通過勾股定理的學(xué)習(xí)，求線段最值問題是本章學(xué)習(xí)的一個(gè)重要內(nèi)容，通過分析，其求最值問題有以下幾個(gè)類型：
類型一、利用兩點(diǎn)之間線段最短解決最值問題；
類型二、利用點(diǎn)線之間垂線段最短解決最值問題；
類型三、圖形折疊變換中利用勾股定理解決最值問題；
類型四、通過勾股定理利用非負(fù)性解決最值問題；
類型五、立體圖形中通過勾股定理解決最值問題。
類型一 兩點(diǎn)之間，線段最短
1．已知如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，則DN+MN的最小值為（　?。?br />
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【思路點(diǎn)撥】
此題理論依據(jù)為：兩點(diǎn)之間，線段最短，此題兩定點(diǎn)D、M，一動(dòng)點(diǎn)N,簡(jiǎn)稱：兩定一動(dòng)；
解題思路：兩定一動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)在對(duì)稱軸上，兩定點(diǎn)中，有對(duì)稱點(diǎn)找出來，沒對(duì)稱點(diǎn)作出來（作一個(gè)定點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)），連接對(duì)稱點(diǎn)與另一定點(diǎn)，與對(duì)稱軸交點(diǎn)就是最小值時(shí)的動(dòng)點(diǎn)位置，最后把“折打直”解決問題
解：根據(jù)題意，連接BD、BM，則BM就是所求DN+MN的最小值，
在Rt△BCM中，BC＝8，CM＝6
根據(jù)勾股定理得：BM＝＝10，
即DN+MN的最小值是10；
故選B．

【點(diǎn)撥】此題的難點(diǎn)在于確定滿足條件的點(diǎn)N的位置：利用軸對(duì)稱的方法．然后熟練運(yùn)用勾股定理．
【專項(xiàng)練習(xí)】
1．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A． B．5 C． D．
2．如圖，在中，是邊的中點(diǎn)，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（ ）

A．2 B． C．4 D．
3．如圖，等邊的邊長(zhǎng)為 是邊上的中線，點(diǎn)是 邊上的中點(diǎn). 如果點(diǎn)是 上的動(dòng)點(diǎn)，那么的最 小值為（ ）

A． B． C． D．
4．如圖，如圖，在等邊△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC上的一點(diǎn)，M是AD上的點(diǎn)，若AE=2，求ME+MC的最小值（　?。?br />
A． B．2 C．4 D．
5．如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在BC上，BD＝6，CD＝2，點(diǎn)P′是AB上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PD的最小值是（　?。?br />
A．7 B．8 C．9 D．10
6．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，AB＝4，點(diǎn)P是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接BP，CP，若△BPC周長(zhǎng)的最小值為16，則BC的長(zhǎng)為（　?。?br />
A．5 B．6 C．8 D．10
7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（10,12），點(diǎn)B在x軸上，AO=AB，點(diǎn)C在線段OB上，且OC=3BC，在線段AB的垂直平分線DE上有一動(dòng)點(diǎn)G，則△BCG周長(zhǎng)的最小值為（ ）.

A． B．13 C． D．18
8．如圖，在中，，，，、分別是、上的任意一點(diǎn)，求的最小值為（ ）

A．1.5 B．2 C． D．
9．如圖，中，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，在上找一點(diǎn)，使最小，則這個(gè)最小值是（ ）

A．4 B． C． D．
10．如圖，等邊的邊長(zhǎng)為2，是邊上的中線，是上的動(dòng)點(diǎn)，是邊上的中點(diǎn)，若，求的最小值為（ ）

A． B． C． D．
11．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝10，D、E分別為邊AB、CA上兩動(dòng)點(diǎn)，則CD＋DE的最小值為（ ）

A． B．16 C． D．20
12．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，E是BC中點(diǎn)，P為BD上一動(dòng)點(diǎn)，則PE+PC的最小值為（　?。?br />
A． B．2 C． D．2
13．如圖，∠B=30°，線段BC=2，點(diǎn)E、F分別是線段BC和射線BA上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則的最小值是（ ）

A．1 B．2
C．3 D．4
14．如圖，已知∠B＝30°，線段BC＝2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段BC和射線BA上的動(dòng)點(diǎn)，則CF＋EF的最小值是（ ）

A．1 B．2 C． D．
15．一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于點(diǎn),,點(diǎn),分別是,的中點(diǎn),是上一動(dòng)點(diǎn).則周長(zhǎng)的最小值為（ ）

A．4 B． C． D．
16．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，D是BC邊的中點(diǎn)，E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，則EC+ED的最小值是（ ）

A．3 B． C． D．
17．如圖，在菱形中，=120°，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，P是對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AB=2，則PB+PE的最小值是（ ）

A．1 B． C．2 D．
18．如圖，在中，AB＝AC＝8，∠BAC＝60°，E是高AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是邊AB的中點(diǎn)，則的最小值是（ ）

A．4 B．4 C．8 D．8
19．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AC上一點(diǎn)，則DE+BE的最小值為（　?。?br />
A．2 B． C． D．
類型二：點(diǎn)線之間，垂線段最短
2.如圖，在中，，，，是的平分線，若、分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（ ）．

A． B．2 C． D．5
【答案】C
【思路點(diǎn)撥】
此題理論依據(jù)為：點(diǎn)線之間，垂線段最短，此題兩動(dòng)點(diǎn)P、Q，一定點(diǎn)C，簡(jiǎn)稱：“兩動(dòng)一定”；
解題思路：兩動(dòng)一定，此類題往往以垂線段最短為解題方向，結(jié)合角平分性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等，把“折打直”再通過等面積法解決問題。
解：如圖，作CQ′⊥AB于Q′，交AD于點(diǎn)P，作PQ⊥AC此時(shí)PC+PQ最短．
∵PQ⊥AC，PQ′⊥AB，AD平分∠CAB，
∴PQ=PQ′，
∴PQ+CP=PC+PQ′=CQ′，
∴根據(jù)垂線段最短可知此時(shí)PC+PQ最短．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB===5，
∵?AC?BC=?AB?CQ′，
∴CQ′==，
∴PC+PQ的最小值為，
故選C.

【點(diǎn)撥】
本題考查軸對(duì)稱-最短問題、角平分線性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是找到點(diǎn)P、Q的位置，靈活應(yīng)用垂線段最短解決問題，屬于中考?？碱}型．
20．如圖，在△ABC中，有一點(diǎn)P在直線AC上移動(dòng)，若AB=AC=5，BC=6，則 BP的最小值為（　?。?br />
A． B．5 C．4 D．4.8
21．如圖，在三角形ABC中，AB⊥AC于點(diǎn)A，AB＝6，AC＝8，BC＝10，點(diǎn)P是線段BC上的一點(diǎn)，則線段AP的最小值為_____．

22．已知△ABC，AB＝5，BC＝12，AC＝13，點(diǎn)P是AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線段BP長(zhǎng)的最小值是（　　）
A． B．5 C． D．12
23．如圖，在△ABC中，有一點(diǎn)P在直線AC上移動(dòng)，若AB=AC=5，BC=6，則BP的最小值為（ ）

A． B．5 C．4 D．

24．如圖，OC平分∠AOB，點(diǎn)P是OC上一點(diǎn)，PM⊥OB于點(diǎn)M，點(diǎn)N是射線OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若OM=4，OP=5，則PN的最小值為（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
25．如圖，在中，有一點(diǎn)P在上移動(dòng)，若，，則的最小值為（ ）

A．4.8 B．8 C．8.8 D．9.8
26．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中A(-4，0)，B(0，3)，P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則OP的最小值是( )

A．3 B．4 C． D．
27．如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，若P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AP＋BP＋CP的最小值是（）

A．14 B．14.8 C．16 D．18
28．如圖，在銳角△ABC中，AB=6，∠BAC=60°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是（ ）

A．3 B． C． D．6
29．如圖，在R△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，E為AC上一點(diǎn)，且AE＝，AD平分∠BAC交BC于D．若P是AD上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PE的最小值等于（　?。?br />
A． B． C．4 D．
30．如圖， 中，，，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（ ）

A．7.2 B．8.0 C．8.8 D．9.6
31．如圖，在中，，，，平分交于D點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）

A． B． C．3 D．
32．如圖，在銳角△ABC中，AB=42，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是（ ）

A．8 B．6 C．5 D．4
33．如圖，在中，點(diǎn)M是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，若，，則BM的最小值為（ ）

A．8 B．9.6 C．10 D．45
34．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若點(diǎn)P在邊AC上移動(dòng)，則BP的最小值是（　?。?br />
A．5 B．6 C．4 D．4.8
35．如圖，在中，，，，AD是的平分線．若P，Q分別是AD和AC上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（ ）

A． B．4 C．5 D．
36．如圖，在△ABC中，有一點(diǎn)P在線段AC上移動(dòng)．若AB＝AC＝5，BC＝6，則BP的最小值為(　　)

A．4.8 B．5 C．4 D．
37．如圖，在中，，BC邊上的高，E是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是邊AB的中點(diǎn)，則的最小值是（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8
38．如圖，在△ACB中，有一點(diǎn)P在AC上移動(dòng)，若AB=AC=5，BC=6，則AP+BP+CP的最小值為（ ）

A．9.6 B．9.8 C．11 D．10.2
39．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分線．若P，Q分別是AD和AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PQ的最小值是（ ）

A． B．5 C．6 D．8
40．如圖，在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，點(diǎn)D在邊BC上，以AC為對(duì)角線的所有平行四邊形ADCE中，DE的最小值是（　?。?br />
A．2 B．3 C．4 D．5
41．如圖，在中，，的垂直平分線交于，交于，是直線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，若，的周長(zhǎng)是36.則的最小值為（ ）

A． B．10 C．12 D．13
42．如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝4，O為AC中點(diǎn)，若點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng)，連接OE，則在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過程中，線段OE的最小值是為（　?。?br />
A． B． C．1 D．
類型三、利用非負(fù)性解決最值問題
如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形中，點(diǎn)為對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，于于，則的最小值為（ ）

A． B． C． D．
【思路點(diǎn)撥】此題求EF最小值，利用MF+ME=4，設(shè)MF=x，通過勾股定理用含x的代數(shù)式各表示EF的長(zhǎng)，再通過平方非負(fù)性（二次函數(shù)最值）得出最值。
【答案】B
解：在邊長(zhǎng)為4cm的正方形ABCD中，BC=CD=4
∠C=90°，∠CBD=∠CDB=45°
于于F
∠MEC=∠MFC=∠MFD=90°
四邊形MECF是矩形，△MDF為等腰三角形
CE=MF=DF
設(shè)DF=x,則CE=x
CF=CD-DF=4-x
在RT△CEF中，由勾股定理得

=
=
，當(dāng)且僅當(dāng)x-2=0時(shí)，即x=2時(shí)，有最小值0
當(dāng)且僅當(dāng)x-2=0時(shí)，即x=2時(shí)，有最小值
故選B。
【點(diǎn)撥】本題考查正方形的性質(zhì)，找好點(diǎn)M的位置是解題關(guān)鍵.
43．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，的值為（ ）
A． B． C． D．
類型四、折疊中的最值問題
3如圖，在長(zhǎng)方形紙片中，，.點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).將沿所在直線翻折，得到.則長(zhǎng)的最小值是（ ）

A． B． C． D．
【思路點(diǎn)撥】由折疊可知EA=EG,即EG為定長(zhǎng)，要使GC最短，則由 E、C為定點(diǎn)，所以EC為定長(zhǎng)，所以當(dāng)E、G、C三點(diǎn)共線時(shí)，GC最小。
【答案】A
解：以點(diǎn)E為圓心，AE長(zhǎng)度為半徑作圓，連接CE，當(dāng)點(diǎn)G在線段CE上時(shí)，GC的長(zhǎng)取最小值，如圖所示．

根據(jù)折疊可知：，
在Rt△BCE中，，
，
∴GC的最小值=CE-GE=,
故選：A.
【點(diǎn)撥】本題考查了翻折變換、矩形的性質(zhì)以及勾股定理，利用作圓，找出A′C取最小值時(shí)點(diǎn)A′的位置是解題的關(guān)鍵．
44．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，將沿翻折，得到，則的最小值是（ ）

A．6 B．7 C．8 D．9
45．如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，把矩形ABCD沿過點(diǎn)A的直線AE折疊，點(diǎn)D落在矩形ABCD內(nèi)部的點(diǎn)D′處，則CD′的最小值是（ ）

A．4 B． C． D．
46．如圖，在中，，，．點(diǎn)D在邊上，將沿直線翻折，點(diǎn)B恰好落在邊上的點(diǎn)E處，若點(diǎn)P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，，則的周長(zhǎng)的最小值為（ ）

A． B． C． D．
類型五：通過平移解決最值問題
5．如圖，直線上有兩動(dòng)點(diǎn)、，點(diǎn)、點(diǎn)在直線同側(cè)，且點(diǎn)與點(diǎn)分別到的距離為米和米（即圖中米，米），且米，動(dòng)點(diǎn)之間的距離總為米，使到的距離與到的距離之和最小，則的最小值為（ ）

A． B．
B． D．

【思路點(diǎn)撥】做線段AP∥L且AP=S，且點(diǎn)P在點(diǎn)A的右側(cè)，作P關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)P′，連接BP′交直線L于點(diǎn)D，在L上D的左側(cè)截取DC=S，此時(shí)BP′即為所求的最小值，作P′E⊥BB′交BB′的延長(zhǎng)線于E，利用勾股定理求解即可．
【答案】D
【分析】解： ∵P′E=c-S，BE=a+b，
∴P′B=，
故選D．

【點(diǎn)撥】考查最短路線問題及平移問題的綜合應(yīng)用；用平移和對(duì)稱的知識(shí)綜合解決最短路線問題是解決本題的關(guān)鍵；構(gòu)造出直角三角形解決問題是解決本題的難點(diǎn)．
47．如圖，在△ABC中，，動(dòng)點(diǎn)P，Q在邊BC上（P在Q的左邊），且，則的最小值為（ ）

A．8 B． C．9 D．
類型六：立體圖形中最值問題
6．如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為12cm，底面周長(zhǎng)為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點(diǎn)B處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點(diǎn)A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是______cm．

【思路點(diǎn)撥】立體圖形中最值問題往往轉(zhuǎn)化為平面圖形，利用兩點(diǎn)之間線段最短，通過勾股定理解決問題，本題如圖，將容器側(cè)面展開，建立A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知的長(zhǎng)度即為所求．
解：將圓柱沿A所在的高剪開，展平如圖所示，則，
作A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，
則此時(shí)線段即為螞蟻?zhàn)叩淖疃搪窂剑?br /> 過B作于點(diǎn)，
則，
在中，
由勾股定理得，
故答案為：13．

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，最短路徑問題，勾股定理的應(yīng)用等，正確利用側(cè)面展開圖、熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
48．如圖，要為一段高5m，長(zhǎng)13m的樓梯鋪上紅地毯，至少需要紅地毯______m．

49．如圖所示是一個(gè)長(zhǎng)方體紙盒，紙盒的長(zhǎng)為，寬為，高為，一只螞蟻想從盒底的點(diǎn)沿盒的表面爬到盒頂?shù)狞c(diǎn)，螞蟻爬行的最短路程是______．

參考答案
類型一 兩點(diǎn)之間，線段最短
1．【答案】A
【分析】求出A點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，交y軸于點(diǎn)P，則P即為所求點(diǎn)，利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求解．
解：作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交y軸于點(diǎn)P，則P即為所求點(diǎn)；
∵點(diǎn)A（-4，1），
∴點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（4，1），
∵A′（4，1），B（-2，-3），
∴A′B==，
即PA+PB的最小值為，
故選A．

【點(diǎn)撥】本題考查的是最短線路問題及兩點(diǎn)間的距離公式，解答此題的關(guān)鍵是熟知兩點(diǎn)之間線段最短的知識(shí)．
2．解：如圖，過點(diǎn)C作CO⊥AB于O，延長(zhǎng)CO到C′，使OC′＝OC，連接DC＇，交AB于E，此時(shí)DE＋CE＝DE＋EC′＝DC′的值最小，連接BC′．


在中， AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°．
由對(duì)稱性可知∠ABC＇＝∠ABC＝45°．
∴∠CBC＇＝90°．
∵CC＇⊥AB，OC′＝OC，
∴BC＇＝BC＝2．
∵D是BC邊的中點(diǎn)，
∴BD＝1．
根據(jù)勾股定理可得：DC＇＝＝．
故EC＋ED的最小值是．
故答案為：D．
【點(diǎn)撥】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，確定動(dòng)點(diǎn)E何位置，使EC＋ED的值最小是關(guān)鍵．
3．【答案】D
【分析】要求EP+CP的最小值，需考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化EP，CP的值，從而找出其最小值求解
解：連接BE，與AD交于點(diǎn)G．

∵△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中線，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分線，
∴點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，
∴BE就是EP+CP的最小值．
∴G點(diǎn)就是所求點(diǎn)，即點(diǎn)G與點(diǎn)P重合，
∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為8，E為AC的中點(diǎn)，
∴CE=4，BE⊥AC，
在直角△BEC中，BE=，
∴EP+CP的最小值為，
故選D.
【點(diǎn)撥】此題考查軸對(duì)稱-最短路線問題，等邊三角形的對(duì)稱性、三線合一的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，熟練掌握，即可解題.
4．【答案】A
【分析】連接BE，交AD于M，連接CM，過點(diǎn)B作BF⊥AC于F，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，AD垂直平分BC，BF垂直平分AC，AC=BC=AB=6，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，此時(shí)ME+MC最小，且最小值為BE的長(zhǎng)，利用勾股定理求出BF，然后求出EF，再利用勾股定理即可求出BE．
解：連接BE，交AD于M，連接CM，過點(diǎn)B作BF⊥AC于F

∵在等邊△ABC中，AB=6，AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，BF垂直平分AC，AC=BC=AB=6
∴MB=MC，AF=
∴ME+MC=ME＋MB=BE，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，此時(shí)ME+MC最小，且最小值為BE的長(zhǎng)
在Rt△ABF中，BF==
∵AE=2
∴EF=AF－AE=1
在Rt△BEF中，BE==
即ME+MC的最小值為
故選A．
【點(diǎn)撥】此題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短的應(yīng)用和勾股定理，掌握等邊三角形的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短和勾股定理是解題關(guān)鍵．
5．【答案】D
【分析】過點(diǎn)B作D'B⊥BC，且BD'＝6，連接CD'交AB于點(diǎn)P，由“SAS”可證△BPD≌△BPD'，可得DP＝D'P，可得PC+PD的最小值為D'C，由勾股定理可求解．
解：如圖，過點(diǎn)B作D'B⊥BC，使BD'＝6，連接CD'交AB于點(diǎn)P
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°，且BD'⊥BC
∴∠D'BP＝∠DBP＝45°，且BD＝6＝BD'，BP＝BP
∴△BPD≌△BPD'（SAS）
∴DP＝D'P
∴CP+DP＝CP+D'P
∴PC+PD的最小值為D'C，
∵BD＝6，CD＝2
∴BC＝8，
∴D'C＝
∴PC+PD的最小值為10
故選：D．

【點(diǎn)撥】本題考查利用軸對(duì)稱的性質(zhì)解決最短路徑問題，涉及了直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用．
6．【答案】B
【分析】作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)E，連接CE交AD于P，則AE＝AB＝4，EP＝BP，設(shè)BC＝x，則CP+BP＝16﹣x＝CE，依據(jù)Rt△BCE中，EB2+BC2＝CE2，即可得到82+x2＝（16﹣x）2，進(jìn)而得出BC的長(zhǎng)．
解：如圖所示，作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)E，連接CE交AD于P，則AE＝AB＝4，EP＝BP，
設(shè)BC＝x，則CP+BP＝16﹣x＝CE，
∵∠BAD＝90°，AD∥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴Rt△BCE中，EB2+BC2＝CE2，
∴82+x2＝（16﹣x）2，
解得x＝6，
∴BC＝6，
故選B．

【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理的應(yīng)用和三角形的周長(zhǎng)，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的應(yīng)用和三角形的周長(zhǎng)的計(jì)算.
7．【答案】D
【分析】
過A作AH⊥OB于H,連接AD,根據(jù)MN垂直平分AB,即可得到AD=BD,當(dāng)A,D,C在同一直線上時(shí),△BCD周長(zhǎng)的最小值為AC+BC的長(zhǎng),根據(jù)勾股定理求得AC的長(zhǎng),即可得到△BCD周長(zhǎng)的最小值為13+5=18.
【詳解】
如圖,過A作AH⊥OB于H,連接AD

∵點(diǎn)A坐標(biāo)為(10,12),AO=AB
∴OH=BH=10,AH=12
又∵OC=3BC
∴BC=5,CO=15
∴CH=15-10=5
∵M(jìn)N垂直平分AB,
∴AD=BD
∴BD+CD=AD+CD
∴當(dāng)A,D,C在同一直線上時(shí),△BCD周長(zhǎng)的最小值為AC+BC的長(zhǎng)
此時(shí),Rt△ACH中,AC= = 13
△BCD周長(zhǎng)的最小值=13+5=18
故選:D
【點(diǎn)撥】
此題考查垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理，三角形的周長(zhǎng)，解題關(guān)鍵在于利用好垂直平分線的性質(zhì)求出AD=BD
8．【答案】A
【分析】作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，作于點(diǎn)交于點(diǎn)，則此時(shí)的值最小，且，再進(jìn)一步求出即可得到結(jié)論．
解：如圖：

作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接、，作于點(diǎn)交于點(diǎn)
∵在中，，
∴
∴
∵與關(guān)于對(duì)稱
∴，，
∴是一個(gè)等邊三角形
∵
∴在中，，
∴
∵，
∴，根據(jù)垂線段最短，可得MN＋NB的最小值即為的長(zhǎng)
∴
故選：A
【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形以及最短路徑等知識(shí)點(diǎn)．找到點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)以及適當(dāng)?shù)奶砑虞o助線是解題的關(guān)鍵．
9．【答案】B
【分析】要求PA+PE的最小值，PA，PE不能直接求，可考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化PA，PE的值，從而找出其最小值．
解： ∵Rt△ABC中，AC=BC=2，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，
∴CE=1，AD=BD，
∴A、B關(guān)于CD對(duì)稱
如圖，連接BE交CD于點(diǎn)P，則PA=PB
∴BE就是PA+PE的最小值，

在Rt△BCE中，由勾股定理得：
∴PA+PE的最小值是
故選：B
【點(diǎn)撥】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和軸對(duì)稱及勾股定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用，解題時(shí)注意轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用．
10．【答案】D
【分析】先連接BM，再根據(jù)MB=MC，將EM+CM轉(zhuǎn)化為EM+BM，最后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，求得BE的長(zhǎng)，即為EM+CM的最小值．
解：連接BM，

∵等邊△ABC中，AD是BC邊上的中線
∴AD是BC邊上的高線，即AD垂直平分BC
∴MB=MC
當(dāng)B、M、E三點(diǎn)共線時(shí)，EM+CM=EM+BM=BE
∵等邊△ABC中，E是AC邊的中點(diǎn)
∴直角三角形ABE中，BE=
即的最小值
故選D.
【點(diǎn)撥】本題主要考查了等邊三角形的軸對(duì)稱性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，熟練掌握和運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)以及軸對(duì)稱的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．解題時(shí)注意，最小值問題一般需要考慮兩點(diǎn)之間線段最短或垂線段最短等結(jié)論．
11．【答案】C
【解析】如圖，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，過B′點(diǎn)作B′D⊥AB于D，交AC于E，連接AB′、BE，則BE+ED=B′E+ED=B′D的值最?。?br /> ∵點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)是B′，BC=10， ∴B′C=10，BB′=20．
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=20，BC=10， ∴AB= 10
∵S△ABB′= 20×20÷2=200 ∴B′D= BB′×AC÷AB =20×20÷10=8
∴BE+ED=B′D=8．

點(diǎn)撥：主要考查你對(duì)軸對(duì)稱等考點(diǎn)的理解. 把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合 ，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做對(duì)稱點(diǎn).軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形的特性是相同的，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離都是相等的.利用軸對(duì)稱圖形的形狀來解決動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的最短距離是經(jīng)常用到的數(shù)學(xué)思想，同學(xué)們?cè)诳吹竭@種問題的時(shí)候就要想到軸對(duì)稱的性質(zhì).
12．【答案】C
【解析】
分析：要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化PE，PC的值，從而找出其最小值求解．
詳解：如圖，連接AE，

∵點(diǎn)C關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A,
∴PE+PC=PE+AP，
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得AE就是AP+PE的最小值，
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E是BC邊的中點(diǎn)，
∴BE=1.5，
∴AE==，
故選：C.
點(diǎn)撥：此題主要考查了正方形的性質(zhì)和軸對(duì)稱以及勾股定理等知識(shí)的綜合運(yùn)用，根據(jù)已知得出兩點(diǎn)之間線段最短，可得AE就是PE+AP的最小值是解題的關(guān)鍵.
13．【答案】C
【分析】作C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)D，過D作DE⊥BC交AB于F，則此時(shí)，CF+EF的值最小，且CF+EF的最小值=DE，由勾股定理即可得到結(jié)論．
解：作C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)D，過D作DE⊥BC交AB于F，則此時(shí)，CF+EF的值最小，且CF+EF的最小值=DE，

∵DG⊥AB，
∴∠CGB=90°，
∵BC=2，∠B=30°，
∴CG=BC=1，
∴CD=2，
∵∠DGF=∠BEF=90°，∠BFE=∠DFG，
∴∠D=∠B=30°，
∴
∴由勾股定理，DE=，
∴CF+EF的最小值是，
則=，
故選：C．
【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題，正確的作出對(duì)稱點(diǎn)，熟練掌握軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
14．【分析】
作點(diǎn)C關(guān)于直線BA的對(duì)稱點(diǎn)C’，連接BC’，作C’E’⊥BC，則C’E’的長(zhǎng)就是CF＋EF的最小值，然后根據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求出C’E’即可.
【詳解】
解：作點(diǎn)C關(guān)于直線BA的對(duì)稱點(diǎn)C’，連接BC’，作C’E’⊥BC，則C’E’的長(zhǎng)就是CF＋EF的最小值，
∵BC＝2，∠ABC＝30°，
∴BC’＝2，∠ABC’ ＝30°，
∴∠CBC’ ＝60°，
∴BE’=，
∴C’E’=，即CF＋EF的最小值是，
故選：C.

【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱－最短路徑問題，根據(jù)題意得到C’E’的長(zhǎng)就是CF＋EF的最小值是解題關(guān)鍵.
15【答案】D
【分析】作C點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，與y軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P，用勾股定理可求得長(zhǎng)度，可得PC+PD的最小值為，再根據(jù)CD=2，可得PC+PD+CD=
解：如圖，作C點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交y軸與點(diǎn)P，此時(shí)PC+PD的值最小且

∵,分別是,的中點(diǎn)，,
∴C（1，0），D（1,2）
在Rt△中，由勾股定理可得
又∵D（1,2）
∴CD=2
∴此時(shí)周長(zhǎng)為PC+PD+CD=
故選D
【點(diǎn)撥】本題考查最短路徑問題，把圖形作出來是解題關(guān)鍵，再結(jié)合勾股定理解題.
16．【答案】C
【分析】首先確定DC′＝DE＋EC′＝DE＋CE的值最小，然后根據(jù)勾股定理計(jì)算．
解：過點(diǎn)C作CO⊥AB于O，延長(zhǎng)CO到C′使OC′＝OC，連接DC′，交AB于E，連接C′B，
此時(shí)DE＋CE＝DE＋EC′－DC′的值最小.

連接BC′，由對(duì)稱性可知∠C′BE＝∠CBE＝45°，
∴∠CBC′＝90°，
∴BC′⊥BC，∠BCC′＝∠BC′C＝45°，
∴BC＝BC′＝2，
∵D是BC邊的中點(diǎn)，
∴BD＝1，
根據(jù)勾股定理可得：
，
，
.
故EC+ED的最小值是.
故答案為C.
【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱—最短路線問題，熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是本題解題的關(guān)鍵.
17．【答案】B
【解析】
找出B點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D，連接DE交AC于P，則DE就是PB
+PE的最小值，求出即可.
解：連接DE交AC于P，連接DE，DB，

由菱形的對(duì)角線互相垂直平分，可得B、D關(guān)于AC對(duì)稱，則PD=PB，
∴PE+PB=PE+PD=DE，
即DE就是PE+PB的最小值，
∵∠ABC=120°，
∴∠BAD=60°，
∵AD=AB，
∴△ABC是等邊三角形，
∵AE=BE，
∴DE⊥AB（等腰三角形三線合一的性質(zhì)）.
在Rt△ADE中，DE==.
即PB+PE的直線值為.
故選B.
“點(diǎn)撥”本題主要考查軸對(duì)稱. 最短路線問題，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)．確定P點(diǎn)的位置是解答此題的關(guān)鍵.
18．【答案】B
【分析】
先連接CF，再根據(jù)EB=EC，將FE+EB轉(zhuǎn)化為FE+CE，最后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，求得CF的長(zhǎng)，即為FE+EB的最小值．
【詳解】
解：連接CE，

∵等邊△ABC中，AD是BC邊上的高線，即AD垂直平分BC，∠BAC＝60°，
∴EB=EC，∠BAD＝30°，
∴BD=AB=4，
∴AD=，
當(dāng)C、F、E三點(diǎn)共線時(shí)，EF+EC=EF+BE=CF，
∵等邊△ABC中，F(xiàn)是AB邊的中點(diǎn)，
∴AD=CF=4，
∴EF+BE的最小值為4，
故選：B．
【點(diǎn)撥】
本題考查了等邊三角形的軸對(duì)稱性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，熟練掌握和運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)以及軸對(duì)稱的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
19．【答案】C
【分析】
作B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接B′D，易求∠ABB'=60°，則AB=AB'，且△ABB'為等邊三角形，BE+DE=DE+EB'為B'與直線AB之間的連接線段，其最小值為B'到AB的距離=AC=，所以最小值為．
【詳解】
解：作B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接B′D，

∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，
∴∠ABC=60°，
∵AB=AB'，
∴△ABB'為等邊三角形，
∴BE+DE=DE+EB'為B'與直線AB之間的連接線段，
∴最小值為B'到AB的距離=AC=，
故選C．
【點(diǎn)撥】本題考查的是最短線路問題及等邊三角形的性質(zhì)，熟知兩點(diǎn)之間線段最短的知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．
類型二：點(diǎn)線之間，垂線段最短
20．【答案】D
【解析】
解：根據(jù)垂線段最短，得到BP⊥AC時(shí)，BP最短，過A作AD⊥BC，交BC于點(diǎn)D，∵AB=AC，AD⊥BC，∴D為BC的中點(diǎn)，又BC=6，∴BD=CD=3．在Rt△ADC中，AC=5，CD=3，根據(jù)勾股定理得：AD===4．又∵S△ABC=BC?AD=BP?AC，∴BP===4.8．故選D．

點(diǎn)撥：此題考查了勾股定理，等腰三角形的三線合一性質(zhì)，三角形的面積求法，以及垂線段最短；熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．
21．【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．
【詳解】
解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
當(dāng)AP⊥BC時(shí)，AP的值最短，
∴AP＝＝
∴線段AP的最小值為，
故答案為：．
【點(diǎn)撥】
本題考查了垂線段最短，三角形的面積，熟練掌握勾股定理的逆定理即可得到結(jié)論．

22．【答案】A
解：∵AB=5，BC=12，AC=13，∴AB2+BC2=169=AC2，∴△ABC是直角三角形，當(dāng)BP⊥AC時(shí)，BP最小，∴線段BP長(zhǎng)的最小值是：13BP=5×12，解得：BP=．故選A．

點(diǎn)撥：本題主要考查勾股定理的逆定理以及直角三角形面積求法，關(guān)鍵是熟練運(yùn)用勾股定理的逆定理進(jìn)行分析．
23．【答案】A
【解析】由垂線段最短，得到BP⊥AC時(shí)，BP最短，過A作AD⊥BC，交BC于點(diǎn)D，∵AB=AC，AD⊥BC，∴D為BC的中點(diǎn)，又BC=6，∴BD=CD=3，在Rt△ADC中，AC=5，CD=3，由勾股定理得：AD==4，又∵S△ABC=BC?AD=BP?AC，∴BP===4.8．故選A．

考點(diǎn)：1．勾股定理；2．垂線段最短．
24．【答案】B
【解析】先根據(jù)勾股定理求出PM的值，根據(jù)垂線段最短可得PN⊥OA時(shí)，PN最短，再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得PM=PN，從而得解．
解：∵PM⊥OB于點(diǎn)M，OM＝4，OP＝5，
∴PM＝3，
當(dāng)PN⊥OA時(shí)，PN的值最小，
∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，
∴PM＝PN，
∵PM＝3，
∴PN的最小值為3．
故選B．
【點(diǎn)撥】本題考查角平分線的性質(zhì)，垂線段最短，勾股定理.
25．【答案】D
【分析】若AP+BP+CP最小，就是說當(dāng)BP最小時(shí)，AP+BP+CP才最小，因?yàn)椴徽擖c(diǎn)P在AC上的那一點(diǎn)，AP+CP都等于AC．那么就需從B向AC作垂線段，交AC于P．先設(shè)AP=x，再利用勾股定理可得關(guān)于x的方程，解即可求x，在Rt△ABP中，利用勾股定理可求BP．那么AP+BP+CP的最小值可求．
解：從B向AC作垂線段BP，交AC于P，
設(shè)AP=x，則CP=5-x，
在Rt△ABP中，BP2=AB2-AP2，
在Rt△BCP中，BP2=BC2-CP2，
∴AB2-AP2=BC2-CP2，
∴52-x2=62-（5-x）2
解得x=1.4，
在Rt△ABP中，BP=，
∴AP+BP+CP=AC+BP=5+4.8=9.8．
故選：D．

【點(diǎn)撥】本題主要考查最短路線問題，確定出P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．
26．【答案】C
【分析】作OP⊥AB，由垂線段最短可知此時(shí)OP的值最小，然后根據(jù)面積法求解即可.
解：作OP⊥AB，由垂線段最短可知此時(shí)OP的值最小.
∵A(-4，0)，B(0，3)，
∴OA=4,OB=3,
∴AB=.
∵,
∴5OP=12,
∴OP=.
故選C.

【點(diǎn)撥】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，垂線段最短，勾股定理等知識(shí)，根據(jù)題意得到“當(dāng)OP⊥AB時(shí)，OP的值最小”是解題的關(guān)鍵．
27．【答案】B
【分析】根據(jù)勾股定理可求出AC，由題意可知當(dāng)BP取最小值時(shí)，AP＋BP＋CP的值最小，而當(dāng)BP⊥AC時(shí)，BP取最小值，故利用面積法求出BP的最小值即可.
解：∵在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，
∴BC＝8，
∴AC＝，
∴AP＋CP＝AC＝10，
∴當(dāng)BP取最小值時(shí)，AP＋BP＋CP的值最小，
而當(dāng)BP⊥AC時(shí)，BP取最小值，
故此時(shí)S△ABC＝，
∴，即BP的最小值為4.8，
∴AP＋BP＋CP的最小值是10+4.8＝14.8，
故選：B.
【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，分析得出當(dāng)BP⊥AC時(shí)BP取最小值是解題的關(guān)鍵.
28．【答案】B
【解析】在AC上取一點(diǎn)E，使得AE=AB，過E作EN⊥AB于N′，交AD于M，連接BM，BE，BE
交AD于O，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短和垂線段最短得出此時(shí)BM+MN最小，求出E和B關(guān)于AD對(duì)稱，
求出BM+MN′=EN′，求出EN′，即可求出答案．∵EN′⊥AB，∴∠ENA=90°，∵∠CAB=60°，∴∠AEN′=30°，∵AE=AB=6，∴AN=AE=3，在△AEN中，由勾股定理得：EN===3，
即BM+MN的最小值是3．
考點(diǎn)：軸對(duì)稱—最短路線問題
點(diǎn)評(píng)：本題考查軸對(duì)稱—最短路線問題，解答此類題主要是從已知條件結(jié)合圖形認(rèn)真思考，通過角平分線的性質(zhì)和垂線段最短，找出答案．
29．【答案】D
【分析】如圖，作點(diǎn)E關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接CE′交AD于P′，連接EP′，此時(shí)EP′+CP′的值最小，作CH⊥AB于H．求出CE′即可．
【詳解】如圖，作點(diǎn)E關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接CE′交AD于P′，連接EP′，此時(shí)EP′+CP′的值最小，作CH⊥AB于H．

∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB===10，
∴CH==，
∴AH===，
∴AE=AE′=，
∴E′H=AH-AE′=2，
∴P′C+P′E=CP′+P′E′=CE′===，
故選：D．
【點(diǎn)撥】此題主要考查利用對(duì)稱性以及勾股定理的運(yùn)用，解題關(guān)鍵是做好輔助線，轉(zhuǎn)換等量關(guān)系.
30．【答案】D
【分析】過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，過點(diǎn)B作BE⊥AC于E，即點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E處的時(shí)候，為最小值．先根據(jù)勾股定理求出AD的長(zhǎng)，再由三角形的面積公式即可得出BE的長(zhǎng)，即可得出最小值．

解：過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，過點(diǎn)B作BE⊥AC于E，即點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E處的時(shí)候，為最小值．
∵AB=AC=10，BC=12
∴BD=BC=6
∴AD===8
∴BCAD=ACBE
即BE==9.6．
即BQ的最小值為9.6．
故選D．
【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理. 熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解題的關(guān)鍵．
31．【答案】D
【分析】利用角平分線構(gòu)造全等，使兩線段可以合二為一，則EC+EF的最小值即為點(diǎn)C到AB的垂線段長(zhǎng)度．
解：在AB上取一點(diǎn)G，使AG＝AF
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4
∴AB=5，
∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE，
∴△AEF≌△AEG（SAS）
∴FE＝GE，
∴要求CE+EF的最小值即為求CE+EG的最小值，
故當(dāng)C、E、G三點(diǎn)共線時(shí)，符合要求，
此時(shí)，作CH⊥AB于H點(diǎn)，則CH的長(zhǎng)即為CE+EG的最小值，
此時(shí)，，
∴CH==，
即：CE+EF的最小值為，

故選：D．
【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線構(gòu)造全等以及線段和差極值問題，靈活構(gòu)造輔助線是解題關(guān)鍵．
32．【答案】D
【解析】試題分析：如圖，在AC上截取AE=AN，連接BE．根據(jù)題意可以得出△AME≌△AMN，則ME=MN．∴BM+MN=BM+ME≥BE．要使BM+MN有最小值，當(dāng)BE是點(diǎn)B到直線AC的距離時(shí)，BE⊥AC，又AB=42，∠BAC=45°，此時(shí)，△ABE為等腰直角三角形，∴BE=4，
即BE取最小值為4，∴BM+MN的最小值是4．

點(diǎn)撥：本題主要考查的就是直角三角形的勾股定理和飲馬問題，在解決飲馬問題的時(shí)候，我們一般將一個(gè)定點(diǎn)做關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行計(jì)算.本題中有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，首先將一個(gè)動(dòng)點(diǎn)看做是定點(diǎn)，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得出直線外一點(diǎn)到直線的最短距離為垂線段的長(zhǎng)度，然后根據(jù)勾股定理求出最小值.
33．【答案】B
【分析】作AD⊥BC于D，則∠ADB=90°，由等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求出AD，當(dāng)BM⊥AC時(shí)，BM最?。挥伞鰽BC的面積的計(jì)算方法求出BM的最小值．
解：作AD⊥BC于D，如圖所示：

則∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴BD=BC=6，
由勾股定理得：AD=，
當(dāng)BM⊥AC時(shí)，BM最小，
此時(shí)，∠BMC=90°，
∵△ABC的面積=AC?BM=BC?AD，
即×10×BM=×12×8，
解得：BM=9.6，
故選B．
【點(diǎn)撥】考查了勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、垂線段最短、三角形面積的計(jì)算方法；熟練掌握勾股定理，由三角形面積的計(jì)算方法求出BM的最小值是解決問題的關(guān)鍵．
34．【答案】D
【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的連線中，垂線段最短，得到當(dāng)BP垂直于AC時(shí)，BP的長(zhǎng)最小，過A作等腰三角形底邊上的高AD，利用三線合一得到D為BC的中點(diǎn)，在直角三角形ADC中，利用勾股定理求出AD的長(zhǎng)，進(jìn)而利用面積法即可求出此時(shí)BP的長(zhǎng)．
解：根據(jù)垂線段最短，得到BP⊥AC時(shí)，BP最短，
過A作AD⊥BC，交BC于點(diǎn)D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴D為BC的中點(diǎn)，又BC＝6，
∴BD＝CD＝3，
在Rt△ADC中，AC＝5，CD＝3，
根據(jù)勾股定理得：AD＝＝4，
又∵S△ABC＝BC?AD＝BP?AC，
∴BP＝＝4.8．
故選D．

【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理，等腰三角形的三線合一性質(zhì)，三角形的面積求法，以及垂線段最短，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
35．【答案】D
【分析】過點(diǎn)C作CM⊥AB交AB于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PQ⊥AC于點(diǎn)Q，由AD是∠BAC的平分線．得出PQ=PM，這時(shí)PC+PQ有最小值，即CM的長(zhǎng)度，運(yùn)用勾股定理求出AB，再運(yùn)用S△ABC=AB?CM=AC?BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．
解：如圖，過點(diǎn)C作CM⊥AB交AB于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PQ⊥AC于點(diǎn)Q，

∵AD是∠BAC的平分線．
∴PQ=PM，這時(shí)PC+PQ有最小值，即CM的長(zhǎng)度，
∵AC=6，BC=8，∠ACB=90°，
∴AB==10．
∵S△ABC=AB?CM=AC?BC，
∴CM=，
即PC+PQ的最小值為．
故選：D．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了軸對(duì)稱問題，解題的關(guān)鍵是找出滿足PC+PQ有最小值時(shí)點(diǎn)P和Q的位置．
36．【答案】A
【解析】由垂線段最短，得到BP⊥AC時(shí)，BP最短，過A作AD⊥BC，
由勾股定理求AD，再由三角形面積關(guān)系求BP.
【詳解】由垂線段最短，得到BP⊥AC時(shí)，BP最短，過A作AD⊥BC，交BC于點(diǎn)D，∵AB=AC，AD⊥BC，
∴D為BC的中點(diǎn)，
又BC=6，
∴BD=CD=3，
在Rt△ADC中，AC=5，CD=3，由勾股定理得：AD==4，
又∵S△ABC=BC?AD=BP?AC，
∴BP===4.8．

故選：A
【點(diǎn)撥】本題考核知識(shí)點(diǎn)：勾股定理，垂線段最短. 解題關(guān)鍵點(diǎn)：確定當(dāng)BP垂直于AC時(shí)最短.根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得到直角三角形，利用勾股定理得AD，利用面積關(guān)系求BP.
37．【答案】D
【解析】連接CE，

∵等邊△ABC中，AD是BC邊上的中線
∴AD是BC邊上的高線，即AD垂直平分BC，
∴EB=EC，
當(dāng)C. F. E三點(diǎn)共線時(shí)，EF+BE=EF+EC= CF，
∵等邊△ABC中，F(xiàn)是AB邊的中點(diǎn)，
∴AD=CF=8，
∴EF+BE的最小值為8，
故選D.
【點(diǎn)撥】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握和運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)以及軸對(duì)稱的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.解題時(shí)注意，最小值問題一般需要考慮兩點(diǎn)之間線段最短或垂線段最短等結(jié)論.
38．【答案】B
【分析】
過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，根據(jù)題意可得當(dāng)BP最小時(shí)，AP+BP+CP最小，然后根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)BP⊥AC時(shí)，BP最小，然后根據(jù)三線合一和勾股定理即可求出BD和AD，然后根據(jù)S△ABC=BC·AD=AC·BP即可求出此時(shí)的BP，從而求出結(jié)論．
解：過點(diǎn)A作AD⊥BC于D

∵AP＋CP=AC=5
∴AP+BP+CP=5＋BP，即當(dāng)BP最小時(shí)，AP+BP+CP最小，
根據(jù)垂線段最短，當(dāng)BP⊥AC時(shí)，BP最小
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BD=BC=3
根據(jù)勾股定理AD==4
此時(shí)S△ABC=BC·AD=AC·BP
∴×6×4=×5·BP
解得：BP=
∴AP+BP+CP的最小值為＋5=
故選B．
【點(diǎn)撥】此題考查的是垂線段最短的應(yīng)用、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理和三角形的面積公式，掌握垂線段最短、三線合一、勾股定理和三角形的面積公式是解決此題的關(guān)鍵．
39．【答案】A
【分析】
過C作CM⊥AB于M，交AD于P，過P作PQ⊥AC于Q，由角平分線的性質(zhì)得出PQ=PM，這時(shí)PC+PQ有最小值，為CM的長(zhǎng)，然后利用勾股定理和等面積法求得CM的長(zhǎng)即可解答．
【詳解】過C作CM⊥AB于M，交AD于P，過P作PQ⊥AC于Q，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴PQ=PM，則PC+PQ=PC+PM=CM，即PC+PQ有最小值，為CM的長(zhǎng)，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴由勾股定理得：AB=10，
又，
∴，
∴PC+PQ的最小值為，
故選：A．

【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)、最短路徑問題、勾股定理、三角形等面積法求高，解答的關(guān)鍵是掌握線段和最短類問題的解決方法：一般是運(yùn)用軸對(duì)稱變換將直線同側(cè)的點(diǎn)轉(zhuǎn)化為異側(cè)的點(diǎn)，從而把兩條線段的位置關(guān)系轉(zhuǎn)換，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短或垂線段最短，使兩條線段之和轉(zhuǎn)化為一條直線來解決．
40．【答案】B
【分析】由平行四邊形的對(duì)角線互相平分、垂線段最短知，當(dāng)OD⊥BC時(shí)，DE線段取最小值.
【詳解】在中，∴，，，∴．
∴為直角三角形，且．
∵四邊形是平行四邊形，
∴，．
∴當(dāng)取最小值時(shí)，線段最短，此時(shí)．
∴是的中位線．
∴．∴．
故選B.
【點(diǎn)撥】
本題考查了勾股定理逆定理，平行四邊形的性質(zhì)，三角形的中位線以及垂線段最短.此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
41．【答案】C
【分析】
連接AP，AH，先求出BC，BH的長(zhǎng)．由于△ABC是等腰三角形，點(diǎn)H是BC邊的中點(diǎn)，故AH⊥BC，再根據(jù)勾股定理求出AH的長(zhǎng)，由MN是線段AB的垂直平分線可知，點(diǎn)B關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，故AH的長(zhǎng)為BP+PH的最小值，由此即可得出結(jié)論．
【詳解】
連接AP，AH．
∵AB=AC=13，△ABC的周長(zhǎng)為36，
∴BC=36-2×13=10．
∵H是BC的中點(diǎn)，
∴BH=BC=5．
∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)H是BC邊的中點(diǎn)，
∴AH⊥BC，
∴AH=．
∵M(jìn)N是線段AB的垂直平分線，
∴點(diǎn)B關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，
∴AP=BP，
∴BP+PH=AP+PH≥AH，
∴AH的長(zhǎng)為BP+PH的最小值，
∴BP+PH的最小值為12．
故選：C．

【點(diǎn)撥】
本題考查了軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．

類型三、利用非負(fù)性解決最值問題
42．【答案】D
【分析】
設(shè)Q是AB的中點(diǎn)，連接DQ，先證得△AQD≌△AOE，得出QD＝OE，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離可知當(dāng)QD⊥BC時(shí)，QD最小，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得QD⊥BC時(shí)的QD的值，即可求得線段OE的最小值．
【詳解】
解：設(shè)Q是AB的中點(diǎn)，連接DQ，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC＝4，O為AC中點(diǎn)，
∴AQ＝AO，
在△AQD和△AOE中，
，
∴△AQD≌△AOE（SAS），
∴QD＝OE，
∵點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng)，
∴當(dāng)QD⊥BC時(shí)，QD最小，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝45°，
∵QD⊥BC，
∴△QBD是等腰直角三角形，
∴QD＝QB，
∵QB＝AB＝2，
∴QD＝，
∴線段OE的最小值是為．
故選D．

【點(diǎn)撥】
本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)、垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線構(gòu)建全等三角形，學(xué)會(huì)利用垂線段最短解決最值問題，屬于中考?？碱}型．
43．【答案】A
【分析】根據(jù)勾股定理，得到AB2=，配方后，即可得到答案．
解：∵點(diǎn)，點(diǎn)，
∴根據(jù)勾股定理得：AB2=
=
=，
∴當(dāng)a=時(shí)，AB2取得最小值，即：當(dāng)取得最小值時(shí)，的值為，
故選A．
【點(diǎn)撥】本題主要考查根據(jù)勾股定理求平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離，掌握二次多項(xiàng)式的配方，是解題的關(guān)鍵．
44．【答案】C
【分析】求的最小值，先求出EC的大小，再根據(jù)，求出的范圍即可．
解：連接
在△中，
可得．
在中，由勾股定理，
得．
由折疊可知，，
∴
故選C．

【點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形三邊的大小關(guān)系及勾股定理，正確掌握三角形三邊的大小關(guān)系及勾股定理是解題的關(guān)鍵．
類型四、折疊中的最值問題
45．【答案】C
【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)和當(dāng)點(diǎn)D'在對(duì)角線AC上時(shí)CD′最小解答即可．
解：當(dāng)點(diǎn)D'在對(duì)角線AC上時(shí)CD′最小，
∵矩形ABCD中，AB=4，BC=2，把矩形ABCD沿過點(diǎn)A的直線AE折疊點(diǎn)D落在矩形ABCD內(nèi)部的點(diǎn)D處，
∴AD=AD'=BC=2，
在Rt△ABC中，AC=＝＝4，
∴CD'=AC-AD'=4-4，
故選：C．
【點(diǎn)撥】本題考查了翻折變換、矩形的性質(zhì)、勾股定理，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．
46．【答案】B
【分析】
根據(jù)在翻折及已知條件求得，，再根據(jù)的周長(zhǎng)的最小時(shí)，P、D點(diǎn)重合即可求得周長(zhǎng).
【詳解】
∵在中，，且沿直線翻折，點(diǎn)B落在邊上的點(diǎn)E處，
∴，，
∵，，
∴，
∴
,
∵的周長(zhǎng)的最小時(shí)，P、D點(diǎn)重合，
∴，
故選B.
【點(diǎn)撥】該題主要考查了翻折變換的性質(zhì)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是根據(jù)翻折變換的性質(zhì)找出圖形中隱含的等量關(guān)系，大膽猜測(cè)，合情推理科學(xué)論證
類型五：通過平移解決最值問題
47．【答案】D
【分析】
過點(diǎn)A作BC的平行線AD，P’是P關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)，當(dāng)P’,A.Q在一條線上時(shí)最短，即可求解.
【詳解】過點(diǎn)A作AE⊥BC，作AD∥BC，P’是點(diǎn)P關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)，
當(dāng)P’,A,Q共線時(shí)AP+AQ=AP’+AQ=P’Q最短，
∵
∴BE=3，
∴AE=4，
∴PP’=8,又∵PQ=2，
∴ ,
則的最小值為，
故選D

【點(diǎn)撥】
本題是求線段和最短的典型題型，涉及到對(duì)稱問題，把要求的線段轉(zhuǎn)化到一條直線上，此時(shí)線段和最短，是常考題型.
類型六：立體圖形中最值問題
48．17
【分析】地毯的長(zhǎng)度實(shí)際是所有臺(tái)階的寬加上臺(tái)階的高，因此利用勾股定理求出水平距離即可．
解：根據(jù)勾股定理，樓梯水平長(zhǎng)度為=12米，
則紅地毯至少要12+5=17米長(zhǎng)，
故答案為：17．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，是一道實(shí)際問題，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問題中抽象出直角三角形，難度不大．
49．
【分析】分別從三個(gè)路徑計(jì)算討論，得出結(jié)果再比較最短路徑．
【詳解】
①?gòu)恼婧蜕系酌媾佬?，如圖：
此時(shí)，AB=12，BG=BF+FG=14，則；

②從正面和右側(cè)面爬行，如圖：
此時(shí)：AC=AB+BC=21，CG=5，則；

③從下底面和右側(cè)面爬行，如圖：

此時(shí)，AD=9，DG=DC+CG=17，則；
，為最短的路徑長(zhǎng)，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，靈活考慮最短路徑的幾種不同情況分類討論計(jì)算再比較大小是解題關(guān)鍵．

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