三、重難點題型突破重難點題型突破1 定點問題例1.在平面直角坐標系中，已知橢圓．如圖所示，斜率為且不過原點的直線交橢圓于，兩點，線段的中點為，射線交橢圓于點，交直線于．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若?，（i）求證：直線過定點；（ii）試問點，能否關于軸對稱？若能，求出此時的外接圓方程；若不能，請說明理由．【解析】（Ⅰ）設直線，由題意，由方程組得，由題意，所以設，由韋達定理得所以由于E為線段AB的中點，因此此時所以OE所在直線方程為又由題設知D（－3，m），令=－3，得，即=1，所以當且僅當==1時上式等號成立，此時  由得因此  當時，取最小值2．（Ⅱ）（i）由（I）知OD所在直線的方程為將其代入橢圓C的方程，并由解得，又，由距離公式及得由因此，直線的方程為所以，直線（ii）由（i）得，若B，G關于x軸對稱，則代入即，解得（舍去）或所以k=1，此時關于x軸對稱。又由（I）得所以A（0，1）．由于的外接圓的圓心在x軸上，可設的外接圓的圓心為（d，0），因此故的外接圓的半徑為，所以的外接圓方程為【變式訓練1-1】(2017年新課標全國卷I20)已知橢圓：（），四點中恰有三點在橢圓上。（1）求的方程；（2）設直線不經(jīng)過點且與相交于兩點，若直線與直線的斜率的和為–1，證明：過定點。【解析】：（1）在橢圓上，則不在橢圓上，在橢圓上，，代入得，橢圓的方程為。（2）step1：設直線方程：i.當斜率存在時，設直線：，Step2：直線與曲線聯(lián)立：與橢圓聯(lián)立得：，Step3：利用根與系數(shù)的關系代入：設，，則，，整理得：，代入得，的方程為，過定點；ii.當直線的斜率不存在時，設，，由斜率之和為-1，得，得，此時的方程為，也過定點。【變式訓練1-2】.(2017年新課標全國卷II20)設為坐標原點，動點在橢圓：上，過做軸的垂線，垂足為，點滿足.（1）求點的軌跡方程；（2）設點在直線上，且。證明：過點且垂直于的直線過的左焦點。【解析】：（1）（相關點法）設，知，，又，∴，又在橢圓上，∴，即。（2）設點，，，由已知：，，∴，∴．設直線：，因為直線與垂直．∴，故直線方程為，令，得，，∴，∵，∴，若,則，，，直線方程為，直線方程為，直線過點，為橢圓的左焦點．重難點題型突破2 定值問題例2.已知橢圓系方程： (， )， 是橢圓的焦點， 是橢圓上一點，且.（1）求的方程；[來源:學科網(wǎng)]（2）為橢圓上任意一點，過且與橢圓相切的直線與橢圓交于， 兩點，點關于原點的對稱點為，求證： 的面積為定值，并求出這個定值． 【解析】（1）由題意得橢圓的方程為： ，即 ．∵  ．∴，又為橢圓上一點，∴．，即，又，,∴橢圓的方程為 ．   （2）解：①當直線斜率存在時，設方程為,由消去y整理得，∵直線與橢圓相切，∴，整理得．  設，則，且，∴點到直線的距離，同理由消去y整理得，設，則， ， ．②當直線斜率不存在時，易知綜上可得的面積為定值．【考點點睛】：①直線與拋物線交于，在軸上存在定點，使的斜率互為相反數(shù)(傾斜角互補或與斜率和為0.)。逆過來亦成立。即恒過定點。②過橢圓焦點的直線與橢圓交于，存在定點(對應準線與焦點所在軸的交點)，使的斜率互為相反數(shù)(傾斜角互補或與斜率和為0.)。逆過來亦成立。即恒過定點焦點。【變式訓練2-1】.設橢圓的右焦點為，過的直線與交于兩點，點 的坐標為。（1）當與軸垂直時，求直線的方程；（2）設為坐標原點，證明：。【解析】：（1）將代入橢圓方程得，得，∴，∴，∴直線的方程為：。（2）證明：step1：設直線方程：當斜率不存在時，由（1）可知，結論成立；當斜率存在時，設其方程為，，Step2：直線與曲線聯(lián)立：聯(lián)立橢圓方程有即，∴，，Step3：利用根與系數(shù)的關系代入：，∴，∴。【變式訓練2-2】.已知橢圓的離心率為，且過點．（1）求的方程；（2）是否存在直線與相交于，兩點，且滿足：①與（為坐標原點）的斜率之和為2；②直線與圓相切，若存在，求的方程；若不存在，請說明理由．【解析】（1）由已知得，，解得，，∴橢圓的方程為．（2）把代入的方程得，設，，則，①，由已知得，∴②，把①代入②得，即③，又，由，得或，由直線與圓相切，則④，③④聯(lián)立得（舍去）或，∴，∴直線的方程為．重難點題型突破3 探索性問題例3．（2020屆陜西省漢中市高三質(zhì)檢）如圖，橢圓的長軸長為，點、、為橢圓上的三個點，為橢圓的右端點，過中心，且，．（1）求橢圓的標準方程；（2）設、是橢圓上位于直線同側的兩個動點（異于、），且滿足，試討論直線與直線斜率之間的關系，并求證直線的斜率為定值.【答案】（1）；（2）詳見解析.【解析】（1）利用題中條件先得出的值，然后利用條件，結合橢圓的對稱性得到點的坐標，然后將點的坐標代入橢圓方程求出的值，從而確定橢圓的方程；（2）將條件得到直線與的斜率直線的關系（互為相反數(shù)），然后設直線的方程為，將此直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，求出點的坐標，注意到直線與的斜率之間的關系得到點的坐標，最后再用斜率公式證明直線的斜率為定值.（1），，又是等腰三角形，所以，把點代入橢圓方程，求得，所以橢圓方程為；（2）由題易得直線、斜率均存在，又，所以，設直線代入橢圓方程，化簡得，其一解為，另一解為，可求，用代入得，，為定值.【變式訓練3-1】．（2020屆陜西省咸陽市高三第二次模擬）已知橢圓過點，且其離心率為，過坐標原點作兩條互相垂直的射線與橢圓分別相交于，兩點.（1）求橢圓的方程；（2）是否存在圓心在原點的定圓與直線總相切？若存在，求定圓的方程；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）存在；定圓【解析】（1）橢圓經(jīng)過點，∴，又∵，解之得，.所以橢圓的方程為；（2）當直線的斜率不存在時，由對稱性，設，.∵，在橢圓上，∴，∴.∴到直線的距離為，所以.當直線的斜率存在時，設的方程為，由得.設，，則，.∵，∴，∴.∴，即.∴到直線的距離為，故存在定圓與直線總相切.四、課堂定時訓練（45分鐘）1．已知拋物線的焦點為，直線與軸的交點為，與拋物線的交點為，且.（1）求的值；（2）已知點為上一點，，是上異于點的兩點，且滿足直線和直線的斜率之和為，證明直線恒過定點，并求出定點的坐標．【答案】（1）4；（2）證明過程見解析，直線恒過定點.【解析】（1）設，由拋物線定義知，又，，所以，解得，將點代入拋物線方程，解得.（2）由（1）知，的方程為，所以點坐標為，設直線的方程為，點，，由 得，.所以，，所以，解得，所以直線的方程為，恒過定點．【名師點睛】本題考查拋物線的定義，直線與拋物線相交，直線過定點問題，屬于中檔題.（1）設點坐標，根據(jù)拋物線的定義得到點橫坐標，然后代入拋物線方程，得到的值；（2），，直線和曲線聯(lián)立，得到，然后表示出，化簡整理，得到和的關系，從而得到直線恒過的定點.2.已知拋物線的焦點為，直線與軸的交點為，與拋物線的交點為，且.（1）求的值；（2）已知點為上一點，，是上異于點的兩點，且滿足直線和直線的斜率之和為，證明直線恒過定點，并求出定點的坐標．【答案】（1）4；（2）證明過程見解析，直線恒過定點.【解析】（1）設，由拋物線定義知，又，，所以，解得，將點代入拋物線方程，解得.（2）由（1）知，的方程為，所以點坐標為，設直線的方程為，點，，由 得，.所以，，所以，解得，所以直線的方程為，恒過定點．【名師點睛】本題考查拋物線的定義，直線與拋物線相交，直線過定點問題，屬于中檔題.（1）設點坐標，根據(jù)拋物線的定義得到點橫坐標，然后代入拋物線方程，得到的值；（2），，直線和曲線聯(lián)立，得到，然后表示出，化簡整理，得到和的關系，從而得到直線恒過的定點.3．已知拋物線的焦點為，為上異于原點的任意一點，過點的直線交于另一點，交軸的正半軸于點，且有，當點的橫坐標為3時，為正三角形。（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）若直線，且和有且只有一個公共點，   （ⅰ）證明直線過定點，并求出定點坐標；   （ⅱ）的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由。【解析】（Ⅰ）由題意知，設，則的中點為因為，由拋物線的定義可知，解得或（舍去）由，解得．所以拋物線的方程為．（Ⅱ）（?。┯桑á瘢┲?/span>，設．因為，則，由得，故，故直線的斜率因為直線和直線平行，設直線的方程為，代入拋物線的方程得，由題意，得設，則，當時，，可得直線的方程為，由，整理得，直線恒過點當時，直線的方程為，過點，所以直線過定點．（ⅱ）由（ⅰ）知直線過定點，所以。設直線的方程為，因為點在直線上故．設，直線的方程為由于，可得，代入拋物線的方程得所以，可求得，所以點到直線的距離為==則的面積，當且僅當即時等號成立，所以的面積的最小值為．4.如圖,點,分別為橢圓的左右頂點,為橢圓上非頂點的三點,直線的斜率分別為,且,,.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）判斷的面積是否為定值？若為定值,求出該定值；若不為定值,請說明理由.【分析】（Ⅰ）設,則,而,所以 （Ⅱ）根據(jù)弦長公式求底邊的長,根據(jù)點到直線距離公式求底邊上的高,因此設直線的方程為,由直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組,利用韋達定理得,根據(jù)斜率條件及韋達定理得,高為 ,代入面積公式化簡得【解析】（Ⅰ）橢圓.（Ⅱ）設直線的方程為,,,,,,,,,,,.的面積為定值1.【點評】圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略(1)求代數(shù)式為定值．依題意設條件,得出與代數(shù)式參數(shù)有關的等式,代入代數(shù)式、化簡即可得出定值；(2)求點到直線的距離為定值．利用點到直線的距離公式得出距離的解析式,再利用題設條件化簡、變形求得；(3)求某線段長度為定值．利用長度公式求得解析式,再依據(jù)條件對解析式進行化簡、變形即可求得．  

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