①知，BC所在直線為：，
∴點(diǎn)A到直線BC的距離，
過(guò)點(diǎn)N作x軸的垂線交直線BC于點(diǎn)P，交x軸于點(diǎn)H．
設(shè)，則、，
易證△PQN為等腰直角三角形，即，
∴，
Ⅰ．，
∴
解得，，
∵點(diǎn)A、M、N、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
∴；
Ⅱ．，
∴
解得，，
∵點(diǎn)A、M、N、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
，
∴，
Ⅲ．，
∴，
解得，，
∵點(diǎn)A、M、N、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
，
∴，
綜上所述，若點(diǎn)A、M、N、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為：4或或．
【點(diǎn)睛】
本題考查了二次函數(shù)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
13．如圖，直線y＝-x-3與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，C，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C的拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)B(2，0)，點(diǎn)D是拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，連接AD，DC．設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m．
(1)求拋物線的解析式；
(2)當(dāng)點(diǎn)D在第三象限，設(shè)△DAC的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值及此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(3)連接BC，若∠EAD＝∠OBC，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)．

【答案】(1)y＝x2+x﹣3；(2)S△ADC=﹣(m+3)2+；△ADC的面積最大值為；此時(shí)D(﹣3，﹣)；(3)滿足條件的點(diǎn)D坐標(biāo)為(﹣4，﹣3)或(8，21).
【分析】
（1）求出A坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求解析式；（2）設(shè)DE與AC的交點(diǎn)為點(diǎn)F.設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為：(m，m2+m﹣3)，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為：(m，﹣m﹣3)，根據(jù)S△ADC＝S△ADF+S△DFC求出解析式，再求最值；（3）①當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，D(﹣4，﹣3)，根據(jù)對(duì)稱性此時(shí)∠EAD＝∠ABC．
②作點(diǎn)D(﹣4，﹣3)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′(﹣4，3)，直線AD′的解析式為y＝x+9，解方程組求出函數(shù)圖像交點(diǎn)坐標(biāo).
【解析】
解：(1)在y＝﹣x﹣3中，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝﹣6，
即點(diǎn)A的坐標(biāo)為：(﹣6，0)，
將A(﹣6，0)，B(2，0)代入y＝ax2+bx﹣3得：
，
解得：，
∴拋物線的解析式為：y＝x2+x﹣3；
(2)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為：(m，m2+m﹣3)，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為：(m，﹣m﹣3)，
設(shè)DE與AC的交點(diǎn)為點(diǎn)F.
∴DF＝﹣m﹣3﹣(m2+m﹣3)＝﹣m2﹣m，
∴S△ADC＝S△ADF+S△DFC
＝DF?AE+?DF?OE
＝DF?OA
＝×(﹣m2﹣m)×6
＝﹣m2﹣m
＝﹣(m+3)2+，
∵a＝﹣＜0，
∴拋物線開(kāi)口向下，
∴當(dāng)m＝﹣3時(shí)，S△ADC存在最大值，
又∵當(dāng)m＝﹣3時(shí)，m2+m﹣3＝﹣，
∴存在點(diǎn)D(﹣3，﹣)，使得△ADC的面積最大，最大值為；
(3)①當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，D(﹣4，﹣3)，根據(jù)對(duì)稱性此時(shí)∠EAD＝∠ABC．
②作點(diǎn)D(﹣4，﹣3)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′(﹣4，3)，
直線AD′的解析式為y＝x+9，
由，解得或，
此時(shí)直線AD′與拋物線交于D(8，21)，滿足條件，
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)D坐標(biāo)為(﹣4，﹣3)或(8，21)

【點(diǎn)睛】
本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，一次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問(wèn)題，學(xué)會(huì)構(gòu)建一次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．.
14．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A（﹣l，0），B（3，0）與y軸交于C（0，﹣）．
（1）求這個(gè)拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P在（1）中的拋物線上，連結(jié)PC、BC，若∠PCB＝∠OBC，求所有滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)；
（3）如圖2，作直線y＝4，與拋物線交于D、E，連結(jié)DC，動(dòng)點(diǎn)Q在折線C﹣D﹣E上運(yùn)動(dòng)，過(guò)Q作QN∥y軸，過(guò)C作CN∥x軸，直線ON、CN交于點(diǎn)N，將△C沿CQ折得到△QCM，若點(diǎn)M落在x軸上，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)Q坐標(biāo)．

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣（2）點(diǎn)P（5，4）或（2，﹣）（3）點(diǎn)Q（﹣，）或（，4）或.
【解析】
【分析】
（1）用二次函數(shù)交點(diǎn)式表達(dá)式可得：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3），即可求解；
（2）分∠PCB=30°、∠P′CB=30°兩種情況，分別求解即可；
（3）分點(diǎn)Q在線段CD上、點(diǎn)Q在線段DE上，兩種情況，分別求解即可．
【解析】
（1）用二次函數(shù)交點(diǎn)式表達(dá)式可得：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
即﹣3a＝﹣，解得：a＝，
故函數(shù)的表達(dá)式為： ①；
（2）tan∠OBC＝，∴∠OBC＝30°，
∠PCB＝∠OBC，則∠PCB＝30°或∠P′CB＝30°，

則CP′∥x軸，
①當(dāng)∠PCB＝30°，直線PC的傾斜角為60°，
則直線PC的表達(dá)式為：y＝x﹣②，
聯(lián)立①②并解得：x＝0或5（舍去0），
則點(diǎn)P（5，4）；
②∠P′CB＝30°時(shí)，
同理可得：點(diǎn)P′（2，﹣）；
故點(diǎn)P（5，4）或（2，﹣）；
（3），
解得：x＝﹣3，
即點(diǎn)D（﹣3，4），而點(diǎn)C（0，﹣），
設(shè)直線CD的表達(dá)式為：y＝kx﹣，
將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入上式并解得：k＝﹣，
故：直線CD的表達(dá)式為：，
直線DE的表達(dá)式為：y＝4，
設(shè)點(diǎn)Q（m，﹣m﹣）或（m，4），
點(diǎn)M（n，0），則點(diǎn)N（m，﹣），
由題意得：QN＝QM，CN＝CM，
①當(dāng)點(diǎn)Q在線段CD上時(shí)，
，
解得：m＝﹣，
故點(diǎn)Q（）；
②當(dāng)點(diǎn)Q在線段DE上時(shí)，
同理可得：m＝，
故點(diǎn)Q（，4）或.
故點(diǎn)Q（﹣，）或（，4）或．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、勾股定理的運(yùn)用等，要注意弄清楚題意，分類求解，避免遺漏．
15．如圖1，拋物線y＝x2﹣3與x軸交于AB兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC．點(diǎn)Q是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)Q作直線l∥x軸，直線1與∠BAC的平分線交于點(diǎn)M，與∠CAx的平分線交于點(diǎn)N．
（1）P是直線AC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PC，當(dāng)△PAC的面積最大時(shí)，求PQ+AM的最小值；
（2）如圖2，連接MC，NC，當(dāng)四邊形AMCN為矩形時(shí)，將△AMN沿著直線AC平移得到△A'M'N'，邊A'M'所在的直線與y軸交于D點(diǎn)，若△DM'N'為等腰三角形時(shí)，求OD的長(zhǎng)．

【答案】（1）；（2） OD的長(zhǎng)為2或6或.
【解析】
【分析】
（1）用割補(bǔ)法求得△PAC面積的表達(dá)式，獲得點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用30°構(gòu)造AM為斜邊的直角三角形，轉(zhuǎn)換AM的關(guān)系，可證點(diǎn)P到x軸的距離即為PQ+AM的最小值；
（2）當(dāng)四邊形AMCN為矩形時(shí)，根據(jù)矩形的性質(zhì)點(diǎn)Q為AC與MN的中點(diǎn)，△AMN的三邊長(zhǎng)度固定，當(dāng)△DM'N'為等腰三角形時(shí)，以D、M'、N'為頂點(diǎn)分三類進(jìn)行討論，以線段相等作方程，求得OD的長(zhǎng)．
【解析】
解：（1）由已知可得
設(shè)P（m，m2﹣3）
S△PAC＝S△POC+S△AOP﹣S△AOC＝
當(dāng)m＝時(shí)，△PAC的面積有最大值，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)
如圖，作AH⊥MN，

AH＝AM
AH長(zhǎng)為點(diǎn)Q到x軸的距離
PQ+AM＝PQ+AH＝

（2）當(dāng)四邊形AMCN為矩形時(shí)，MN＝AC，點(diǎn)Q為AC與MN中點(diǎn)
有題意可知，直線AC的解析式l1為y＝x﹣3
過(guò)點(diǎn)M與AC平行的直線解析式l2為y＝x
過(guò)點(diǎn)N與AC平行的直線解析式l3為y＝x﹣6
直線AM的解析式l4為
設(shè)點(diǎn)N'（n， n﹣6），M'（n﹣2， n﹣6）
設(shè)直線A'M'的解析式為
將點(diǎn)M'代入可得
直線A'M'的解析式為
則

①當(dāng)DM'＝DN'時(shí)，DM'2＝DN'2

解得n＝
OD＝2
②當(dāng)DM'＝M'N'時(shí)，DM'2＝M'N'2

解得n＝0或3
OD＝6或0
③當(dāng)DN'＝M'N'時(shí)，DN'2＝M'N'2

解得n＝±3
OD＝2
綜上所述，OD的長(zhǎng)為2或6或2
【點(diǎn)睛】
本題考查了二次函數(shù)與面積問(wèn)題，二次函數(shù)與矩形問(wèn)題，二次函數(shù)中線段求和極值問(wèn)題，二次函數(shù)與等腰三角形問(wèn)題，綜合難度較大，需要掌握二次函數(shù)多種類型問(wèn)題解法，是一道很好的壓軸題．
16．如圖，已知拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

（1）求這條拋物線的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)是點(diǎn)與點(diǎn)之間的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向軸作垂線，交于點(diǎn)，求線段長(zhǎng)度的最大值；
（3）當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)到拋物線的什么位置時(shí)，使得，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】（1）（2）線段最大為.（3）為或
【解析】
【分析】
（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）推出.再求函數(shù)的最值；（3）分兩種情況分析：①點(diǎn)在軸右側(cè)，作軸交拋物線于點(diǎn)，解方程組，求P的坐標(biāo)；②點(diǎn)在軸左側(cè)，解方程組，求P的坐標(biāo)；
【解析】
解：（1）∵過(guò)點(diǎn)，，
，
∴.
∴拋物線表達(dá)式為.
（2）如圖，
∵，，
∴直線為：，
設(shè)，則.
∴

.
∴當(dāng)時(shí)，最大，，
∴線段最大為.
（3）如圖，
①點(diǎn)在軸右側(cè)，
作軸交拋物線于點(diǎn)，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴直線為：，
∴，
∴，
∴.
②點(diǎn)在軸左側(cè)，
∵，，
∴，
∴，
∴直線為，
∴，
∴，
∴，
綜上為或.

【點(diǎn)睛】
考核知識(shí)點(diǎn)：二次函數(shù)的綜合運(yùn)用.數(shù)形分析，分類討論問(wèn)題是關(guān)鍵.
17．如圖．直線y＝kx+b與y軸交于點(diǎn)A（0，2），與直線y＝﹣交于點(diǎn)B（n，1）．
（1）求k，b，n的值；
（2）將拋物線y＝x2平移，使其頂點(diǎn)在直線y＝﹣上移動(dòng)，移動(dòng)后的拋物線的對(duì)稱軸為x＝h．
①若h＝﹣1，則此時(shí)拋物線的解析式為　　；
②當(dāng)拋物線與線段OB有公共點(diǎn)時(shí)，求h的取值范圍．

【答案】（1）k＝﹣，b＝2，n＝﹣2（2）①y＝（x+1）2+②﹣2≤h≤
【解析】
【分析】
（1）將點(diǎn)B坐標(biāo)代入直線y＝﹣，求出n的值；再將點(diǎn)A、點(diǎn)B坐標(biāo)代入y＝kx+b，求出k，b．從而得出答案；
（2）①寫(xiě)出平移后的解析式，且知頂點(diǎn)在直線y＝﹣上移動(dòng)，可以把h＝﹣1分別代入直線y＝﹣和平移后的拋物線解析式，即可求解；
②寫(xiě)出平移后的解析式表示為：y＝（x﹣h）2﹣，分別代入線段OB的端點(diǎn)O和B，即可求解．
【解析】
解：（1）∵直線y＝﹣過(guò)點(diǎn)B（n，1），
∴1＝﹣，
∴n＝﹣2；
∵直線y＝kx+b與y軸交于點(diǎn)A（0，2），
∴將A（0，2），B （﹣2，1）代入y＝kx+b得
∴
故k＝﹣，b＝2，n＝﹣2．
（2）①∵將拋物線y＝x2平移，移動(dòng)后的拋物線的對(duì)稱軸為x＝h，
∴若h＝﹣1，則設(shè)平移后的解析式為y＝（x+1）2+m，
又因?yàn)轫旤c(diǎn)在直線y＝﹣上移動(dòng)，
∴m＝，
此時(shí)拋物線的解析式為：y＝（x+1）2+，
故答案為：y＝（x+1）2+，
②移動(dòng)后的拋物線的對(duì)稱軸為x＝h，頂點(diǎn)在直線y＝﹣上，則其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，﹣），
∴平移后的拋物線的解析式可表示為：y＝（x﹣h）2﹣，
當(dāng)拋物線過(guò)點(diǎn)O（0，0）時(shí)，將（0，0）代入得＝0，
∴h1＝0（舍），；
當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，將B（﹣2.1）代入y＝（x﹣h）2﹣得
，
解得h3＝﹣2，（舍）．
綜上，當(dāng)拋物線與線段OB有公共點(diǎn)時(shí)，h的取值范圍為：﹣2≤h≤．
【點(diǎn)睛】
本題考查了直線解析式的求法，同時(shí)還考查了拋物線平移的解析式表達(dá)方式，以及線段與拋物線有交點(diǎn)的取值范圍問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，難度較大．
18．如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）、B（4，0），與y的正半軸交于點(diǎn)C．

（1）求二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的表達(dá)式．
（2）點(diǎn)Q（m，0）是線段OB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作y軸的平行線，與BC交于點(diǎn)M，與拋物線交于點(diǎn)N，連結(jié)CN，將△CMN沿CN翻折，M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D．探究：是否存在點(diǎn)Q，使得四邊形MNDC是菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）若點(diǎn)E在二次函數(shù)圖象上，且以E為圓心的圓與直線BC相切與點(diǎn)F，且EF＝，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由點(diǎn)B，C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線BC的函數(shù)表達(dá)式，由點(diǎn)Q的坐標(biāo)可得出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出MN的長(zhǎng)度，結(jié)合點(diǎn)C的坐標(biāo)可得出MC的長(zhǎng)度，由菱形的性質(zhì)可得出MN＝MC，進(jìn)而可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之即可得出m的值（取正值），進(jìn)而可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）過(guò)點(diǎn)E作EP∥直線BC，交y軸于點(diǎn)P，這樣的點(diǎn)P有兩個(gè)，記為P1，P2，利用面積法可求出點(diǎn)O到直線BC的距離，結(jié)合EF＝可得出點(diǎn)P1為線段OC的中點(diǎn)，進(jìn)而可得出點(diǎn)P1的坐標(biāo)，由CP1＝CP2可得出點(diǎn)P2的坐標(biāo)，結(jié)合BC的解析式可求出直線EP的函數(shù)表達(dá)式，聯(lián)立直線EP和拋物線的函數(shù)表達(dá)式成方程組，通過(guò)解方程組即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【解析】
解：（1）將A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+3，得：
，解得：，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣x+3．
（2）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣+3＝3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）．
設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+c（k≠0），
將B（4，0），C（0，3）代入y＝kx+c，得：
，解得：，
∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x+3．
∵點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，0），
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，﹣m+3），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，﹣m2+m+3），
∴NM＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m．
∵四邊形MNDC是菱形，
∴MN＝MC．
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），
∴CM＝，
∴﹣m2+3m＝m，
解得：m1＝0（舍去），m2＝，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，0）．
∴存在點(diǎn)Q（，0），使得四邊形MNDC是菱形．
（3）過(guò)點(diǎn)E作EP∥直線BC，交y軸于點(diǎn)P，這樣的點(diǎn)P有兩個(gè)，記為P1，P2，如圖2所示．
∵OB＝4，OC＝3，
∴BC＝＝5，
∴點(diǎn)O到直線BC的距離為．
∵以E為圓心的圓與直線BC相切與點(diǎn)F，且EF＝，
∴點(diǎn)E到直線BC的距離為，
∴點(diǎn)P1為線段OC的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（0，）．
∵CP1＝CP2，
∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（0，）．
∵直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x+3，
∴直線EP的函數(shù)表達(dá)式為y＝或y＝﹣．
聯(lián)立直線EP和拋物線的函數(shù)表達(dá)式成方程組，得：或，
解得：，，，，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2﹣），（2+），（2﹣）或（2+）．

【點(diǎn)睛】
本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、菱形的性質(zhì)、解一元二次方程、平行線的性質(zhì)以及三角形的面積，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；（2）利用菱形的性質(zhì)，找出關(guān)于m的一元二次方程；（3）利用面積法結(jié)合平行線的性質(zhì)，求出直線EP的解析式．
19．已知拋物線經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為第一象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，連接，交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)如圖2，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為軸正半軸上一點(diǎn)，，連接，是否存在點(diǎn)，使？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】
【分析】
（1）將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，即可求解；
（2）S△CPD：S△BPD=1：2，即CD：BD=1：2，則，即可求解；
（3）因，和，可求得，則直線EP的表達(dá)式為：y=x-1，即可求解．
【解析】
解：(1)將和代入得：

解得：
∴拋物線的解析式為：.
(2)作軸，垂足為，

∵
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴直線為：，
由得：
(3)設(shè)交軸于點(diǎn)，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴直線為：，
由得：，
∵點(diǎn)在第一象限，
∴.

【點(diǎn)睛】
本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、平行線分線段成比例等知識(shí)點(diǎn)，難度不大．
20．如圖，拋物線y＝x2﹣x﹣4與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為 D．
（1）求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）連接AC，點(diǎn)P為第四象限拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P的坐標(biāo)為P（t，p），四邊形ACPB面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求t為何值時(shí)，S最大？
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，若點(diǎn)M為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在拋物線對(duì)稱軸上是否存在這樣的點(diǎn)N，使以A、M、P、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，直接寫(xiě)出滿足條件的M，N點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）；（2）當(dāng)t＝時(shí)，S有最大值8；（3）存在，滿足題意的M、N點(diǎn)的坐標(biāo)可以為，，或，或，理由見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
（1）令函數(shù)因變量y=0，即可直接求出拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)．
（2）利用面積割補(bǔ)法表示四邊形ACPB的面積，將表達(dá)式化為拋物線頂點(diǎn)式即可求解．
（3）依題意并根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想建立數(shù)學(xué)模型，分析如圖，求解即可．
【解析】
解：（1）拋物線y＝x2﹣x﹣4與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），
∴令y＝0，則x2﹣x﹣4＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣，
∴A（﹣，0），B（2，0）；
（2）如右圖1，

連接OP，PB．
由拋物線y＝x2﹣x﹣4可知，C（0，﹣4），
點(diǎn)P為第四象限拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P的坐標(biāo)為P（t，p），
∴p＝﹣t2+t+4
∵S＝S△AOC+S△POC+S△POB，
∴S＝××4+×4?t+×2?（﹣t2+t+4）＝﹣t2+4t+6＝﹣（t﹣）2+8，
∵﹣＜0，
∴當(dāng)t＝時(shí)，S有最大值8，
（3）存在．
∵當(dāng)t＝時(shí)，S有最大值，此時(shí)P（，﹣4），
①如右圖2，

當(dāng)AP為平行四邊形的邊且M在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，則有MN∥AP，且MN＝AP，過(guò)P作平行于y軸的直線，交x軸于點(diǎn)Q，作MR垂直于過(guò)點(diǎn)N且平行于x軸的直線，垂足為R，連接AR，QN．過(guò)M作MS垂直于拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)S．
易證明四邊形ARNQ為平行四邊形．
∵A（﹣，0），Q（，0），
∴AQ＝NR＝MS＝2，
設(shè)M（m，m2﹣m﹣4）．
∵對(duì)稱軸為x＝，
∴．
∴M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（舍去）或
代入拋物線y＝x2﹣x﹣4得，y＝，
∴當(dāng)M在對(duì)稱軸左邊時(shí)，坐標(biāo)為．
yN＜yM，此時(shí)yM﹣yN＝y(tǒng)A﹣yP，即﹣yN＝0﹣（﹣4）．
解得，yN＝﹣．
∴此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣）．
如右圖3，

當(dāng)M在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，則有MN∥AP，且MN＝AP，過(guò)P作平行于y軸的直線，交x軸于點(diǎn)Q，作MR垂直于拋物線對(duì)稱軸直線于點(diǎn)R，垂足為R，
同理易得M點(diǎn)坐標(biāo)為．
此時(shí)yN＞yM，此時(shí)yN﹣yM＝y(tǒng)A﹣yP，即yN﹣＝0﹣（﹣4），
解得，yN＝．
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為．
②如右圖4，

當(dāng)AP為對(duì)角線時(shí)，過(guò)M作平行于y軸的直線，過(guò)P作平行于x軸的垂線，交于點(diǎn)Q，此時(shí)P到Q點(diǎn)的距離等于A到對(duì)稱軸的距離，為．
∴t＝
∴M的橫坐標(biāo)為﹣．
當(dāng)x＝﹣，yM＝（﹣）2﹣×（﹣）﹣4＝﹣．
∴此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為，
由平行四邊形的中心對(duì)稱性，易得N到x軸的距離等于MQ．
∴N．
綜上所述，滿足題意的M、N點(diǎn)的坐標(biāo)可以為，，或，或．
【點(diǎn)睛】
本題考查了二次函數(shù)用待定系數(shù)法設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，并利用數(shù)形結(jié)合的思想建立數(shù)學(xué)模型求解問(wèn)題的能力．
21．定義：若拋物線的頂點(diǎn)和與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)所組成的三角形為等邊三角形時(shí)．則稱此拋物線為正拋物線．
概念理解：
（1）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．試證明：以點(diǎn)A為頂點(diǎn)，且與x軸交于D、C兩點(diǎn)的拋物線是正拋物線；
問(wèn)題探究：
（2）已知一條拋物線經(jīng)過(guò)x軸的兩點(diǎn)E、F（E在F的左邊），E（1，0）且EF＝2若此條拋物線為正拋物線，求這條拋物線的解析式；
應(yīng)用拓展：
（3）將拋物線y1＝﹣x2+2x+9向下平移9個(gè)單位后得新的拋物線y2．拋物線y2的頂點(diǎn)為P，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為M、N（M在N左側(cè)），把△PMN沿x軸正半軸無(wú)滑動(dòng)翻滾，當(dāng)邊PN與x軸重合時(shí)記為第1次翻滾，當(dāng)邊PM與x軸重合時(shí)記為第2次翻滾，依此類推…，請(qǐng)求出當(dāng)?shù)?019次翻滾后拋物線y2的頂點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)．

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）y＝或y＝；（3）當(dāng)?shù)?019次翻滾后拋物線y2的頂點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（4039，3）．
【解析】
【分析】
（1）由Rt△ABC中AD是斜邊BC的中線可得AD＝CD，由拋物線對(duì)稱性可得AD＝AC，即證得△ACD是等邊三角形．
（2）設(shè)拋物線頂點(diǎn)為G，根據(jù)正拋物線定義得△EFG是等邊三角形，又易求E、F坐標(biāo)，即能求G點(diǎn)坐標(biāo)．由于不確定點(diǎn)G縱坐標(biāo)的正負(fù)號(hào)，故需分類討論，再利用頂點(diǎn)式求拋物線解析式．
（3）根據(jù)題意求出拋物線y2的解析式，并按題意求出P、M、N的坐標(biāo)，得到等邊△PMN，所以當(dāng)△PMN翻滾時(shí)，每3次為一個(gè)周期，點(diǎn)P回到x軸上方，且橫坐標(biāo)每多一個(gè)周期即加6，其規(guī)律為當(dāng)翻滾次數(shù)n能被3整除時(shí)，橫坐標(biāo)為： +n×2＝（2n+1）．2019能被3整除，代入即能求此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)．
【解析】
解：（1）證明：∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)
∴AD＝BD＝CD＝BC
∵拋物線以A為頂點(diǎn)與x軸交于D、C兩點(diǎn)
∴AD＝AC
∴AD＝AC＝CD
∴△ACD是等邊三角形
∴以A為頂點(diǎn)與x軸交于D、C兩點(diǎn)的拋物線是正拋物線．
（2）∵E（1，0）且EF＝2，點(diǎn)F在x軸上且E在F的左邊
∴F（3，0）
∵一條經(jīng)過(guò)x軸的兩點(diǎn)E、F的拋物線為正拋物線，設(shè)頂點(diǎn)為G
∴△EFG是等邊三角形
∴xG＝
①當(dāng)G（2，）時(shí)，設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣2）2+
把點(diǎn)E（1，0）代入得：a+＝0
∴a＝﹣
∴y＝﹣（x﹣2）2+
②當(dāng)G（2，﹣）時(shí)，設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣2）2﹣
把點(diǎn)E（1，0）代入得：a﹣＝0
∴a＝
∴y＝（x﹣2）2﹣
綜上所述，這條拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣2）2+或y＝（x﹣2）2﹣
（3）∵拋物線y1＝﹣x2+2x+9＝﹣（x﹣）2+12
∴y1向下平移9個(gè)單位后得拋物線y2＝﹣（x﹣）2+3
∴P（，3），M（0，0），N（2，0）
∴PM＝MN＝PN＝2
∴△PMN是等邊三角形
∴第一次翻滾頂點(diǎn)P的坐標(biāo)變?yōu)镻1（4，0），第二次翻滾得P2與P1相同，第三次翻滾得P3（7，3）
即每翻滾3次為一個(gè)周期，當(dāng)翻滾次數(shù)n能被3整除時(shí)，點(diǎn)P縱坐標(biāo)為3，橫坐標(biāo)為： +n×2＝（2n+1）
∵2019÷3＝673
∴（2×2019+1）×＝4039
∴當(dāng)?shù)?019次翻滾后拋物線y2的頂點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（4039，3）．
【點(diǎn)睛】
本題考查了新定義的理解、性質(zhì)運(yùn)用，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)．第（3）題的解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)等邊△PMN每3次翻滾看作一個(gè)周期，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的特征，是規(guī)律探索的典型題．
22．如圖，直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.

求拋物線的解析式；
當(dāng)點(diǎn)在第三象限，設(shè)的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式，并求出的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
連接，若,請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，存在最大值，最大值為，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為或.
【解析】
【分析】
（1）先利用一次函數(shù)求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）先用含m的式子表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)及DF的長(zhǎng)，進(jìn)而求出與的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)頂點(diǎn)式即可得出答案；
（3）由題可知△ OBC與△ EAD相似，根據(jù)根據(jù)的性質(zhì)即可得出答案.
【解析】
解：（1）在中，令，得，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
將點(diǎn),代入中，得，
，
解得，
拋物線的解析式為；
（2）如圖，設(shè)交直線于點(diǎn)，

點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
則點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，
，
，
拋物線開(kāi)口向下，
當(dāng)時(shí)，存在最大值，最大值為，
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為或.
【點(diǎn)睛】
本題是一道二次函數(shù)綜合題.綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.
23．如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+3的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)C的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)B，且OA＝OB．
（1）求線段AC的長(zhǎng)度；
（2）若點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)P位于第二象限，過(guò)P作PQ⊥AB，垂足為Q．已知PQ＝，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【答案】（1）線段AC的長(zhǎng)是4；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，3）或（﹣1，4）．
【分析】
（1）根據(jù)題意可以求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而求得函數(shù)解析式，再令y=0，即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，從而可以得到線段AC的長(zhǎng)；
（2）根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)可以得到直線AB的函數(shù)解析式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，可以求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，本題得以解決．
【解析】
（1）∵二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+3的圖象與y軸交于點(diǎn)B，且OA＝OB，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3），∴OB＝OA＝3，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0），∴0＝﹣（﹣3）2+b×（﹣3）+3，解得，b＝﹣2，
∴y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+3）（x﹣1），
∴當(dāng)y＝0時(shí)，x1＝﹣3，x2＝1，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），∴AC＝1﹣（﹣3）＝4，
即線段AC的長(zhǎng)是4；
（2）∵點(diǎn)A（﹣3，0），點(diǎn)B（3，0），
∴直線AB的函數(shù)解析式為y＝x+3，
過(guò)點(diǎn)P作PD∥y軸交直線AB于點(diǎn)D，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣m2﹣2m+3），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，m+3），
∴PD＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，
∵PD∥y軸，∠ABO＝45°，
∴∠PDQ＝∠ABO＝45°，
又∵PQ⊥AB，PQ＝，
∴△PDQ是等腰直角三角形，
∴PD＝＝2，∴﹣m2﹣3m＝2，解得，m1＝﹣1，m2＝﹣2，
當(dāng)m＝﹣1時(shí)，﹣m2﹣2m+3＝4，
當(dāng)m＝﹣2時(shí)，﹣m2﹣2m+3＝3，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，3）或（﹣1，4）．

【點(diǎn)睛】
本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．
24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PD，求PB+PD的最小值；
（3）M（x，t）為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)
①若平面內(nèi)存在點(diǎn)N，使得以A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則這樣的點(diǎn)N共有　???? 　個(gè)；
②連接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范圍．

【答案】（1）拋物線解析式為y=x2﹣x﹣，頂點(diǎn)坐標(biāo)（，﹣）；（2）PB+PD的最小值為；（3）①5;②取值范圍是
【解析】
【分析】
二次函數(shù)的表達(dá)式有三種方法，這題很明顯可以用頂點(diǎn)式以及交點(diǎn)式更方便些；這一題根據(jù)邊的關(guān)系得出∠ABO=30°非常重要，根據(jù)在直角三角形中，30°所對(duì)的邊是斜邊的一半把所要求的邊轉(zhuǎn)化，再根據(jù)點(diǎn)到直線垂線段最短求得最小值；第三問(wèn)ABMN組成菱形，只有AB是定點(diǎn)，所以要討論AB是鄰邊還是對(duì)角線；最后一問(wèn)與圓的知識(shí)相結(jié)合，有一定的難度，主要根據(jù)∠ABO=30°，AB=2是定值，以AB的垂直平分線與y軸的交點(diǎn)為圓心F，以FA為半徑，則弧AB所對(duì)的圓周角為60°，與對(duì)稱軸的兩個(gè)交點(diǎn)即為t的取值范圍.
【解析】
（1）方法一：設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為，B（0，-）代入解得
∴
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為
方法二：也可以用三點(diǎn)式設(shè)代入三點(diǎn)或者頂點(diǎn)式設(shè)代入兩點(diǎn)求得．
如圖，過(guò)P點(diǎn)作DE⊥AB于E點(diǎn)，由題意已知∠ABO=30°.
∴
∴
要使最小，只需要D、P、E共線，所以過(guò)D點(diǎn)作DE⊥AB于E點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn)即為P點(diǎn).
由題意易知，∠ADE=∠ABO=30°，,

①若A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，分兩種情況，由題意知，AB=2，
若AB為邊菱形的邊，因?yàn)镸為拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，即分別以A、B為頂點(diǎn)，AB的長(zhǎng)為半徑作圓與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為M點(diǎn)，這樣的M點(diǎn)有四個(gè)，如圖
若AB為菱形的對(duì)角線，根據(jù)菱形的性質(zhì)，作AB的垂直平分線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為M點(diǎn).
綜上所述，這樣的M點(diǎn)有5個(gè)，所以對(duì)應(yīng)的N點(diǎn)有5個(gè).

②如圖，作AB的垂直平分線，與y軸交于F點(diǎn)．

由題意知，AB=2，∠BAF=∠ABO=30°，∠AFB=120°
∴以F為圓心，AF的長(zhǎng)為半徑作圓交對(duì)稱軸于M和M'點(diǎn)，則∠AMB=∠AM'B=∠AFB=60°
∵∠BAF=∠ABO=30°，OA=1
∴∠FAO=30°，AF==FM=FM'，OF=，過(guò)F點(diǎn)作FG⊥MM'于G點(diǎn)，已知FG=
∴，又∵G
∴M（，M'
∴
方法二：設(shè)M，M到點(diǎn)F的距離d=AF=也可求得．
【點(diǎn)睛】
本題考查二次函數(shù)綜合題、銳角三角函數(shù)、最短問(wèn)題、圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法確定解析式，學(xué)會(huì)利用垂線最短解決實(shí)際問(wèn)題中的最短問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加輔助線，構(gòu)造圓解決角度問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.
25．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3交x軸于點(diǎn)A（﹣3，0）、B（1，0），在y軸上有一點(diǎn)E（0，1），連接AE．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)D為拋物線在x軸負(fù)半軸下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△ADE面積的最大值；
（3）拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△AEP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】(1) 二次函數(shù)解析式為y＝x2+2x﹣3；(2) △ADE的面積取得最大值為；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系數(shù)法求解可得；
（2）先求出直線的解析式為，作軸，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，設(shè)，則，，根據(jù)可得函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解可得答案；
（3）先根據(jù)拋物線解析式得出對(duì)稱軸為直線，據(jù)此設(shè)，由，知，，，再分，及三種情況分別求解可得.
【解析】
解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0）、B（1，0），
∴，
解得：，
∴二次函數(shù)解析式為y＝x2+2x﹣3；
（2）設(shè)直線AE的解析式為y＝kx+b，
∵過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0），E（0，1），
∴，
解得：，
∴直線AE解析式為，
如圖，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥x軸于點(diǎn)G，延長(zhǎng)DG交AE于點(diǎn)F，

設(shè)D（m，m2+2m﹣3），則F（），
∴DF＝﹣m2﹣2m+3+m+1＝﹣m2﹣m+4，
∴S△ADE＝S△ADF+S△DEF
＝×DF×AG+DF×OG
＝×DF×（AG+OG）
＝×3×DF
＝（﹣m2﹣m+4）
＝﹣m2﹣m+6
＝﹣（m+）2+，
∴當(dāng)m＝時(shí)，△ADE的面積取得最大值為．
（3）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴拋物線對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，
設(shè)P（﹣1，n），
∵A（﹣3，0），E（0，1），
∴AP2＝（﹣1+3）2+（n﹣0）2＝4+n2，AE2＝（0+3）2+（1﹣0）2＝10，PE2＝（0+1）2+（1﹣n）2＝（n﹣1）2+1，
①若AP＝AE，則AP2＝AE2，即4+n2＝10，解得n＝±，
∴點(diǎn)P（﹣1，）或（﹣1，﹣）；
②若AP＝PE，則AP2＝PE2，即4+n2＝（n﹣1）2+1，解得n＝﹣1，
∴P（﹣1，﹣1）；
③若AE＝PE，則AE2＝PE2，即10＝（n﹣1）2+1，解得n＝﹣2或n＝4，
∴P（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）；
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）．
【點(diǎn)睛】
本題是二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，割補(bǔ)法求三角形的面積，二次函數(shù)的性質(zhì)及等腰三角形的判定和分類討論思想的運(yùn)用等知識(shí)點(diǎn).
26．已知：正方形OABC的邊OC、OA分別在x、y軸的正半軸上，設(shè)點(diǎn)B（4，4），點(diǎn)P（t，0）是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AP于點(diǎn)H，直線OH交直線BC于點(diǎn)D，連AD．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時(shí)，求證：OP＝CD；
（2）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△AOP與以A、B、D為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，求t的值；
（3）如圖2，拋物線y＝﹣x2+x+4上是否存在點(diǎn)Q，使得以P、D、Q、C為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2) 綜上，t1＝2，t2＝，t3＝;(3)見(jiàn)解析.
【分析】
（1）證，可以證明它們所在的三角形全等，即證明：；已知的條件有：，，只需再找出一組對(duì)應(yīng)角相等即可，通過(guò)圖示可以發(fā)現(xiàn)、是同角的余角，這兩個(gè)角相等，那么證明三角形全等的全部條件都已得出，則結(jié)論可證；
（2）點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，那么就需分三種情況討論：
①點(diǎn)在軸負(fù)半軸上；可以延續(xù)（1）的解題思路，先證明、全等，那么得到的條件是，然后用表示、的長(zhǎng)，再根據(jù)給出的相似三角形得到的比例線段，列等式求出此時(shí)的值，要注意的正負(fù)值的判斷；
②點(diǎn)在線段上時(shí)；由于、都小于等于正方形的邊長(zhǎng)（即、），所以只有時(shí)，給出的兩個(gè)三角形才有可能相似（此時(shí)是全等），可據(jù)此求出的值；
③點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)；方法同①；
（3）這道題要分兩種情況討論：
①線段為平行四邊形的對(duì)角線，那么點(diǎn)、關(guān)于的中點(diǎn)對(duì)稱即兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，而，即、的橫坐標(biāo)相同，那么先用表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線的解析式中，即可確定的值；
②線段為平行四邊形的邊；先用表示出的長(zhǎng)，把點(diǎn)向左或向右平移長(zhǎng)個(gè)單位就能表達(dá)出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線解析式后即可得到的值.
【解析】
（1）證明：∵OD⊥AH，
∴∠OAP＝∠DOC＝90°﹣∠AOD；
正方形OABC中，OA＝OC＝4，∠AOP＝∠OCD＝90°，即：
∵，
∴△AOP≌△OCD
∴OP＝CD．

（2）解：①點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸上時(shí)，P（t，0），且t＜0，如圖①；
∵在Rt△AOP中，OH⊥AP，
∴∠POH＝∠PAO＝90°﹣∠APO；
又∵∠POH＝∠COD，
∴∠COD＝∠PAO；
在△AOP與△OCD中，
∵，
∴△AOP≌△OCD；
∴OP＝CD＝﹣t，則：BD＝BC+CD＝4﹣t；
若△AOP與以A、B、D為頂點(diǎn)的三角形相似，則有：
，得：，
解得：或（正值舍去）；
②當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時(shí)，P（t，0），0＜t≤4，如圖②；
因?yàn)镺P＜OA、BD＜AB、OA＝AB，
若△AOP與以A、B、D為頂點(diǎn)的三角形相似，那么有：，所以O(shè)P＝BD，即：
t＝4﹣t，t＝2；
③當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，P（t，0），t＞4，如圖③；
同①可求得；
綜上，t1＝2，，．
（3）解：假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)Q，分兩種情況討論：
①PC為平行四邊形的對(duì)角線，則QP∥CD，且QP＝CD；
若P（t，0）、D（4，t），則Q（t，﹣t），代入拋物線中，得：
，即：t2﹣10t﹣24＝0，
解得：t1＝﹣2，t2＝12；
②PC為平行四邊形的邊，則DQ∥PC，且QD＝PC；
若P（t，0）、D（4，t），則 PC＝QD＝|t﹣4|，Q（t，t）或（8﹣t，t）；
Q（t，t）時(shí)，，即：t2+2t﹣24＝0，
解得 t1＝4（舍）、t2＝﹣6；
Q（8﹣t，t）時(shí)，，即：t2﹣6t+8＝0，
解得 t1＝4（舍）、t2＝2．
綜上可知，t1＝2，t2＝12，t3＝﹣6，t4＝﹣2．
∴存在點(diǎn)Q，使得以P、D、Q、C為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．

【點(diǎn)睛】
此題是二次函數(shù)與幾何的綜合題，主要涉及了正方形的性質(zhì)、全等三角形與相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的特點(diǎn)等重點(diǎn)知識(shí)；題目解題的思路并不復(fù)雜，但難度在于涉及的情況太多，需要分情況逐一進(jìn)行討論，容易漏解.
27．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x+2分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B．點(diǎn)C的坐標(biāo)是（﹣1，0），拋物線y＝ax2+bx﹣2經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)且交y軸于點(diǎn)D．點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)Q，連結(jié)DQ，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（m≠0）．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)．
（2）求拋物線的表達(dá)式．
（3）當(dāng)以B、D、Q，M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求m的值．

【答案】（1）點(diǎn)A坐標(biāo)為（4，0）；（2）y＝x2﹣x﹣2；（3）m＝2或1+或1﹣．
【分析】
(1)直線y=﹣x+2中令y=0，即可求得A 點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)將A、C坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可；
(3)先求出BD的長(zhǎng)，用含m的式子表示出MQ的長(zhǎng)，然后根據(jù)BD=QM，得到關(guān)于m的方程，求解即可得.
【解析】
(1)令y＝﹣x+2＝0，解得：x＝4，
所以點(diǎn)A坐標(biāo)為：(4，0)；
(2)把點(diǎn)A、C坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，得
，
解得：，
故：二次函數(shù)表達(dá)式為：y＝x2﹣x﹣2；
(3)y=﹣x+2中，令x=0，則y=2，故B(0，2)，
y＝x2﹣x﹣2中，令x=0，則y=-2，故D(0，-2)，
所以BD=4，
設(shè)點(diǎn)M(m，﹣m+2)，則Q(m，m2﹣m﹣2)，
則MQ=|(m2﹣m﹣2)-(﹣m+2)|=|m2﹣m﹣4|
以B、D、Q，M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，
則：MQ＝BD＝4，
即|m2﹣m﹣4|=4，
當(dāng)m2﹣m﹣4=-4時(shí)，
解得：m＝2或m＝0(舍去)；
當(dāng)m2﹣m﹣4=4時(shí)，
解得m＝1±，
故：m＝2或1+或1-．
【點(diǎn)睛】
本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，平行四邊形的性質(zhì)，解一元二次方程等內(nèi)容，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)內(nèi)容并運(yùn)用分類討論思想是解題的關(guān)鍵.
28．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過(guò)A(﹣3，0)、B(1，0)兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D，連接AD，點(diǎn)P是線段AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、D重合）．
(1)求拋物線的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(2)如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥y軸于點(diǎn)E，連接AE．求△PAE面積S的最大值；
(3)如圖2，拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使得四邊形OAPQ為平行四邊形？若存在求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，4）；（2）△PAE面積S的最大值是；（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣2+，2﹣4）．
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過(guò)A（﹣3，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，可以求得該拋物線的解析式，然后將函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，從而可以得到該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)題意和點(diǎn)A和點(diǎn)D的坐標(biāo)可以得到直線AD的函數(shù)解析式，從而可以設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后根據(jù)圖形可以得到△APE的面積，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到△PAE面積S的最大值；
（3）根據(jù)題意可知存在點(diǎn)Q使得四邊形OAPQ為平行四邊形，然后根據(jù)函數(shù)解析式和平行四邊形的性質(zhì)可以求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【解析】
解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過(guò)A（﹣3，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，
∴ ，得，
∴拋物線解析式為y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，4），
即該拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，4）；
（2）設(shè)直線AD的函數(shù)解析式為y＝kx+m，
，得，
∴直線AD的函數(shù)解析式為y＝2x+6，
∵點(diǎn)P是線段AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、D重合），
∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（p，2p+6），
∴S△PAE＝＝﹣（p+）2+，
∵﹣3＜p＜﹣1，
∴當(dāng)p＝﹣時(shí)，S△PAE取得最大值，此時(shí)S△PAE＝，
即△PAE面積S的最大值是；
（3）拋物線上存在一點(diǎn)Q，使得四邊形OAPQ為平行四邊形，
∵四邊形OAPQ為平行四邊形，點(diǎn)Q在拋物線上，
∴OA＝PQ，
∵點(diǎn)A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∴PQ＝3，
∵直線AD為y＝2x+6，點(diǎn)P在線段AD上，點(diǎn)Q在拋物線y＝﹣x2﹣2x+3上，
∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（p，2p+6），點(diǎn)Q（q，﹣q2﹣2q+3），
∴，
解得，或（舍去），
當(dāng)q＝﹣2+時(shí)，﹣q2﹣2q+3＝2﹣4，
即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣2+，2﹣4）．
【點(diǎn)睛】
本題是一道二次函數(shù)綜合題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，求出相應(yīng)的函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．
29．如圖，二次函數(shù)y=ax2-2ax+3(a≠0)的圖象與x、y軸交于A、B、C三點(diǎn)，其中AB=4，連接BC．
（1）求二次函數(shù)的對(duì)稱軸和函數(shù)表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)M是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，過(guò)點(diǎn)M作MN∥y軸交拋物線于點(diǎn)N，求線段MN的最大值．
（3）當(dāng)0≤x≤t，則3≤y≤4，直接寫(xiě)出t的取值范圍；

【答案】（1）x=1,y=-x2+2x+3；（2）當(dāng)m=時(shí)，線段MN的最大值是；（3）1≤t≤2.
【解析】
【分析】
(1) AB=4，先求函數(shù)對(duì)稱軸，再根據(jù)對(duì)稱軸得到函數(shù)解析式（2）要求MN的最大值，根據(jù)MN平行y軸得到MN的長(zhǎng)度即可得到結(jié)果（3）當(dāng)0≤x≤t，3≤y≤4根據(jù)圖象求出t的范圍.
【解析】
（1）直線，由軸對(duì)稱性可知，A（-1,0）
∴??? ∴a=-1
∴
(2)
MN=

當(dāng)m=時(shí)，線段MN的最大值是；
（3）
【點(diǎn)睛】
此題重點(diǎn)考察學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的應(yīng)用，掌握函數(shù)解析式及函數(shù)圖象性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
30．如圖1，一次函數(shù)y＝﹣x+3的圖象交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)D，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)為C，其圖象過(guò)A、D兩點(diǎn)，并與x軸交于另一個(gè)點(diǎn)B（B點(diǎn)在A點(diǎn)左側(cè)），若；
（1）求此拋物線的解析式；
（2）連結(jié)AC、BD，問(wèn)在x軸上是否存在一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q，使A、C、Q三點(diǎn)構(gòu)成的三角形與△ABD相似．如果存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）如圖2，若點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在直線AD下方，（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合），過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線l與直線AD交于點(diǎn)M，點(diǎn)N在直線AD上，且滿足△MPN∽△ABD，求△MPN面積的最大值．

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）見(jiàn)解析;（3）△MPN的面積的最大值為:．
【解析】
【分析】
（1）利用一次函數(shù)解析式確定D（3，0）；A（3，0），則可判斷△OAD為等腰直角三角形，再計(jì)算出AB＝2得到B（1，0），然后利用待定系數(shù)確定拋物線解析式；
（2）作CH⊥x軸，如圖1，先利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到C（3，﹣1），再判斷△ACH為等腰直角三角形得到∠CAH＝45°，AC＝，則∠CAQ＝∠DAB，根據(jù)相似三角形的判定方法，當(dāng)時(shí)，△AQC∽△ADB，即，當(dāng) 時(shí)，△AQC∽△ABD，即，然后分別求出對(duì)應(yīng)的AQ的值，從而得到對(duì)應(yīng)的Q點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）作PE⊥AD于E，如圖2，利用相似三角形的性質(zhì)得到MN＝MP，設(shè)P（x，x2﹣4x+3），則M（x，﹣x+3），所以MP＝﹣x+3﹣（x2﹣4x+3），根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)x＝時(shí)，MP有最大值，則MN的最大值為，接著確定PE的最大值為，然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算出△MPN的面積的最大值．
【解析】
解：（1）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣x+3＝3，則D（3，0）；
當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x+3＝0，解得x＝3，則A（3，0），
∵OD＝OA，
∴△OAD為等腰直角三角形，
∴AD＝3，
∵，
∴AB＝2，
∴B（1，0），
設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣1）（x﹣3），
把D（0，3）代入得a?（﹣1）?（﹣3）＝3，解得a＝1，
∴拋物線解析式為y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3；
（2）作CH⊥x軸，如圖1，
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴C（2，﹣1）
∴AH＝CH＝1，
∴△ACH為等腰直角三角形，
∴∠CAH＝45°，AC＝，
∵△OAD為等腰直角三角形，
∴∠DAO＝45°，
∵∠CAQ＝∠DAB，
∴當(dāng)時(shí)，△AQC∽△ADB，即，解得AQ＝3，此時(shí)Q（0，0）；
當(dāng)時(shí)，△AQC∽△ABD，即，解得AQ＝，此時(shí)Q（，0）；
綜上所述，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0）或（，0）；
（3）作PE⊥AD于E，如圖2，
∵△MPN∽△ABD，
∴，
∴MN＝MP，
設(shè)P（x，x2﹣4x+3），則M（x，﹣x+3），
∴MP＝﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，
當(dāng)x＝時(shí)，MP有最大值，
∴MN的最大值為＝，
∵∠PME＝45°，
∴PE＝PM，
∴PE的最大值為×＝，
∴△MPN的面積的最大值為××＝．

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