?考點22—2 方位角
1．如圖，有小島A和小島B，輪船以45km/h的速度由C向B航行，在C處測得A的方位角為北偏東60°，測得B的方位角為南偏東45°，輪船航行2小時后到達小島B處，在B處測得小島A在小島B的正北方向．求小島A與小島B之間的距離（結果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈2.45）

【答案】小島A與小島B之間的距離是100km．
【分析】
先過點C作CP⊥AB于P，根據(jù)已知條件求出∠PCB=∠PBC=45°，∠CAP=60°，再根據(jù)輪船的速度和航行的時間求出BC的值，在Rt△PCB中，根據(jù)勾股定理求出BP=CP的值，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出AP的值，最后根據(jù)AB=AP+PB，即可求出答案．
【解析】
解：過點C作CP⊥AB于P，
∵∠BCF=45°，∠ACE=60°，AB∥EF，
∴∠PCB=∠PBC=45°，∠CAP=60°，
∵輪船的速度是45km/h，輪船航行2小時，
∴BC=90，
∵BC2=BP2+CP2，
∴BP=CP=45，
∵∠CAP=60°，
∴tan60°=，
∴AP=15，
∴AB=AP+PB=15+45=15×2.45+45×1.41≈100（km）．
答：小島A與小島B之間的距離是100km．

【點睛】
本題考查解直角三角形的應用-方向角問題．

2．如圖，貨輪在航行過程中，發(fā)現(xiàn)燈塔在它的南偏東方向上.同時，在它的北偏東、西北（西偏北）方向上又分別發(fā)現(xiàn)了客輪和海島.

（1）仿照表示燈塔方位的方法，分別畫出客輪和海島方向的射線；
（2）另一貨輪在平面內(nèi)所組成的與互為補角，請畫出貨輪方向的射線并寫出所在的方位角.
【答案】（1）詳見解析；（2）圖詳見解析，南偏西（西偏南）或北偏東（東偏北）
【分析】
（1）根據(jù)方向角的度數(shù)，可得答案；
（2）根據(jù)方向角的度數(shù)，求出∠BOE的度數(shù)即可得貨輪的方位角.
【解析】
（1）如圖所示，

（2）如圖所示，有兩種情形：
情形（一）：點B、O、D在同一條直線上
∵客輪的方位角是北偏東，
∴∠BOE=90°-60°=30°，
∴貨輪D的方位角是西偏南（或南偏西）.
情形（二）：點B、O、D不在同一條直線上
∵燈塔在它的南偏東方向上，
∴∠AOE=40°，
∵∠BOE=30°，
∴∠AOB=∠AOE+∠BOE=70°,
∵與互為補角，
∴=110°
∴∠BOD2=110°-70°=40°，
∴∠FOD2=90°-40°-30°=20°,
∴貨輪D的方位角是北偏東（或東偏北）
故答案為：南偏西（西偏南）或北偏東（東偏北）
【點睛】
本題考查了應用與設計作圖，方位角，利用余角的關系得出∠BOE的度數(shù)是解題關鍵.
3．B，D兩地間有一段筆直的高速鐵路，長度為100km，某時發(fā)生的地震對地面上以點A為圓心，30km為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)的建筑物有影響，分別從B，D兩地處測得點A的方位角如圖所示，高速鐵路是否會受到地震的影響？請通過計算說明理由．（結果精確到0.1km，參考數(shù)據(jù)：）

【答案】不受影響，理由見解析．
【分析】
過點A作AC⊥BD于點C，然后根據(jù)特殊角三角函數(shù)即可求出AC，進而進行比較即可判斷．
【解析】
解：如圖，過點A作AC⊥BD于點C，

∴∠ACB＝∠ACD＝90°，
根據(jù)題意可知：∠ABC＝45°，∠ADC＝30°，BD=100km，
∴∠BAC＝45°，
∴BC＝AC，
在Rt△ACD中，tan∠ADC ，
∴，
∵BD＝BC＋CD，
∴AC＋AC＝100，
解得AC＝50（﹣1）≈36.6＞30，
∴高速鐵路不會受到地震的影響．
【點睛】
本題考查解直角三角形的實際應用，解題的關鍵是掌握利用銳角三角函數(shù)解直角三角形的方法．
4．如圖，小方在五月一日假期中到郊外放風箏，風箏飛到C 處時的線長為20米，此時小方正好站在A處，并測得∠CBD=60°，牽引底端B離地面1.5米，求此時風箏離地面的高度（結果精確到個位）

【答案】19
【分析】
由四邊形ABDE是矩形，得到DE=AB，利用BC長和60°的正弦值即可求得CD長，加上DE長就是此時風箏離地面的高度．
【解析】
依題意得，∠CDB=∠BAE=∠ABD=∠AED=90°，∴四邊形ABDE是矩形，∴DE=AB=1.5，在Rt△BCD中，sin∠CBD=，又∵BC=20，∠CBD=60°，∴CD=BC?sin60°==，∴CE=+1.5≈19米，答：此時風箏離地面的高度約為19米．
【點睛】
解直角三角形的應用-仰角俯角問題．
5．如圖，小紅想測量離A處30m的大樹的高度，她站在A處仰望樹頂B，仰角為30°（即∠BDE＝30°），已知小紅身高1.52m．求大樹的高度．

【答案】18.84m
【分析】
在直角△BDE中，根據(jù)DE和∠BDE的三角函數(shù)值可以求得BE的長度，根據(jù)BE和EC的值計算BC的長度，即可解題．
【解析】
解：根據(jù)題意可知：四邊形ADEC為矩形，
∴ED＝CA＝30m，EC＝AD＝1.52m，
在直角△BDE中，∠BDE＝30°，
根據(jù)銳角三角函數(shù)定義得：tan∠BDE＝tan30°＝＝，
∴BE＝DE?＝10m，
∴BC＝BE+EC＝（10+1.52）m≈18.84m．
答：大樹的高度約為18.84m．
【點睛】
本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，考查了三角函數(shù)在直角三角形中的運用，求出線段BE的長度是解題的關鍵．
6．小強從自己家的陽臺上，看一棟樓頂部的仰角為30°，看這棟樓底部的俯角為60°，小強家與這棟樓的水平距離為42m，這棟樓有多高？

【答案】56m
【解析】
試題分析：首先根據(jù)Rt△ADB中tanα的值以及AD的長度求出BD的長度，然后根據(jù)Rt△ADC中tanβ以及AD的長度求出CD的長度，最后根據(jù)BC=BD+CD進行求解.
試題解析：如圖,在Rt△ADB中∵=30° AD="42m" ∴
∴∴BD=m
在Rt△ADC中∵=60°，AD=42m ∴∴∴CD=m
∴BC=BD+CD=+=m
答：這棟樓有56m.
考點：三角函數(shù)的實際應用

7．如圖，某漁船向正東方向航行，在B處測得A島在北偏東的45°方向，島C在B處的正東方向且相距30海里，從島C測得A島在北偏西的60°方向，已知A島周圍8海里內(nèi)有暗礁．如果漁船繼續(xù)向東航行，有無觸礁危險？（≈1.4，≈1.7）

【答案】無觸礁危險
【解析】
【分析】
判斷漁船有無危險只要求出點A到BC的距離，與8海里比較大小就可以．
【解析】
若漁船繼續(xù)向東航行，無觸礁的危險．理由如下：
如圖，過點A作AD⊥BC于點D．
由題意得：∠ABD=45°，∠ACD=30°．
設AD=x．在Rt△ABD中，∵∠ABD=45°，∴BD=AD=x．
在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°，∴CDADx．
∵BD+DC=30，∴xx=30，解得：x=15（1），15（1）≈10.5＞8．
即：若漁船繼續(xù)向東航行，無觸礁危險．

【點睛】
本題考查了解直角三角形的應用﹣方向角問題，特殊角的三角函數(shù)等知識，解題的關鍵是添加輔助線構造直角三角形，把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題，屬于中考常考題型．
8．如圖，一條漁船某時刻在位置A觀測燈塔B、C（燈塔B距離A處較近），兩個燈塔恰好在北偏東65°45′的方向上，漁船向正東方向航行l(wèi)小時45分鐘之后到達D點，觀測到燈塔B恰好在正北方向上，已知兩個燈塔之間的距離是12海里，漁船的速度是16海里/時，又知在燈塔C周圍18.6海里內(nèi)有暗礁，問這條漁船按原來的方向繼續(xù)航行，有沒有觸礁的危險？

【答案】這條船不改變方向會有觸礁危險
【解析】
試題分析：由漁船的行程圖可看出：AB=AD÷cos∠BAD，AD=速度×時間，可求出AB的長；BC已知，AC的長也可計算出，CE=AC×sin∠BAD，從而求出CE的長；將CE與18.6作比較，若CE＜18.6，則會觸礁；若CE＞18.6，則不會觸礁．
試題解析：漁船的行程圖如圖所示：

1小時45分=小時=小時，
在Rt△ABD中，
AD=16×=28（海里），
∠BAD=90°﹣65°45′=24°15′，
∵cos24°15′=，
∴AB=≈30.71（海里），
AC=AB+BC=30.71+12=42.71（海里）
在Rt△ACE中，
sin24°15′=，
∴CE=AC?sin24°15′=42.71×0.4107=17.54（海里），
∵17.54＜18.6，
∴這條船不改變方向會有觸礁危險．
9．如圖，某辦公樓AB的右邊有一建筑物CD，在建設物CD離地面2米高的點E處觀測辦公樓頂A點，測得的仰角=，在離建設物CD 25米遠的F點觀測辦公樓頂A點，測得的仰角=（B，F(xiàn)，C在一條直線上）．
（1）求辦公樓AB的高度；
（2）若要在A，E之間掛一些彩旗，請你求出A，E之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：）

【答案】（1）辦公樓的高20m；（2）A、E之間的距離約為48m
【分析】
（1）首先構造直角三角形△AEM，利用tan22°=，求出即可；
（2）利用Rt△AME中，cos22°=，求出AE即可
【解析】
（1）如圖，設AB為x．
中，，
∴，
∴，在中，，
，，
則，
解得：．即辦公樓的高20m．
（2）由（1）可得．
在中，．
∴，
即A、E之間的距離約為48m．

【點睛】
此題主要考查了解直角三角形的應用，根據(jù)已知得出是解題關鍵
10．如圖，在海岸邊相距12km的兩個觀測站A、B，同時觀測到一貨船C的方位角分別為北偏東54°和北偏西45°，該貨船向正北航行，與此同時A觀測站處派出一快艇以70km/h的速度沿北偏東30°方向追趕貨船送上一批貨物，正好在D處追上貨船，求快艇追趕的時間．
（參考數(shù)據(jù)：sin54°≈0．8，cos54°≈0．6，tan54°≈1．4）

【答案】0．2小時．
【解析】
試題分析：延長DC交AB于E，那么DE⊥AB，CE為直角△ACE和△CEB的公共直角邊，可用CE表示出AE和EB，然后根據(jù)AB的長來求出CE的長，進而求得AE的長，那么就能在直角△ADE中，根據(jù)三角函數(shù)求出AD的長，即可求出時間．
試題解析：延長DC交AB于E，那么DE⊥AB．

在Rt△ACE中，∠ACE=54°．
∴AE=CE?tan54°=1．4CE．
∵在Rt△CEB中，∠CBE=45°，
∴BE=CE．
∴AB=AE+BE=2．4CE=12．
∴CE=5．
∴AE=7．
直角三角形ADE中，∠ADE=30°，
∴AD=AE÷sin30°=2AE=14．
因此快艇追趕的時間應該是14÷70=0．2小時．
考點：解直角三角形的應用-方向角問題．
11．在綜合實踐課上，小聰所在小組要測量一條河的寬度，如圖，河岸EF∥MN，小聰在河岸MN上點A處用測角儀測得河對岸小樹C位于東北方向，然后沿河岸走了30米，到達B處，測得河對岸電線桿D位于北偏東30°方向，此時，其他同學測得CD=10米.請根據(jù)這些數(shù)據(jù)求出河的寬度.(結果保留根號)

【答案】（30+10）米
【解析】
【分析】
如圖作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分別為H、K，則四邊形BHCK是矩形，設CK=HB=x，根據(jù)tan30°=列出方程即可解決問題．
【解析】
解：如圖作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分別為H、K，則四邊形BHCK是矩形，

設CK=HB=x，
∵∠CKA=90°，∠CAK=45°，
∴∠CAK=∠ACK=45°，
∴AK=CK=x，BK=HC=AK-AB=x-30，
∴HD=x-30+10=x-20，
在Rt△BHD中，∵∠BHD=90°，∠HBD=30°，
∴tan30°=，
∴
解得x=30+10．
∴河的寬度為（30+10）米．
【點睛】
本題考查解直角三角形的應用、方向角、三角函數(shù)等知識，解題的關鍵是添加輔助線構造直角三角形，學會利用三角函數(shù)的定義，列出方程解決問題，屬于中考?？碱}型．
12．某市開展一項自行車旅游活動，線路需經(jīng)A、B、C、D四地，如圖，其中A、B、C三地在同一直線上，D地在A地北偏東30°方向，在C地北偏西45°方向，C地在A地北偏東75°方向．且BC=CD=20km，問沿上述線路從A地到D地的路程大約是多少？（最后結果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.25，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，， .）

【答案】從A地跑到D地的路程約為47km．
【解析】
試題分析：求出∠DCA的度數(shù)，再判斷出BC=CD，據(jù)此即可判斷出△BCD是等邊三角形．過點B作BE⊥AD，垂足為E，求出∠DAC的度數(shù)，利用三角函數(shù)求出AB的長，從而得到AB+BC+CD的長．
試題解析：由題意可知∠DCA=180°﹣75°﹣45°=60°，
∵BC=CD，
∴△BCD是等邊三角形．
過點B作BE⊥AD，垂足為E，如圖所示：
由題意可知∠DAC=75°﹣30°=45°，
∵△BCD是等邊三角形，
∴∠DBC=60° BD=BC=CD=20km，
∴∠ADB=∠DBC﹣∠DAC=15°，
∴BE=sin15°BD≈0.25×20≈5m，
∴AB=≈7m，
∴AB+BC+CD≈7+20+20≈47m．
答：從A地跑到D地的路程約為47m．

考點：解直角三角形的應用﹣﹣方向角問題．
13．熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為，看這棟高樓底部的俯角為，熱氣球與高樓的水平距離為66m，這棟高樓有多高？（結果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：）

【答案】
【分析】
過點A作于點D，根據(jù)仰角和俯角的定義得到和的度數(shù)，利用特殊角的正切值求出BD和CD的長，加起來得到BC的長．
【解析】
解：如圖，過點A作于點D，
根據(jù)題意，，，，
，
，
．

【點睛】
本題考查解直角三角形的應用，解題的關鍵是掌握利用特殊角的三角形函數(shù)值解直角三角形的方法．
14．我市準備在相距千米的，兩工廠間修一條筆直的公路，但在地北偏東方向、地北偏西方向的處，有一個半徑為千米的住宅小區(qū)（如圖），問修筑公路時，這個小區(qū)是否有居民需要搬遷？（參考數(shù)據(jù)：，）

【答案】修的公路不會穿越住宅小區(qū)，故該小區(qū)居民不需搬遷
【分析】
過點P作PO⊥MN于O點，則PO是點P到MN的距離，根據(jù)Rt△MPO和Rt△NPO中的三角函數(shù)關系求出PO的長，與0.6千米比較即可.
【解析】
如圖：過點P作PO⊥MN于O點，設PO=x，
在Rt△MPO中，∵∠PMO=45°，
∴MO=PO=x，
在Rt△PON中，∵∠PNO=30°，
∴tan30°= = = ，
解方程得:x=-10.73（千米）>0.6千米，
∴修的公路不會穿越住宅小區(qū)，故該小區(qū)居民不需搬遷.

【點睛】
考查了解直角三角形的應用-方向角問題，“化斜為直”是解三角形的基本思路，構建直角三角形并利用三角函數(shù)值求解是解題關鍵.
15．如圖，塔AB和樓CD的水平距離BD為80米，從樓頂C處及樓底D處測得塔頂A的仰角分別為45°和60°，試求塔高與樓高.

【答案】塔高m，樓高()m
【解析】
試題分析：過點C作CE⊥AB于點E，在直角三角形ABD根據(jù)三角函數(shù)就可以求出AB，BD即EC，與直角△AEC中中根據(jù)三角函數(shù)可以求出AE，進而就可以求出CD．
過點C作CE⊥AB于點E，

在直角△ACE中，∠ACE=45°，因而直角△AEC是等腰直角三角形，
因而AE=CE=80m；
在直角△ADB中，EC=BD=80米，∠ADB=60度，
則AB=BD?tan60°=m，CD=BE=()m
答：塔高m，樓高()m.
考點：解直角三角形的應用
點評：解決本題中要正確理解方向角的含義，找到圖形中的兩個直角三角形的聯(lián)系是關鍵．
16．如圖，旗桿AB的頂端B在夕陽的余輝下落在一個斜坡上的點D處，某校數(shù)學課外興趣小組的同學正在測量旗桿的高度，在旗桿的底部A處測得點D的仰角為15°，AC＝10米，又測得∠BDA＝45°．已知斜坡CD的坡度為i＝1：，求旗桿AB的高度（，結果精確到個位）．

【答案】旗桿AB的高度約為16米．
【解析】
【分析】
延長BD，AC交于點E，過點D作DF⊥AE于點F．構建直角△DEF和直角△CDF．通過解這兩個直角三角形求得相關線段的長度即可．
【解析】
解：延長BD，AC交于點E，過點D作DF⊥AE于點F．
∵i＝tan∠DCF＝，
∴∠DCF＝30°．
又∵∠DAC＝15°，
∴∠ADC＝15°．
∴CD＝AC＝10．
在Rt△DCF中，DF＝CD?sin30°＝10×＝5（米），
CF＝CD?cos30°＝10×，∠CDF＝60°．
∴∠BDF＝45°+15°+60°＝120°，
∴∠E＝120°﹣90°＝30°，
在Rt△DFE中，EF＝，
∴AE＝10++＝+10．
在Rt△BAE中，BA＝AE?tanE＝（+10）×＝10+≈16（米）．
答：旗桿AB的高度約為16米．

【點睛】
本題考查了解直角三角形的應用??仰角俯角問題，要求學生能借助仰角構造直角三角形并解直角三角形．
17．如圖，某貨船以24n mile/h的速度將一批重要物資從A處運往正東方向的M處，在點A處測得某島C在北偏東的方向上，該貨船航行30min后到達B處，此時再測得該島在北偏東的方向上，已知在島C周圍9n mile的區(qū)域內(nèi)有暗礁，若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船有無觸礁危險？試說明理由.

【答案】若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船無觸礁危險．
【解析】
【分析】
過點C作CD⊥AD于點D，分別在Rt△CBD、Rt△CAD中用式子表示CD、AD，再根據(jù)已知條件結合三角函數(shù)求得BD、CD的長，從而再將CD于9比較，若大于9則無危險，否則有危險．
【解析】
解：若繼續(xù)向北正東方向航行，該貨船無觸礁危險，理由如下：
如圖過點C作于點D．

依題意，知（n mile），
，.
在中，，
∴．
在中，，
∴.
又∵，
∴，解得.
∵，
∴若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船無觸礁危險．
【點睛】
本題考查解直角三角形的應用-方向角問題，解題的關鍵是掌握解直角三角形的應用-方向角問題和三角函數(shù)的計算.
18．為加快城鄉(xiāng)對接，建設全域美麗鄉(xiāng)村，某地區(qū)對A、B兩地間的公路進行改建．如圖，A、B兩地之間有一座山，汽車原來從A地到B地需途徑C地沿折線ACB行駛，現(xiàn)開通隧道后，汽車可直接沿直線AB行駛．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．
（1）開通隧道前，汽車從A地到B地大約要走多少千米？
（2）開通隧道后，汽車從A地到B地大約可以少走多少千米？（結果精確到0.1千米）（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）

【答案】（1）開通隧道前，汽車從A地到B地大約要走136.4千米；（2）汽車從A地到B地比原來少走的路程為27.2千米
【分析】
（1）過點C作AB的垂線CD，垂足為D，在直角△ACD中，解直角三角形求出CD，進而解答即可；
（2）在直角△CBD中，解直角三角形求出BD，再求出AD，進而求出汽車從A地到B地比原來少走多少路程．
【解析】
解：（1）過點C作AB的垂線CD，垂足為D，

∵AB⊥CD，sin30°=，BC=80千米，
∴CD=BC?sin30°=80×（千米），
AC=（千米），
AC+BC=80+40≈40×1.41+80=136.4（千米），
答：開通隧道前，汽車從A地到B地大約要走136.4千米；
（2）∵cos30°=，BC=80（千米），
∴BD=BC?cos30°=80×（千米），
∵tan45°=，CD=40（千米），
∴AD=（千米），
∴AB=AD+BD=40+40≈40+40×1.73=109.2（千米），
∴汽車從A地到B地比原來少走多少路程為：AC+BC﹣AB=136.4﹣109.2=27.2（千米）．
答：汽車從A地到B地比原來少走的路程為27.2千米．
【點睛】
本題考查了勾股定理的運用以及解一般三角形，求三角形的邊或高的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．
19．學校要在教學樓側面懸掛中考勵志的標語牌，如圖所示，為了使標語牌醒目，計劃設計標語牌的寬度為BC，為了測量BC，在距教學樓20米的升旗臺P處利用測角儀測得教學樓AB的頂端點B的仰角為，點C的仰角為，求標語牌BC的寬度（結果保留根號）


【答案】BC=
【分析】
根據(jù)正切的定義求出，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出，結合圖形計算，得到答案．
【解析】
解：由題意知，PD=20，，
在中，，
則，
在中，，
，
，
故答案為：．
【點睛】
本題考查的是解直角三角形的應用仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．
20．如圖，貨輪O在航行過程中，發(fā)現(xiàn)燈塔A在它南偏東60°的方向上，同時，在它北偏東30°、西北（即北偏西45°）方向上又分別發(fā)現(xiàn)了客輪B和海島C．

（1）仿照表示燈塔方位的方法，分別畫出表示客輪B和海島C方向的射線OB、OC（不寫作法）；
（2）若圖中有一艘漁船D，且∠AOD的補角是它的余角的3倍，求出∠AOD的度數(shù)；
（3）畫出表示漁船D方向的射線OD，則漁船D在貨輪O的　 （寫出方位角）
【答案】（1）如圖1，見解析；（2）∠AOD＝45°；（3）D在O南偏東15°或北偏東75°．
【分析】
（1）根據(jù)方位角的度數(shù)，即可畫出圖形；
（2）根據(jù)余角與補角的關系，即可得到∠AOD的度數(shù)；
（3）根據(jù)∠AOD的度數(shù)對D點進行判斷，注意D點有兩種情況.
【解析】
（1）如圖1：

（2）如圖2：

由∠AOD的補角是它的余角的3倍，得
180°﹣∠AOD＝3（90°﹣∠AOD）．
解得∠AOD＝45°；
（3）∵∠AOD＝45°，
∴D在O南偏東15°或北偏東75°．
故答案為：D在O南偏東15°或北偏東75°．
【點睛】
本題考查方位角以及余角補角的計算，解題關鍵在于熟悉方位角定義.
21．如圖1，貨輪?？吭贠點，發(fā)現(xiàn)燈塔A在它的東北（東偏北45°或北偏東45°）方向上．貨輪B在碼頭O的西北方向上．
（1）仿照表示燈塔方位的方法，畫出表示貨輪B方向的射線；（保留作圖痕跡，不寫做法）
（2）如圖2，兩艘貨輪從碼頭O出發(fā)，貨輪C向東偏北的OC的方向行駛，貨輪D向北偏西的OD方向航行，求∠COD的度數(shù)；

（3）令有兩艘貨輪從碼頭O出發(fā)，貨輪E向東偏北x°的OE的方向行駛，貨輪F向北偏西x°的OF方向航行，請直接用等式表示與之間所具有的數(shù)量是 ．
【答案】（1）畫圖見解析；（2）∠COD =90°；（3）．
【分析】
(1)根據(jù)方向角西北方向上的度數(shù)，可得圖；
(2)根據(jù)余角的關系，可得∠COD的度數(shù)；
(3)根據(jù)角的和差， ；
【解析】
（1）

射線OB的方向就是西北方向，即貨輪B所在的方向．
（2）解：由已知可知，∠MOQ=90°，∠COQ=．
所以，∠MOC=∠MOQ-∠COQ =．
又因為∠DOM=，
所以，∠COD =∠MOC+∠DOM =90°．
（3）因為∠FOQ =∠FOM+∠MOQ =90°+x°，∠MOE=∠MOQ-∠QOE =90°-x°
所以．
【點睛】
本題考查了作圖-應用與設計作圖,方向角,利用余角與角的和差的關系得出角的度數(shù)是解題關鍵．
22．如圖，某輪船在海上向正東方向航行，在點處測得小島在北偏東方向，之后輪船繼續(xù)向正東方向行駛到達處，這時小島在船的北偏東方向海里處．

（1）求輪船從處到處的航速．
（2）如果輪船按原速繼續(xù)向正東方向航行，再經(jīng)過多少時間輪船才恰好位于小島的東南方向？
【答案】（1）海里/小時．（2）小時．
【分析】
（1）過作，利用特殊三角函數(shù)解直角三角形，分別求得OC、BC、AC的長，進而可求得AB的長，再根據(jù)速度=路程÷時間解答即可；
（2）如圖，根據(jù)題意可判斷△OCD為等腰直角三角形，則CD=OC，進而可得BD的長，再由時間=路程除速度求解即可．
【解析】
（1）過作，

由題意得海里，，，
（海里），
（海里），
（海里），
（海里），
速度：（海里/小時）．
（2）如圖，

由題意，，點在的東南方向，
∴△OCD為等腰直角三角形，
∴（海里），
（海里），
（小時），
經(jīng)過小時后到達．
【點睛】
本題考查解直角三角形的應用，特殊角的三角函數(shù)值，理解方位角的概念，熟練運用三角函數(shù)解直角三角形是解答的關鍵．
23．如圖，已知港口A南偏東 80°方向有一處小島B，一艘貨輪從港口A沿南偏東40°航線出發(fā)，行駛70海里到達C處，此時觀測小島B在北偏東60°方向．

（1）求此時貨輪到小島 B的距離．
（2）在小島周圍 36 海里范圍內(nèi)是暗礁區(qū)，此時輪船向正東方向航行有沒有觸礁危險？請作出判斷并說明理由．
【答案】（1）海里；（2）輪船向正東方向航行有觸礁危險，理由見解析．
【分析】
（1）先根據(jù)題意求出∠BAC=40°，∠ACB=100°，據(jù)此得∠ABC=∠ACB=40°，從而得出AC=BC，從而可得答案；
（2）作BD⊥CD于點D，由∠BCD=30°，BC=70，可得：，從而可得答案．
【解析】
解：（1）如圖，標注字母，
由題意知：

，，
∴，
∴∠ABC=∠BAC，
∴BC=AC=70海里，
即此時貨輪到小島B的距離為70海里；

（2）如圖，作BD⊥CD于點D，

在中，
∵ BC=70，
，
∵35＜36，
∴輪船向正東方向航行有觸礁危險．
【點睛】
本題是方向角問題在實際生活中的運用，同時考查了等腰三角形的判定，含的直角三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是構造出直角三角形．
24．如圖，海中有一小島A，它周圍8海里內(nèi)有暗礁，漁船由西向東航行，在B點測得小島A在北偏東60°方向上，航行12海里到達D點，這時測得小島A在北偏東30°方向上．
(1)求∠BAD的度數(shù)；
(2)如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，有沒有觸礁的危險？

【答案】(1)30°；(2)沒有觸礁的危險．
【解析】
【分析】
(1)過A作AC⊥BD于點C，求出∠CAD、∠CAB的度數(shù)，求出∠BAD和∠ABD
(2)根據(jù)等邊對等角得出AD=BD=12，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出AC即可．
【解析】
解：(1)∵∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，
∴∠BAD＝60°﹣30°＝30°．
(2)過A作AC⊥BD于點C，則AC的長是A到BD的最短距離．
∵∠ABD＝90°﹣60°＝30°．
∴∠ABD＝∠BAD．
∴BD＝AD＝12海里．
∵Rt△ACD中，∠CAD＝30°，
∴AC＝AD?cos∠CAD＝≈10.392＞8，
即漁船繼續(xù)向正東方向行駛，沒有觸礁的危險．
【點睛】
考查解直角三角形的應用-方向角問題，作出輔助線，構造直角三角形是解題的關鍵.
25．一艘貨船以30海里/小時的速度向正北航行，在A處看見燈塔C在船的北偏東30o，20分鐘后貨船至B處，看見燈塔C在船的北偏東60o，已知燈塔C周圍7.1海里以內(nèi)有暗礁，問這艘船繼續(xù)航行是否能繞過暗礁．（提供數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）

【答案】這艘輪船繼續(xù)航行能繞過暗礁
【分析】
過C作CD⊥AD于點D，設BD長為x，根據(jù)已知在Rt△CBD中用式子表示CD，BC，從而求得CD的長，再利用CD長度與7.1作比較，若大于7.1則沒有危險，否則有危險．
【解析】
解：過C點作CD⊥AD于點D．20分鐘=小時
設，則在Rt△BCD中，∠CBD=60°
∴CD=BDtan∠CBD=，BC=2BD=．
而AB=30×=10海里，且∠A=∠ACB=30°
∴BC=AB=10海里，即
∴x=5海里
故CD=≈8.66海里>7.1海里
∴這艘輪船繼續(xù)航行能繞過暗礁．

【點睛】
本題考查了方向角的應用，求三角形的邊或高的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．
26．如圖，甲乙兩船從港口A同時出發(fā)，甲船以16海里/時的速度向北偏東航行，乙船向南偏東航行，3小時后，甲船到達C島，乙船到達B島，若C、B兩島相距102海里，問乙船的航速是多少？

【答案】30（海里/時）
【分析】
通過兩船的航線角度可知，∠CAB=90°，則三角形ABC為直角三角形，可以通過勾股定理計算出AB的長度，然后求乙船的速度.
【解析】
通過兩船的航線角度可知，∠CAB=90°，則三角形ABC為直角三角形
又AC為甲船航行的路程，則AC=16×3=48
由可知：
AB=
所以乙船的航速為90÷3=30（海里/時）
故答案為30（海里/時）
【點睛】
本題考察了方位角的判斷，構造出直角三角形，運用勾股定理解題，需要清楚的是勾股定理是指，直角三角形中兩個直角邊的平方和等于斜邊的平方.
27．如圖，海中一漁船在A處且與小島C相距70nmile，若該漁船由西向東航行30nmile到達B處，此時測得小島C位于B的北偏東30°方向上；求該漁船此時與小島C之間的距離．

【答案】漁船此時與C島之間的距離為50海里．
【解析】
【分析】
過點C作CD⊥AB于點D，由題意得：∠BCD=30°，設BC=x，解直角三角形即可得到結論．
【解析】
過點C作CD⊥AB于點D，由題意得：

∠BCD=30°，設BC=x，則：
在Rt△BCD中，BD=BC?sin30°=x，CD=BC?cos30°=x；
∴AD=30+x，
∵AD2+CD2=AC2，即：（30+x）2+（x）2=702，
解得：x=50（負值舍去），
【點睛】
注意能借助于方向角構造直角三角形，并利用解直角三角形的知識求解是解此題的關鍵．
28．如圖，早上8：00，一艘輪船以15海里/小時的速度由南向北航行，在A處測得小島P在北偏西15°方向上，到上午10：00，輪船在B處測得小島P在北偏西30°方向上，在小島P周圍18海里內(nèi)有暗礁，若輪船繼續(xù)向前航行，有無觸礁的危險？

【答案】輪船繼續(xù)向前航行，有觸礁的危險
【分析】
過點作于，利用三角形外角，可求出∠P，利用角的度數(shù)判斷三角形PAB為等腰三角形，早上8：00，到上午10：00，共用2小時，輪船以速度15海里/小時，求出AB=PB的長，在Rt△PBD中，由30゜所對的邊PD=PB即可．
【解析】
解：過點作于，依題意得（海里），
，，則，
∴∴（海里）．

在Rt △PBD中，由∠PBD=30゜，
∴（海里）（海里），
∴輪船繼續(xù)向前航行，有觸礁的危險．
【點睛】
本題考查行船遇暗礁問題，關鍵是把問題轉(zhuǎn)化為三角形的性質(zhì)來解決，掌握等腰三角形性質(zhì)與判定，直角三角形30゜角的性質(zhì)，路程=速度╳時間，時間的求法．
29．如圖，一艘輪船以每小時30海里的速度自東向西航行，在處測得小島位于其西北方向（北偏西方向），2小時后輪船到達處，在處測得小島位于其北偏東方向．求此時船與小島的距離（結果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）．

【答案】此時船與小島的距離約為44海里
【分析】
過P作PH⊥AB，設PH=x，由已知分別求PB、BH、AH，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)求出x值即可求解
【解析】
如圖，過P作PH⊥AB，設PH=x，
由題意，AB=60，∠PBH=30o，∠PAH=45o，
在Rt△PHA中，AH=PH=x,
在Rt△PBH中，BH=AB-AH=60-x，PB=2x，
∴tan30o=，
即，
解得：，
∴PB=2x=≈44（海里），
答：此時船與小島的距離約為44海里．

【點睛】
本題考查了直角三角形的應用，掌握方向角的概念和解直角三角形的知識是解答本題的關鍵．
30．如圖，我南海某海域A處有一艘捕魚船在作業(yè)時突遇特大風浪，船長馬上向我國漁政搜救中心發(fā)出求救信號，此時一艘漁政船正巡航到捕魚船正西方向的B處，該漁政船收到漁政求救中心指令后前去救援，但兩船之間有大片暗礁，無法直線到達，于是決定馬上調(diào)整方向，先向北偏東60°方向以每小時40海里的速度航行半小時到達C處，同時捕魚船低速航行到A點的正北2海里D處，漁政船航行到點C處時測得點D在南偏東53°方向上．
（1）求CD兩點的距離；
（2）漁政船決定再次調(diào)整航向前去救援，若兩船航速不變，并且在點E處相會合，求∠ECD的正弦值．（參考數(shù)據(jù)：，，，）

【答案】（1）；（2）0.08
【分析】
（1）過點、分別作，，垂足分別為，，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出，再根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得出的長；
（2）如圖，設漁政船調(diào)整方向后小時能與捕漁船相會合，由題意知，，，過點作于點，根據(jù)三角函數(shù)表示出，在中，根據(jù)正弦的定義求值即可．
【解析】
解：（1）過點、分別作，，垂足分別為，，

在中，，
，
，
∴四邊形是矩形，
，
，
在中，，
，
，
（海里）．
答：兩點的距離是；
（2）如圖，設漁政船調(diào)整方向后小時能與捕漁船相會合，
由題意知，，，
過點作于點，則，
，
，
在中，．
答：．

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