專題六   幾何面積最值問題 1．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝12 cm.點P從點A開始，沿AB邊向點B以每秒1 cm 的速度移動；點Q從點B開始，沿著BC邊向點C以每秒2 cm的速度移動．如果P，Q同時出發(fā)，問經(jīng)過幾秒鐘△PBQ的面積最大？最大面積是多少？【解答】解：設(shè)經(jīng)過x秒，△PBQ的面積為S cm2.∵AP＝1·x＝x，BQ＝2x，∴BP＝AB－AP＝6－x.∴S△BPQ＝BP·BQ＝×(6－x)×2x＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9.答：經(jīng)過3秒鐘△PBQ的面積最大，最大面積是9 cm2.2．如圖，在足夠大的空地上有一段長為a m的舊墻MN，某人利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100 m木欄．（1）若a＝20，所圍成的矩形菜園的面積為450 m2，求所利用舊墻AD的長；（2）求矩形菜園ABCD面積的最大值．【解答】解：(1)設(shè)AB＝x m，則BC＝(100－2x)m，根據(jù)題意得x(100－2x)＝450，解得x1＝5，x2＝45，當(dāng)x＝5時，100－2x＝90＞20，不合題意舍去；當(dāng)x＝45時，100－2x＝10.答：AD的長為10 m.(2)設(shè)AD＝x m，∴S＝x(100－x)＝－(x－50)2＋1 250，當(dāng)a≥50時，則x＝50時，S的最大值為1 250；當(dāng)0＜a＜50時，則當(dāng)0＜x≤a時，S隨x的增大而增大，當(dāng)x＝a時，S的最大值為50a－a2.綜上所述，當(dāng)a≥50時，S的最大值為1 250；當(dāng)0＜a＜50時，S的最大值為50a－a2.3．某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角(兩邊足夠長)，用28 m長的籬笆圍成一個矩形花園ABCD(籬笆只圍AB，BC兩邊)，設(shè)AB＝x m.（1）當(dāng)x為何值時，矩形花園的面積最大？最大面積為多少？（2）若在P處有一棵樹與墻CD，AD的距離分別是15 m和6 m，要將這棵樹圍在花園內(nèi)(含邊界，不考慮樹的粗細(xì))，求花園面積S的最大值．【解答】解：(1)S＝x(28－x)＝－(x－14)2＋196(0＜x＜28)，∵a＝－1＜0，∴S有最大值，當(dāng)x＝14時，S最大值＝196(m2)．(2)依題意有，解得6≤x≤13，在對稱軸的左側(cè)S隨x的增大而增大，因此當(dāng)x＝13時，S最大值＝195(m2).4．小明的家門前有一塊空地，空地外有一面長10米的圍墻，為了美化生活環(huán)境，小明的爸爸準(zhǔn)備靠墻修建一個矩形花圃，他買回了32米長的不銹鋼管準(zhǔn)備作為花圃的圍欄，為了澆花和賞花的方便，準(zhǔn)備在花圃的中間再圍出一條寬為一米的通道及在左右花圃各放一個1米寬的門（木質(zhì)）．花圃的長與寬如何設(shè)計才能使花圃的面積最大？  【解答】：設(shè)花圃的寬為米，面積為平方米則長為：(米)則：∵，∴∵，∴與的二次函數(shù)的頂點不在自變量的范圍內(nèi)，而當(dāng)內(nèi)，隨的增大而減小，∴當(dāng)時，(平方米)答：可設(shè)計成寬米，長10米的矩形花圃，這樣的花圃面積最大．5．如圖，矩形EFHG的邊GH在△ABC邊BC上，其他兩個頂點分別在邊AB，AC上，已知△ABC的邊BC＝120 cm，BC邊上的高AD為80 cm.（1）當(dāng)矩形EFHG是正方形時，求這個正方形的邊長；（2）設(shè)EG的長為x cm，x為何值時，矩形EFHG的面積最大？并求面積的最大值．【解答】解：(1)∵四邊形EFHG是正方形，且AD⊥BC，∴EF∥BC，EG＝EF＝MD(設(shè)為a)，∴△AEF∽△ABC，AM＝80－a，∴EF∶BC＝AM∶AD，即a∶120＝(80－a)∶80，解得a＝48 cm，即這個正方形的邊長為48 cm.(2)設(shè)矩形EFHG的面積為y，由(1)知EF∶BC＝AM∶AD，即EF∶120＝(80－x)∶80，解得EF＝120－1.5x，∴y＝x(120－1.5x)＝－1.5x2＋120x，∴當(dāng)x＝－＝40時，y取得最大值，y的最大值＝－1.5×1 600＋120×40＝2 400(cm2)．6．某人定制了一批地磚，每塊地磚（如圖(1)所示）是邊長為0.4米的正方形ABCD，點E、F分別在邊BC和CD上，△CFE、△ABE和四邊形AEFD均由單一材料制成，制成△CFE、△ABE和四邊形AEFD的三種材料的每平方米價格依次為30元、20元、10元，若將此種地磚按圖(2)所示的形式鋪設(shè)，且能使中間的陰影部分組成四邊形EFGH．（1）判斷圖(2)中四邊形EFGH是何形狀，并說明理由；（2）E、F在什么位置時，定制這批地磚所需的材料費用最??？【解答】：(1) 四邊形EFGH是正方形．圖(2)可以看作是由四塊圖(1)所示地磚繞C點按順(逆)時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的，故CE=CF =CG．∴△CEF是等腰直角三角形因此四邊形EFGH是正方形．　                      (2)設(shè)CE=x, 則BE=0.4－x，每塊地磚的費用為y元那么：y=x×30+×0.4×(0.4-x)×20+            當(dāng)x=0.1時，y有最小值，即費用為最省，此時CE=CF=0.1．答：當(dāng)CE=CF=0.1米時，總費用最?。?/span> 7．如圖，小明的父親在相距2米的兩棵樹間拴了一根繩子，給他做了一個簡易的秋千，拴繩子的地方距地面高都是2.5米，繩子自然下垂呈拋物線狀，身高1米的小明距較近的那棵樹0.5米時，頭部剛好接觸到繩子，則繩子的最低點距地面的距離為多少米？【解答】：如圖所示建立直角坐標(biāo)系則：設(shè) 將點，代入，，解得  頂點，最低點距地面0.5米．8．如圖，把一張長10cm，寬8cm的矩形硬紙板的四周各剪去一個同樣大小的正方形，再折合成一個無蓋的長方體盒子（紙板的厚度忽略不計）．（1）要使長方體盒子的底面積為48cm2，那么剪去的正方形的邊長為多少？（2）你感到折合而成的長方體盒子的側(cè)面積會不會有更大的情況？如果有，請你求出最大值和此時剪去的正方形的邊長；如果沒有，請你說明理由；（3）如果把矩形硬紙板的四周分別剪去2個同樣大小的正方形和2個同樣形狀、同樣大小的矩形，然后折合成一個有蓋的長方體盒子，是否有側(cè)面積最大的情況；如果有，請你求出最大值和此時剪去的正方形的邊長；如果沒有，請你說明理由．【解答】：（1）設(shè)正方形的邊長為cm，則．即．解得（不合題意，舍去），．剪去的正方形的邊長為1cm．（2）有側(cè)面積最大的情況．設(shè)正方形的邊長為cm，盒子的側(cè)面積為cm2，則與的函數(shù)關(guān)系式為：．即．改寫為．當(dāng)時，．即當(dāng)剪去的正方形的邊長為2.25cm時，長方體盒子的側(cè)面積最大為40.5cm2．（3）有側(cè)面積最大的情況．設(shè)正方形的邊長為cm，盒子的側(cè)面積為cm2．若按圖1所示的方法剪折，則與的函數(shù)關(guān)系式為：即．當(dāng)時，．若按圖2所示的方法剪折，則與的函數(shù)關(guān)系式為：．即．當(dāng)時，．比較以上兩種剪折方法可以看出，按圖2所示的方法剪折得到的盒子側(cè)面積最大，即當(dāng)剪去的正方形的邊長為cm時，折成的有蓋長方體盒子的側(cè)面積最大，最大面積為cm2．       

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