專(zhuān)題三   圖像信息問(wèn)題 1．（2021黑龍江）為抗擊疫情，支持武漢，某物流公司的快遞車(chē)和貨車(chē)每天往返于物流公司、武漢兩地，快遞車(chē)比貨車(chē)多往返一趟，如圖表示兩車(chē)離物流公司的距離y（單位：千米）與快遞車(chē)所用時(shí)間x（單位：時(shí)）的函數(shù)圖象，已知貨車(chē)比快遞車(chē)早1小時(shí)出發(fā)，到達(dá)武漢后用2小時(shí)裝卸貨物，按原速、原路返回，貨車(chē)比快遞車(chē)最后一次返回物流公司晚1小時(shí)．（1）求ME的函數(shù)解析式；（2）求快遞車(chē)第二次往返過(guò)程中，與貨車(chē)相遇的時(shí)間．（3）求兩車(chē)最后一次相遇時(shí)離武漢的距離．（直接寫(xiě)出答案）【分析】（1）利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可；（2）利用待定系數(shù)法分別求出BC與FG的解析式，再聯(lián)立解答即可；（3）根據(jù)題意列式計(jì)算即可．【解析】（1）設(shè)ME的函數(shù)解析式為y＝kx+b（k≠0），由ME經(jīng)過(guò)（0，50），（3，200）可得：，解得，∴ME的解析式為y＝50x+50；（2）設(shè)BC的函數(shù)解析式為y＝mx+n，由BC經(jīng)過(guò)（4，0），（6，200）可得：，解得，∴BC的函數(shù)解析式為y＝100x﹣400；設(shè)FG的函數(shù)解析式為y＝px+q，由FG經(jīng)過(guò)（5，200），（9，0）可得：，解得，∴FG的函數(shù)解析式為y＝﹣50x+450，解方程組得，同理可得x＝7h，答：貨車(chē)返回時(shí)與快遞車(chē)圖中相遇的時(shí)間h，7h；（3）（9﹣7）×50＝100（km），答：兩車(chē)最后一次相遇時(shí)離武漢的距離為100km．2．（2021天津）在“看圖說(shuō)故事”活動(dòng)中，某學(xué)習(xí)小組結(jié)合圖象設(shè)計(jì)了一個(gè)問(wèn)題情境．已知小亮所在學(xué)校的宿舍、食堂、圖書(shū)館依次在同一條直線(xiàn)上，食堂離宿舍0.7km，圖書(shū)館離宿舍1km．周末，小亮從宿舍出發(fā)，勻速走了7min到食堂；在食堂停留16min吃早餐后，勻速走了5min到圖書(shū)館；在圖書(shū)館停留30min借書(shū)后，勻速走了10min返回宿舍．給出的圖象反映了這個(gè)過(guò)程中小亮離宿舍的距離ykm與離開(kāi)宿舍的時(shí)間xmin之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問(wèn)題：（Ⅰ）填表：離開(kāi)宿舍的時(shí)間/min25202330離宿舍的距離/km0.2　   　0.7    　　  　（Ⅱ）填空：①食堂到圖書(shū)館的距離為　  　km；②小亮從食堂到圖書(shū)館的速度為　    　km/min；③小亮從圖書(shū)館返回宿舍的速度為　  　km/min；④當(dāng)小亮離宿舍的距離為0.6km時(shí)，他離開(kāi)宿舍的時(shí)間為　   　min．（Ⅲ）當(dāng)0≤x≤28時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式．【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意和函數(shù)圖象，可以將表格補(bǔ)充完整；（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以將各個(gè)小題中的空補(bǔ)充完整；（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ）中的結(jié)果和函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以寫(xiě)出當(dāng)0≤x≤28時(shí)，y關(guān)于x的函數(shù)解析式．【解析】（Ⅰ）由圖象可得，在前7分鐘的速度為0.7÷7＝0.1（km/min），故當(dāng)x＝2時(shí)，離宿舍的距離為0.1×2＝0.2（km），在7≤x≤23時(shí)，距離不變，都是0.7km，故當(dāng)x＝23時(shí)，離宿舍的距離為0.7km，在28≤x≤58時(shí)，距離不變，都是1km，故當(dāng)x＝30時(shí)，離宿舍的距離為1km，故答案為：0.2，0.7，1；（Ⅱ）由圖象可得，①食堂到圖書(shū)館的距離為1﹣0.7＝0.3（km），故答案為：0.3；②小亮從食堂到圖書(shū)館的速度為：0.3÷（28﹣23）＝0.06（km/min），故答案為：0.06；③小亮從圖書(shū)館返回宿舍的速度為：1÷（68﹣58）＝0.1（km/min），故答案為：0.1；④當(dāng)0≤x≤7時(shí)，小亮離宿舍的距離為0.6km時(shí)，他離開(kāi)宿舍的時(shí)間為0.6÷0.1＝6（min），當(dāng)58≤x≤68時(shí)，小亮離宿舍的距離為0.6km時(shí)，他離開(kāi)宿舍的時(shí)間為（1﹣0.6）÷0.1+58＝62（min），故答案為：6或62；（Ⅲ）由圖象可得，當(dāng)0≤x≤7時(shí)，y＝0.1x；當(dāng)7＜x≤23時(shí)，y＝0.7；當(dāng)23＜x≤28時(shí)，設(shè)y＝kx+b，，得，即當(dāng)23＜x≤28時(shí)，y＝0.06x﹣0.68；由上可得，當(dāng)0≤x≤28時(shí)，y關(guān)于x的函數(shù)解析式是y．3．（2021襄陽(yáng)）如圖，反比例函數(shù)y1=（x＞0）和一次函數(shù)y2＝kx+b的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，4）和點(diǎn)B（n，2）．（1）m＝　  　，n＝　  　；（2）求一次函數(shù)的解析式，并直接寫(xiě)出y1＜y2時(shí)x的取值范圍；（3）若點(diǎn)P是反比例函數(shù)y1=（x＞0）的圖象上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，則△POM的面積為　  　．【分析】（1）把A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式求出m，得出反比例函數(shù)的解析式，把B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式，能求出n，即可得出B的坐標(biāo)；（2）分別把A、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式得出方程組，求出方程組的解，即可得出一次函數(shù)的解析式；根據(jù)圖象求得y1＜y2時(shí)x的取值范圍；（3）根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可求得．【解析】（1）∵把A（1，4）代入y1（x＞0）得：m＝1×4＝4，∴y，∵把B（n，2）代入y得：2，解得n＝2；故答案為4，2；（2）把A（1，4）、B（2，2）代入y2＝kx+b得：，解得：k＝﹣2，b＝6，即一次函數(shù)的解析式是y＝﹣2x+6．由圖象可知：y1＜y2時(shí)x的取值范圍是1＜x＜2；（3）∵點(diǎn)P是反比例函數(shù)y1（x＞0）的圖象上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，∴S△POM|m|2，故答案為2．4．（2021淮安）甲、乙兩地的路程為290千米，一輛汽車(chē)早上8：00從甲地出發(fā)，勻速向乙地行駛，途中休息一段時(shí)間后．按原速繼續(xù)前進(jìn)，當(dāng)離甲地路程為240千米時(shí)接到通知，要求中午12：00準(zhǔn)時(shí)到達(dá)乙地．設(shè)汽車(chē)出發(fā)x小時(shí)后離甲地的路程為y千米，圖中折線(xiàn)OCDE表示接到通知前y與x之間的函數(shù)關(guān)系．（1）根據(jù)圖象可知，休息前汽車(chē)行駛的速度為　 　千米/小時(shí)；（2）求線(xiàn)段DE所表示的y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（3）接到通知后，汽車(chē)仍按原速行駛能否準(zhǔn)時(shí)到達(dá)？請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）觀察圖象即可得出休息前汽車(chē)行駛的速度；（2）根據(jù)題意求出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法解答即可；（3）求出到達(dá)乙地所行駛的時(shí)間即可解答．【解析】（1）由圖象可知，休息前汽車(chē)行駛的速度為80千米/小時(shí)；故答案為：80；（2）休息后按原速繼續(xù)前進(jìn)行駛的時(shí)間為：（240﹣80）÷80＝（小時(shí)），∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3.5，240），設(shè)線(xiàn)段DE所表示的y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b，則：，解得，∴線(xiàn)段DE所表示的y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為80x﹣40；（3）接到通知后，汽車(chē)仍按原速行駛，則全程所需時(shí)間為：290÷80+0.5＝4.125（小時(shí)），12：00﹣8：00＝4（小時(shí)），4.125＞4，所以接到通知后，汽車(chē)仍按原速行駛不能準(zhǔn)時(shí)到達(dá)．5．（2021衡陽(yáng)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2+px+q的圖象過(guò)點(diǎn)（﹣1，0），（2，0）．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）求當(dāng)﹣2≤x≤1時(shí)，y的最大值與最小值的差；（3）一次函數(shù)y＝（2﹣m）x+2﹣m的圖象與二次函數(shù)y＝x2+px+q的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范圍．【分析】（1）由二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)（﹣1，0）和（2，0）兩點(diǎn)，組成方程組再解即可求得二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）求得拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，根據(jù)圖象即可得出當(dāng)x＝﹣2，函數(shù)有最大值4；當(dāng)x是函數(shù)有最小值，進(jìn)而求得它們的差；（3）由題意得x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0，因?yàn)?/span>a＜2＜b，a≠b，△＝（m﹣3）2﹣4×（m﹣4）＝（m﹣5）2＞0，把x＝3代入（2﹣m）x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，解得m．【解析】（1）由二次函數(shù)y＝x2+px+q的圖象經(jīng)過(guò)（﹣1，0）和（2，0）兩點(diǎn)，∴，解得，∴此二次函數(shù)的表達(dá)式y＝x2﹣x﹣2；（2）∵拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x，∴在﹣2≤x≤1范圍內(nèi)，當(dāng)x＝﹣2，函數(shù)有最大值為：y＝4+2﹣2＝4；當(dāng)x是函數(shù)有最小值：y2，∴的最大值與最小值的差為：4﹣（）； （3）∵y＝（2﹣m）x+2﹣m與二次函數(shù)y＝x2﹣x﹣2圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a和b，∴x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0∵a＜3＜b∴a≠b∴△＝（m﹣3）2﹣4×（m﹣4）＝（m﹣5）2＞0∴m≠5∵a＜3＜b當(dāng)x＝3時(shí)，（2﹣m）x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，把x＝3代入（2﹣m）x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，解得m∴m的取值范圍為m．6．（2021南充）某工廠計(jì)劃在每個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)并銷(xiāo)售完某型設(shè)備，設(shè)備的生產(chǎn)成本為10萬(wàn)元/件．（1）如圖，設(shè)第x（0＜x≤20）個(gè)生產(chǎn)周期設(shè)備售價(jià)z萬(wàn)元/件，z與x之間的關(guān)系用圖中的函數(shù)圖象表示．求z關(guān)于x的函數(shù)解析式（寫(xiě)出x的范圍）．（2）設(shè)第x個(gè)生產(chǎn)周期生產(chǎn)并銷(xiāo)售的設(shè)備為y件，y與x滿(mǎn)足關(guān)系式y＝5x+40（0＜x≤20）．在（1）的條件下，工廠第幾個(gè)生產(chǎn)周期創(chuàng)造的利潤(rùn)最大？最大為多少萬(wàn)元？（利潤(rùn)＝收入﹣成本）【分析】（1）分別得出當(dāng)0＜x≤12時(shí)和當(dāng)12＜x≤20時(shí)，z關(guān)于x的函數(shù)解析式即可得出答案；（2）設(shè)第x個(gè)生產(chǎn)周期工廠創(chuàng)造的利潤(rùn)為w萬(wàn)元，①當(dāng)0＜x≤12時(shí)，可得出w關(guān)于x的一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得相應(yīng)的最大值；②當(dāng)12＜x≤20時(shí)，可得出w關(guān)于x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得相應(yīng)的最大值．取①②中較大的最大值即可．【解析】（1）由圖可知，當(dāng)0＜x≤12時(shí)，z＝16，當(dāng)12＜x≤20時(shí)，z是關(guān)于x的一次函數(shù)，設(shè)z＝kx+b，則解得：∴zx+19，∴z關(guān)于x的函數(shù)解析式為z．（2）設(shè)第x個(gè)生產(chǎn)周期工廠創(chuàng)造的利潤(rùn)為w萬(wàn)元，①當(dāng)0＜x≤12時(shí)，w＝（16﹣10）×（5x+40）＝30x+240，∴由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)x＝12時(shí)，w最大值＝30×12+240＝600（萬(wàn)元）；②當(dāng)12＜x≤20時(shí)，w＝（x+19﹣10）（5x+40）x2+35x+360（x﹣14）2+605，∴當(dāng)x＝14時(shí)，w最大值＝605（萬(wàn)元）．綜上所述，工廠第14個(gè)生產(chǎn)周期創(chuàng)造的利潤(rùn)最大，最大是605萬(wàn)元．  

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