專題二十一  新定義與閱讀理解1．（2021?荊州）我們約定：（a，b，c）為函數(shù)y＝ax2+bx+c的“關(guān)聯(lián)數(shù)”，當(dāng)其圖象與坐標(biāo)軸交點的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)時，該交點為“整交點”．若關(guān)聯(lián)數(shù)為（m，﹣m﹣2，2）的函數(shù)圖象與x軸有兩個整交點（m為正整數(shù)），則這個函數(shù)圖象上整交點的坐標(biāo)為　                      　．【分析】根據(jù)題意令y＝0，將關(guān)聯(lián)數(shù)（m，﹣m﹣2，2）代入函數(shù)y＝ax2+bx+c，則有mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0，利用求根公式可得m，將m代入可得函數(shù)圖象與x軸的交點坐標(biāo)；令x＝0，可得y＝c＝2，即得這個函數(shù)圖象上整交點的坐標(biāo)（0，2）．【解析】根據(jù)題意，令y＝0，將關(guān)聯(lián)數(shù)（m，﹣m﹣2，2）代入函數(shù)y＝ax2+bx+c，則有mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0，△＝（﹣m﹣2）2﹣4×2m＝（m﹣2）2＞0，∴mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0有兩個根，由求根公式可得xxx11，此時m為不等于0的任意數(shù)，不合題意；x2，當(dāng)m＝1或2時符合題意；x2＝2或1；x3，當(dāng)m＝1或2時符合題意；x3＝2或1；x41，此時m為不等于0的任意數(shù)，不合題意；所以這個函數(shù)圖象上整交點的坐標(biāo)為（2，0），（1，0）；令x＝0，可得y＝c＝2，即得這個函數(shù)圖象上整交點的坐標(biāo)（0，2）．綜上所述，這個函數(shù)圖象上整交點的坐標(biāo)為（2，0），（1，0）或（0，2）；故答案為：（2，0），（1，0）或（0，2）．2．（2021?樂山）我們用符號[x]表示不大于x的最大整數(shù)．例如：[1.5]＝1，[﹣1.5]＝﹣2．那么：（1）當(dāng)﹣1＜[x]≤2時，x的取值范圍是　    　；（2）當(dāng)﹣1≤x＜2時，函數(shù)y＝x2﹣2a[x]+3的圖象始終在函數(shù)y＝[x]+3的圖象下方．則實數(shù)a的范圍是　            　．【分析】（1）根據(jù)[x]表示不大于x的最大整數(shù)，解決問題即可．（2）由題意，構(gòu)建不等式即可解決問題．【解析】（1）由題意∵﹣1＜[x]≤2，∴0≤x＜3，故答案為0≤x＜3． （2）由題意：當(dāng)﹣1≤x＜2時，函數(shù)y＝x2﹣2a[x]+3的圖象始終在函數(shù)y＝[x]+3的圖象下方，則有x＝﹣1時，1+2a+3＜﹣1+3，解得a＜﹣1，或x＜2時，4﹣2a+3≤1+3，解得a，故答案為a＜﹣1或a．3．（2021?臨沂）我們知道，兩點之間線段最短，因此，連接兩點間線段的長度叫做兩點間的距離；同理，連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短，因此，直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離．類似地，連接曲線外一點與曲線上各點的所有線段中，最短線段的長度，叫做點到曲線的距離．依此定義，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A（2，1）到以原點為圓心，以1為半徑的圓的距離為　        　．【分析】連接AO交⊙O于B，則線段AB的長度即為點A（2，1）到以原點為圓心，以1為半徑的圓的距離，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解析】連接AO交⊙O于B，則線段AB的長度即為點A（2，1）到以原點為圓心，以1為半徑的圓的距離，∵點A（2，1），∴OA，∵OB＝1，∴AB1，即點A（2，1）到以原點為圓心，以1為半徑的圓的距離為1，故答案為：1．4．（2021?長沙）某數(shù)學(xué)老師在課外活動中做了一個有趣的游戲：首先發(fā)給A、B、C三個同學(xué)相同數(shù)量的撲克牌（假定發(fā)到每個同學(xué)手中的撲克牌數(shù)量足夠多），然后依次完成以下三個步驟：第一步，A同學(xué)拿出二張撲克牌給B同學(xué)；第二步，C同學(xué)拿出三張撲克牌給B同學(xué)；第三步，A同學(xué)手中此時有多少張撲克牌，B同學(xué)就拿出多少張撲克牌給A同學(xué)．請你確定，最終B同學(xué)手中剩余的撲克牌的張數(shù)為　    　．【分析】本題是整式加減法的綜合運(yùn)用，設(shè)每人有牌x張，解答時依題意列出算式，求出答案．【解析】設(shè)每人有牌x張，B同學(xué)從A同學(xué)處拿來二張撲克牌，又從C同學(xué)處拿來三張撲克牌后，則B同學(xué)有（x+2+3）張牌，A同學(xué)有（x﹣2）張牌，那么給A同學(xué)后B同學(xué)手中剩余的撲克牌的張數(shù)為：x+2+3﹣（x﹣2）＝x+5﹣x+2＝7．故答案為：7．5．（2021?泰州）以水平數(shù)軸的原點O為圓心，過正半軸Ox上的每一刻度點畫同心圓，將Ox逆時針依次旋轉(zhuǎn)30°、60°、90°、…、330°得到11條射線，構(gòu)成如圖所示的“圓”坐標(biāo)系，點A、B的坐標(biāo)分別表示為（5，0°）、（4，300°），則點C的坐標(biāo)表示為　          　．【分析】直接利用坐標(biāo)的意義進(jìn)而表示出點C的坐標(biāo)．【解析】如圖所示：點C的坐標(biāo)表示為（3，240°）．故答案為：（3，240°）．6．（2021?長沙）“聞起來臭，吃起來香”的臭豆腐是長沙特色小吃，臭豆腐雖小，但制作流程卻比較復(fù)雜，其中在進(jìn)行加工煎炸臭豆腐時，我們把“焦脆而不糊”的豆腐塊數(shù)的百分比稱為“可食用率”．在特定條件下，“可食用率”P與加工煎炸時間t（單位：分鐘）近似滿足的函數(shù)關(guān)系為：p＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常數(shù)），如圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù)．根據(jù)上述函數(shù)關(guān)系和實驗數(shù)據(jù)，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳時間為（　?。?/span>A．3.50分鐘 B．4.05分鐘 C．3.75分鐘 D．4.25分鐘【分析】將圖象中的三個點（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函數(shù)關(guān)系p＝at2+bt+c中，可得函數(shù)關(guān)系式為：p＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9，再根據(jù)加工煎炸臭豆腐的最佳時間為拋物線頂點的橫坐標(biāo)，求出即可得結(jié)論．【解析】將圖象中的三個點（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函數(shù)關(guān)系p＝at2+bt+c中，，解得，所以函數(shù)關(guān)系式為：p＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9，由題意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳時間為拋物線頂點的橫坐標(biāo)：t3.75，則當(dāng)t＝3.75分鐘時，可以得到最佳時間．故選：C．7．（2021?揚(yáng)州）閱讀感悟：有些關(guān)于方程組的問題，欲求的結(jié)果不是每一個未知數(shù)的值，而是關(guān)于未知數(shù)的代數(shù)式的值，如以下問題：已知實數(shù)x、y滿足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得x、y的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答案，常規(guī)思路運(yùn)算量比較大．其實，仔細(xì)觀察兩個方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，本題還可以通過適當(dāng)變形整體求得代數(shù)式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”．解決問題：（1）已知二元一次方程組則x﹣y＝　  　，x+y＝　  　；（2）某班級組織活動購買小獎品，買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需58元，則購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需多少元？（3）對于實數(shù)x、y，定義新運(yùn)算：x*y＝ax+by+c，其中a、b、c是常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算．已知3*5＝15，4*7＝28，那么1*1＝　  　．【分析】（1）利用①﹣②可得出x﹣y的值，利用（①+②）可得出x+y的值；（2）設(shè)鉛筆的單價為m元，橡皮的單價為n元，日記本的單價為p元，根據(jù)“買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需58元”，即可得出關(guān)于m，n，p的三元一次方程組，由2×①﹣②可得除m+n+p的值，再乘5即可求出結(jié)論；（3）根據(jù)新運(yùn)算的定義可得出關(guān)于a，b，c的三元一次方程組，由3×①﹣2×②可得出a+b+c的值，即1*1的值．【解析】（1）．由①﹣②可得：x﹣y＝﹣1，由（①+②）可得：x+y＝5．故答案為：﹣1；5．（2）設(shè)鉛筆的單價為m元，橡皮的單價為n元，日記本的單價為p元，依題意，得：，由2×①﹣②可得m+n+p＝6，∴5m+5n+5p＝5×6＝30．答：購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需30元．（3）依題意，得：，由3×①﹣2×②可得：a+b+c＝﹣11，即1*1＝﹣11．故答案為：﹣11．8．（2021?重慶）在整數(shù)的除法運(yùn)算中，只有能整除與不能整除兩種情況，當(dāng)不能整除時，就會產(chǎn)生余數(shù)，現(xiàn)在我們利用整數(shù)的除法運(yùn)算來研究一種數(shù)﹣﹣“差一數(shù)”．定義：對于一個自然數(shù)，如果這個數(shù)除以5余數(shù)為4，且除以3余數(shù)為2，則稱這個數(shù)為“差一數(shù)”．例如：14÷5＝2…4，14÷3＝4…2，所以14是“差一數(shù)”；19÷5＝3…4，但19÷3＝6…1，所以19不是“差一數(shù)”．（1）判斷49和74是否為“差一數(shù)”？請說明理由；（2）求大于300且小于400的所有“差一數(shù)”．【分析】（1）根據(jù)“差一數(shù)”的定義即可求解；（2）根據(jù)“差一數(shù)”的定義即可求解．【解析】（1）49÷5＝9…4，但49÷3＝16…1，所以49不是“差一數(shù)”；74÷5＝14…4，74÷3＝24…2，所以74是“差一數(shù)”．（2）大于300且小于400的數(shù)除以5余數(shù)為4的有304，309，314，319，324，329，334，339，344，349，354，359，364，369，374，379，384，389，394，399，其中除以3余數(shù)為2的有314，329，344，359，374，389．故大于300且小于400的所有“差一數(shù)”有314，329，344，359，374，389．9．（2021?張家界）閱讀下面的材料：對于實數(shù)a，b，我們定義符號min{a，b}的意義為：當(dāng)a＜b時，min{a，b}＝a；當(dāng)a≥b時，min{a，b}＝b，如：min{4，﹣2}＝﹣2，min{5，5}＝5．根據(jù)上面的材料回答下列問題：（1）min{﹣1，3}＝　   　；（2）當(dāng)min時，求x的取值范圍．【分析】（1）比較大小，即可得出答案；（2）根據(jù)題意判斷出，解不等式即可判斷x的取值范圍．【解析】（1）由題意得min{﹣1，3}＝﹣1；故答案為：﹣1；（2）由題意得：3（2x﹣3）≥2（x+2）6x﹣9≥2x+44x≥13x，∴x的取值范圍為x．10．（2021?內(nèi)江）我們知道，任意一個正整數(shù)x都可以進(jìn)行這樣的分解：x＝m×n（m，n是正整數(shù)，且m≤n），在x的所有這種分解中，如果m，n兩因數(shù)之差的絕對值最小，我們就稱m×n是x的最佳分解．并規(guī)定：f（x）．例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因為18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，所以f（18）．（1）填空：f（6）＝　 　；f（9）＝　  　；（2）一個兩位正整數(shù)t（t＝10a+b，1≤a≤b≤9，a，b為正整數(shù)），交換其個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字得到的新數(shù)減去原數(shù)所得的差為54，求出所有的兩位正整數(shù)；并求f（t）的最大值；（3）填空：①f（22×3×5×7）＝　 　；②f（23×3×5×7）＝　　；③f（24×3×5×7）＝　　；④f（25×3×5×7）＝　　．【分析】（1）仿照樣例進(jìn)行計算便可；（2）設(shè)交換t的個位上數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為t′，則t′＝10b+a，根據(jù)“交換其個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字得到的新數(shù)減去原數(shù)所得的差為54”的確定出x與y的關(guān)系式，進(jìn)而求出所有的兩位數(shù)，進(jìn)而確定出F（t）的最大值即可；（3）根據(jù)樣例計算便可．【解析】（1）6可分解成1×6，2×3，∵6﹣1＞3﹣2，∴2×3是6的最佳分解，∴f（6），9可分解成1×9，3×3，∵9﹣1＞3﹣3，∴3×3是9的最佳分解，∴f（9）1，故答案為：；1；（2）設(shè)交換t的個位上數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為t′，則t′＝10b+a，根據(jù)題意得，t′﹣t＝（10b+a）﹣（10a+b）＝9（b﹣a）＝54，∴b＝a+6，∵1≤a≤b≤9，a，b為正整數(shù)，∴滿足條件的t為：17，28，39；∵F（17），F（28），F（39），∵，∴F（t）的最大值為；（3）①∵22×3×5×7的是最佳分解為20×21，∴f（22×3×5×7），故答案為：；②∵23×3×5×7的最佳分解為24×35，∴f（23×3×5×7），故答案為；③∵24×3×5×7的最佳分解是35×48，∴f（24×3×5×7），故答案為：；④∵25×3×5×7的最佳分解是48×70，∴f（25×3×5×7），故答案為：．

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