6．4.3　用頻率分布直方圖估計總體分布 新課程標準解讀核心素養(yǎng)能根據(jù)實際問題，用頻率分布直方圖結(jié)合數(shù)學(xué)特征進行數(shù)據(jù)分析，從而估計總體分布，會運用所學(xué)知識和方法解決實際問題直觀想象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算 為了了解學(xué)生的課業(yè)負擔(dān)，甲、乙兩所學(xué)校分別抽取了200名在校生，了解他們完成作業(yè)所需的時間，并分別作出了頻數(shù)分布直方圖如圖①②所示，其中分組的區(qū)間都為[0.5，1)，[1，1.5)，[1.5，2)，[2，2.5)，[2.5，3]．記甲學(xué)校所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)為x，乙學(xué)校所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)為y.[問題]　你能判斷出x，y的大小嗎？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知識點　頻率分布直方圖與對應(yīng)樣本數(shù)據(jù)中的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)1．眾數(shù)：取最高小長方形底邊中點的橫坐標作為眾數(shù)．2．中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，把頻率分布直方圖劃分為左右兩個面積相等的部分的分界線與x軸交點的橫坐標稱為中位數(shù)．3．平均數(shù)：平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和．為了調(diào)查某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力，隨機抽樣調(diào)查了20位工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量得到頻率分布直方圖如圖，則：(1)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量在[55，75)的人數(shù)是________；(2)這20名工人一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量的中位數(shù)為________；(3)這20名工人一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量的平均數(shù)為________．解析：(1)在[55，75)的人數(shù)為(0.040×10＋0.025×10)×20＝13.(2)設(shè)中位數(shù)為x，則0.2＋(x－55)×0.04＝0.5，x＝62.5.(3)0.2×50＋0.4×60＋0.25×70＋0.1×80＋0.05×90＝64.答案：(1)13　(2)62.5　(3)64頻率分布直方圖的識讀[例1]　(1)如圖所示是一容量為100的樣本的頻率分布直方圖，則由圖中的數(shù)據(jù)可知，樣本落在[15，20]內(nèi)的頻數(shù)為(　　)A．20　　　　　 B．30C．40  D．50(2)(多選)為征求個人所得稅法修改建議，某機構(gòu)調(diào)查了10 000名當?shù)芈毠さ脑率杖肭闆r，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了樣本的頻率分布直方圖．下列說法正確的是(　　)A．月收入低于5 000元的職工有5 500名B．如果個稅起征點調(diào)整至5 000元，估計有50%的當?shù)芈毠徽鞫?/span>C．月收入高于或等于7 000元的職工約為當?shù)芈毠さ?/span>5%D．根據(jù)此次調(diào)查，為使60%以上的職工不用繳納個稅，起征點應(yīng)位于[5 000，6 000)內(nèi)[解析]　(1)樣本數(shù)據(jù)落在[15，20]內(nèi)的頻數(shù)為100×[1－5×(0.04＋0.1)]＝30.故選B.(2)月收入低于5 000元的職工有10 000×(0.000 1＋0.000 2＋0.000 25)×1 000＝5 500(名)，A正確；如果個稅起征點調(diào)整至5 000元，由(0.000 25＋0.000 15＋0.000 05)×1 000×100%＝45%，可估計有45%的當?shù)芈毠徽鞫?/span>，B不正確；月收入高于或等于7 000元的職工約占0.000 05×1 000×100%＝5%，C正確；月收入低于5 000元的頻率為0.55，低于6 000元的頻率為0.8，D正確．[答案]　(1)B　(2)ACD1．頻率分布直方圖的性質(zhì)(1)頻率分布表中，各小組頻數(shù)之和等于數(shù)據(jù)個數(shù)總和，各小組頻率之和等于1；頻率分布直方圖中，縱坐標表示，頻率＝組距×；(2)頻率分布表中頻率的和為1；頻率分布直方圖中，每個小矩形的面積表示相應(yīng)組的頻率，所有小矩形的面積的總和等于1.2．利用頻率分布直方圖可得到以下信息(1)樣本總數(shù)；(2)各段中的頻數(shù)，頻率；(3)均值；(4)樣本整體發(fā)展趨勢(折線圖)等．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]對某市“四城同創(chuàng)”活動中800名志愿者的年齡進行抽樣調(diào)查，統(tǒng)計后得到頻率分布直方圖(如圖)，但是年齡組為[25，30)的數(shù)據(jù)不慎丟失，則依據(jù)此圖可得(1)年齡組[25，30)對應(yīng)小矩形的高度為________；(2)據(jù)此估計該市“四城同創(chuàng)”活動中志愿者年齡在[25，35)內(nèi)的人數(shù)為________．解析：(1)設(shè)年齡組[25，30)對應(yīng)小矩形的高度為h，則5×(0.01＋h＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，解得h＝0.04.(2)由(1)得志愿者年齡在[25，35)內(nèi)的頻率為5×(0.04＋0.07)＝0.55，故志愿者年齡在[25，35)內(nèi)的人數(shù)約為0.55×800＝440.答案：(1)0.04　(2)440由頻率分布直方圖求平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)[例2]　某校從參加高二年級學(xué)業(yè)水平測試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示．(1)求這次測試數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)；(2)求這次測試數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)．[解]　(1)由題圖知眾數(shù)為＝75(分)．(2)由題圖知，設(shè)中位數(shù)為x，由于前三個矩形面積之和為0.4，第四個矩形面積為0.3，0.3＋0.4>0.5，因此中位數(shù)位于第四個矩形內(nèi)，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3.故這次測試數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)為73.3分．[母題探究]1．(變設(shè)問)若本例的條件不變，求數(shù)學(xué)成績的平均分．解：由題圖知這次數(shù)學(xué)成績的平均分為×0.005×10＋×0.015×10＋×0.02×10＋×0.03×10＋×0.025×10＋×0.005×10＝72(分)．2．(變設(shè)問)若本例條件不變，求80分以下的學(xué)生人數(shù)．解：[40，80)分的頻率為(0.005＋0.015＋0.020＋0.030)×10＝0.7，所以80分以下的學(xué)生人數(shù)為80×0.7＝56.頻率分布直方圖對樣本平均數(shù)及中位數(shù)的影響(1)對一個單峰的頻率分布直方圖來說，如果直方圖的形狀是對稱的(圖①)那么平均數(shù)和中位數(shù)應(yīng)該大體上差不多；(2)如果直方圖在右邊“拖尾”(如圖②)那么平均數(shù)大于中位數(shù)；(3)如果直方圖在左邊“拖尾”(如圖③)那么平均數(shù)小于中位數(shù)．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]　某中學(xué)舉行電腦知識競賽，現(xiàn)將高一參賽學(xué)生的成績進行整理后分成五組繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知圖中從左到右的第一、二、三、四、五小組的頻率分別是0.30，0.40，0.15，0.10，0.05.求：(1)高一參賽學(xué)生成績的眾數(shù)、中位數(shù)；(2)高一參賽學(xué)生的平均成績．解：(1)用頻率分布直方圖中最高矩形所在的區(qū)間的中點值作為眾數(shù)的近似值，得眾數(shù)為65分，又∵第一個小矩形的面積為0.3，設(shè)第二個小矩形底邊的一部分長為x，則x×0.04＝0.2，得x＝5，∴中位數(shù)為60＋5＝65(分)．(2)依題意，平均成績?yōu)?/span>55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67(分)，∴平均成績約為67分.利用樣本頻率分布直方圖估計總體分布[例3]　某超市從甲、乙兩種酸奶的日銷售量(單位：箱)的數(shù)據(jù)中分別隨機抽取100個，整理得到甲種酸奶日銷售量的頻率分布表和乙種酸奶日銷售量的頻率分布直方圖.分組(日銷售量)頻率(甲種酸奶)[0，10)0.10[10，20)0.20[20，30)0.30[30，40)0.25[40，50]0.15合計1(1)求出頻率分布直方圖中a的值，并作出甲種酸奶日銷售量的頻率分布直方圖；(2)記甲種酸奶與乙種酸奶日銷售量(單位：箱)的方差分別為s，s，試比較s和s的大??；(3)假設(shè)同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中間值代替，試估計乙種酸奶在未來一個月(按30天計算)的銷售總量．[解]　(1)由乙種酸奶日銷售量的頻率分布直方圖可得10a＝1－(0.010＋0.020＋0.030＋0.025)×10＝0.15，解得a＝0.015.根據(jù)表中數(shù)據(jù)可作出甲種酸奶日銷售量的頻率分布直方圖如圖所示：(2)法一：記甲、乙兩種酸奶日銷售量的平均數(shù)分別為甲，乙，則甲＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5(箱)，乙＝5×0.2＋15×0.1＋25×0.3＋35×0.15＋45×0.25＝26.5(箱)，所以s＝(5－26.5)2×0.1＋(15－26.5)2×0.2＋(25－26.5)2×0.3＋(35－26.5)2×0.25＋(45－26.5)2×0.15＝142.75，s＝(5－26.5)2×0.2＋(15－26.5)2×0.1＋(25－26.5)2×0.3＋(35－26.5)2×0.15＋(45－26.5)2×0.25＝202.75，所以s<s.法二：比較兩種酸奶的頻率分布直方圖，數(shù)據(jù)越集中，則方差越小，由頻率分布直方圖可得，甲種酸奶對應(yīng)的數(shù)據(jù)更集中，故甲的方差小于乙的方差，即s<s.(3)由(2)得乙種酸奶的平均日銷售量為26.5箱，故乙種酸奶未來一個月的銷售總量為26.5×30＝795(箱)．1．頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1，這是解題的關(guān)鍵，常利用頻率分布直方圖估計總體分布．2．頻率分布是指各個小組數(shù)據(jù)在容量中所占比例的大小，可以用樣本的頻率分布估計總體的頻率分布，頻率分布表是反映樣本的頻率分布的表格．通過頻率分布直方圖和頻率分布表可以看到樣本的頻率分布．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練](2019·全國卷Ⅲ)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液．每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比．根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C)的估計值為0.70.(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)．解：(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35，b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值為2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙離子殘留百分比的平均值的估計值為3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.1．某班全體學(xué)生英語測試成績(單位：分)的頻率分布直方圖如圖所示，數(shù)據(jù)的分組依次為[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．若低于60分的人數(shù)是15，則該班的學(xué)生人數(shù)是(　　)A．45  B．50C．55  D．60解析：選B　根據(jù)頻率分布直方圖，可知低于60分的人數(shù)的頻率是(0.005＋0.010)×20＝0.3，所以該班的學(xué)生人數(shù)是＝50.2．如圖是一次考試結(jié)果的統(tǒng)計圖，根據(jù)該圖可估計，這次考試的平均分數(shù)為________．解析：根據(jù)題中統(tǒng)計圖，可估計有4人成績在[0，20)之間，其考試分數(shù)之和為4×10＝40；有8人成績在[20，40)之間，其考試分數(shù)之和為8×30＝240；有10人成績在[40，60)之間，其考試分數(shù)之和為10×50＝500；有6人成績在[60，80)之間，其考試分數(shù)之和為6×70＝420；有2人成績在[80，100]之間，其考試分數(shù)之和為2×90＝180，由此可知，考生總?cè)藬?shù)為4＋8＋10＋6＋2＝30，考試總成績?yōu)?/span>40＋240＋500＋420＋180＝1 380，平均分數(shù)為＝46.答案：463．為了了解高一學(xué)生的體能情況，某校抽取部分學(xué)生進行一分鐘跳繩次數(shù)測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖所示)，圖中從左到右各小長方形面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小組頻數(shù)為12.(1)第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？(2)若次數(shù)在110以上(含110次)為達標，試估計該校全體高一學(xué)生的達標率是多少？解：(1)由于頻率分布直方圖以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個小組內(nèi)的頻率大小，因此第二小組的頻率為＝0.08.又因為第二小組頻率＝，所以樣本容量＝＝＝150.(2)由題圖可估計該校高一學(xué)生的達標率約為×100%＝88%.

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