第19講 共線向量問題一、解答題 1．已知拋物線C：=2px經過點（1，2）．過點Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N．（Ⅰ）求直線l的斜率的取值范圍；（Ⅱ）設O為原點，，，求證：為定值．【答案】(1) 取值范圍是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）(2)證明過程見解析【詳解】分析：（1）先確定p,再設直線方程，與拋物線聯立，根據判別式大于零解得直線l的斜率的取值范圍，最后根據PA，PB與y軸相交，舍去k=3，（2）先設A（x1，y1），B（x2，y2），與拋物線聯立，根據韋達定理可得，．再由，得，．利用直線PA，PB的方程分別得點M，N的縱坐標，代入化簡可得結論.詳解：解：（Ⅰ）因為拋物線y2=2px經過點P（1，2），所以4=2p，解得p=2，所以拋物線的方程為y2=4x．由題意可知直線l的斜率存在且不為0，設直線l的方程為y=kx+1（k≠0）．由得．依題意，解得k<0或0<k<1．又PA，PB與y軸相交，故直線l不過點（1，-2）．從而k≠-3．所以直線l斜率的取值范圍是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．（Ⅱ）設A（x1，y1），B（x2，y2）．由（I）知，．直線PA的方程為．令x=0，得點M的縱坐標為．同理得點N的縱坐標為．由，得，．所以．所以為定值．點睛：定點、定值問題通常是通過設參數或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉化為代數式或三角問題，證明該式是恒定的. 定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結果，因此求解時應設參數，運用推理，到最后必定參數統(tǒng)消，定點、定值顯現.2．如圖，已知拋物線經過點，過點的直線與拋物線有兩個不同的交點、.（1）求直線的斜率的取值范圍；（2）設為原點，直線交軸于，直線交軸于，，，求證：為定值.【答案】（1）；（2）為定值2，理由見解析.【解析】【分析】（1）將點P代入拋物線方程，即可求得p的值，設直線AB的方程，代入拋物線方程，由△＞0，排除特殊情況，即可求得k的取值范圍；（2）根據向量的共線定理即可求得λ＝1﹣yM，μ＝1﹣yN，求得直線PA的方程，令x＝0，求得M點坐標，同理求得N點坐標，根據韋達定理和向量的坐標表示，即可求得λ+μ為定值．【詳解】（1）拋物線C：y2＝2px經過點P（1，2），∴4＝2p，解得p＝2，根據題意得過點（0，1）的直線斜率存在，設方程為y＝kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）；聯立方程，，可得k2x2+（2k﹣4）x+1＝0，∴△＝（2k﹣4）2﹣4k2＞0，且k≠0解得k＜1，故直線l的斜率的取值范圍（﹣∞，0）∪（0，1）；（2）設點M（0，yM），N（0，yN），則 （0，1﹣yM），（0，1）；因為λ，所以1＝λ（1﹣yM），故λ，同理μ，直線PA的方程為y﹣2（x﹣1）（x﹣1）（x﹣1），令x＝0，得yM，同理可得yN，因為λ+μ2，即有λ+μ為定值2．【點睛】本題考查拋物線的方程，直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的應用，考查轉化思想，計算能力，屬于中檔題．3．已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，且短軸長為2，離心率等于.（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的右焦點作直線交橢圓于兩點，交軸于點，若，求證：為定值. 【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】試題分析：（1）短軸長為可得，再由離心率等于，結合橢圓性質可得，進而可得橢圓的方程；（2）直線的方程是，將直線的方程代入到橢圓的方程中，消去并整理得，，利用韋達定理化簡可得為定值.試題解析：（1）設橢圓的方程為，則由題意知，所以.，解得，所以橢圓的方程為.（2）證明：設的點的坐標分別為，易知點的坐標為，顯然直線的斜率存在，設直線的斜率為，則直線的方程是，將直線的方程代入到橢圓的方程中，消去并整理得，∴，又∵，將各點坐標代入得，∴.考點：1、待定系數法求橢圓方程；2、韋達定理及定值問題.【方法點晴】本題主要考查待定系數求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關系和數量積公式，屬于難題.用待定系數法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據條件判斷橢圓的焦點在軸上，還是在軸上，還是兩個坐標軸都有可能；②設方程：根據上述判斷設方程或；③找關系：根據已知條件，建立關于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設方程，即為所求.4．已知橢圓的中心為坐標原點，焦點在軸上，斜率為且過橢圓右焦點的直線交橢圓于、兩點，與共線．（1）求橢圓的離心率；（2）設為橢圓上任意一點，且，證明：為定值．【答案】（1）離心率為；（2）證明見解析.【分析】（1）設點、，將直線的方程代入橢圓的方程，列出韋達定理求出的坐標，利用與共線，可得出關于、、的齊次等式，進而可解得橢圓的離心率；（2）設，由可得出，由點在橢圓上可得出，利用韋達定理可計算得出，再由可計算得出，即可證得結論成立.【詳解】（1）設橢圓方程為，，則直線的方程為，聯立，消去并整理得，設點、，由韋達定理可得，，由，，由與共線，得，又，，，，即，可得，所以，，所以，橢圓的離心率為；（2）證明：由（1）知，所以橢圓方程可化為．設，由得，.在橢圓上，，．（※）由（1），知，，，．．又，，代入（※）式，得．故為定值，定值為．【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為、；（2）聯立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉化為、的形式；（5）代入韋達定理求解.5．已知焦點在x軸上，離心率為的橢圓的一個頂點是拋物線的焦點，過橢圓右焦點F的直線l交橢圓于A、B兩點，交y軸于點M，且（1）求橢圓的方程；（2）證明：為定值．【答案】（1）（2）證明見解析．【分析】解：（1）依題意，設橢圓方程為因為拋物線的焦點為（0，1），所以由故橢圓方程為（2）依題意設A、B、M的坐標分別為，由（1）得橢圓的右焦點F（2，0），   由由因為A、B在橢圓上，所以即所以的兩根，故是定值．【詳解】 請在此輸入詳解！6．已知橢圓C：過點，離心率，右焦點為F．（1）求橢圓C的方程；（2）過點F的直線l與橢圓C交于A，B兩點，與y軸交于點P，若，，求證：為定值．【答案】（1）；（2）見解析【解析】【分析】（1）由已知得，結合離心率求得c，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；（2）方法1、由題意知，，可知直線AB的斜率存在，設其方程為，則，設出A，B的坐標，由已知向量等式可得m，n，聯立直線方程與橢圓方程，化為關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系即可證明為定值；方法2、由題意知，，，設，，，由向量等式可得，，由此可得，m，n是關于x的一元二次方程的兩個實數根，再由根與系數的關系得為定值．【詳解】1橢圓C：過點，，又，，則．橢圓的方程為；2證明：方法1、由題意知，，可知直線AB的斜率存在，設其方程為，則，設，，則，．由，得，，由，得，，聯立，得．，．故；方法2、由題意知，，，，設，，，由，得，，，故A，點在橢圓C：上，．整理得：．同理，由，得．由此可得，m，n是關于x的一元二次方程的兩個實數根．．【點睛】本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關系的應用，考查計算能力，屬中檔題．7．已知橢圓：，點在的長軸上運動，過點且斜率大于0的直線與交于兩點，與軸交于點.當為的右焦點且的傾斜角為時，重合，.（1）求橢圓的方程；（2）當均不重合時，記，，若，求證：直線的斜率為定值.【答案】（1）（2）見證明【解析】【分析】（1）根據特殊情況當為的右焦點且的傾斜角為時，重合，，可得到的值；（2）設出直線l，求出點M、N，設出點P、Q，利用條件，得出與的關系、與的關系，根據條件，得出.，再借助韋達定理對求解出的值，進而得到斜率.【詳解】解：（1）因為當為的右焦點且的傾斜角為時，，重合，，所以故，因為，因此，，所以橢圓的方程為.（2）設，所以，，所以.因為斜率大于0，所以，設，，則，，由得，，①      同理可得，②①②兩式相乘得，，又，所以，所以，即，即由題意，知，所以.聯立方程組，得，依題意，所以，又，所以，因為，故得，所以，即直線的斜率為.【點睛】本題考查了直線與橢圓的位置關系的問題，求解本題時應大膽多設變量，小心化簡，通過一定的手段（設而不求、韋達定理等）進行減元，將多變量問題轉化為少變量（單變量）問題.8．如圖所示，已知圓為圓上一動點，點P在AM上，點N在CM上，且滿足軌跡為曲線E.（1）求曲線E的方程；（2）若過定點F（0，2）的直線交曲線E于不同的兩點G、H（點G在點F、H之間），且滿足，求的取值范圍.【答案】；．【解析】解：（I）∴NP為AM的垂直平分線，又∴動點N的軌跡是以點C（-1，0），A（1，0）為焦點的橢圓且橢圓長軸長為∴曲線E的方程為…………4分（II）當直線GH斜率存在時，設直線CH方程為代入橢圓方程，得…………6分設則又…………10分又當直線GH斜率不存在，方程為即所求的取值范圍是…………12分9．已知雙曲線C：與直線l：x + y = 1相交于兩個不同的點A、B(I) 求雙曲線C的離心率e的取值范圍；(Ⅱ) 設直線l與y軸交點為P，且，求的值．【答案】，【解析】解：（Ⅰ）由曲線C與直線相交于兩個不同的點，知方程組有兩個不同的解，消去Y并整理得： ①……………2分雙曲線的離心率……………………………………5分∵∴…………………………………6分即離心率e的取值范圍為．…………………………7分（Ⅱ）設 w.w.w..c.o.m∵,∴，得…………9分由于是方程①的兩個根，∴即，得，………………………………………………………………12分解得．…………………………………………………………………14分10．給定拋物線C：y2＝4x，F是C的焦點，過點F的直線與C相交于A、B兩點．(1)設的斜率為1，求與夾角的余弦值；(2)設，若∈[4，9]，求在y軸上截距的變化范圍．【答案】（1）；（2）在y軸上截距的變化范圍：.【解析】試題分析：（1）先根據拋物線方程求得焦點的坐標，進而可求得直線l的方程，代入拋物線方程消去x，設出A，B的坐標，根據韋達定理，結合平面向量的數量積運算，可求與夾角的余弦值；（2）得關于x2和y2的方程組，進而求得x2=λ．得到B的坐標，根據焦點坐標可得直線的方程，進而求得直線在y軸上的截距，判斷g（λ）在[4，9]上是遞減的在[4，9]上是遞減的，即可得到答案．詳解：（1）C的焦點為F（1，0），直線l的斜率為1，∴l的方程為y=x﹣1．將y=x﹣1代入方程y2=4x，整理得x2﹣6x+1=0．設A（x1，y1），B（x2，y2），則有x1+x2=6，x1x2=1，y1+y2=4，y1y2=﹣4．∴cos＜，＞===﹣．∴與夾角的余弦值為﹣．（2）由題設得（x2﹣1，y2）=λ（1﹣x1，﹣y1），即x2﹣1=λ（1﹣x1）①，y2=﹣λy1②由②得y22=λ2y12，∵y12=4x1，y22=4x2，∴x2=λ2x1③聯立①③解得x2=λ．依題意有λ＞0．∴B（λ，2）或B（λ，﹣2），又F（1，0），得直線l的方程為（λ﹣1）y=2（x﹣1）或（λ﹣1）y=﹣2（x﹣1）當λ∈[4，9]時，l在y軸上的截距為或﹣，設g（λ）=，λ∈[4，9]，可知g（λ）=在[4，9]上是遞減的，∴≤≤，或﹣≤﹣≤﹣，即直線l在y軸上截距的變化范圍為≤≤，或﹣≤﹣≤﹣．點睛：本題主要考查直線與圓錐曲線位置關系，所使用方法為韋達定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉化為方程組關系問題，最終轉化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達定理直接解決，但應注意不要忽視判別式的作用．  

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