第24講 導數(shù)中的恒成立問題1．若，恒成立，則整數(shù)的最大值為　　A．1 B．2 C．3 D．4【解析】解：恒成立，即恒成立，即的最小值大于，，令，則，在上單調遞增，又（2），（3），存在唯一實根，且滿足，．當時，，；當時，，，，故整數(shù)的最大值為3．故選：．2．已知關于的不等式在恒成立，則整數(shù)的最大取值為　　A．3 B．1 C．2 D．0【解析】解：若關于的不等式在恒成立，即在恒成立，令，，，故在遞增，而時，，（1），故存在，使得，故，故在遞減，在，遞增，故，故，故選：．3．已知函數(shù)，當時，不等式恒成立，則整數(shù)的最大值為　4　．【解析】解：，時，不等式恒成立，亦即對一切恒成立，所以不等式轉化為對任意恒成立．設，則，令，則所以在上單調遞增．因為（3），（4），所以在上存在唯一實根，且滿足，當時，，即；當時，，即．所以函數(shù)在上單調遞減，在，上單調遞增，又，所以．所以，所以故整數(shù)的最大值是4．故答案為：4．4．已知函數(shù)，當時，不等式恒成立，則整數(shù)的最大值為　4　．【解析】解：因為當時，不等式恒成立，即對一切恒成立，亦即對一切恒成立，所以不等式轉化為對任意恒成立．設，則，令，則所以在上單調遞增．因為（3），（4），所以在上存在唯一實根，且滿足，當時，，即；當時，，即．所以函數(shù)在上單調遞減，在，上單調遞增，又，所以．所以，所以故整數(shù)的最大值是4．故答案為：45．已知函數(shù)，，．（1）若函數(shù)，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若對任意的，，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解析】解：（1）由題意得，函數(shù)的定義域是，故，令，解得：或（舍，故當時，，遞減，當時，，遞增，故函數(shù)在遞減，在遞增；（2）對任意，，不等式恒成立對任意，，恒成立對任意，，恒成立，記，則，①當時，，故在，遞增，又，故當時，，不合題意；②當時，當時，，，故，故在，上遞減，故當時，，符合題意；當時，記，則，顯然，在，單調遞減，又，，故存在唯一的，使得，故當時，，，在，上單調遞增，故當時，，不符合題意，綜上：，即實數(shù)的取值范圍是，．6．已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）若對任意，有恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解析】解：（1）時，，（1），，故（1），故曲線在處的切線方程是，即；（2）由題意得：，令，則，當時，對任意，有，故在，上遞減，當時，（1），若，，則在，上，，即在，上，，故在，遞減，當時，（1），符合題意，若即，則（1），（e），根據(jù)在，上遞減，可知存在，，，當時，有，即，故在上遞增，有（1），與矛盾，不合題意，當時，，當時，，，于是，與矛盾，不合題意，綜上：實數(shù)的取值范圍是，．7．已知函數(shù)，，其中．（1）若，在平面直角坐標系中，過坐標原點分別作函數(shù)與的圖象的切線，求，的斜率之積；（2）若在區(qū)間上恒成立，求的最小值．【解析】解：（1）時，，，設過坐標原點的直線分別切，于點，，，，，，，，且，解得：，；（2）由在上恒成立，得時，，，令，，①當時，左邊，右邊，顯然成立，②當，注意到，在遞增，，令，，令，得：時，，遞增，當時，，遞減，故（1），．8．已知函數(shù)，為常數(shù)）．（1）當時，證明：對任意，，不等式恒成立；（2）若對任意，，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解析】證明：（1）設，，，設，，恒成立，在，上單調遞減，，在，上單調遞減，（1），對任意，，不等式恒成立．解：（2）對任意，，不等式恒成立，在，恒成立，當時，成立，當時，恒成立，設，，，設，，設，，．易知函數(shù)在上單調遞減，（1），在上單調遞減，（1），在上單調遞減，（1），，在上恒成立，在上單調遞減，（1），，，．9．已知函數(shù)．（1）求的最值；（2）若對恒成立，求的取值范圍．【解析】解：（1），令，得；令，得．所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以的最小值為，無最大值．（2）由題知，在上恒成立，令，則，因為，所以．設，易知在上單調遞增．因為，（1）所以存在，使得，即．當時，，在上單調遞減；當時，，在上單調遞增．所以，從而，故的取值范圍為，．10．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）對于任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解析】解：（1），當，，的單調遞增區(qū)間是；當，當時，，當時，，所以的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是．（2）由已知，問題等價于對于任意，不等式恒成立，設，則，設，則，在上，，單調遞增，又，（1），所以，所以，使得，即，在上，，單調遞減；在上，，單調遞增；所以，又有，設，則有和，所以在上，單調遞增，所以，所以，所以，故實數(shù)的取值范圍為，．11．設函數(shù)，．（1）求函數(shù)在上的值域；（2）當，時，不等式恒成立是的導函數(shù)），求實數(shù)的取值范圍．【解析】解：（1），則，令，解得：，令，解得：，故在，遞增，在，遞減，故，或，而，故函數(shù)在上的值域是，；（2），，當，時，不等式恒成立，即恒成立，即在，上恒成立，設，，，則，設，則，當，時，，，，即在，上單調遞增，則，若，則，故在，上單調遞增，故恒成立，符合題意，若，則，必存在正實數(shù)，滿足當時，，單調遞減，此時，，符合題意，綜上：的取值范圍是，．12．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調性；（2）若在上恒成立，求的最小正整數(shù)值．【解析】解：（1）由題得，函數(shù)的定義域為，，當時，由于在上恒為負數(shù)，此時在上單調遞減．當時，令，得，令，得．此時，在上單調遞減，在上單調遞增．綜上，當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增．（2）依題意，在上恒成立．令，則，令，則，令，由于，因此在上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，取得最大值．根據(jù)恒為負數(shù)，知亦恒為負數(shù)，因此在上為減函數(shù)．而，（2）知，可知在區(qū)間上必存在，使得函數(shù)滿足，且在上單調遞增，在，上單調遞減．由于，而，故，由，因此，，所以，因此的最小正整數(shù)值為1．13．已知函數(shù)．（1）求曲線在點，（e）處的切線方程；（2）若當時，恒成立，求正整數(shù)的最大值．【解析】解：（1），所以（e），又（e），所以切線方程為，即．（2）當時，恒成立，可轉化為當時，恒成立，設，則，設，，則，因為時，，所以在上單調遞增，又因為（3），（4）所以存在唯一的，使得，即，當時，，即，當，時，，即，所以在上單調遞減，在上單調遞增，故，因為，且，所以整數(shù)的最大值為3．14．已知．（1）若時，不等式恒成立，求的取值范圍；（2）求證：當時，．【解析】解：（1）不等式恒成立，即恒成立，令，則，當時，對任意，，有，得在，上單調遞增，，即滿足題意；當時，若，則，在上單調遞減，，與矛盾，不合題意．綜上所述，；證明：（2）令，，在上單調遞增，且（1），（2），存在唯一的，使得，當時，，單調遞減，當，時，，單調遞增，，由，得，，，，上式“”不成立，，即．  

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