專題4.4以因式分解為載體的材料閱讀題
姓名：__________________ 班級(jí)：______________ 得分：_________________
注意事項(xiàng)：
本試卷解答25道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．
一．解答題（共25小題）
1．（2019秋?徐聞縣期中）已知：a，b，c為△ABC的三邊長(zhǎng)，且2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc，試判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論．
【分析】先根據(jù)完全平方公式進(jìn)行變形，求出a＝b＝c，即可得出答案．
【解析】△ABC是等邊三角形．
證明如下：
∵2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc，
∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝0，
∴a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2＝0，
∴（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝0，
∴（a﹣b）2＝0，（a﹣c）2＝0，（b﹣c）2＝0，得a＝b且a＝c且b＝c，
即a＝b＝c，所以△ABC是等邊三角形．
2．（2019秋?天心區(qū)月考）如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”．
如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20這三個(gè)數(shù)都是神秘?cái)?shù)．
（1）28是神秘?cái)?shù)嗎？為什么？
（2）設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k（其中k取非負(fù)整數(shù)），由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘?cái)?shù)是4的倍數(shù)嗎？為什么？
（3）①若長(zhǎng)方形相鄰兩邊長(zhǎng)為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)，試說(shuō)明其周長(zhǎng)一定為神秘?cái)?shù)．
②在①的條件下，面積是否為神秘?cái)?shù)？為什么？
【分析】（1）利用神秘?cái)?shù)的定義判斷即可；
（2）根據(jù)題意表示出兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，利用平方差公式化簡(jiǎn)即可做出判斷；
（3）①根據(jù)神秘?cái)?shù)得定義，只要證明此長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為兩連續(xù)偶數(shù)的平方差便可；
②面積不為神秘?cái)?shù)，用反證法進(jìn)行說(shuō)明．
【解析】（1）∵28＝82﹣62，
∴28是神秘?cái)?shù)；
2014不是神秘?cái)?shù)，神秘?cái)?shù)必須是4的倍數(shù)；
（2）兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的“神秘?cái)?shù)”是4的倍數(shù)，
∵（2k+2）2﹣（2k）2＝8k+4＝4（2k+1），
∴神秘?cái)?shù)是4的倍數(shù)；
（3）①設(shè)長(zhǎng)方形相鄰兩邊長(zhǎng)分別為2n+2和2n，（n為正整數(shù)），則其周長(zhǎng)為：
2[（2n+2）+2n]＝8n+4，
∵（2n+2）2﹣（2n）2＝8n+4，
∴此長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)＝（2n+2）2﹣（2n）2，即此長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)等于兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，
∴該長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)一定為神秘?cái)?shù)；
②該長(zhǎng)方形的面積不為“神秘?cái)?shù)”，理由如下：
長(zhǎng)方形的面積為：（2n+2）?2n＝4n（n+1），
設(shè)兩個(gè)連續(xù)的偶數(shù)為2k+2和2k，（k為非負(fù)整數(shù)），
假設(shè)此長(zhǎng)方形的面積為“神秘?cái)?shù)”，則4n（n+1）＝（2k+2）2﹣（2k）2，即4n（n+1）＝8k+4，
∴n（n+1）＝2k+1，
∵n為正整數(shù)，
∴n（n+1）必為偶數(shù)，
而2k+1為奇數(shù)，
∴n（n+1）＝2k+1不成立，
∴假設(shè)此長(zhǎng)方形的面積為“神秘?cái)?shù)”不正確，
故該長(zhǎng)方形的面積不為“神秘?cái)?shù)”．
3．（2021春?柯橋區(qū)期中）如圖，將幾個(gè)小正方形與小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為（a+b+c）的正方形．
（1）若用不同的方法計(jì)算這個(gè)邊長(zhǎng)為（a+b+c）的正方形面積，就可以得到一個(gè)等式，這個(gè)等式可以為?。╝+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc?。ㄖ灰獙懗鲆粋€(gè)即可）；
（2）請(qǐng)利用（1）中的等式解答下列問(wèn)題：
①若三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；
②若三個(gè)實(shí)數(shù)x，y，z滿足2x×4y×8z=116，x2+4y2+9z2＝40，求2xy+3xz+6yz的值．

【分析】（1）根據(jù)圖形，由面積的不同表示方法得出等式即可；
（2）①先根據(jù)公式進(jìn)行變形，再代入求出即可；
②先求出x+2y+3z＝﹣4，再根據(jù)（x+2y+3z）2＝x2+4y2+9z2+2（2xy+3xz+6yz）求出即可．
【解析】（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）①∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，
∴a2+b2+c2
＝（a+b+c）2﹣（2ab+2ac+2bc）
＝112﹣2×38
＝45；
②∵2x×4y×8z=116，
∴2x×22y×23z=116，
∴2x+2y+3z＝2﹣4，
∴x+2y+3z＝﹣4，
∵（x+2y+3z）2＝x2+4y2+9z2+2（2xy+3xz+6yz），x2+4y2+9z2＝40，
∴（﹣4）2＝40+2（2xy+3xz+6yz），
∴2xy+3xz+6yz＝﹣12．
故答案為：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
4．（2021春?玄武區(qū)期中）把幾個(gè)圖形拼成一個(gè)新的圖形，再通過(guò)兩種不同的方式計(jì)算同一個(gè)圖形的面積，可以得到一個(gè)等式，也可以求出一些不規(guī)則圖形的面積．

例如，由圖1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）由圖2，可得等式?。╝+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac??；
（2）利用（1）所得等式，解決問(wèn)題：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值．
（3）如圖3，將兩個(gè)邊長(zhǎng)為a、b的正方形拼在一起，B，C，G三點(diǎn)在同一直線上，連接BD和BF，若這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)a、b如圖標(biāo)注，且滿足a+b＝10，ab＝20．請(qǐng)求出陰影部分的面積．
（4）圖4中給出了邊長(zhǎng)分別為a、b的小正方形紙片和兩邊長(zhǎng)分別為a、b的長(zhǎng)方形紙片，現(xiàn)有足量的這三種紙片．
①請(qǐng)?jiān)谙旅娴姆娇蛑杏盟o的紙片拼出一個(gè)面積為2a2+5ab+2b2的長(zhǎng)方形，并仿照?qǐng)D1、圖2畫出拼法并標(biāo)注a、b．
②研究①拼圖發(fā)現(xiàn)，可以分解因式2a2+5ab+2b2＝?。╝+2b）（2a+b）?。?br /> 【分析】（1）此題根據(jù)面積的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一種可以是3個(gè)正方形的面積和6個(gè)矩形的面積，另一種是直接利用正方形的面積公式計(jì)算，可得等式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）利用（1）中的等式直接代入求得答案即可；
（3）利用S陰影＝正方形ABCD的面積+正方形ECGF的面積﹣三角形BGF的面積﹣三角形ABD的面積求解．
（4）①依照前面的拼圖方法，畫出圖形便可；
②由圖形寫出因式分解結(jié)果便可．
【解析】（1）由題意得，（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
故答案為，（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；

（2）∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，
∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）＝121﹣76＝45；

（3）∵a+b＝10，ab＝20，
∴S陰影＝a2+b2-12（a+b）?b-12a2=12a2+12b2-12ab=12（a+b）2-32ab=12×102-32×20＝50﹣30＝20；

（4）①根據(jù)題意，作出圖形如下：

②由上面圖形可知，2a2+5ab+2b2＝（a+2b）（2a+b）．
故答案為（a+2b）（2a+b）．
5．（2021春?常德期末）在乘法公式的學(xué)習(xí)中，我們采用了構(gòu)造幾何圖形的方法研究問(wèn)題，通過(guò)用不同的方法求同一個(gè)平面圖形的面積驗(yàn)證了平方差公式和完全平方公式，我們把這種方法稱為等面積法．類似地，通過(guò)不同的方法求同一個(gè)立體圖形的體積，我們稱為等體積法；

根據(jù)課堂學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，解決下列問(wèn)題：
在一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方體中挖出一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方體（如圖1），然后利用切割的方法把剩余的立體圖形（如圖2）分成三部分（如圖3），這三部分長(zhǎng)方體的體積依次為b2（a﹣b），ab（a﹣b），a2（a﹣b）．
（1）分解因式：a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）＝?。╝﹣b）（a2+ab+b2）??；
（2）請(qǐng)用兩種不同的方法求圖1中的立體圖形的體積：（用含有a，b的代數(shù)式表示）
①　a3﹣b3??；②　b2（a﹣b）+ab（a﹣b）+a2（a﹣b）　；
思考：類比平方差公式，你能得到的等式為　a3﹣b3＝b2（a﹣b）（a2+ab+b2）?。?br /> （3）應(yīng)用：利用在（2）中所得到的等式進(jìn)行因式分解：x3﹣125；
（4）拓展：已知a﹣2b＝6，ab＝﹣2，你能求出代數(shù)式a4b﹣8ab4的值為　﹣288　．
【分析】（1）根據(jù)提取公因式的方法分解因式便可；
（2）根據(jù)“圖1的立體圖形的體積＝圖3的三個(gè)立體圖形的體積之和”和“圖1的立體圖形的體積＝圖3的三個(gè)立體圖形的體積之和；
（3）利用總結(jié)的公式進(jìn)行因式分解便可；
（4）先提公因式，再按新公式分解因式，再用完全平方公式將原式化成已知代數(shù)式的形式，最后代值計(jì)算便可．
【解析】（1）a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）＝（a﹣b）（a2+ab+b2），
故答案為：（a﹣b）（a2+ab+b2）；
（2）①根據(jù)題意得，圖1的立體圖形的體積＝邊長(zhǎng)為a的正方體的體積﹣邊長(zhǎng)為b的正方體的體積，
即a3﹣b3；
②根據(jù)題意得，圖1的立體圖形的體積＝圖3的三個(gè)立體圖形的體積之和，
即b2（a﹣b）+ab（a﹣b）+a2（a﹣b）．
故答案為：①a3﹣b3；②b2（a﹣b）+ab（a﹣b）+a2（a﹣b）；
思考：∵b2（a﹣b）+ab（a﹣b）+a2（a﹣b）＝（a﹣b）（a2+ab+b2）
∴a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2），
故答案為：a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）；
（3）x3﹣125＝x3﹣53＝（x﹣5）（x2+5x+25）；
（4）a4b﹣8ab4＝ab（a3﹣8b3）＝ab（a﹣2b）（a2+2ab+4b2）＝ab（a﹣2b）[（a﹣2b）2+6ab]，
當(dāng)a﹣2b＝6，ab＝﹣2時(shí)，原式＝﹣2×6×（36﹣12）＝﹣288．
故答案為：﹣288．
6．（2019?隆化縣二模）在下面的兩位數(shù)18，27，36，45，54，63，72，71，99都是9的整數(shù)倍，小明發(fā)現(xiàn)這些數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的和也都是9的整數(shù)倍，例如18的的個(gè)位數(shù)字8與十位數(shù)字1的和是9．于是小明有了這樣的結(jié)論：個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的和是9的倍數(shù)的兩位數(shù)一定是9的倍數(shù)．小明經(jīng)過(guò)思考后給出了如下的證明：
設(shè)十位上的數(shù)字為a，個(gè)位上的數(shù)字為b，并且a+b＝9n（n為正整數(shù)）
那么這個(gè)兩位數(shù)可表示為10a+b
∵10a+b＝9a+a+b＝9a+9n＝9（a+n）
這個(gè)兩位數(shù)是9的倍數(shù)
小明猜想：個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字與百位數(shù)字的和是9的倍數(shù)的三位數(shù)也一定是9的倍數(shù)．
小明的這個(gè)猜想的結(jié)論是否正確？若正確模仿小明的證明思路給出證明，若不正確舉出反例．
【分析】猜想的結(jié)論正確．仿照樣例進(jìn)行說(shuō)明便可．
【解析】猜想的結(jié)論正確．
理由：設(shè)百位上的數(shù)字為a，十位上的數(shù)字為b，個(gè)位上的數(shù)字為c，并且a+b+c＝9n（n為正整數(shù)），那么這個(gè)三位數(shù)可表示為100a+10b+c，
∵100a+10b+c＝99a+9b+a+b+c＝99a+9b+9n＝9（11a+b+n），
∴這個(gè)三位數(shù)是9的倍數(shù)．
7．（2018春?邳州市期中）如圖①，有足夠多的邊長(zhǎng)為a的小正方形（A類）、長(zhǎng)為a，寬為b的長(zhǎng)方形（B類）以及邊長(zhǎng)為b的大正方形（C類），發(fā)現(xiàn)利用這三種材料各若干可以拼出一些長(zhǎng)方形來(lái)解釋某些等式．例如圖②可以解釋為：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．

（1）取圖①中的若干個(gè)（三種圖形都要取到）拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，使其面積為（a+b）（2a+b），畫出該長(zhǎng)方形；根據(jù)圖形回答（a+b）（2a+b）＝　a2+3ab+2b2　．
（2）若取其中若干個(gè)（三種圖形都要取到）拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，使其面積為a2+5ab+4b2，則所拼成長(zhǎng)方形需C類卡片　4　張，多項(xiàng)式a2+5ab+4b2分解因式為?。╝+b）（a+4b）?。?br /> 【分析】（1）畫出長(zhǎng)方形如圖，由圖中大矩形的面積＝中間的各圖片的面積的和，就可得出代數(shù)式．
（2）根據(jù)小圖片的面積和要拼成的大矩形的面積進(jìn)行比較可得出需要的小圖片的張數(shù)．再根據(jù)長(zhǎng)方形的面積分解因式．
【解析】（1）如圖可知：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2；

故答案為a2+3ab+2b2；
（2）一個(gè)長(zhǎng)方形，使其面積為a2+5ab+4b2，需要C類卡片4張．
a2+5ab+4b2＝（a+b）（a+4b）．
故答案為：4；（a+b）（a+4b）．
8．（2021春?九江期末）解答下列問(wèn)題
（1）一正方形的面積是a2+6ab+9b2（a＞0，b＞0），則表示該正方形的邊長(zhǎng)的代數(shù)式是　a+3b?。?br /> （2）求證：當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，（2n+1）2﹣（2n﹣1）2能被8整除．
【分析】（1）直接利用完全平方公式分解因式得出即可；
（2）根據(jù)平方差公式因式分解即可證明．
【解析】（1）解：∵a2+6ab+9b2＝（a+3b）2，
∴表示該正方形的邊長(zhǎng)的代數(shù)式是a+3b．
故答案為：a+3b；
（2）證明：∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2
＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]
＝4n×2
＝8n，
∴原式能被8整除．
9．（2021春?醴陵市期末）如圖1，在計(jì)算陰影部分面積時(shí)，我們可以用邊長(zhǎng)為a的大正方形面積減去邊長(zhǎng)為b的小正方面積，即：S＝a2﹣b2．我們也可以把圖中陰影部分剪下一個(gè)小長(zhǎng)方形，然后按圖2把陰影部分拼接成一個(gè)長(zhǎng)為（a+b），寬為（a﹣b）的長(zhǎng)方形來(lái)計(jì)算面積，即：S＝（a+b）（a﹣b），因?yàn)殛幱安糠值拿娣e相等，我們可以得到a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），這恰好驗(yàn)證了平方差公式．

（1）圖3中最大正方形的面積算法也可以驗(yàn)證一個(gè)乘法公式，請(qǐng)用含a和b的代數(shù)式寫出這個(gè)公式：
?。╝+b）2＝a2+2ab+b2或a2+2ab+b2＝（a+b）2?。?br /> （2）圖4是著名的“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)形狀大小完全一致的直角三角形拼成，每個(gè)直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別為a和b，斜邊長(zhǎng)為c，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽利用此圖驗(yàn)證了直角三角形的斜邊c和兩直角邊a和b之間存在一個(gè)固定的等量關(guān)系，請(qǐng)你求出關(guān)于a、b、c的關(guān)系式．
【分析】（1）根據(jù)圖3的各個(gè)部分的面積可得完全平方公式；
（2）通過(guò)圖中小正方形面積證明勾股定理．
【解析】（1）由題意可得：（a+b）2＝a2+2ab+b2或a2+2ab+b2＝（a+b）2．
故答案為：（a+b）2＝a2+2ab+b2或a2+2ab+b2＝（a+b）2．

（2）S大正方形=c2=(b-a)2+4×12ab=b2﹣2ab+a2+2ab＝a2+b2．
10．（2021秋?海淀區(qū)校級(jí)期中）三角形ABC的三條邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2﹣16b2﹣c2+6ab+10bc＝0，求證：a+c＝2b．
【分析】首先把a(bǔ)2﹣16b2﹣c2+6ab+10bc＝0寫成（a+3b）2﹣（c﹣5b）2＝0，然后進(jìn)行因式分解得到即（a+c﹣2b）（a+8b﹣c）＝0，結(jié)合a，b，c是三角形三邊長(zhǎng)，進(jìn)而求出a，b和c之間的關(guān)系．
【解析】證明：∵a2﹣16b2﹣c2+6ab+10bc＝0，
∴a2+6ab+9b2﹣（c2﹣10bc+25b2）＝0，
∴（a+3b）2﹣（c﹣5b）2＝0，
∴（a+3b+c﹣5b）（a+3b﹣c+5b）＝0，
即（a+c﹣2b）（a+8b﹣c）＝0，
∵a，b，c是三角形三邊長(zhǎng)，
∴a+b﹣c＞0，
∴a+8b﹣c＞0，
∴a+c﹣2b＝0，
∴a+c＝2b．
11．有足夠多的長(zhǎng)方形和正方形卡片，如圖：
（1）如果選取1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)卡片分別為1張、1張、2張，可拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（不重疊無(wú)縫隙），請(qǐng)畫出這個(gè)長(zhǎng)方形，并用等式表示拼圖前后面積之間的關(guān)系：?。╝+b）2＝a2+2ab+b2　．
（2）小明用類似方法解釋分解因式4a2+8ab+3b2，請(qǐng)拼圖說(shuō)明小明的方法，并寫出分解因式的結(jié)果．

【分析】（1）畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示，正方形的面積有兩種求法，邊長(zhǎng)的平方或四個(gè)面積之和，列出關(guān)系式，表示的意義為和的完全平方公式；
（2）仿照（1）畫出相應(yīng)的圖形，根據(jù)圖形將已知多項(xiàng)式分解因式即可．
【解析】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2；畫圖如下：

故答案為：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）4a2+8ab+3b2＝（2a+b）（2a+3b），畫圖如下：

12．（2019秋?海門市期末）我們知道，任意一個(gè)正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解：n＝p×q（p，q是正整數(shù)，且p≤q），在n的所有這種分解中，如果p，q兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小，我們就稱p×q是n的完美分解．并規(guī)定：F（n）=pq．
例如18可以分解成1×18，2×9或3×6，因?yàn)?8﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的完美分解，所以F（18）=36=12．
（1）F（13）＝　113　，F(xiàn)（24）＝　23??；
（2）如果一個(gè)兩位正整數(shù)t，其個(gè)位數(shù)字是a，十位數(shù)字為b﹣1，交換其個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來(lái)的兩位正整數(shù)所得的差為36，那么我們稱這個(gè)數(shù)為“和諧數(shù)”，求所有“和諧數(shù)”；
（3）在（2）所得“和諧數(shù)”中，求F（t）的最大值．
【分析】（1）先將13和24分別分解，得到其完美分解，則按F（n）=pq可得答案；
（2）原兩位數(shù)可表示為10（b﹣1）+a，新兩位數(shù)可表示為10a+b﹣1，再按照“和諧數(shù)”的定義計(jì)算即可；
（3）將（2）中的和諧數(shù)代入F（t）計(jì)算即可．
【解析】（1）∵13＝1×13，
∴F（13）=113
∵24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6
24﹣1＞12﹣2＞8﹣3＞6﹣4
∴F（24）=46=23
故答案為：113；23．
（2）原兩位數(shù)可表示為10（b﹣1）+a，新兩位數(shù)可表示為10a+b﹣1
∴10a+b﹣1﹣10（b﹣1）﹣a＝36
∴10a+b﹣1﹣10b+10﹣a＝36
∴9a﹣9b＝27
∴a﹣b＝3
∴a＝b+3（1＜b＜6且b為正整數(shù) ）
∴b＝2，a＝5；
b＝3，a＝6，
b＝4，a＝7，
b＝5，a＝8
b＝6，a＝9
∴和諧數(shù)為15，26，37，48，59
（3）∵F（15）=35，F(xiàn)（26）=213，F(xiàn)（37）=137，F(xiàn)（48）=68=34，F(xiàn)（59）=159．
∵34＞35＞213＞137＞159，
∴所有“和諧數(shù)”中，F(xiàn)（t）的最大值是34．
13．（2021春?奉化區(qū)期末）對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式，例如圖1，可以得到數(shù)學(xué)等式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
（1）寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式　（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc?。?br /> （2）利用（1）中得到的結(jié)論，解決下面的問(wèn)題：
若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，則a2+b2+c2＝　30　．
（3）小明同學(xué)用圖3中x張邊長(zhǎng)為a的正方形，y張邊長(zhǎng)為b的正方形，z張邊長(zhǎng)分別為a、b的長(zhǎng)方形紙片拼出一個(gè)面積為（3a+2b）（2a+b）的長(zhǎng)方形，請(qǐng)參照上述拼接的方法，求x+y+z的值．
【分析】（1）根據(jù)觀察圖2即可得出結(jié)果；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論整體代入值即可得結(jié)論；
（3）根據(jù)圖（1）、（2）畫出長(zhǎng)方形，再根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式即可求得結(jié)論．
【解析】（1）如圖2，用兩種形式表示正方形的面積：（a+b+c）2和a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
故答案為（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
將a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35代入，得
a2+b2+c2＝100﹣2×35＝30
故答案為30．
（3）如圖是面積為（3a+2b）（2a+b）的長(zhǎng)方形．

∵（3a+2b）（2a+b）＝6a2+7ab+2b2，
∴x＝6，y＝2，z＝7，
∴x+y+z＝6+2+7＝15
答：x+y+z的值為15．
14．（2021春?靖遠(yuǎn)縣期末）觀察下面的因式分解過(guò)程：
am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）
利用這種方法解決下列問(wèn)題：
（1）因式分解：2a+6b﹣3am﹣9bm
（2）△ABC三邊a，b，c滿足a2﹣ac﹣ab+bc＝0，判斷△ABC的形狀．
【分析】（1）仿照樣例，先分組，組內(nèi)提公因式后組與組之間提取公因式，便可達(dá)到分解因式的目的；
（2）用樣例的方法，把已知等式左邊分解因式，再根據(jù)幾個(gè)因式積為0的性質(zhì)得出一次方程求得a、b、c之間的關(guān)系，便可確定△ABC的形狀．
【解析】（1）2a+6b﹣3am﹣9bm
＝（2a+6b）﹣（3am+9bm）
＝2（a+3b）﹣3m（a+3b）
＝（a+3b）（2﹣3m）；
或 2a+6b﹣3am﹣9bm
＝（2a﹣3am）+（6b﹣9bm）
＝a（2﹣3m）+3b（2﹣3m）
＝（2﹣3m）（a+3b）；
（2）∵a2﹣ac﹣ab+bc＝0，
∴（a2﹣ac）﹣（ab﹣bc）＝0，
∴a（a﹣c）﹣b（a﹣c）＝0，
∴（a﹣c）（a﹣b）＝0，
∴a﹣c＝0或a﹣b＝0，
∴a＝c 或 a＝b，
∴△ABC是等腰三角形．
15．（2019?寧波模擬）如圖，大小不一的兩個(gè)等腰直角三角形用兩種方法擺放，其中AB＝a，CD＝b．設(shè)兩個(gè)三角形的直角邊長(zhǎng)分別為x和y（x＞y＞0），圖中陰影部分面積為S．

（1）用x，y表示S；
（2）將（1）中的等式等號(hào)右邊的代數(shù)式因式分解；
（3）求S（用a，b表示）．
【分析】（1）根據(jù)大直角三角形的面積減去小直角三角形的面積等于陰影部分的面積，進(jìn)行解答便可；
（2）先提取公因式，再按平方差公式進(jìn)行分解；
（3）結(jié)合圖形得x+y＝a，x﹣y＝b，再代入（1）、（2）題的面積表達(dá)式中進(jìn)行解答便可．
【解析】（1）根據(jù)題意得，F(xiàn)D＝x，F(xiàn)C＝y(tǒng)，
∴S=12DF2-12CF2=12x2-12y2；

（2）12x2-12y2=12(x2-y2)=12(x+y)(x-y)；

（3）由題意得，x+y＝a，x﹣y＝b，
∴S=12x2-12y2=12(x+y(x-y)=12ab．

16．我們知道，對(duì)于一個(gè)圖形，若用兩種不同的方法計(jì)算它的面積，則可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．例如，由圖1通過(guò)不同方法計(jì)算它的面積，我們可以得到等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）寫出用兩種不同的方法計(jì)算圖2面積，所得到的數(shù)學(xué)等式：　（a+b+c）（a+b+c）＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc?。?br /> （2）對(duì)于任意有理數(shù)a、b、c，請(qǐng)你運(yùn)用整式乘法有關(guān)知識(shí)說(shuō)明（1）中所得到的數(shù)學(xué)等式是成立的．
（3）利用（1）中所得到的等式，解決問(wèn)題：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值．

【分析】（1）根據(jù)圖形，有直接求和間接求兩種方法，列出等式即可；
（2）利用完全平方公式可證等式成立；
（3）根據(jù)（1）的結(jié)論將原式變形后，把已知等式代入計(jì)算即可求出值．
【解析】（1）根據(jù)題意得：（a+b+c）（a+b+c）＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
故答案為：（a+b+c）（a+b+c）＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）∵（a+b+c）（a+b+c）＝[（a+b）+c]2＝（a+b）2+c2+2c?（a+b）＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
∴上面等式成立；
（3）∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，
∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝121﹣76＝45．
17．（2021春?青白江區(qū)期末）教科書中這樣寫道：“我們把多項(xiàng)式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個(gè)看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題或求代數(shù)式最大值，最小值等問(wèn)題．
例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；
求代數(shù)式2x2+4x﹣6的最小值，2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．
可知當(dāng)x＝﹣1時(shí)，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問(wèn)題：
（1）分解因式：x2﹣4x﹣5＝?。▁+1）（x﹣5）?。?br /> （2）當(dāng)x為何值時(shí)，多項(xiàng)式﹣2x2﹣4x+3有最大值？并求出這個(gè)最大值．
（3）利用配方法，嘗試解方程12a2+3b2-2ab﹣2b+1＝0，并求出a，b的值．
【分析】（1）根據(jù)題目中的例子，可以將題目中的式子因式分解；
（2）根據(jù)題目中的例子，先將所求式子配方，然后即可得到當(dāng)x為何值時(shí)，所求式子取得最大值，并求出這個(gè)最大值；
（3）將題目中的式子化為完全平方式的形式，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，即可得到a、b的值．
【解析】（1）x2﹣4x﹣5
＝（x﹣2）2﹣9
＝（x﹣2+3）（x﹣2﹣3）
＝（x+1）（x﹣5），
故答案為：（x+1）（x﹣5）；
（2）∵﹣2x2﹣4x+3＝﹣2（x+1）2+5，
∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，多項(xiàng)式﹣2x﹣4x+3有最大值，這個(gè)最大值是5；
（3）∵12a2+3b2-2ab-2b+1=0，
∴（12a2-2ab+2b2）+（b2﹣2b+1）＝0
∴（22a-2b）2+（b﹣1）2＝0
∴22a-2b＝0，b﹣1＝0，
解得，a＝2，b＝1．
18．（2021春?槐蔭區(qū)月考）閱讀下列文字：我們知道對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)不同的方法計(jì)算圖形的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式，例如由圖1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
（1）寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式?。╝+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc　；
（2）利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問(wèn)題：已知a+b+c＝9，ab+bc+ac＝29，求a2+b2+c2的值；
（3）小明同學(xué)打算用x張邊長(zhǎng)為a和y張邊長(zhǎng)為b的小正方形，z張相鄰兩邊長(zhǎng)分別為a、b的長(zhǎng)方形紙片拼出了一個(gè)面積為（3a+5b）（4a+7b）的長(zhǎng)方形，那么他總共需要多少?gòu)埣埰?br />
【分析】（1）根據(jù)閱讀材料即可寫出數(shù)學(xué)等式；
（2）根據(jù)（1）中所得到的結(jié)論，代入求值即可；
（3）根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，再根據(jù)（1）的思想，即可得出結(jié)論．
【解析】（1）根據(jù)閱讀材料，
觀察圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式：
（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
故答案為：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
（2）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
∴（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）＝a2+b2+c2
∴a2+b2+c2＝81﹣58＝23
答：a2+b2+c2的值為23．
（3）∵（3a+5b）（4a+7b）
＝12a2+41ab+35b2
12+41+35＝88
答：總共需要88張紙片．
19．（2021春?江陰市期中）【知識(shí)生成】我們已經(jīng)知道，通過(guò)計(jì)算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式．例如圖1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
（1）根據(jù)圖2，寫出一個(gè)代數(shù)恒等式：?。海╝+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc?。?br /> （2）利用（1）中得到的結(jié)論，解決下面的問(wèn)題：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，則a2+b2+c2＝　30?。?br /> （3）小明同學(xué)用圖3中x張邊長(zhǎng)為a的正方形，y張邊長(zhǎng)為b的正方形，z張寬、長(zhǎng)分別為a、b的長(zhǎng)方形紙片拼出一個(gè)面積為（3a+b）（a+3b）長(zhǎng)方形，則x+y+z＝　16　．
【知識(shí)遷移】（4）事實(shí)上，通過(guò)計(jì)算幾何圖形的體積也可以表示一些代數(shù)恒等式，圖4表示的是一個(gè)邊長(zhǎng)為x的正方體挖去一個(gè)小長(zhǎng)方體后重新拼成一個(gè)新長(zhǎng)方體，請(qǐng)你根據(jù)圖4中圖形的變化關(guān)系，寫出一個(gè)代數(shù)恒等式：　x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）?。?br />
【分析】（1）依據(jù)正方形的面積＝（a+b+c）2；正方形的面積＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，可得等式；
（2）依據(jù)a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）依據(jù)所拼圖形的面積為：xa2+yb2+zab，而（3a+b）（a+3b）＝3a2+9ab+ab+3b2＝3a2+3b2+10ab，即可得到x，y，z的值；
（4）根據(jù)原幾何體的體積＝新幾何體的體積，列式可得結(jié)論．
【解析】（1）由圖2得：正方形的面積＝（a+b+c）2；正方形的面積＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
故答案為：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；

（2）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∵a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，
∴102＝a2+b2+c2+2×35，
∴a2+b2+c2＝100﹣70＝30，
故答案為：30；

（3）由題意得：（3a+b）（a+3b）＝xa2+yb2+zab，
∴3a2+10ab+3b2＝xa2+yb2+zab，
∴x＝3，y＝3，z＝10，
∴x+y+z＝16，
故答案為：16；

（4）∵原幾何體的體積＝x3﹣1×1?x＝x3﹣x，新幾何體的體積＝（x+1）（x﹣1）x，
∴x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．
故答案為：x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）．
20．（2021秋?西湖區(qū)校級(jí)月考）（1）分解因式：
①4x2﹣12xy+9y2＝　（2x﹣3y）2??；
②y2+4y+4＝?。▂+2）2?。?br /> （2）根據(jù)以上兩式，試求x、y各取何值時(shí)，4x2﹣12xy+10y2+4y+9的值最??？并求此最小值．
【分析】（1）利用完全平方公式分解因式即可求解；
（2）利用（1）中的結(jié)論將整式分組，再根據(jù)偶次方的非負(fù)性可求解．
【解析】（1）①4x2﹣12xy+9y2＝（2x﹣3y）2；
②y2+4y+4＝（y+2）2，
故答案為①（2x﹣3y）2；②（y+2）2；
（2）4x2﹣12xy+10y2+4y+9
＝4x2﹣12xy+9y2+y2+4y+4+5
＝（2x﹣3y）2+（y+2）2+5，
∵（2x﹣3y）2≥0，（y+2）2≥0，
∴當(dāng)2x﹣3y＝0，y+2＝0時(shí)，即x＝﹣3，y＝﹣2時(shí)，4x2﹣12xy+10y2+4y+9有最小值5．
21．（2021春?新昌縣期中）實(shí)驗(yàn)材料：現(xiàn)有若干塊如圖①所示的正方形和長(zhǎng)方形硬紙片．
實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?br /> 用若干塊這樣的正方形和長(zhǎng)方形硬紙片拼成一個(gè)新的長(zhǎng)方形，通過(guò)不同的方法計(jì)算面積，得到相應(yīng)的等式，從而探求出多項(xiàng)式乘法或分解因式的新途徑．例如，選取正方形、長(zhǎng)方形硬紙片共6塊，拼出一個(gè)如圖②的長(zhǎng)方形，計(jì)算它的面積寫出相應(yīng)的等式有a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）或（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．

探索問(wèn)題：
（1）小明想用拼圖的方法解釋多項(xiàng)式乘法（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么需要兩種正方形紙片　3　張，長(zhǎng)方形紙片　3　張；
（2）選取正方形、長(zhǎng)方形硬紙片共8塊可以拼出一個(gè)如圖③的長(zhǎng)方形，計(jì)算圖③的面積，并寫出相應(yīng)的等式；
（3）試借助拼圖的方法，把二次三項(xiàng)式2a2+5ab+2b2分解因式，并把所拼的圖形畫在方框內(nèi)．
【分析】（1）根據(jù)（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，可知需要兩種正方形紙片3張，長(zhǎng)方形紙片3張；
（2）正方形、長(zhǎng)方形硬紙片共8塊的面積等于長(zhǎng)為a+3b，寬為a+b的矩形面積，所以a2+4ab+3b2＝（a+3b）（a+b）；
（3）正方形、長(zhǎng)方形硬紙片共9塊的面積等于長(zhǎng)為a+2b，寬為2a+b的矩形面積，則2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）
【解析】（1）由（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，可知需要兩種正方形紙片3張，長(zhǎng)方形紙片3張；
故答案為：3；3；

（2）a2+4ab+3b2＝（a+3b）（a+b）或（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2；

（3）如圖④，2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．

22．（2021春?麗水期中）利用完全平方公式進(jìn)行因式分解，解答下列問(wèn)題：
（1）因式分解：x2﹣4x+4＝　（x﹣2）2　．
（2）填空：
①當(dāng)x＝﹣2時(shí)，代數(shù)式x2+4x+4＝　0?。?br /> ②當(dāng)x＝　3　時(shí)，代數(shù)式x2﹣6x+9＝0．
③代數(shù)式x2+8x+20的最小值是　4?。?br /> （3）拓展與應(yīng)用：求代數(shù)式a2+b2﹣6a+8b+28的最小值．
【分析】（1）根據(jù)完全平方公式可以將題目中的式子因式分解；
（2）①將x＝﹣2代入代數(shù)式x2+4x+4中，即可求得代數(shù)式x2+4x+4的值；
②解方程x2﹣6x+9＝0，求出x的值，即可解答本題；
③將代數(shù)式變形，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，即可得到代數(shù)式x2+8x+20的最小值；
（3）將代數(shù)式a2+b2﹣6a+8b+28變形，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，即可求得代數(shù)式a2+b2﹣6a+8b+28的最小值．
【解析】（1）x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，
故答案為：（x﹣2）2；
（2）①當(dāng)x＝﹣2時(shí)，
x2+4x+4
＝（﹣2）2+4×（﹣2）+4
＝4+（﹣8）+4
＝0，
故答案為：0；
②∵x2﹣6x+9＝0，
∴（x﹣3）2＝0，
∴x1＝x2＝3，
故答案為：3；
③∵x2+8x+20＝（x+4）2+4，
∴當(dāng)x＝﹣4時(shí)，x2+8x+20取得最小值4，
故答案為：4；
（3）∵a2+b2﹣6a+8b+28＝（a﹣3）2+（b+4）2+3≥3，
∴代數(shù)式a2+b2﹣6a+8b+28的最小值是3．
23．（2021春?拱墅區(qū)月考）當(dāng)我們利用2種不同的方法計(jì)算同一圖形的面積時(shí)，可以得到一個(gè)等式．例如，由圖1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）由圖2，可得等式：?。╝+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc　．
（2）利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問(wèn)題：
已知a+b+c＝12，ab+bc+ac＝47，求a2+b2+c2的值；
（3）利用圖3中的紙片（足夠多），畫出一種拼圖，使該拼圖可用來(lái)驗(yàn)證等式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）

【分析】（1）根據(jù)圖2，利用直接求與間接法分別表示出正方形面積，即可確定出所求等式；
（2）根據(jù)（1）中結(jié)果，求出所求式子的值即可；
（3）根據(jù)已知等式，做出相應(yīng)圖形．
【解析】（1）根據(jù)圖形可知，大正方形的邊長(zhǎng)為a+b+c，則其面積為（a+b+c）2，
各部分面積和可表示為：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
故答案為：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；

（2）∵a+b+c＝12，ab+bc+ac＝47，
∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）＝144﹣94＝50；
（3）根據(jù)題意作圖如下：

24．（2021秋?夏津縣期末）閱讀材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多項(xiàng)式只有上述方法就無(wú)法分解，如x2﹣4y2+2x﹣4y，細(xì)心觀察這個(gè)式子會(huì)發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)符合平方差公式，后兩項(xiàng)可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后會(huì)產(chǎn)生公因式，然后提取公因式就可以完成整個(gè)式子的分解因式，過(guò)程為：
x2﹣4y2+2x﹣4y
＝（x2﹣4y2）+（2x﹣4y）
＝（x+2y）（x﹣2y）+2（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（x+2y+2）
這種分解因式的方法叫分組分解法，利用這種方法解決下列問(wèn)題：
（1）分解因式：x2﹣6xy+9y2﹣3x+9y
（2）△ABC的三邊a，b，c滿足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判斷△ABC的形狀．
【分析】（1）根據(jù)分組分解法可以分解題目中的因式，本題得以解決；
（2）根據(jù)因式分解法可以分解題目中的式子，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得到該三角形的形狀，本題得以解決．
【解析】（1）x2﹣6xy+9y2﹣3x+9y
＝（x2﹣6xy+9y2）﹣（3x﹣9y）
＝（x﹣3y）2﹣3（x﹣3y）
＝（x﹣3y）（x﹣3y﹣3）；
（2）∵a2﹣b2﹣ac+bc＝0，
∴（a2﹣b2）﹣（ac﹣bc）＝0，
∴（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，
∴（a﹣b）[（a+b）﹣c]＝0，
∵a，b，c是△ABC的三邊，
∴（a+b）﹣c＞0，
∴a﹣b＝0，
得a＝b，
∴△ABC是等腰三角形．
25．（2019秋?恩施市期末）如圖（1），有A、B、C三種不同型號(hào)的卡片若干張，其中A型是邊長(zhǎng)為a（a＞b）的正方形，B型是長(zhǎng)為a、寬為b的長(zhǎng)方形，C型是邊長(zhǎng)為b的正方形．
（1）若用A型卡片1張，B型卡片2張，C型卡片1張拼成了一個(gè)正方形（如圖（2）），此正方形的邊長(zhǎng)為　a+b　，根據(jù)該圖形請(qǐng)寫出一條屬于因式分解的等式：　a2+2ab+b2＝（a+b）2?。?br /> （2）若要拼一個(gè)長(zhǎng)為2a+b，寬為a+2b的長(zhǎng)方形，設(shè)需要A類卡片x張，B類卡片y張，C類卡片z張，則x+y+z＝　9?。?br /> （3）現(xiàn)有A型卡片1張，B型卡片6張，C型卡片11張，從這18張卡片中拿掉兩張卡片，余下的卡片全用上，你能拼出一個(gè)長(zhǎng)方形或正方形嗎？有幾種拼法？請(qǐng)你通過(guò)運(yùn)算說(shuō)明理由．

【分析】（1）由圖可得可得正方形的邊長(zhǎng)為 a+b，由圖（2）可得因式分解的等式a2+2ab+b2＝（a+b）2；
（2）因?yàn)椋?a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，所以需要用A類卡片2張，B類卡片5張，C類卡片2張，即可求x、y、z對(duì)應(yīng)的值；
（3）?第一種：A型卡片拿掉1張，B型卡片拿掉1張，則能拼出一個(gè)長(zhǎng)方形，即長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為5A+11b，寬為b，
?第二種：A型卡片拿掉1張，C型卡片拿掉1張，則能拼出一個(gè)長(zhǎng)方形，即長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為3A+5b，寬為2b，
?第三種：C型卡片拿掉2張，則能拼出一個(gè)正方形方形，即正方形邊長(zhǎng)為A+3b，
【解析】（1）由圖（1）和圖（2）可得正方形的邊長(zhǎng)為 a+b，
由圖（2）可得因式分解的等式a2+2ab+b2＝（a+b）2．
故答案為a+b，a2+2ab+b2＝（a+b）2；
（2）∵（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，
∴需要用A類卡片2張，B類卡片5張，C類卡片2張，
∴x+y+z＝2+5+2＝9；
故答案為9；
（3）三種拼法：
?第一種：A型卡片拿掉1張，B型卡片拿掉1張，則能拼出一個(gè)長(zhǎng)方形，即長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為5A+11b，寬為b，
∴b（5a+11b）＝5ab+11b2；
?第二種：A型卡片拿掉1張，C型卡片拿掉1張，則能拼出一個(gè)長(zhǎng)方形，即長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為3A+5b，寬為2b，
∴2b（3a+5b）＝6ab+10b2；或者長(zhǎng)為6A+10b，寬為b，∴（6a+10b）b＝6ab+10b2；此種情況共2種拼法；
?第三種：C型卡片拿掉2張，則能拼出一個(gè)正方形方形，即正方形邊長(zhǎng)為A+3b，
?∴（a+3b）2＝a2+6ab+9b2．

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