A．0．B．1C．2D．不確定
【分析】求出函數的導數，結合二次函數的性質判斷即可．
【解答】解：，
若函數有最小值，
則不能恒大于等于0，
故存在使得，
即有2個不相等的實數根，
即函數的零點個數為2個，
故選：．
2．（2020春?遼寧期末）函數在上有兩個零點，，且，則實數的最小值為
A．B．C．D．
【分析】函數，變形為，令，利用導數求最值，可得．結合，可得時，取得最小值．再把，代入，求解，再代入，即可求得的最小值．
【解答】解：函數，變形為，
令，得，
當時，，當時，，
可得時，函數取得最小值．
又當時，，當時，，
且函數在上有兩個零點，，
得．
由，可得時，取得最小值．
由，，得，
，解得．
代入，解得．
的最小值為．
故選：．
3．（2020?包頭二模）已知函數是定義在上連續(xù)的奇函數，且當時．，則函數的零點個數是
A．0B．1C．2D．3
【分析】分析可得為上連續(xù)的奇函數，且在上為增函數，說明函數只有1個零點，可得選項．
【解答】解：，函數是定義在上連續(xù)的奇函數，
則函數，其定義域為，
則，則為上連續(xù)的奇函數，
，則，
又由當時，，則有，即函數為上的增函數，
又由為上連續(xù)的奇函數，且，
則為上的增函數，
故函數只有1個零點，
故選：．
4．（2020?武漢模擬）已知函數在無零點，則實數的取值范圍為
A．B．，C．，D．，，
【分析】函數在無零點，可轉化為無正實數根，研究函數的值域，只要在值域之外取值即可．
【解答】解：函數在無零點，顯然不是函數的零點．故問題可轉化為無正實數根，
令，，，
令得，當，，時，，故在上遞減；當時，，遞增．
又時，；時，；時，．；，．
作出函數與的圖象：
可知，當介于軸（包括軸）與點之間時，原函數在上無零點．
故即為所求．
故選：．
5．（2020?湖北模擬）已知存在唯一零點，則實數的取值范圍
A．B．C．D．
【分析】先由題設條件得到，再研究的奇偶性，把問題轉化為當時，函數無零點．利用放縮法與單調性求出的取值范圍．
【解答】解：由題意知，存在唯一零點，只有一個零點0．
，是奇函數，故只考慮當時，函數無零點即可．
當時，有，．
令，，則，
，，
，在上單調遞增，
，．
故選：．
6．（2020?臨汾模擬）若函數有且只有一個零點，則實數的取值范圍為
A．B．C．D．
【分析】原問題等價于關于的方程有且只有一個實根．顯然，分離參數可得有且只有一個實根，然后構造函數，結合導數分析函數的特征，結合圖象可求．
【解答】解：函數有且只有一個零點，等價于關于的方程有且只有一個實根．顯然，
方程有且只有一個實根．
設函數，則．
設，，為增函數，
又（1）．
當時，，為增函數；
當時，，為減函數；
當時，，為增函數；在時取極小值1．
當趨向于0時，趨向于正無窮大；當趨向于負無窮大時，
趨向于負無窮大；又當趨向于正無窮大時，
趨向于正無窮大．圖象大致如圖所示：
方程只有一個實根時，實數的取值范圍為，
故選：．
7．（2019?蘭州模擬）已知函數，當時，函數的零點個數為 ．
【分析】通過導函數的符號判斷函數的單調性，通過零點判斷定理轉化求解即可．
【解答】解：函數，可得，
時，，函數是減函數，（1），，
所以函數函數，當時，函數的零點個數為1．
故答案為：1．
8．（2020?濟南二模）已知函數，若有兩個零點，則實數的取值范圍是 ．
【分析】先對求導，根據的范圍研究的符號，判斷的單調性，結合有兩個零點，求出的取值范圍．
【解答】解：由題知：，．①當時，，單調遞增，至多有一個零點，不合題意；
②當時，令，易知在單調遞減，在單調遞增，故的最小值為
．
有兩個零點，當時，，
，解得
故答案為：．
9．（2020春?貴池區(qū)校級期中）已知函數有3個零點，則實數的取值范圍為 ．
【分析】構造函數，利用函數的圖象，通過函數的導數，求出切線的斜率，然后推出的范圍．
【解答】解：函數有3個零點，
就是有3個解，也就是與的圖象有3個交點，
顯然，在同一個坐標系中畫出兩個函數的圖象，如圖：
設切點，則，，可得，解得，
所以直線與指數函數相切時，，
函數有3個零點，可得．
故答案為：．
10．（2020?鹽城三模）設函數，若函數與函數都有零點，且它們的零點完全相同，則實數的取值范圍是 ．
【分析】由題意可求，所以函數，當時，易得符合題意，當時，函數，有兩個零點，，由，得和，所以方程無解，利用△即可求出的取值范圍．
【解答】解：設零點為，則，，
，，
函數，
①當時，函數，，都有唯一零點，符合題意；
②當時，函數，有兩個零點，，
此時，得和，
已滿足有兩個相同的零點，，
方程無解，即方程無解，
△，
解得：，
綜上所述，實數的取值范圍是：，
故答案為：，．
11．（2020春?新華區(qū)校級期中）設，若函數在區(qū)間上有三個零點，則實數的取值范圍 ．
【分析】首先，畫出函數的圖象，然后，借助于圖象，結合在區(qū)間上有三個零點，進行判斷．
【解答】解：函數的圖象如圖示：
當時，顯然，不滿足題意．
當時，如圖所示，
當，時，存在一個零點，
當時，，
可得，
，
若，可得，為減函數，
若，可得，為增函數，
此時必須在上有兩個零點，
即，
解得，，
在區(qū)間上有三個零點時，
，
故答案為：．
12．（2020春?煙臺期末）已知函數．
（1）求函數的極值；
（2）若函數有3個零點，求的取值范圍．
【分析】（1）求導得，令得或，列表格分析隨著變化，變化情況，進而得出極值．
（2）由（1）可知要使得函數有3個零點，只需，進而解出的取值范圍．
【解答】解：（1），
令，解得或，
則隨著變化，變化情況如下表：
所以，當時，取得極大值，當時，取得極小值．
（2）要使得函數有3個零點，
只需，解得．
13．（2020?新課標Ⅲ）設函數，曲線在點，處的切線與軸垂直．
（1）求；
（2）若有一個絕對值不大于1的零點，證明：所有零點的絕對值都不大于1．
【分析】（1）求出原函數的導函數，由題意可得，由此求得值；
（2）設為的一個零點，根據題意，，且，得到，由，對求導數，可得在，上的單調性，得到．設 為的零點，則必有，可得，由此求得的范圍得答案．
【解答】（1）解：由，得，
，即；
（2）證明：設為的一個零點，根據題意，，且，
則，由，
令，
，
當，，時，，當，時，
可知在，，上單調遞減，在，上單調遞增．
又，（1），，，
．
設 為的零點，則必有，
即，
，得，
即．
所有零點的絕對值都不大于1．
14．（2019?新課標Ⅰ）已知函數，為的導數．證明：
（1）在區(qū)間存在唯一極大值點；
（2）有且僅有2個零點．
【分析】（1）的定義域為，求出原函數的導函數，進一步求導，得到在上為減函數，結合，，由零點存在定理可知，函數在上存在唯一得零點，結合單調性可得，在上單調遞增，在，上單調遞減，可得在區(qū)間存在唯一極大值點；
（2）由（1）知，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；由于在，上單調遞減，且，，可得函數在，上存在唯一零點，結合單調性可知，當，時，單調遞增；當時，單調遞減．當，時，單調遞減，再由，．然后列，與的變化情況表得答案．
【解答】證明：（1）的定義域為，
，，
令，則在恒成立，
在上為減函數，
又，，由零點存在定理可知，
函數在上存在唯一的零點，結合單調性可得，在上單調遞增，
在，上單調遞減，可得在區(qū)間存在唯一極大值點；
（2）由（1）知，當時，單調遞增，，單調遞減；
當時，單調遞增，，單調遞增；
由于在，上單調遞減，且，，
由零點存在定理可知，函數在，上存在唯一零點，結合單調性可知，
當，時，單調遞減，，單調遞增；
當時，單調遞減，，單調遞減．
當，時，，，于是，單調遞減，
其中，
．
于是可得下表：
結合單調性可知，函數在，上有且只有一個零點0，
由函數零點存在性定理可知，在，上有且只有一個零點，
當，時，，則恒成立，
因此函數在，上無零點．
綜上，有且僅有2個零點．
15．（2020?沙坪壩區(qū)校級模擬）已知函數，，，是自然對數的底數）．
（1）若，討論函數在上的零點個數；
（2）設，點是曲線上的一個定點，實數，為的導函數．試比較與的大小，并證明你的結論．
【分析】（1）求出函數的導數，根據函數的單調性求出函數的最小值，判斷函數的零點個數即可；
（2）代入的值，原不等式等價于，不妨設，，原不等式等價于，兩邊同除以得到，即
令，根據函數的單調性證明結論即可．
【解答】解：（1）若，則，
所以：，易知，
因為，所以在上單調遞增，
所以：，單調遞減，，
單調遞增，，
所以函數在上的零點個數為0 （4分）
（2）
證明：，則
所以，
，
，
原不等式等價于，等價于（7分）
不妨設，，原不等式等價于
兩邊同除以得到，即
令，則
令對恒成立，
在單調遞增，因為，
所以對恒成立，所以
16．（2020春?未央區(qū)校級月考）已知函數有兩個零點，．
（1）求實數的取值范圍；
（2）求證：．
【分析】（1）利用導數求出函數的單調區(qū)間，由時，，時，，即對任意，存在，滿足．
再由當時，．可得函數有兩個零點的充要條件為，即，化簡得的范圍；
（2）函數有兩個零點，，可得，，聯(lián)立可得，把證轉化為證，不妨設，則轉化為．令，即證，．令，求導即可證明，故結論成立．
【解答】（1）解：．
由，解得，由，解得，
函數在上單調遞增，在，上單調遞減．
當時，，，
當時，，．
令，，則．
故．
，．
綜上，對任意，存在，滿足．
另一方面，當時，．
因此，函數有兩個零點的充要條件為．
即，化簡得：，
故的范圍為；
（2）證明：函數有兩個零點，，
，，
，即．
要證，即證．
不妨設，則．
令，即證，．
令，則．
（1），即，
即．
[B組]—強基必備
1．（2020?全國三模）已知函數有兩個零點，，且則下列結論中不正確的是
A．B．
C．D．
【分析】求出原函數的導函數，可知當時函數有極小值，求出極小值，再由極小值小于0求解的范圍判斷；分析函數兩零點大于0，代入原函數，可得，，得到判斷；由，設，則，為的兩個零點，利用導數求解的范圍與的范圍判斷與．
【解答】解：，
當時，在上恒成立，此時在上單調遞減，不合題意；
當時，由，解得，
當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
當時，單調減區(qū)間為，單調增區(qū)間為，
可知當時，函數取得極小值為，
又當時，，時，，
要使函數有兩個零點，則，得，故正確；
由，極小值點，
可得．
，是的兩個零點，，．
可得，．
故，故錯誤；
由，
設，則，為的兩個零點，
，得在上單調增，在上單調減，
，故正確；
設，，
則，
恒成立，則在上單調增，
（1），
，即，得．
又在上單調減，，，
，即，故正確．
綜上，錯誤的結論是．
故選：．
2．（2020?綿陽模擬）若函數有且僅有一個零點，則實數的取值范圍 ．
【分析】分離參數，先證明；解得：；由于函數有且僅有一個零點；設，；所以直線與函數有且只有一個交點；研究函數的圖象特點及單調性，畫出大致圖象，即可得出結果．
【解答】解：令，；則，時，；時，；
于是在上遞減，在上遞增；最小值為（1），
，；
由，即，解得：；
設，；
由于函數有且僅有一個零點；
所以直線與函數有且只有一個交點；
由，此時不能完全判斷導函數值的正負；
再令，
得，當時，；當時，；
于是，在上遞減，上遞增．
那么（2）．
由此，的正負只同有關，
由此得在上遞減，在上遞增，且的極小值為（1）；
又時，；時，；
圖象大值如圖所示，
結合的圖象，得或．
故答案為：或．
3．（2020?浙江）已知，函數，其中為自然對數的底數．
（Ⅰ）證明：函數在上有唯一零點；
（Ⅱ）記為函數在上的零點，證明：
（?。?br>（ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）推導出時，恒成立，，（2），由此能證明函數在上有唯一零點．
（Ⅱ），從而，進而，令，，，利用導數性質能證明．
要證明，只需證明，只需證，由此能證明．
【解答】證明：（Ⅰ），恒成立，
在上單調遞增，
，（2），又，
函數在上有唯一零點．
（Ⅱ），，
，，
令，，，
一方面，，，
，在單調遞增，
，
，，
另一方面，，，
當時，成立，
只需證明當時，，
，，，
當時，，當時，，
，（1），，（1），
，在單調遞減，
，，
綜上，，
．
要證明，只需證，
由得只需證，
，只需證，
只需證，即證，
，，
，
．

，

0
0

單調遞增
極大值
單調遞減
極小值
單調遞增


0





0
0

單調遞減
0
單調遞增
大于0
單調遞減
大于0
單調遞減
小于0

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