第3講 長度問題一．解答題（共19小題） 1．已知橢圓，與軸不重合的直線經過左焦點，且與橢圓相交于，兩點，弦的中點為，直線與橢圓相交于，兩點．（1）若直線的斜率為1，求直線的斜率；（2）是否存在直線，使得成立？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）由已知可知，又直線的斜率為1，所以直線的方程為，設，，，，由解得或，所以中點，于是直線的斜率為．（2）假設存在直線，使得成立．當直線的斜率不存在時，的中點，所以，，矛盾；故直線的斜率存在，可設直線的方程為，聯立橢圓的方程，得，設，，，，則，，于是，點的坐標為，．直線的方程為，聯立橢圓的方程，得，設，，則，由題知，，即，化簡，得，故，所以直線的方程為，．2．已知橢圓的離心率為，經過左焦點的直線與橢圓相交于，兩點，與軸相交于點，且點在線段上．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若，求直線的方程．【解答】解：（Ⅰ）設橢圓焦距為，由已知可得，且，所以，即有，則橢圓的方程為；（Ⅱ）由題意可知直線斜率存在，可設直線，由消，并化簡整理得，由題意可知△，設，，，，則，因為點，都在線段上，且，所以，即，，，所以，即，所以，解得，即．所以直線的方程為或．3．已知直線經過橢圓的右焦點，交橢圓于點，，點為橢圓的左焦點，的周長為8．（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）若直線與直線的傾斜角互補，且交橢圓于點、，，求證：直線與直線的交點在定直線上．【解答】解：（Ⅰ）由已知，得，，，橢圓的標準方程．（Ⅱ）若直線的斜率不存在，則直線的斜率也不存在，這與直線與直線相交于點矛盾，所以直線的斜率存在．令，，，，，，，，，，．將直線的方程代入橢圓方程得：，，，．同理．由得，此時，△，直線，，即點的定直線上．4．已知為坐標原點，橢圓的左、右焦點分別為，，左、右頂點分別為，，上、下頂點分別為、，四邊形的面積為4，四邊形的面積為．（1）求橢圓的標準方程；（2）若點，為橢圓上的兩個動點，的面積為1．證明：存在定點，使得為定值．【解答】（1）解：由題意知，，即，，即，又，解得，，，橢圓的標準方程為．（2）證明：當定點為原點時，為定值5．證明如下：設，，，，①當直線的斜率不存在時，，，，即，，，，．②當直線的斜率存在時，設直線，代入可得，，，，設點到直線的距離為，則，而，，化簡得，即，，．綜上所述，存在定點，當為原點時，可使為定值．5．已知為坐標原點，橢圓的左、右焦點分別為，，右頂點為，上頂點為，若，，成等比數列，橢圓上的點到焦點的距離的最大值為．（1）求橢圓的標準方程；（2）過該橢圓的右焦點作兩條互相垂直的弦與，求的取值范圍．【解答】解：（1）易知，得，則，而，又，得，，因此，橢圓的標準方程為；（2）①當兩條直線中有一條斜率為0時，另一條直線的斜率不存在，由題意易得；②當兩條直線斜率都存在且不為0時，由（1）知，設，、，，直線的方程為，則直線的方程為，將直線方程代入橢圓方程并整理得：，顯然△，，，，同理得，所以，，令，則，，設，，所以，，所以，，，則．綜合①②可知，的取值范圍是．6．已知橢圓的中心在原點，左焦點、右焦點都在軸上，點是橢圓上的動點，△的面積的最大值為，在軸上方使成立的點只有一個．（1）求橢圓的方程；（2）過點的兩直線，分別與橢圓交于點，和點，，且，比較與的大?。?/span>【解答】解：（1）根據已知設橢圓的的方程為，，，在軸上方使成立的點只有一個，在軸上方使成立的點是橢圓的短軸的端點，當點是短軸的端點時，由已知可得，解得，，橢圓的方程為，（2）．若直線的斜率為0或不存在時，，且，或，且，由，，．若的斜率存在且不為0時，設，，由可得，設，，，，則，，，同理可得，，．綜上所述．7．已知橢圓的右焦點為，上頂點為．過且垂直于軸的直線交橢圓于、兩點，若（1）求橢圓的方程；  （2）動直線與橢圓有且只有一個公共點，且分別交直線和直線于、兩點，試求的值【解答】解：（1）易知，，，，，所以，，，因此，橢圓的方程為；（2）設直線與橢圓的切點為點，，則直線的方程為，且有，可得，直線與直線交于點，直線交直線于點．所以，，，因此，．8．已知橢圓，為其右焦點，過垂直于軸的直線與橢圓相交所得的弦長為1．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設直線與橢圓相交于，兩點，以線段，為鄰邊作平行四邊形，其中頂點在橢圓上，為坐標原點，求的取值范圍．【解答】解：由已知得，解得，（3分）橢圓，（4分）設，，，，，由已知得，，（5分）由消去得（6分）則（7分）又（9分）又△，（10分），，．（11分）的取值范圍是（12分）9．已知橢圓的離心率為，一個短軸端點到焦點的距離為2．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知直線，過點作直線交橢圓于不同的兩點，交直線于點，問：是否存在常數，使得恒成立，并說明理由．【解答】解：（Ⅰ）由題意可知：，解得：，橢圓的方程為．       （4分）（Ⅱ） 設直線的方程為，有．解得點的橫坐標，（5分）將直線代入橢圓方程得：，由韋達定理，得，，（7分）所以．（11分）存在實數，使得恒成立（12分）10．已知為坐標原點，橢圓的短軸長為2，為其右焦點，為橢圓上一點，且與軸垂直，．（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓交于不同的兩點、，若以為直徑的圓恒過原點，求弦長的最大值．【解答】解：（1）由已知得，，又，，橢圓的方程為（5分）（2）當直線的斜率不存在或斜率為零時，易知；（7分）當直線的斜率存在且不為零時，直線，互相垂直且由圖象的對稱性知，直線，為橢圓有四個交點，從中任取兩點作弦長所得的值相等．設直線方程為：聯立：解得：不妨取，同理取則，綜上 可知：（12分）11．已知橢圓的兩個焦點與短軸的一個端點是有一個角為的等腰三角形的三個頂點，直線與橢圓有且只有一個公共點．（Ⅰ）求橢圓的方程及點的坐標；（Ⅱ）斜率為2的直線與橢圓交于不同的兩點、，且與直線交于點，證明：存在常數，使得成立，并求的值．【解答】解：（Ⅰ）由已知，，則橢圓的方程為，聯立方程組得．①方程①的判別式為△，由△，得，此方程①的解為，所以橢圓的方程為，點的坐標．                                     （4分）（Ⅱ）由已知可設直線的方程為，聯立方程組得所以點坐標為，．   （6分）設點，的坐標分別為，，，．由方程組可得．②方程②的判別式為△，由△，解得．由②得．（8分）所以，同理，所以，（10分）故，存在常數，使得成立．（12分）12．已知橢圓的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的3個頂點，直線與橢圓有且只有一個公共點．（Ⅰ）求橢圓的方程及點的坐標；（Ⅱ）設是坐標原點，直線平行于，與橢圓交于不同的兩點、，且與直線交于點．證明：存在常數，使得，并求的值．【解答】解：（Ⅰ）依題意可知，，可設橢圓方程為，即，代入，整理得，由△，得，故橢圓的方程為．點的坐標為．（Ⅱ）設直線，設，，，，由，得，故．由，得，△，則，．，同理，，．故存在常數，使得．13．已知橢圓的焦點在軸上，是的左頂點，斜率為的直線交于，兩點，點在上，．（Ⅰ）當，時，求的面積；（Ⅱ）當時，求的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）方法一、時，橢圓的方程為，，直線的方程為，代入橢圓方程，整理可得，解得或，則，由，可得，由，，可得，整理可得，由無實根，可得，即有的面積為；方法二、由，可得，關于軸對稱，由．可得直線的斜率為1，直線的方程為，代入橢圓方程，可得，解得或，，，，，則的面積為；（Ⅱ）直線的方程為，代入橢圓方程，可得，解得或，即有，，由，可得，整理得，由橢圓的焦點在軸上，則，即有，即有，可得，即的取值范圍是，．14．如圖，設橢圓，動直線與橢圓只有一個公共點，且點在第一象限．（Ⅰ）已知直線的斜率為，用，，表示點的坐標；（Ⅱ）若過原點的直線與垂直，證明：點到直線的距離的最大值為．【解答】解：（Ⅰ）設直線的方程為，由，消去得．由于直線與橢圓只有一個公共點，故△，即，此時點的橫坐標為，代入得點的縱坐標為，點的坐標為，，又點在第一象限，故，故，故點的坐標為，．（Ⅱ）由于直線過原點且與直線垂直，故直線的方程為，所以點到直線的距離，整理得：，因為，所以，當且僅當時等號成立．所以，點到直線的距離的最大值為．15．過橢圓的左焦點作直線交橢圓于，兩點，其中，另一條過的直線交橢圓于，兩點（不與，重合），且點不與點重合．過作軸的垂線分別交直線，于，．（1）求點坐標和直線的方程；（2）比較線段和線段的長度關系并給出證明．【解答】解：（1）由題意可得直線的方程為．與橢圓方程聯立，由可求，，（2）線段和線段的長度為．證明：當與軸垂直時，，兩點與，兩點重合，由橢圓的對稱性，．當不與軸垂直時，設，，，，的方程為．由，消去，整理得．則，．由已知，，①則直線的方程為，令，得點的縱坐標．把代入得．由已知，，則直線的方程為，令，得點的縱坐標．把代入得．，將①代入到中，．即，即．16．已知，，當，分別在軸，軸上滑動時，點的軌跡記為．（1）求曲線的方程：（2）設斜率為的直線與交于，兩點，若，求．【解答】解：（1）設，，，由得．由，得，，，從而，，，，曲線的方程為；（2），．①設，，，，將代入到的方程并整理，可得，．，所以和的中點重合，，②聯立①②可得，故．17．已知橢圓，點（Ⅰ）求橢圓的短軸長和離心率；（Ⅱ）過的直線與橢圓相交于兩點，，設的中點為，判斷與的大小，并證明你的結論．【解答】解：（Ⅰ）橢圓，化為：，故，，，有，．（3分）橢圓的短軸長為，離心率為．（5分）（Ⅱ）結論是：．（6分）設直線，，，，，若不存在，直線化為，此時，，，，，，，滿足：．，整理得：（8分）△故，（10分）（11分）（12分）故，即點在以為直徑的圓內，故（13分）18．已知橢圓，它的上，下頂點分別為，，左，右焦點分別為，若四邊形為正方形，且面積為2．（1）求橢圓的標準方程；（2）設存在斜率不為零且平行的兩條直線，，它們與橢圓分別交于點，，，，且四邊形是菱形．求證：①直線，關于原點對稱；②求出該菱形周長的最大值．【解答】（1）解：由題意可知，，得，．橢圓的標準方程為；（2）①證明：設的方程為，，，，，設的方程為，，，，，聯立，得，由△，得，，，；同理，四邊形是菱形，，，又，，可得直線，關于原點對稱；②橢圓關于原點對稱，，關于原點對稱，，關于原點對稱，且，，，四邊形是菱形，，，即，，化簡得：．設菱形的周長為，則．當且僅當，即時取等號，此時，滿足．菱形周長的最大值為．19．在平面直角坐標系中，已知橢圓的短軸長為2，傾斜角為的直線與橢圓相交于，兩點，線段的中點為，且點與坐標原點連線的斜率為．（1）求橢圓的標準方程；（2）若，是以為直徑的圓上的任意一點，求證：．【解答】（1）解：由已知，，設，，，．由，兩式相減得．由已知條件知，，，，即．橢圓的標準方程為；（2）證明：設，聯立，得到．△，得，且，．，化簡得．又為弦的中點，，故．即．，．  

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