?專題二十二 閱讀探究創(chuàng)新

1．（2021?荊州）閱讀下列“問(wèn)題”與“提示”后，將解方程的過(guò)程補(bǔ)充完整，求出x的值．
【問(wèn)題】解方程：x2+2x+4x2+2x-5＝0．
【提示】可以用“換元法”解方程．
解：設(shè)x2+2x=t（t≥0），則有x2+2x＝t2
原方程可化為：t2+4t﹣5＝0
【續(xù)解】
【分析】利用因式分解法解方程t2+4t﹣5＝0得到t1＝﹣5，t2＝1，再分別解方程x2+2x=-5和方程x2+2x=1，然后進(jìn)行檢驗(yàn)確定原方程的解．
【解析】（t+5）（t﹣1）＝0，
t+5＝0或t﹣1＝0，
∴t1＝﹣5，t2＝1，
當(dāng)t＝﹣5時(shí)，x2+2x=-5，此方程無(wú)解；
當(dāng)t＝1時(shí)，x2+2x=1，則x2+2x＝1，配方得（x+1）2＝2，解得x1＝﹣1+2，x2＝﹣1-2；
經(jīng)檢驗(yàn)，原方程的解為x1＝﹣1+2，x2＝﹣1-2．
2．（2021?自貢）我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”，數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法．例如，代數(shù)式|x﹣2|的幾何意義是數(shù)軸上x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離：因?yàn)閨x+1|＝|x﹣（﹣1）|，所以|x+1|的幾何意義就是數(shù)軸上x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與﹣1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離．
（1）發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：代數(shù)式|x+1|+|x﹣2|的最小值是多少？
（2）探究問(wèn)題：如圖，點(diǎn)A、B、P分別表示數(shù)﹣1、2、x，AB＝3．

∵|x+1|+|x﹣2|的幾何意義是線段PA與PB的長(zhǎng)度之和，
∴當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，PA+PB＝3，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)或點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，PA+PB＞3．
∴|x+1|+|x﹣2|的最小值是3．
（3）解決問(wèn)題：
①|(zhì)x﹣4|+|x+2|的最小值是　 ??；
②利用上述思想方法解不等式：|x+3|+|x﹣1|＞4；

③當(dāng)a為何值時(shí)，代數(shù)式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2．
【分析】觀察閱讀材料中的（1）和（2），總結(jié)出求最值方法；
（3）①原式變形﹣2和4距離x最小值為4﹣（﹣2）＝6；
②根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，確定出所求不等式的解集即可；
③根據(jù)原式的最小值為2，得到3左邊和右邊，且到3距離為2的點(diǎn)即可．
【解析】（1）發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：代數(shù)式|x+1|+|x﹣2|的最小值是3；
（2）探究問(wèn)題：如圖，點(diǎn)A、B、P分別表示數(shù)﹣1、2、x，AB＝3．

∵|x+1|+|x﹣2|的幾何意義是線段PA與PB的長(zhǎng)度之和，
∴當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，PA+PB＝3，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)或點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，PA+PB＞3．
∴|x+1|+|x﹣2|的最小值是3．
（3）解決問(wèn)題：
①|(zhì)x﹣4|+|x+2|的最小值是6；
故答案為：6；
②如圖所示，滿足|x+3|+|x﹣1|＞4的x范圍為x＜﹣3或x＞1；

③當(dāng)a為﹣1或﹣5時(shí)，代數(shù)式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2．
3．（2021?湘潭）閱讀材料：三角形的三條中線必交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)稱為三角形的重心．

（1）特例感知：如圖（一），已知邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC的重心為點(diǎn)O，求△OBC與△ABC的面積．
（2）性質(zhì)探究：如圖（二），已知△ABC的重心為點(diǎn)O，請(qǐng)判斷ODOA、S△OBCS△ABC是否都為定值？如果是，分別求出這兩個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）性質(zhì)應(yīng)用：如圖（三），在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接BE交對(duì)角線AC于點(diǎn)M．
①若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，求EM的長(zhǎng)度；
②若S△CME＝1，求正方形ABCD的面積．
【分析】（1）連接DE，利用相似三角形證明ODAO=12，運(yùn)用勾股定理求出AD的長(zhǎng)，運(yùn)用三角形面積公式求解即可；
（2）根據(jù)（1）的證明可求解；
（3）①證明△CME∽△ABM，得EMBM=12，再運(yùn)用勾股定理求出BE的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題；
②分別求出S△BMC和S△ABM即可求得正方形ABCD的面積．
【解析】（1）連接DE，如圖，
∵點(diǎn)O是△ABC的重心，
∴AD，BE是BC，AC邊上的中線，
∴D，E為BC，AC邊上的中點(diǎn)，
∴DE為△ABC的中位線，
∴DE∥AB，DE=12AB，
∴△ODE∽△OAB，
∴ODOA=DEAB=12，
∵AB＝2，BD＝1，∠ADB＝90°，
∴AD=3，OD=33，
∴S△OBC=BC?OD2=2×332=33，S△ABC=BC?AD2=2×32=3；
（2）由（1）可知，ODOA=12，是定值；
點(diǎn)O到BC的距離和點(diǎn)A到BC的距離之比為1：3，
則△OBC和△ABC的面積之比等于點(diǎn)O到BC的距離和點(diǎn)A到BC的距離之比，
故S△OBCS△ABC=13，是定值；
（3）①∵四邊形ABCD是正方形，
∴CD∥AB，AB＝BC＝CD＝4，
∴△CME～△AMB，
∴EMBM=CEAB，
∵E為CD的中點(diǎn)，
∴CE=12CD=2，
∴BE=BC2+CE2=25，
∴EMBM=12，
∴EMBE=13，
即EM=235；
②∴S△CME＝1，且MEBM=12，
∴S△BMC＝2，
∵M(jìn)EBM=12，
∴S△CMES△AMB=(MEBM)2=14，
∴S△AMB＝4，
∴S△ABC＝S△BMC+S△ABM＝2+4＝6，
又S△ADC＝S△ABC，
∴S△ADC＝6，
∴正方形ABCD的面積為：6+6＝12．

4．（2021?青海）在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．

特例感知：
（1）將一等腰直角三角尺按圖1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點(diǎn)為F，一條直角邊與AC重合，另一條直角邊恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．通過(guò)觀察、測(cè)量BF與CG的長(zhǎng)度，得到BF＝CG．請(qǐng)給予證明．
猜想論證：
（2）當(dāng)三角尺沿AC方向移動(dòng)到圖2所示的位置時(shí)，一條直角邊仍與AC邊重合，另一條直角邊交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BA垂足為E．此時(shí)請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量DE、DF與CG的長(zhǎng)度，猜想并寫出DE、DF與CG之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．
聯(lián)系拓展：
（3）當(dāng)三角尺在圖2的基礎(chǔ)上沿AC方向繼續(xù)移動(dòng)到圖3所示的位置（點(diǎn)F在線段AC上，且點(diǎn)F與點(diǎn)C不重合）時(shí)，請(qǐng)你判斷（2）中的猜想是否仍然成立？（不用證明）
【分析】（1）證明△FAB≌△GAC即可解決問(wèn)題．
（2）結(jié)論：CG＝DE+DF．利用面積法證明即可．
（3）結(jié)論不變，證明方法類似（2）．
【解答】（1）證明：如圖1中，

∵∠F＝∠G＝90°，∠FAB＝∠CAG，AB＝AC，
∴△FAB≌△GAC（AAS），
∴FB＝CG．

（2）解：結(jié)論：CG＝DE+DF．
理由：如圖2中，連接AD．

∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB，
∴12?AB?CG=12?AB?DE+12?AC?DF，
∵AB＝AC，
∴CG＝DE+DF．

（3）解：結(jié)論不變：CG＝DE+DF．
理由：如圖3中，連接AD．

∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB，
∴12?AB?CG=12?AB?DE+12?AC?DF，
∵AB＝AC，
∴CG＝DE+DF．
5．（2021?齊齊哈爾）綜合與實(shí)踐
在線上教學(xué)中，教師和學(xué)生都學(xué)習(xí)到了新知識(shí)，掌握了許多新技能．例如教材八年級(jí)下冊(cè)的數(shù)學(xué)活動(dòng)﹣﹣折紙，就引起了許多同學(xué)的興趣．在經(jīng)歷圖形變換的過(guò)程中，進(jìn)一步發(fā)展了同學(xué)們的空間觀念，積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．
實(shí)踐發(fā)現(xiàn)：
對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上的點(diǎn)N處，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，得到折痕BM，把紙片展平，連接AN，如圖①．
（1）折痕BM　 　（填“是”或“不是”）線段AN的垂直平分線；請(qǐng)判斷圖中△ABN是什么特殊三角形？答：　 ?。贿M(jìn)一步計(jì)算出∠MNE＝ 　°；
（2）繼續(xù)折疊紙片，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)H處，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，得到折痕BG，把紙片展平，如圖②，則∠GBN＝　 　°；
拓展延伸：
（3）如圖③，折疊矩形紙片ABCD，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)A'處，并且折痕交BC邊于點(diǎn)T，交AD邊于點(diǎn)S，把紙片展平，連接AA'交ST于點(diǎn)O，連接AT．
求證：四邊形SATA'是菱形．
解決問(wèn)題：
（4）如圖④，矩形紙片ABCD中，AB＝10，AD＝26，折疊紙片，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)A'處，并且折痕交AB邊于點(diǎn)T，交AD邊于點(diǎn)S，把紙片展平．同學(xué)們小組討論后，得出線段AT的長(zhǎng)度有4，5，7，9．
請(qǐng)寫出以上4個(gè)數(shù)值中你認(rèn)為正確的數(shù)值　 ?。?br />
【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可得AN＝BN，AE＝BE，∠NEA＝90°，BM垂直平分AN，∠BAM＝∠BNM＝90°，可證△ABN是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求解；
（2）由折疊的性質(zhì)可得∠ABG＝∠HBG＝45°，可求解；
（3）由折疊的性質(zhì)可得AO＝A'O，AA'⊥ST，由“AAS”可證△ASO≌△A'TO，可得SO＝TO，由菱形的判定可證四邊形SATA'是菱形；
（4）先求出AT的范圍，即可求解．
【解析】（1）如圖①∵對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，
∴EF垂直平分AB，
∴AN＝BN，AE＝BE，∠NEA＝90°，
∵再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上的點(diǎn)N處，
∴BM垂直平分AN，∠BAM＝∠BNM＝90°，
∴AB＝BN，
∴AB＝AN＝BN，
∴△ABN是等邊三角形，
∴∠EBN＝60°，
∴∠ENB＝30°，
∴∠MNE＝60°，
故答案為：是，等邊三角形，60；
（2）∵折疊紙片，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)H處，
∴∠ABG＝∠HBG＝45°，
∴∠GBN＝∠ABN﹣∠ABG＝15°，
故答案為：15°；
（3）∵折疊矩形紙片ABCD，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)A'處，
∴ST垂直平分AA'，
∴AO＝A'O，AA'⊥ST，
∵AD∥BC，
∴∠SAO＝∠TA'O，∠ASO＝∠A'TO，
∴△ASO≌△A'TO（AAS）
∴SO＝TO，
∴四邊形ASA'T是平行四邊形，
又∵AA'⊥ST，
∴邊形SATA'是菱形；
（4）∵折疊紙片，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)A'處，
∴AT＝A'T，
在Rt△A'TB中，A'T＞BT，
∴AT＞10﹣AT，
∴AT＞5，
∵點(diǎn)T在AB上，
∴當(dāng)點(diǎn)T與點(diǎn)B重合時(shí)，AT有最大值為10，
∴5＜AT≤10，
∴正確的數(shù)值為7，9，
故答案為：7，9．
6．（2021?達(dá)州）（1）[閱讀與證明]
如圖1，在正△ABC的外角∠CAH內(nèi)引射線AM，作點(diǎn)C關(guān)于AM的對(duì)稱點(diǎn)E（點(diǎn)E在∠CAH內(nèi)），連接BE，BE、CE分別交AM于點(diǎn)F、G．
①完成證明：∵點(diǎn)E是點(diǎn)C關(guān)于AM的對(duì)稱點(diǎn)，
∴∠AGE＝90°，AE＝AC，∠1＝∠2．
∵正△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴AE＝AB，得∠3＝∠4．
在△ABE中，∠1+∠2+60°+∠3+∠4＝180°，∴∠1+∠3＝　 　°．
在△AEG中，∠FEG+∠3+∠1＝90°，∴∠FEG＝　 　°．
②求證：BF＝AF+2FG．
（2）[類比與探究]
把（1）中的“正△ABC”改為“正方形ABDC”，其余條件不變，如圖2．類比探究，可得：
①∠FEG＝　 　°；
②線段BF、AF、FG之間存在數(shù)量關(guān)系　 ?。?br /> （3）[歸納與拓展]
如圖3，點(diǎn)A在射線BH上，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），在∠CAH內(nèi)引射線AM，作點(diǎn)C關(guān)于AM的對(duì)稱點(diǎn)E（點(diǎn)E在∠CAH內(nèi)），連接BE，BE、CE分別交AM于點(diǎn)F、G．則線段BF、AF、GF之間的數(shù)量關(guān)系為　 ?。?br />
【分析】（1）①利用等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理解決問(wèn)題即可．
②如圖1中，連接CF，在FB上取一點(diǎn)T，使得FT＝CF，連接CT．證明△BCT≌△ACF（SAS）可得結(jié)論．
（2）①如圖2中，利用圓周角定理解決問(wèn)題即可．
②結(jié)論：BF=2AF+2FG．如圖2中，連接CF，在FB上取一點(diǎn)T，使得FT＝CF，連接CT．證明△BCT∽△ACF，推出BTAF=BCAC=2，推出BT=2AF可得結(jié)論．
（3）如圖3中，連接CF，BC，在BF上取一點(diǎn)T，使得FT＝CF．構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．
【解答】（1）①解：如圖1中，∵點(diǎn)E是點(diǎn)C關(guān)于AM的對(duì)稱點(diǎn)，
∴∠AGE＝90°，AE＝AC，∠1＝∠2．
∵正△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴AE＝AB，得∠3＝∠4．
在△ABE中，∠1+∠2+60°+∠3+∠4＝180°，
∴∠1+∠3＝60°．
在△AEG中，∠FEG+∠3+∠1＝90°，
∴∠FEG＝30°．
故答案為60，30．

②證明：如圖1中，連接CF，在FB上取一點(diǎn)T，使得FT＝CF，連接CT．

∵C，E關(guān)于AM對(duì)稱，
∴AM垂直平分線段EC，
∴FE＝FC，
∴∠FEC＝∠FCE＝30°，EF＝2FG，
∴∠CFT＝∠FEC+∠FCE＝60°，
∵FC＝FT，
∴△CFT是等邊三角形，
∴∠ACB＝∠FCT＝60°，CF＝CT＝FT，
∴∠BCT＝∠ACF，
∵CB＝CA，
∴△BCT≌△ACF（SAS），
∴BT＝AF，
∴BF＝BT+FT＝AF+EF＝AF+2FG．

（2）解：①如圖2中，∵AB＝AC＝AE，
∴點(diǎn)A是△ECB的外接圓的圓心，
∴∠BEC=12∠BAC，
∵∠BAC＝90°，
∴∠FEG＝45°．
故答案為45．

②結(jié)論：BF=2AF+2FG．
理由：如圖2中，連接CF，在FB上取一點(diǎn)T，使得FT＝CF，連接CT．

∵AM⊥EC，CG＝CE，
∴FC＝EF，
∴∠FEC＝∠FCE＝45°，EF=2FG，
∴∠CFT＝∠FEC+∠FCE＝90°，
∵CF＝CT，
∴△CFT是等腰直角三角形，
∴CT=2CF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=2AC，
∴CTCF=CBCA，
∵∠BCA＝∠TCF＝45°，
∴∠BCT＝∠ACF，
∴△BCT∽△ACF，
∴BTAF=BCAC=2，
∴BT=2AF，
∴BF＝BT+TF=2AF+2FG．．

（3）如圖3中，連接CF，BC，在BF上取一點(diǎn)T，使得FT＝CF．

∵AB＝AC，∠BAC＝α，
∴12BCAC=sin12α，
∴BCAC=2?sin12α，
∵AB＝AC＝AE，
∴∠BEC=12∠BAC=12α，EF=FGsin12α，
∵FC＝FE，
∴∠FEC＝∠FCE=12α，
∴∠CFT＝∠FEC+∠FCE＝α，
同法可證，△BCT∽△ACF，
∴BTAF=BCAC=2?sin12α，
∴BT＝2AF?sin12α，
∴BF＝BT+FT＝2AF?sin12α+EF．即BF＝2AF?sin12α+FGsin12α．
故答案為：BF＝2AF?sin12α+FGsin12α．
7．（2021?南京）如圖①，要在一條筆直的路邊l上建一個(gè)燃?xì)庹荆騦同側(cè)的A、B兩個(gè)城鎮(zhèn)分別鋪設(shè)管道輸送燃?xì)猓嚧_定燃?xì)庹镜奈恢?，使鋪設(shè)管道的路線最短．
（1）如圖②，作出點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A'，線段A'B與直線l的交點(diǎn)C的位置即為所求，即在點(diǎn)C處建燃?xì)庹?，所得路線ACB是最短的．
為了證明點(diǎn)C的位置即為所求，不妨在直線1上另外任取一點(diǎn)C'，連接AC'、BC'，證明AC+CB＜AC′+C'B．請(qǐng)完成這個(gè)證明．
（2）如果在A、B兩個(gè)城鎮(zhèn)之間規(guī)劃一個(gè)生態(tài)保護(hù)區(qū)，燃?xì)夤艿啦荒艽┻^(guò)該區(qū)域．請(qǐng)分別給出下列兩種情形的鋪設(shè)管道的方案（不需說(shuō)明理由）．
①生態(tài)保護(hù)區(qū)是正方形區(qū)域，位置如圖③所示；
②生態(tài)保護(hù)區(qū)是圓形區(qū)域，位置如圖④所示．

【分析】（1）由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得CA＝CA'，可得AC+BC＝A'C+BC＝A'B，AC'+C'B＝A'C'+BC'，由三角形的三邊關(guān)系可得A'B＜A'C'+C'B，可得結(jié)論；
（2）①由（1）的結(jié)論可求；
②由（1）的結(jié)論可求解．
【解答】證明：（1）如圖②，連接A'C'，
∵點(diǎn)A，點(diǎn)A'關(guān)于l對(duì)稱，點(diǎn)C在l上，
∴CA＝CA'，
∴AC+BC＝A'C+BC＝A'B，
同理可得AC'+C'B＝A'C'+BC'，
∵A'B＜A'C'+C'B，
∴AC+BC＜AC'+C'B；
（2）如圖③，

在點(diǎn)C出建燃?xì)庹荆佋O(shè)管道的最短路線是ACDB，（其中點(diǎn)D是正方形的頂點(diǎn)）；
如圖④，

在點(diǎn)C出建燃?xì)庹?，鋪設(shè)管道的最短路線是ACD+DE+EB，（其中CD，BE都與圓相切）
8．（2021?北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，A，B為⊙O外兩點(diǎn)，AB＝1．
給出如下定義：平移線段AB，得到⊙O的弦A'B'（A'，B′分別為點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），線段AA'長(zhǎng)度的最小值稱為線段AB到⊙O的“平移距離”．
（1）如圖，平移線段AB得到⊙O的長(zhǎng)度為1的弦P1P2和P3P4，則這兩條弦的位置關(guān)系是　 　；在點(diǎn)P1，P2，P3，P4中，連接點(diǎn)A與點(diǎn)　 　的線段的長(zhǎng)度等于線段AB到⊙O的“平移距離”；
（2）若點(diǎn)A，B都在直線y=3x+23上，記線段AB到⊙O的“平移距離”為d1，求d1的最小值；
（3）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，32），記線段AB到⊙O的“平移距離”為d2，直接寫出d2的取值范圍．

【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)，以及線段AB到⊙O的“平移距離”的定義判斷即可．
（2）如圖1中，作等邊△OEF，點(diǎn)E在x軸上，OE＝EF＝OF＝1，設(shè)直線y=3x+23交x軸于M，交y軸于N．則M（﹣2，0），N（0，23），過(guò)點(diǎn)E作EH⊥MN于H，解直角三角形求出EH即可判斷．
（3）如圖2中，以A為圓心1為半徑作⊙A，作直線OA交⊙O于M，交⊙A于N，以O(shè)A，AB為鄰邊構(gòu)造平行四邊形ABDO，以O(shè)D為邊構(gòu)造等邊△ODB′和等邊△OB′A′，則AB∥A′B′，AA′的長(zhǎng)即為線段AB到⊙O的“平移距離”，點(diǎn)A′與M重合時(shí)，AA′的值最小，當(dāng)點(diǎn)B與N重合時(shí)，AA′的長(zhǎng)最大，如圖3中，過(guò)點(diǎn)A′作A′H⊥OA于H．
解直角三角形求出AA′即可．
【解析】（1）如圖，平移線段AB得到⊙O的長(zhǎng)度為1的弦P1P2和P3P4，則這兩條弦的位置關(guān)系是P1P2∥P3P4；在點(diǎn)P1，P2，P3，P4中，連接點(diǎn)A與點(diǎn)P3的線段的長(zhǎng)度等于線段AB到⊙O的“平移距離”．
故答案為：P1P2∥P3P4，P3．
（2）如圖1中，作等邊△OEF，點(diǎn)E在x軸上，OE＝EF＝OF＝1，

設(shè)直線y=3x+23交x軸于M，交y軸于N．則M（﹣2，0），N（0，23），
過(guò)點(diǎn)E作EH⊥MN于H，
∵OM＝2，ON＝23，
∴tan∠NMO=3，
∴∠NMO＝60°，
∴EH＝EM?sin60°=32，
觀察圖象可知，線段AB到⊙O的“平移距離”為d1的最小值為32．
（3）如圖2中，以A為圓心1為半徑作⊙A，作直線OA交⊙O于M，交⊙A于N，
以O(shè)A，AB為鄰邊構(gòu)造平行四邊形ABDO，以O(shè)D為邊構(gòu)造等邊△ODB′，等邊△OB′A′，則AB∥A′B′，AA′的長(zhǎng)即為線段AB到⊙O的“平移距離”，
當(dāng)點(diǎn)A′與M重合時(shí)，AA′的值最小，最小值＝OA﹣OM=52-1=32，
當(dāng)點(diǎn)B與N重合時(shí)，AA′的長(zhǎng)最大，如圖3中，過(guò)點(diǎn)A′作A′H⊥OA于H．

由題意A′H=32，AH=12+52=3，
∴AA′的最大值=(32)2+32=392，
∴32≤d2≤392．

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