6．4.3　用頻率分布直方圖估計(jì)總體分布6．4.4　百分位數(shù) 最新課程標(biāo)準(zhǔn)能通過(guò)頻率分布表或頻率分布直方圖對(duì)數(shù)據(jù)做出總體統(tǒng)計(jì)．結(jié)合實(shí)例，能利用樣本估計(jì)百分位數(shù)，理解百分位數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義．學(xué)科核心素養(yǎng)1.會(huì)計(jì)算頻率分布直方圖有關(guān)的問(wèn)題．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)2．理解百分位數(shù)的概念，會(huì)用樣本常用百分位數(shù)估計(jì)總體百分位數(shù)．(數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)分析) 教材要點(diǎn)要點(diǎn)　百分位數(shù)1．定義：百分位數(shù)是位于按一定順序排列的一組數(shù)據(jù)中某一個(gè)________位置的數(shù)值，以Pr表示，其中r是區(qū)間[1，99]上的整數(shù)．一個(gè)百分位數(shù)Pr將總體或樣本的全部觀測(cè)值分為兩部分，至少有r%的觀測(cè)值小于或等于它，且至少有(100－r)%的觀測(cè)值大于或等于它，當(dāng)r%＝50%時(shí)，即Pr對(duì)應(yīng)________數(shù)．2．求一組觀測(cè)數(shù)據(jù)的百分位數(shù)的一般步驟：第一步：將所有數(shù)值按從小到大的順序排列；第二步：計(jì)算c＝n×r%；第三步： 如果c不是整數(shù)，用m表示比c大的最小整數(shù)，則所求的Pr是xm，如果c是整數(shù)，則所求的Pr是.基礎(chǔ)自測(cè)1.思考辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)若一組樣本數(shù)據(jù)各不相等，則其75%分位數(shù)大于25%分位數(shù)．(　　)(2)若一組樣本數(shù)據(jù)的10%分位數(shù)是23，則在這組數(shù)據(jù)中有10%的數(shù)據(jù)大于23.(　　)(3)若一組樣本數(shù)據(jù)的24%分位數(shù)是24，則在這組數(shù)據(jù)中至少有76%的數(shù)據(jù)大于或等于24.(　　)(4)一組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)與第75百分位數(shù)相同．(　　)2．下列關(guān)于一組數(shù)據(jù)的第50分位數(shù)的說(shuō)法正確的是(　　)A．第50分位數(shù)就是中位數(shù)B．總體數(shù)據(jù)中的任意一個(gè)數(shù)小于它的可能性一定是50%C．它一定是這組數(shù)據(jù)中的一個(gè)數(shù)據(jù)D．它適用于總體是離散型的數(shù)據(jù)3．?dāng)?shù)據(jù)12，14，15，17，19，23，27，30的第70百分位數(shù)是(　　)A．14　　B．17C．19    D．234．100輛汽車(chē)通過(guò)某一段公路時(shí)的時(shí)速的頻率分布直方圖如圖所示，則時(shí)速在[60，70) km的汽車(chē)大約有________輛． 題型1　用頻率分布直方圖估計(jì)總體分布例1　為檢查某工廠所生產(chǎn)的8萬(wàn)臺(tái)電風(fēng)扇的質(zhì)量，隨機(jī)抽取20臺(tái)，其無(wú)故障連續(xù)使用時(shí)限(單位：h)統(tǒng)計(jì)如下：分組頻數(shù)頻率頻率/組距[180，200)10.050.002 5[200，220)10.050.002 5[220，240)20.100.005 0[240，260)30.150.007 5[260，280)40.200.010 0[280，300)60.300.015 0[300，320)20.100.005 0[320，340]10.050.002 5合計(jì)2010.050 0 (1)作出頻率分布直方圖；(2)估計(jì)8萬(wàn)臺(tái)電風(fēng)扇中無(wú)故障連續(xù)使用時(shí)限不低于280 h的有多少臺(tái)；(3)假設(shè)同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，估計(jì)這8萬(wàn)臺(tái)電風(fēng)扇的平均無(wú)故障連續(xù)使用時(shí)限．             方法歸納頻率分布直方圖反映了樣本在各個(gè)范圍內(nèi)取值的可能性，因?yàn)槌闃拥拇硇岳昧藰颖驹谀骋环秶鷥?nèi)的頻率，所以可近似地估計(jì)在這一范圍內(nèi)的可能性．跟蹤訓(xùn)練1　為了了解高一年級(jí)學(xué)生的體能情況，某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測(cè)試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫(huà)出頻率分布直方圖(如圖所示)，圖中從左到右各小矩形的面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小組的頻數(shù)為12.(1)第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？(2)若次數(shù)在110以上(含110次)為達(dá)標(biāo)，則該校全體高一年級(jí)學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多少？              題型2　百分位數(shù)的計(jì)算例2　現(xiàn)有甲、乙兩組數(shù)據(jù)如下表所示．序號(hào)1234567891011121314151617181920甲組1222233355668891010121313乙組00001123456677101414141415試求甲、乙兩組數(shù)的25%分位數(shù)與75%分位數(shù)．                     方法歸納 百分位數(shù)的關(guān)注點(diǎn)(1)求百分位數(shù)時(shí)，一定要將數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列．(2)第p百分位數(shù)的特點(diǎn)是：在總體中任一個(gè)數(shù)小于或等于它的可能性是p%.跟蹤訓(xùn)練2　求下列數(shù)據(jù)的四分位數(shù)．13，15，12，27，22，24，28，30，31，18，19，20.               題型3　百分位數(shù)的綜合應(yīng)用例3　教育廳為了了解和掌握2021年高考考生的實(shí)際答卷情況，隨機(jī)地取出了100名考生的數(shù)學(xué)成績(jī)(單位：分)，將數(shù)據(jù)分成了11組，制成了如圖所示的頻率分布表：分組頻數(shù)頻率[80，85)10.01[85，90)20.02[90，95)40.04[95，100)140.14[100，105)240.24[105，110)150.15[110，115)120.12[115，120)90.09[120，125)110.11[125，130)60.06[130，135]20.02合計(jì)1001(1)求樣本數(shù)據(jù)的60，80百分位數(shù)；(2)估計(jì)2021年高考考生的數(shù)學(xué)成績(jī)的90百分位數(shù)．                     方法歸納由頻率分布直方圖求百分位數(shù)的方法(1)要注意頻率分布直方圖中小矩形的面積，就是數(shù)據(jù)落在該組的頻率．(2)一般采用方程的思想，設(shè)出k百分位數(shù)，根據(jù)其意義列出方程并求解即可．跟蹤訓(xùn)練3　某年級(jí)120名學(xué)生在一次百米測(cè)試中，成績(jī)?nèi)拷橛?/span>13秒與18秒之間．將測(cè)試結(jié)果分成5組：[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17)，[17，18]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．如果從左到右的5個(gè)小矩形的面積之比為1∶3∶7∶6∶3，那么成績(jī)的70%分位數(shù)約為__________秒．課堂十分鐘1．觀察新生兒的體重(單位：g)，其頻率分布直方圖如圖所示，則新生兒體重在[2 700，3 000)的頻率為(　　)A．0.1    B．0.2C．0.3    D．0.42．下列一組數(shù)據(jù)2.1，3.0，3.2，3.8，3.4，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6的第25百分位數(shù)是(　　)A．3.2    B．3.0C．4.4    D．2.53．為了研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn)，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位：kPa)的分組區(qū)間為[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，將其按從左到右的順序分別編號(hào)為第一組，第二組，…，第五組，如圖是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖．已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒(méi)有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為(　　)A．6     B．8C．12    D．184．如圖所示是某市3月1日至3月10日的最低氣溫(單位：℃)的情況繪制的折線統(tǒng)計(jì)圖，由圖可知這10天最低氣溫的第80百分位數(shù)是(　　)A．－2    B．0C．1      D．25．一組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示，試估計(jì)此樣本數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為________．   6．4.3　用頻率分布直方圖估計(jì)總體分布6．4.4　百分位數(shù)要點(diǎn)1．百分　中位[基礎(chǔ)自測(cè)]1．答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×2．解析：由百分位數(shù)的意義可知選項(xiàng)B、C、D錯(cuò)誤．答案：A3．解析：因?yàn)?/span>8×70%＝5.6，所以70%分位數(shù)是第六項(xiàng)數(shù)據(jù)23.故選D.答案：D4．解析：0.04×10×100＝40.答案：40題型探究·課堂解透例1　解析：(1)頻率分布直方圖如圖所示．(2)由題意得8×(0.30＋0.10＋0.05)＝3.6，所以估計(jì)8萬(wàn)臺(tái)電風(fēng)扇中無(wú)故障連續(xù)使用時(shí)限不低于280 h的有3.6萬(wàn)臺(tái)．(3)由頻率分布直方圖得＝190×0.05＋210×0.05＋230×0.10＋250×0.15＋270×0.20＋290×0.30＋310×0.10＋330×0.05＝269(h)．故估計(jì)這8萬(wàn)臺(tái)電風(fēng)扇的平均無(wú)故障連續(xù)使用時(shí)限為269 h．跟蹤訓(xùn)練1　解析：(1)第二小組的頻率為＝0.08.又因?yàn)榈诙〗M的頻率＝，所以樣本容量＝＝＝150.(2)由直方圖可估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生的達(dá)標(biāo)率為×100%＝88%.例2　解析：因?yàn)閿?shù)據(jù)個(gè)數(shù)為20，而且20×25%＝5，20×75%＝15，因此，甲組數(shù)的25%分位數(shù)為＝＝2.5，甲組數(shù)的75%分位數(shù)為＝＝9.5.乙組數(shù)的25%分位數(shù)為＝＝1，乙組的75%分位數(shù)為＝＝12.跟蹤訓(xùn)練2　解析：把12個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列可得：12，13，15，18，19，20，22，24，27，28，30，31，計(jì)算12×25%＝3，12×50%＝6，12×75%＝9，所以數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)為＝16.5，第50百分位數(shù)為＝21，第75百分位數(shù)為＝27.5.例3　解析：(1)從頻率分布表得，前六組的頻率之和為0.01＋0.02＋0.04＋0.14＋0.24＋0.15＝0.60，前七組的頻率之和為0.60＋0.12＝0.72，前八組的頻率之和為0.72＋0.09＝0.81，前九組的頻率之和為0.81＋0.11＝0.92.由前六組的頻率之和為0.60，得樣本數(shù)據(jù)的60百分位數(shù)為110，樣本數(shù)據(jù)的80百分位數(shù)一定在第八組[115，120)內(nèi)，由115＋5×≈119.4，估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的80百分位數(shù)約為119.4.(2)由前八組的頻率之和為0.81，前九組的頻率之和為0.92，知90百分位數(shù)一定在第九組[120，125)內(nèi)，由120＋5×≈124.1，估計(jì)2021年高考考生的數(shù)學(xué)成績(jī)的90百分位數(shù)為124.1.跟蹤訓(xùn)練3　解析：設(shè)成績(jī)的70%分位數(shù)為x，因?yàn)?/span>＝0.55，＝0.85，所以x∈[16，17)，所以0.55＋(x－16)×＝0.70，解得x＝16.5(秒)．答案：16.5[課堂十分鐘]1．解析：由題圖可得，新生兒體重在[2 700，3 000)的頻率為0.001×300＝0.3.故選C.答案：C2．解析：把這組數(shù)據(jù)按照由小到大排列，可得：2.1，3.0，3.2，3.4，3.8, 4.0，4.2，4.4，5.3，5.6，由i＝10×25%＝2.5，不是整數(shù)，則第3個(gè)數(shù)據(jù)3.2是第25百分位數(shù)．故選A.答案：A3．解析：志愿者的總?cè)藬?shù)為＝50，所以第三組人數(shù)為50×0.36×1＝18，所以有療效的人數(shù)為18－6＝12，故選C.答案：C4．解析：由折線圖可知，這10天的最低氣溫按照從小到大的排列為：－3，－2，－1，－1，0，0，1, 2, 2，2，因?yàn)楣灿?/span>10個(gè)數(shù)據(jù)，所以10×80%＝8，是整數(shù)，則這10天最低氣溫的第80百分位數(shù)是＝2.故選D.答案：D5．解析：樣本數(shù)據(jù)低于10的比例為0.08＋0.32＝0.40，樣本數(shù)據(jù)低于14的比例為0.40＋0.36＝0.76，所以此樣本數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)在[10，14)內(nèi)，估計(jì)此樣本數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為10＋×4＝.答案：  

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高中數(shù)學(xué)湘教版（2019）必修 第一冊(cè)電子課本

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