專題二圖形規(guī)律-2022年中考數學二輪復習之重難熱點提分專題-試卷下載-教習網

?專題二圖形規(guī)律
題型一：動點圖形規(guī)律
1．（2021常德）如圖，將一枚跳棋放在七邊形ABCDEFG的頂點A處，按順時針方向移動這枚跳棋2021次．移動規(guī)則是：第k次移動k個頂點（如第一次移動1個頂點，跳棋停留在B處，第二次移動2個頂點，跳棋停留在D處），按這樣的規(guī)則，在這2021次移動中，跳棋不可能停留的頂點是（　　）

A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F
【分析】設頂點A，B，C，D，E，F，G分別是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移動了k次后走過的總格數是1+2+3+…+k=12k（k+1），然后根據題目中所給的第k次依次移動k個頂點的規(guī)則，可得到不等式最后求得解．
【解析】經實驗或按下方法可求得頂點C，E和F棋子不可能停到．
設頂點A，B，C，D，E，F，G分別是第0，1，2，3，4，5，6格，
因棋子移動了k次后走過的總格數是1+2+3+…+k=12k（k+1），應停在第12k（k+1）﹣7p格，
這時P是整數，且使0≤12k（k+1）﹣7p≤6，分別取k＝1，2，3，4，5，6，7時，
12k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，發(fā)現第2，4，5格沒有停棋，
若7＜k≤2021，
設k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得，12k（k+1）﹣7p＝7m+12t（t+1），
由此可知，停棋的情形與k＝t時相同，
故第2，4，5格沒有停棋，即頂點C，E和F棋子不可能停到．
故選：D．
題型二：幾何圖形規(guī)律
2．（2021煙臺）如圖，△OA1A2為等腰直角三角形，OA1＝1，以斜邊OA2為直角邊作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3為直角邊作等腰直角三角形OA3A4，…，按此規(guī)律作下去，則OAn的長度為（　　）

A．（）n B．（）n﹣1 C．（）n D．（）n﹣1
【分析】利用等腰直角三角形的性質以及勾股定理分別求出各邊長，依據規(guī)律即可得出答案．
【解析】∵△OA1A2為等腰直角三角形，OA1＝1，
∴OA2=2；
∵△OA2A3為等腰直角三角形，
∴OA3＝2=(2)2；
∵△OA3A4為等腰直角三角形，
∴OA4＝22=(2)3．
∵△OA4A5為等腰直角三角形，
∴OA5＝4=(2)4，
……
∴OAn的長度為（2）n﹣1．
故選：B．
3．（2021鹽城）把1～9這9個數填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及兩條對角線上的數之和都相等，這樣便構成了一個“九宮格”．它源于我國古代的“洛書”（圖①），是世界上最早的“幻方”．圖②是僅可以看到部分數值的“九宮格”，則其中x的值為（　　）

A．1 B．3 C．4 D．6
【分析】根據任意一行，任意一列及兩條對角線上的數之和都相等，可得第三行與第三列上的兩個數之和相等，依此列出方程即可．
【解析】由題意，可得8+x＝2+7，
解得x＝1．
故選：A．
4．（2021?成都）如圖，六邊形ABCDEF是正六邊形，曲線FA1B1C1D1E1F1…叫做“正六邊形的漸開線”，FA1，A1B1，B1C1，C1D1，D1E1，E1F1，…的圓心依次按A，B，C，D，E，F循環(huán)，且每段弧所對的圓心角均為正六邊形的一個外角．當AB＝1時，曲線FA1B1C1D1E1F1的長度是　 ?。?br />
【分析】利用弧長公式計算即可解決問題．
【解析】FA1的長=60?π?1180=π3，
A1B1的長=60?π?2180=2π3，
B1C1的長=60?π?3180=3π3，
C1D1的長=60?π?4180=4π3，
D1E1的長=60?π?5180=5π3，
E1F1的長=60?π?6180=6π3，
∴曲線FA1B1C1D1E1F1的長度=π3+2π3+?+6π3=21π3=7π，
故答案為7π．
5．（2021?湘西州）觀察下列結論：
（1）如圖①，在正三角形ABC中，點M，N是AB，BC上的點，且AM＝BN，則AN＝CM，∠NOC＝60°；
（2）如圖2，在正方形ABCD中，點M，N是AB，BC上的點，且AM＝BN，則AN＝DM，∠NOD＝90°；
（3）如圖③，在正五邊形ABCDE中點M，N是AB，BC上的點，且AM＝BN，則AN＝EM，∠NOE＝108°；
…
根據以上規(guī)律，在正n邊形A1A2A3A4…An中，對相鄰的三邊實施同樣的操作過程，即點M，N是A1A2，A2A3上的點，且A1M＝A2N，A1N與AnM相交于O．也會有類似的結論，你的結論是　 ?。?br />
【分析】根據已知所給得到規(guī)律，進而可得在正n邊形A1A2A3A4…An中，對相鄰的三邊實施同樣的操作過程會有類似的結論．
【解析】∵（1）如圖①，在正三角形ABC中，點M，N是AB，BC上的點，且AM＝BN，則AN＝CM，∠NOC=(3-2)×180°3=60°；
（2）如圖2，在正方形ABCD中，點M，N是AB，BC上的點，且AM＝BN，則AN＝DM，∠NOD=(4-2)×180°4=90°；
（3）如圖③，在正五邊形ABCDE中點M，N是AB，BC上的點，且AM＝BN，則AN＝EM，∠NOE=(5-2)×180°5=108°；
…
根據以上規(guī)律，在正n邊形A1A2A3A4…An中，
對相鄰的三邊實施同樣的操作過程，即點M，N是A1A2，A2A3上的點，
且A1M＝A2N，A1N與AnM相交于O．
也有類似的結論是A1N＝AnM，∠NOAn=(n-2)×180°n．
故答案為：A1N＝AnM，∠NOAn=(n-2)×180°n．
6．（2021濰坊）如圖，四邊形ABCD是正方形，曲線DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧組成的．其中：DA1的圓心為點A，半徑為AD；A1B1的圓心為點B，半徑為BA1；B1C1的圓心為點C，半徑為CB1；C1D1的圓心為點D，半徑為DC1；?DA1，A1B1，B1C1，C1D1，…的圓心依次按點A，B，C，D循環(huán)．若正方形ABCD的邊長為1，則A2021B2021的長是　 ?。?br />
【分析】曲線DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧組成的，半徑每次比前一段弧半徑+1，到ADn﹣1＝AAn＝4（n﹣1）+1，BAn＝BBn＝4（n﹣1）+2，再計算弧長．
【解析】由圖可知，曲線DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧組成的，半徑每次比前一段弧半徑+1，AD＝AA1＝1，BA1＝BB1＝2，……，ADn﹣1＝AAn＝4（n﹣1）+1，BAn＝BBn＝4（n﹣1）+2，
故A2021B2021的半徑為BA2021＝BB2021＝4（2021﹣1）+2＝8078，A2021B2021的弧長=90180×8078π=4039π．
故答案為：4039π．
7．（2021徐州）如圖，∠MON＝30°，在OM上截取OA1=．過點A1作A1B1⊥OM，交ON于點B1，以點B1為圓心，B1O為半徑畫弧，交OM于點A2；過點A2作A2B2⊥OM，交ON于點B2，以點B2為圓心，B2O為半徑畫弧，交OM于點A3；按此規(guī)律，所得線段A20B20的長等于　 ?。?br />
【分析】利用三角形中位線定理證明A2B2＝2A1B1，A3B3＝2A2B2＝22?A1B1，尋找規(guī)律解決問題即可．
【解析】∵B1O＝B1A1，B1A1⊥OA2，
∴OA1＝A1A2，
∵B2A2⊥OM，B1A1⊥OM，
∴B1A1∥B2A2，
∴B1A1=12A2B2，
∴A2B2＝2A1B1，
同法可得A3B3＝2A2B2＝22?A1B1，…，
由此規(guī)律可得A20B20＝219?A1B1，
∵A1B1＝OA1?tan30°=3×33=1，
∴A20B20＝219，
故答案為219．
8．（2021遼陽）如圖，四邊形ABCD是矩形，延長DA到點E，使AE＝DA，連接EB，點F1是CD的中點，連接EF1，BF1，得到△EF1B；點F2是CF1的中點，連接EF2，BF2，得到△EF2B；點F3是CF2的中點，連接EF3，BF3，得到△EF3B；…；按照此規(guī)律繼續(xù)進行下去，若矩形ABCD的面積等于2，則△EFnB的面積為　 ?。ㄓ煤麛祅的式子表示）

【分析】先求得△EF1D的面積為1，再根據等高的三角形面積比等于底邊的比可得EF1F2的面積，EF2F3的面積，…，EFn﹣1Fn的面積，以及△BCFn的面積，再根據面積的和差關系即可求解．
【解析】∵AE＝DA，點F1是CD的中點，矩形ABCD的面積等于2，
∴△EF1D和△EAB的面積都等于1，
∵點F2是CF1的中點，
∴△EF1F2的面積等于12，
同理可得△EFn﹣1Fn的面積為12n-1，
∵△BCFn的面積為2×12n÷2=12n，
∴△EFnB的面積為2+1﹣1-12-?-12n-1-12n=2﹣（1-12n）=2n+12n．
故答案為：2n+12n．

題型三：幾何函數圖形規(guī)律
9．（2021荊門）在平面直角坐標系xOy中，Rt△AOB的直角頂點B在y軸上，點A的坐標為（1，），將Rt△AOB沿直線y＝﹣x翻折，得到Rt△A'OB'，過A'作A'C垂直于OA'交y軸于點C，則點C的坐標為（　?。?br />
A．（0，﹣2） B．（0，﹣3） C．（0，﹣4） D．（0，﹣4）
【分析】依據軸對稱的性質可得OB'＝OB=3，A′B′＝AB＝1，OA′＝OA＝2，進而通過證得△A′OB′∽△COA′，求得OC＝4，即可證得C的坐標為（0，﹣4）．
【解析】∵點A的坐標為（1，3），
∴AB＝1，OB=3，
∴OA=AB2+OB2=12+(3)2=2，
∵將Rt△AOB沿直線y＝﹣x翻折，得到Rt△A'OB'，
∴OB'＝OB=3，A′B′＝AB＝1，OA′＝OA＝2，
∴A'（-3，﹣1），
∵過A'作A'C垂直于OA'交y軸于點C，
∴∠A′OC+∠A′CO＝90°，
∵∠A′OB′+∠A′OC＝90°，
∴∠A′CO＝∠A′OB′，
∵∠A′B′O＝∠OA′C＝90°，
∴△A′OB′∽△COA′，
∴OCOA'=OA'A'B'，即OC2=21，
∴OC＝4，
∴C（0，﹣4），
故選：C．
10．（2021鄂州）如圖，點A1，A2，A3…在反比例函數y=（x＞0）的圖象上，點B1，B2，B3，…Bn在y軸上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直線y＝x與雙曲線y=交于點A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3…，則Bn（n為正整數）的坐標是（　　）

A．（2，0） B．（0，）
C．（0，） D．（0，2）
【分析】由題意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，想辦法求出OB1，OB2，OB3，OB4，…，探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題即可得出結論．
【解析】由題意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，
∵A1（1，1），
∴OB1＝2，設A2（m，2+m），
則有m（2+m）＝1，
解得m=2-1，
∴OB2＝22，
設A3（a，22+n），則有n＝a（22+a）＝1，
解得a=3-2，
∴OB3＝23，
同法可得，OB4＝24，
∴OBn＝2n，
∴Bn（0，2n）．
故選：D．
11．（2021溫州）點P，Q，R在反比例函數y=（常數k＞0，x＞0）圖象上的位置如圖所示，分別過這三個點作x軸、y軸的平行線．圖中所構成的陰影部分面積從左到右依次為S1，S2，S3．若OE＝ED＝DC，S1+S3＝27，則S2的值為 ?。?br />
【分析】設CD＝DE＝OE＝a，則P（k3a，3a），Q（k2a，2a），R（ka，a），推出CP=3k3a，DQ=k2a，ER=ka，推出OG＝AG，OF＝2FG，OF=23GA，推出S1=23S3＝2S2，根據S1+S3＝27，求出S1，S3，S2即可．
【解析】∵CD＝DE＝OE，
∴可以假設CD＝DE＝OE＝a，
則P（k3a，3a），Q（k2a，2a），R（ka，a），
∴CP=k3a，DQ=k2a，ER=ka，
∴OG＝AG，OF＝2FG，OF=23GA，
∴S1=23S3＝2S2，
∵S1+S3＝27，
∴S3=815，S1=545，S2=275，
故答案為275．
12．（2021?自貢）如圖，直線y=與y軸交于點A，與雙曲線y=在第三象限交于B、C兩點，且AB?AC＝16．下列等邊三角形△OD1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，…的邊OE1，E1E2，E2E3，…在x軸上，頂點D1，D2，D3，…在該雙曲線第一象限的分支上，則k＝　　，前25個等邊三角形的周長之和為　．

【分析】設直線y=-3x+b與x軸交于點D，作BE⊥y軸于E，CF⊥y軸于F．首先證明∠ADO＝60°，可得AB＝2BE，AC＝2CF，由直線y=-3x+b與雙曲線y=kx在第一象限交于點B、C兩點，可得-3x+b=kx，整理得，-3x2+bx﹣k＝0，由韋達定理得：x1x2=33k，即EB?FC=33k，由此構建方程求出k即可，第二個問題分別求出第一個，第二個，第三個，第四個三角形的周長，探究規(guī)律后解決問題．
【解析】設直線y=-3x+b與x軸交于點D，作BE⊥y軸于E，CF⊥y軸于F．
∵y=-3x+b，
∴當y＝0時，x=33b，即點D的坐標為（33b，0），
當x＝0時，y＝b，即A點坐標為（0，b），
∴OA＝﹣b，OD=-33b．
∵在Rt△AOD中，tan∠ADO=OAOD=3，
∴∠ADO＝60°．
∵直線y=-3x+b與雙曲線y=kx在第三象限交于B、C兩點，
∴-3x+b=kx，
整理得，-3x2+bx﹣k＝0，
由韋達定理得：x1x2=33k，即EB?FC=33k，
∵EBAB=cos60°=12，
∴AB＝2EB，
同理可得：AC＝2FC，
∴AB?AC＝（2EB）（2FC）＝4EB?FC=433k＝16，
解得：k＝43．
由題意可以假設D1（m，m3），
∴m2?3=43，
∴m＝2
∴OE1＝4，即第一個三角形的周長為12，
設D2（4+n，3n），
∵（4+n）?3n＝43，
解得n＝22-2，
∴E1E2＝42-4，即第二個三角形的周長為122-12，
設D3（42+a，3a），
由題意（42+a）?3a＝43，
解得a＝23-22，即第三個三角形的周長為123-122，
…，
∴第四個三角形的周長為124-123，
∴前25個等邊三角形的周長之和12+122-12+123-122+124-123+?+1225-1224=1225=60，
故答案為43，60．

13．（2021齊齊哈爾）如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形①沿x軸正半軸滾動并且按一定規(guī)律變換，每次變換后得到的圖形仍是等腰直角三角形．第一次滾動后點A1（0，2）變換到點A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滾動后點A2變換到點A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滾動后點A3變換到點A4（10，），得到等腰直角三角形④；第四次滾動后點A4變換到點A5（10+，0），得到等腰直角三角形⑤；依此規(guī)律…，則第2021個等腰直角三角形的面積是　 ?。?br />
【分析】根據A1（0，2）確定第1個等腰直角三角形（即等腰直角三角形①）的面積，根據A2（6，0）確定第1個等腰直角三角形（即等腰直角三角形②）的面積，…，同理，確定規(guī)律可得結論．
【解析】∵點A1（0，2），
∴第1個等腰直角三角形的面積=12×2×2=2，
∵A2（6，0），
∴第2個等腰直角三角形的邊長為6-22=22，
∴第2個等腰直角三角形的面積=12×22×22=4＝22，
∵A4（10，42），
∴第3個等腰直角三角形的邊長為10﹣6＝4，
∴第3個等腰直角三角形的面積=12×4×4=8＝23，
…
則第2021個等腰直角三角形的面積是22021；
故答案為：22021（形式可以不同，正確即得分）．

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