專題七雙曲線問題-2022年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)之重難熱點提分專題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

專題七雙曲線問題 1．（2021連云港）如圖，在平面直角坐標系xOy中，反比例函數(shù)（x＞0）的圖象經(jīng)過點A（4，），點B在y軸的負半軸上，AB交x軸于點C，C為線段AB的中點．（1）m＝　　，點C的坐標為　　；（2）若點D為線段AB上的一個動點，過點D作DE∥y軸，交反比例函數(shù)圖象于點E，求△ODE面積的最大值．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得m的值，根據(jù)A點的坐標即可求得C的坐標；（2）根據(jù)待定系數(shù)法求得直線AB的解析式，設(shè)出D、E的坐標，然后根據(jù)三角形面積公式得到S△ODE（x﹣1）2，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)論．【解析】（1）∵反比例函數(shù)y（x＞0）的圖象經(jīng)過點A（4，），∴m6，∵AB交x軸于點C，C為線段AB的中點．∴C（2，0）；故答案為6，（2，0）；（2）設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，把A（4，），C（2，0）代入得，解得，∴直線AB的解析式為yx；∵點D為線段AB上的一個動點，∴設(shè)D（x，x）（0＜x≤4），∵DE∥y軸，∴E（x，），∴S△ODEx?（x）x2x+3（x﹣1）2，∴當x＝1時，△ODE的面積的最大值為．2．（2021成都）在平面直角坐標系xOy中，反比例函數(shù)（x＞0）的圖象經(jīng)過點A（3，4），過點A的直線y＝kx+b與x軸、y軸分別交于B，C兩點．（1）求反比例函數(shù)的表達式；（2）若△AOB的面積為△BOC的面積的2倍，求此直線的函數(shù)表達式．【分析】（1）把A（3，4）代入y（x＞0）即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題意得到B（，0），C（0，b），根據(jù)三角形的面積公式列方程即可得到結(jié)論．【解析】（1）∵反比例函數(shù)y（x＞0）的圖象經(jīng)過點A（3，4），∴k＝3×4＝12，∴反比例函數(shù)的表達式為y；（2）∵直線y＝kx+b過點A，∴3k+b＝4，∵過點A的直線y＝kx+b與x軸、y軸分別交于B，C兩點，∴B（，0），C（0，b），∵△AOB的面積為△BOC的面積的2倍，∴4×||＝2||×|b|，∴b＝±2，當b＝2時，k，當b＝﹣2時，k＝2，∴直線的函數(shù)表達式為：yx+2，y＝2x﹣2．3．（2021遂寧）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A的坐標為（0，2），點B的坐標為（1，0），連結(jié)AB，以AB為邊在第一象限內(nèi)作正方形ABCD，直線BD交雙曲線（k≠0）于D、E兩點，連結(jié)CE，交x軸于點F．（1）求雙曲線（k≠0）和直線DE的解析式．（2）求△DEC的面積．【分析】（1）作DM⊥y軸于M，通過證得△AOB≌△DMA（AAS），求得D的坐標，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得雙曲線y（k≠0）和直線DE的解析式．（2）解析式聯(lián)立求得E的坐標，然后根據(jù)勾股定理求得DE和DB，進而求得CN的長，即可根據(jù)三角形面積公式求得△DEC的面積．【解析】∵點A的坐標為（0，2），點B的坐標為（1，0），∴OA＝2，OB＝1，作DM⊥y軸于M，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠OAB+∠DAM＝90°，∵∠OAB+∠ABO＝90°，∴∠DAM＝∠ABO，在△AOB和△DMA中，∴△AOB≌△DMA（AAS），∴AM＝OB＝1，DM＝OA＝2，∴D（2，3），∵雙曲線y═（k≠0）經(jīng)過D點，∴k＝2×3＝6，∴雙曲線為y，設(shè)直線DE的解析式為y＝mx+n，把B（1，0），D（2，3）代入得，解得，∴直線DE的解析式為y＝3x﹣3；（2）連接AC，交BD于N，∵四邊形ABCD是正方形，∴BD垂直平分AC，AC＝BD，解得或，∴E（﹣1，﹣6），∵B（1，0），D（2，3），∴DE3，DB，∴CNBD，∴S△DECDE?CN．4．（2021江西）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，頂點A，B都在反比例函數(shù)（x＞0）的圖象上，直線AC⊥x軸，垂足為D，連結(jié)OA，OC，并延長OC交AB于點E，當AB＝2OA時，點E恰為AB的中點，若∠AOD＝45°，OA＝．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）求∠EOD的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)題意求得A（2，2），然后代入y（x＞0），求得k的值，即可求得反比例函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)AB＝2OA時，點E恰為AB的中點，得出OA＝AE＝BE，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出CE＝AE＝BE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)越久三角形外角的性質(zhì)即可得出∠AOE＝2∠EOD，從而求得∠EOD＝15°．【解析】（1）∵直線AC⊥x軸，垂足為D，∠AOD＝45°，∴△AOD是等腰直角三角形，∵OA＝2，∴OD＝AD＝2，∴A（2，2），∵頂點A在反比例函數(shù)y（x＞0）的圖象上，∴k＝2×2＝4，∴反比例函數(shù)的解析式為y；（2）∵AB＝2OA，點E恰為AB的中點，∴OA＝AE，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴CE＝AE＝BE，∴∠AOE＝∠AEO，∠ECB＝∠EBC，∵∠AEO＝∠ECB+∠EBC＝2∠EBC，∵BC∥x軸，∴∠EOD＝∠ECB，∴∠AOE＝2∠EOD，∵∠AOE＝45°，∴∠EOD＝15°．5．（2021菏澤）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于A（1，2），B（n，﹣1）兩點．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；（2）直線AB交x軸于點C，點P是x軸上的點，若△ACP的面積是4，求點P的坐標．【分析】（1）先根據(jù)點A坐標求出反比例函數(shù)解析式，再求出點B的坐標，繼而根據(jù)點A、B坐標可得直線解析式；（2）先根據(jù)直線解析式求出點C的坐標，再設(shè)P（m，0），知PC＝|﹣1﹣m|，根據(jù)S△ACP?PC?yA＝4求出m的值即可得出答案．【解析】（1）將點A（1，2）代入y，得：m＝2，∴y，當y＝﹣1時，x＝﹣2，∴B（﹣2，﹣1），將A（1，2）、B（﹣2，﹣1）代入y＝kx+b，得：，解得，∴y＝x+1；∴一次函數(shù)解析式為y＝x+1，反比例函數(shù)解析式為y；（2）在y＝x+1中，當y＝0時，x+1＝0，解得x＝﹣1，∴C（﹣1，0），設(shè)P（m，0），則PC＝|﹣1﹣m|，∵S△ACP?PC?yA＝4，∴|﹣1﹣m|×2＝4，解得m＝3或m＝﹣5，∴點P的坐標為（3，0）或（﹣5，0）．6．（2021泰安）如圖，已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點A（3，a），點B（14﹣2a，2）．（1）求反比例函數(shù)的表達式；（2）若一次函數(shù)圖象與y軸交于點C，點D為點C關(guān)于原點O的對稱點，求△ACD的面積．【分析】（1）點A（3，a），點B（14﹣2a，2）在反比例函數(shù)上，則3×a＝（14﹣2a）×2，即可求解；（2）a＝4，故點A、B的坐標分別為（3，4）、（6，2），求出一次函數(shù)的表達式為：yx+6，則點C（0，6），故OC＝6，進而求解．【解析】（1）∵點A（3，a），點B（14﹣2a，2）在反比例函數(shù)上，∴3×a＝（14﹣2a）×2，解得：a＝4，則m＝3×4＝12，故反比例函數(shù)的表達式為：y；（2）∵a＝4，故點A、B的坐標分別為（3，4）、（6，2），設(shè)直線AB的表達式為：y＝kx+b，則，解得，故一次函數(shù)的表達式為：yx+6；當x＝0時，y＝6，故點C（0，6），故OC＝6，而點D為點C關(guān)于原點O的對稱點，則CD＝2OC＝12，△ACD的面積CD?xA12×3＝18．7．（2021棗莊）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)和y＝﹣2x的圖象相交于點A，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A．（1）求反比例函數(shù)的表達式；（2）設(shè)一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的另一個交點為B，連接OB，求△ABO的面積．【分析】（1）聯(lián)立yx+5①和y＝﹣2x并解得：，故點A（﹣2.4），進而求解；（2）S△AOB＝S△AOC﹣S△BOCOC?AMOC?BN，即可求解．【解析】（1）聯(lián)立yx+5①和y＝﹣2x并解得：，故點A（﹣2.4），將點A的坐標代入反比例函數(shù)表達式得：4，解得：k＝﹣8，故反比例函數(shù)表達式為：y②；（2）聯(lián)立①②并解得：x＝﹣2或﹣8，當x＝﹣8時，yx+5＝1，故點B（﹣8，1），設(shè)yx+5交x軸于點C（﹣10，0），過點A、B分別作x軸的垂線交于點M、N，則S△AOB＝S△AOC﹣S△BOCOC?AMOC?BN．8．（2021廣東）如圖，點B是反比例函數(shù)（x＞0）圖象上一點，過點B分別向坐標軸作垂線，垂足為A，C．反比例函數(shù)（x＞0）的圖象經(jīng)過OB的中點M，與AB，BC分別相交于點D，E．連接DE并延長交x軸于點F，點G與點O關(guān)于點C對稱，連接BF，BG．（1）填空：k＝　　；（2）求△BDF的面積；（3）求證：四邊形BDFG為平行四邊形．【分析】（1）設(shè)點B（s，t），st＝8，則點M（s，t），則ks?tst＝2；（2）△BDF的面積＝△OBD的面積＝S△BOA﹣S△OAD，即可求解；（3）確定直線DE的表達式為：y，令y＝0，則x＝5m，故點F（5m，0），即可求解．【解析】（1）設(shè)點B（s，t），st＝8，則點M（s，t），則ks?tst＝2，故答案為2；（2）△BDF的面積＝△OBD的面積＝S△BOA﹣S△OAD82＝3；（3）設(shè)點D（m，），則點B（4m，），∵點G與點O關(guān)于點C對稱，故點G（8m，0），則點E（4m，），設(shè)直線DE的表達式為：y＝sx+n，將點D、E的坐標代入上式得，解得，故直線DE的表達式為：y，令y＝0，則x＝5m，故點F（5m，0），故FG＝8m﹣5m＝3m，而BD＝4m﹣m＝3m＝FG，則FG∥BD，故四邊形BDFG為平行四邊形．9．（2021綏化）如圖，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，點D是邊AB的中點，反比例函數(shù)（x＞0）的圖象經(jīng)過點D，交BC邊于點E，直線DE的解析式為y2＝mx+n（m≠0）．（1）求反比例函數(shù)（x＞0）的解析式和直線DE的解析式；（2）在y軸上找一點P，使△PDE的周長最小，求出此時點P的坐標；（3）在（2）的條件下，△PDE的周長最小值是　　．【分析】（1）根據(jù)線段中點的定義和矩形的性質(zhì)得到D（1，4），解方程和方程組即可得到結(jié)論；（2）作點D關(guān)于y軸的對稱點D′，連接D′E交y軸于P，連接PD，此時，△PDE的周長最小，求得直線D′E的解析式為yx，于是得到結(jié)論；（3）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解析】（1）∵點D是邊AB的中點，AB＝2，∴AD＝1，∵四邊形OABC是矩形，BC＝4，∴D（1，4），∵反比例函數(shù)y1（x＞0）的圖象經(jīng)過點D，∴k＝4，∴反比例函數(shù)的解析式為y（x＞0），當x＝2時，y＝2，∴E（2，2），把D（1，4）和E（2，2）代入y2＝mx+n（m≠0）得，，∴，∴直線DE的解析式為y＝﹣2x+6；（2）作點D關(guān)于y軸的對稱點D′，連接D′E交y軸于P，連接PD，此時，△PDE的周長最小，∵D點的坐標為（1，4），∴D′的坐標為（﹣1，4），設(shè)直線D′E的解析式為y＝ax+b，∴，解得：，∴直線D′E的解析式為yx，令x＝0，得y，∴點P的坐標為（0，）；（3）∵D（1，4），E（2，2），∴BE＝2，BD＝1，∴DE，由（2）知，D′的坐標為（﹣1，4），∴BD′＝3，∴D′E，∴△PDE的周長最小值＝DE+D′E，故答案為：．

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