專題5.3  分式的基本性質(zhì)（知識講解） 【知識回顧】分式概念：一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母；【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握分式的基本性質(zhì)，并能利用分式的基本性質(zhì)將分式恒等變形，進(jìn)而進(jìn)行條件計算；2．理解并掌握分式變號的法則；3．理解并掌握分式的約分、最簡分式；4．對比分?jǐn)?shù)通分，掌握分式通分的基本運(yùn)算。【要點(diǎn)整理】要點(diǎn)一、分式的基本性質(zhì)分式的分子與分母同乘(或除以)一個不等于0的整式，分式的值不變，這個性質(zhì)叫做分式的基本性質(zhì)，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.特別說明（1）基本性質(zhì)中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知條件中隱含著的條件，一般在解題過程中不另強(qiáng)調(diào)；M≠0是在解題過程中另外附加的條件，在運(yùn)用分式的基本性質(zhì)時，必須重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)M≠0這個前提條件. （2）在應(yīng)用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行分式變形時，雖然分式的值不變，但分式中字母的取值范圍有可能發(fā)生變化.例如：，在變形后，字母的取值范圍變大了.要點(diǎn)二、分式的變號法則對于分式中的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變；改變其中任何一個或三個，分式成為原分式的相反數(shù).特別說明：根據(jù)分式的基本性質(zhì)有，.根據(jù)有理數(shù)除法的符號法則有.分式與互為相反數(shù).分式的符號法則在以后關(guān)于分式的運(yùn)算中起著重要的作用.要點(diǎn)三、分式的約分，最簡分式與分?jǐn)?shù)的約分類似，利用分式的基本性質(zhì)，約去分子和分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分.如果一個分式的分子與分母沒有相同的因式（1除外），那么這個分式叫做最簡分式.特別說明：（1）約分的實(shí)質(zhì)是將一個分式化成最簡分式，即約分后，分式的分子與分母再沒有公因式.（2）約分的關(guān)鍵是確定分式的分子與分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系數(shù)的最大公約數(shù)與相同因式最低次冪的積；當(dāng)分式的分子、分母中含有多項(xiàng)式時，要先將其分解因式，使之轉(zhuǎn)化為分子與分母是不能再分解的因式積的形式，然后再進(jìn)行約分.要點(diǎn)四、分式的通分與分?jǐn)?shù)的通分類似，利用分式的基本性質(zhì)，使分式的分子和分母同乘適當(dāng)?shù)恼?，不改變分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分.特別說明：（1）通分的關(guān)鍵是確定各分式的最簡公分母：一般取各分母所有因式的最高次冪的積作為公分母.（2）如果各分母都是單項(xiàng)式，那么最簡公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)與相同字母的最高次冪的乘積；如果各分母都是多項(xiàng)式，就要先把它們分解因式，然后再找最簡公分母.（3）約分和通分恰好是相反的兩種變形，約分是對一個分式而言，而通分則是針對多個分式而言.【典型例題】類型一、最簡分式 1、（2020·全國七年級專題練習(xí)）給出下列3個分式：①，②，③．其中的最簡分式有______（填寫出所有符合要求的分式的序號）．【答案】①②．【解析】①，最簡分式，符合題意；②，最簡分式；③= ，故③不是最簡分式，故不符合題意，故答案為①②.舉一反三：【變式】  （2020·德惠市第三中學(xué)八年級月考）在分式，，，中，最簡分式有__________個．【答案】2【分析】最簡分式的標(biāo)準(zhǔn)是分子，分母中不含有公因式，不能再約分．判斷的方法是把分子、分母分解因式，并且觀察有無互為相反數(shù)的因式，這樣的因式可以通過符號變化化為相同的因式從而進(jìn)行約分．【詳解】其中的是整式，∵，∴不是最簡分式，∴最簡分式有2個；故答案為：2.【點(diǎn)撥】此題考查了最簡分式的定義，分式的化簡過程，首先要把分子分母分解因式，互為相反數(shù)的因式是比較易忽視的問題．在解題中一定要引起注意類型二、分式的變形2、（2020·全國七年級專題練習(xí)）分式變形中的整式A=_____，變形的依據(jù)是_____．【答案】x2﹣2x,    分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變．    【分析】依據(jù)x2-4=（x+2）（x-2），即可得到分式變形=中的整式A=x（x-2）=x2-2x．解：∵x2-4=（x+2）（x-2），∴分式變形=中的整式A=x(x?2)=x2?2x，依據(jù)是分式的分子與分母同乘(或除以)一個不等于0的整式，分式的值不變.故答案為x2?2x,分式的分子與分母同乘(或除以)一個不等于0的整式，分式的值不變.【點(diǎn)撥】本題考查了分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握分式的基本性質(zhì).舉一反三：【變式】（2019·北京市昌平區(qū)十三陵中學(xué)八年級期中）在括號內(nèi)填入適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式，使下列等式成立： _______;__________【答案】4axy    x＋y．    【分析】分式的變形的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)：在分式的分子、分母上同時乘以或除以同一個非0的數(shù)或整式，分式的值不變．要看題目中的空填的式子，就要看從前面的分式到后面的分式是如何變化的．解：第一個式子：由xy變成2ax2y2，是乘以2axy，分子也應(yīng)進(jìn)行相同的變化，乘以2axy，則這個空中應(yīng)填2×2axy＝4axy；同理，第二個：分子除以x?y，則分母是：（x3?xy2）÷（x?y）＝x（x2?y2）÷（x?y）=x（x＋y）．故答案為4axy，x＋y．【點(diǎn)撥】本題依據(jù)的是分式的基本性質(zhì)，分子、分母上同時乘以或除以同一個非0的數(shù)或整式，分式的值不變．類型三、分式變形的條件3、（2020·湖南岳陽市·八年級期中）等式成立的條件是____________．【答案】x≠2【分析】根據(jù)分母不為0得出結(jié)論．解：∵等式成立，∴=0，∴且．故答案為：且【點(diǎn)撥】考查了分式有意義的條件．解題關(guān)鍵是得出分母不能為0．舉一反三：【變式1】（2020·全國八年級課時練習(xí)）當(dāng)分式與分式的值相等時，需滿足__________．【答案】x≠±1【分析】先化簡，可知兩式相等的條件是兩個分式都有意義據(jù)此可求．解:因而兩式相等的條件是兩個分式都有意義．∴x2-1≠0，∴x≠±1．故答案是: x≠±1．【點(diǎn)撥】本題主要考查分式的化簡，以及分式有意義的條件：分母不等于0．【變式2】（2020·北京匯文中學(xué)八年級期中）下面是小軍同學(xué)計算的過程．＝……………………………………………………………………[1]＝……………………………………………………[2]＝…………………………………………………………………………[3]＝…………………………………………………………………………[4]＝…………………………………………………………………………[5]其中運(yùn)算步驟[2]為：_____________，該步驟的依據(jù)是__________．【答案】通分    分式的基本性質(zhì)    【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)即可解答．解：運(yùn)算步驟[2]為：通分，該步驟的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，故答案為：通分，分式的基本性質(zhì)．【點(diǎn)撥】本題主要考查了分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記分式的基本性質(zhì)．類型四、使用分式的基本性質(zhì)求值4、（2019·河北邢臺市·八年級期末）已知的值為4，若分式中的、均擴(kuò)大2倍，則的值為__________．【答案】8【分析】首先把分式中的x、y均擴(kuò)大2倍，然后約分化簡，進(jìn)而可得答案．解：分式中的x、y均擴(kuò)大2倍得：=2×4=8，
故答案為：8．【點(diǎn)撥】本題考查了分式的基本性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變．舉一反三：【變式】（2020·貴州黔西南布依族苗族自治州·八年級期末）已知，則分式的值為______．【答案】【分析】先根據(jù)題意得出x-y=4xy，然后代入所求的式子，進(jìn)行約分就可求出結(jié)果．解：∵，∴x-y=4xy，∴原式=，故答案為： ．【點(diǎn)撥】此題考查分式的基本性質(zhì)，正確對已知式子進(jìn)行化簡，約分，正確進(jìn)行變形是關(guān)鍵．類型五、分式的恒等變形5、（2020·全國七年級專題練習(xí)）在括號內(nèi)填上適當(dāng)?shù)卣?，使下列等式成立?/span> ．_____【答案】a2+ab【分析】直接利用分式的基本性質(zhì)分析得出答案．解：．
故答案為a2+ab．【點(diǎn)撥】本題考查了分式的基本性質(zhì)，正確通分是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】（2019·山東八年級課時練習(xí)）不改變分式值，把分式分子、分母的最高次項(xiàng)系數(shù)化正數(shù)：=________【答案】【解析】根據(jù)添括號法則，對所求式子添括號，根據(jù)分式基本性質(zhì)進(jìn)行化簡即可.解： 故答案為.【點(diǎn)撥】考查了分式的基本性質(zhì)以及添括號法則，注意當(dāng)括號前面加“-”時，括號里的各項(xiàng)都改變正負(fù)號.舉一反三：【變式2】（2019·四川達(dá)州市·八年級期末）不改變分式的值，使分子、分母的第一項(xiàng)系數(shù)都是正數(shù)，則＝_____．【答案】【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)即可求出答案．解：原式＝＝，故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查分式的基本性質(zhì)，分式的基本性質(zhì)是分式的分子和分母同時乘以或除以同一個不為0的整式，分式的值不變；熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

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