6．4　用樣本估計總體6．4.1　用樣本估計總體的集中趨勢 新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)1.結(jié)合實例，能用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)(平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù))數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算2.理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計含義數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模 中國體育彩票的種類有：超級大樂透、排列3、排列5、七星彩、地方體彩、足球彩票、競彩、頂呱刮等等．體育彩票市場曾創(chuàng)造了無數(shù)的神話，相當(dāng)一部分中獎?wù)咴谡劶白约旱闹歇劷?jīng)歷時都表示他們能夠中獎，是經(jīng)過長期研究體育彩票的統(tǒng)計量，用樣本估計總體的集中趨勢，然后得出較科學(xué)的“推測”結(jié)果．[問題]　你想知道他們研究哪些統(tǒng)計量才有助于科學(xué)“推測”的嗎？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知識點一　統(tǒng)計學(xué)中的兩個統(tǒng)計概念1．總體參數(shù)：是用來描述總體特征的指標(biāo)，常見的總體參數(shù)有總體平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)及總體方差等．2．統(tǒng)計量：是用來描述樣本特征的指標(biāo)，常見的統(tǒng)計量有樣本平均數(shù)、樣本方差等．統(tǒng)計學(xué)的基本思想是什么？提示：用樣本統(tǒng)計量中的數(shù)據(jù)特征估計總體參數(shù)的數(shù)據(jù)特征．知識點二　平均數(shù)(均值)1．若樣本容量為n，第i個個體是xi，則樣本平均數(shù)＝．2．若取值為x1，x2，…，xn的頻率分別為f1，f2，…，fn，則其平均數(shù)為＝x1f1＋x2f2＋…＋xnfn．3．分層抽樣中總體均值μ的簡單估計在分層抽樣中，用N表示總體A的個體總數(shù)，若將總體A分為L層，用Ni表示第i層(i＝1，2，…，L)的個體總數(shù)，則有N＝N1＋N2＋…＋NL.我們稱Wi＝(i＝1，2，…，L)為第i層的層權(quán)，對i＝1，2，…，L，用i表示從第i層抽出樣本的平均值，我們稱＝W11＋W22＋…＋WLL是總體均值μ的簡單估計．1．已知一組數(shù)據(jù)4，6，5，8，7，6，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為________．解析：＝6.答案：62．某醫(yī)院急救中心隨機(jī)抽取20位病人等待急診的時間記錄如下表：等待時間(分鐘)[0，5)[5，10)[10，15)[15，20)[20，25]頻數(shù)48521 用上述分組資料計算出病人平均等待時間的估計值x＝________．解析：＝(2.5×4＋7.5×8＋12.5×5＋17.5×2＋22.5×1)＝9.5.答案：9.5知識點三　眾數(shù)、中位數(shù)1．眾數(shù)：觀測數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是眾數(shù)．2．中位數(shù)：將一組觀測數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列后，處于中間位置的數(shù)是中位數(shù)．具體而言，當(dāng)數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)時，處于中間位置的數(shù)就是中位數(shù)；當(dāng)數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)時，則中間兩個數(shù)的平均數(shù)即為中位數(shù)．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的比較 名稱優(yōu)點缺點眾數(shù)①體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點；②容易計算①它只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中很少的一部分信息；②無法客觀地反映總體的特征中位數(shù)①不受少數(shù)幾個極端數(shù)據(jù)(即排序靠前或靠后的數(shù)據(jù))的影響；②容易計算，便于利用中間數(shù)據(jù)的信息對極端值不敏感平均數(shù)代表性較好，是反映數(shù)據(jù)集中趨勢的量．一般情況下，可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)的信息任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變．數(shù)據(jù)越“離群”，對平均數(shù)的影響越大　　　　 1．中位數(shù)一定是樣本數(shù)據(jù)中的一個數(shù)嗎？提示：不一定．一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后，如果有奇數(shù)個數(shù)據(jù)，處于中間位置的數(shù)據(jù)就是中位數(shù)；如果有偶數(shù)個數(shù)據(jù)，則取中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)才是中位數(shù)．2．一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以有幾個？中位數(shù)是否也具有相同的結(jié)論？提示：一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能有一個，也可能有多個，中位數(shù)只有唯一一個．某射擊小組有20人，教練將他們某次射擊的數(shù)據(jù)繪制成如下表格，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是(　　)環(huán)數(shù)5678910人數(shù)127631A.7，7　　　　　　　　　 B．8，7.5C．7，7.5  D．8，6解析：選C　從表中數(shù)據(jù)可知7環(huán)有7人，人數(shù)最多，所以眾數(shù)是7；中位數(shù)是將數(shù)據(jù)從小到大排列，第10個與第11個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，第10個數(shù)是7，第11個數(shù)是8，所以中位數(shù)是＝7.5.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的計算[例1]　(鏈接教科書第230頁例1)(多選)某籃球隊甲、乙兩名運(yùn)動員練習(xí)罰球，每人練習(xí)10組，每組罰球40個，命中個數(shù)如下所示：甲：20，22，27，8，12，13，37，25，24，26；乙：14，9，13，18，19，20，23，21，21，11.則下面結(jié)論中正確的是(　　)A．甲的極差是29　　　　　 B．乙的眾數(shù)是21C．甲的平均數(shù)為21.4  D．甲的中位數(shù)是24[解析]　把兩組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，得甲：8，12，13，20，22，24，25，26，27，37；乙：9，11，13，14，18，19，20，21，21，23.故甲的最大值為37，最小值為8，則極差為29，所以A正確；乙中出現(xiàn)最多的數(shù)據(jù)是21，所以B正確；甲的平均數(shù)為x甲＝(8＋12＋13＋20＋22＋24＋25＋26＋27＋37)＝21.4，所以C正確；甲的中位數(shù)為(22＋24)＝23，故D不正確．[答案]　ABC平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的計算方法平均數(shù)一般是根據(jù)公式來計算的；計算眾數(shù)、中位數(shù)時，可先將這組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列，再根據(jù)各自的定義計算．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]1．某學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)測驗中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，則該小組成績的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別是(　　)A．85，85，85　　　　　　　 B．87，85，86C．87，85，85  D．87，85，90解析：選C　從小到大列出所有數(shù)學(xué)成績：75，80，85，85，85，85，90，90，95，100，觀察知眾數(shù)和中位數(shù)均為85，計算得平均數(shù)為87.2．已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5的平均數(shù)是2，那么另一組數(shù)據(jù)2x1－3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3的平均數(shù)為(　　)A．1  B．2C．3  D．4解析：選A　因為一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5的平均數(shù)是2，所以另一組數(shù)據(jù)2x1－3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3的平均數(shù)為2×2－3＝1.故選A.分層抽樣中總體均值u的簡單估計[例2]　(鏈接教科書第231頁例3)某地統(tǒng)計部門為了解企業(yè)員工的收入狀況，決定進(jìn)行抽樣調(diào)查．估計該地共有產(chǎn)業(yè)工人大約50 000人，企業(yè)管理人員約1 000人，工人與管理人員的月工資收入差異比較大．該地統(tǒng)計部門用分層抽樣的方法抽取產(chǎn)業(yè)工人500人，企業(yè)管理人員10人．被抽取的500名產(chǎn)業(yè)工人的人均月工資為5 328元，10名企業(yè)管理人員的人均月工資為8 426元，試估計這個地區(qū)企業(yè)員工的人均月工資．[解]　被抽取的500名產(chǎn)業(yè)工人的人均月工資為5 328元，故這500名產(chǎn)業(yè)工人的月工資總額為(5 328×500)元．同理，被抽取的10名企業(yè)管理人員的月工資總額為(8 426×10)元，所以被抽取的這510名企業(yè)員工的月工資總額為(5 328×500＋8 426×10)元．因此，被抽取的這510名企業(yè)員工的人均月工資(即樣本的平均數(shù)為)≈5 389(元)．故估計該地區(qū)企業(yè)員工的人均月工資約為5 389元．總體均值u的簡單估計已知將總體分為L層，每層的樣本平均數(shù)為i(i＝1，2，…，L)，且第i層的層數(shù)為Wi＝(N為總體容量，Ni為第i層的樣本容量)．則總體均值u的簡單估計＝W11＋W22＋…＋WLL即為加權(quán)平均數(shù)(層權(quán)Wi為第i層的頻率fi)．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]　甲、乙兩位同學(xué)相約晚上在某餐館吃飯．他們分別在A，B兩個網(wǎng)站查看同一家餐館的好評率．甲在網(wǎng)站A查到的好評率是98%，而乙在網(wǎng)站B查到的好評率是85%.綜合考慮這兩個網(wǎng)站的信息，應(yīng)該如何得到這家餐館的總好評率？解：好評率是由好評人數(shù)除以總評價人數(shù)得到的.98%的好評率意味著如果有100人評價，那么其中98%人給了好評．設(shè)在網(wǎng)站A評價該餐館的人數(shù)為n1，其中給出好評的人數(shù)為m1；在網(wǎng)站B評價該餐館的人數(shù)為n2，其中給出好評的人數(shù)為m2.由題目條件，＝98%，＝85%.綜合A，B兩個網(wǎng)站的信息，這家餐館的總好評率應(yīng)為，化簡得＝0.98·＋0.85·.其中，和分別是各自的層權(quán)，總好評率等于相應(yīng)的好評率與其層權(quán)乘積的和．所以除非再知道A，B兩個網(wǎng)站評價人數(shù)的比例關(guān)系，否則并不能求出總好評率．由以上分析可知，當(dāng)且僅當(dāng)n1＝n2時，總好評率等于＝91.5%.平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的應(yīng)用[例3]　(鏈接教科書第234頁例4)據(jù)了解，某公司的33名職工月工資(單位：元)如下：職務(wù)董事長副董事長董事總經(jīng)理經(jīng)理管理員職員人數(shù)11215320工資11 00010 0009 0008 0006 5005 5004 000 (1)求該公司職工月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；(2)假設(shè)副董事長的工資從10 000元提升到20 000元，董事長的工資從11 000元提升到30 000元，那么新的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)又是多少(精確到元)?(3)你認(rèn)為哪個統(tǒng)計量更能反映這個公司員工的工資水平？結(jié)合此問題談一談你的看法．[解]　(1)平均數(shù)是：＝4 000＋(7 000＋6 000＋5 000×2＋4 000＋2 500×5＋1 500×3＋0×20)≈4 000＋1 333＝5 333(元)．中位數(shù)是4 000元，眾數(shù)是4 000元．(2)平均數(shù)是＝4 000＋(26 000＋16 000＋5 000×2＋4 000＋2 500×5＋1 500×3＋0×20)≈4 000＋2 212＝6 212(元)．中位數(shù)是4 000元，眾數(shù)是4 000元．(3)在這個問題中，中位數(shù)和眾數(shù)均能反映該公司員工的工資水平，因為公司中少數(shù)人的工資額與大多數(shù)人的工資額差別較大，這樣導(dǎo)致平均數(shù)與中位數(shù)偏差較大，所以平均數(shù)不能反映這個公司員工的工資水平．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的意義(1)樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來表示樣本數(shù)據(jù)的“中心值”，其中眾數(shù)和中位數(shù)容易計算，不受少數(shù)幾個極端值的影響，但只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中的少量信息，平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息，但受樣本中每個數(shù)據(jù)的影響，越極端的數(shù)據(jù)對平均數(shù)的影響也越大；(2)當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)時，其眾數(shù)往往更能反映問題，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中個別數(shù)據(jù)較大時，可用中位數(shù)描述其集中趨勢．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]　下表是五年級一、二兩個班各11名同學(xué)1分鐘仰臥起坐的成績(單位：次)：一班1933262928333435333330二班2527292829302935293029(1)這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，中位數(shù)和眾數(shù)各是多少？(2)你認(rèn)為哪個數(shù)表示兩個班的成績更合適？解：(1)一班平均數(shù)：(19＋33＋26＋29＋28＋33＋34＋35＋33＋33＋30)÷11＝333÷11≈30.27(次)，一班數(shù)據(jù)從小到大排列為：19，26，28，29，30，33，33，33，33，34，35，所以一班中位數(shù)為33次，33出現(xiàn)的次數(shù)最多，眾數(shù)是33次；二班平均數(shù)：(25＋27＋29＋28＋29＋30＋29＋35＋29＋30＋29)÷11＝320÷11≈29.09(次)，二班數(shù)據(jù)從小到大排列為：25，27，28，29，29，29，29，29，30，30，35，所以二班的中位數(shù)是29次，29出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以二班的眾數(shù)是29次．(2)運(yùn)用平均數(shù)表示兩個班的成績更合適．1．已知一組數(shù)據(jù)為20，30，40，50，50，60，70，80.其中平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的大小關(guān)系是(　　)A．平均數(shù)>中位數(shù)>眾數(shù) B．平均數(shù)<中位數(shù)<眾數(shù)C．中位數(shù)<眾數(shù)<平均數(shù)  D．眾數(shù)＝中位數(shù)＝平均數(shù)答案：D2．在某次考試中，10名同學(xué)的得分如下：84，77，84，83，68，78，70，85，79，95.則這一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為(　　)A．84，68  B．84，78C．84，81  D．78，81解析：選C　將所給數(shù)據(jù)按從小到大排列得68，70，77，78，79，83，84，84，85，95，顯然眾數(shù)為84，而本組數(shù)據(jù)共10個，中間兩個數(shù)是79，83，它們的平均數(shù)為81，即中位數(shù)為81.3．(多選)下列說法中，正確的是(　　)A．數(shù)據(jù)2，4，6，8的中位數(shù)是4，6B．數(shù)據(jù)1，2，2，3，4，4的眾數(shù)是2，4C．一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)有可能是同一個數(shù)據(jù)D．8個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，另3個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7，則這11個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是解析：選BCD　數(shù)據(jù)2，4，6，8的中位數(shù)為＝5，顯然A是錯誤的，B、C、D都是正確的．故選B、C、D.4．小玲家的魚塘里養(yǎng)了2 500條鰱魚，按經(jīng)驗，鰱魚的成活率約為80%.現(xiàn)準(zhǔn)備打撈出售，為了估計魚塘中鰱魚的總質(zhì)量，從魚塘中捕撈了3次進(jìn)行統(tǒng)計，得到的數(shù)據(jù)如下表： 魚的條數(shù)平均每條魚的質(zhì)量/kg第一次捕撈201.6第二次捕撈102.2第三次捕撈101.8 那么，魚塘中鰱魚的總質(zhì)量約是________ kg.解析：平均每條魚的質(zhì)量為＝1.8(kg)，因為成活的魚的總數(shù)約2 500×80%＝2 000(條)，所以總質(zhì)量約是2 000×1.8＝3 600(kg)．答案：3 600

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高中數(shù)學(xué)湘教版（2019）必修 第一冊電子課本

6.4 用樣本估計總體

版本： 湘教版（2019）

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