?專題36 幾何最值之將軍飲馬問題


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“將軍飲馬”問題主要利用構造對稱圖形解決求兩條線段和差、三角形周長、四邊形周長等一類最值問題，會與直線、角、三角形、四邊形、圓、拋物線等圖形結合，在近年的中考和競賽中經(jīng)常出現(xiàn)，而且大多以壓軸題的形式出現(xiàn)．
【抽象模型】如圖，在直線上找一點P使得PA+PB最??？

【模型解析】作點A關于直線的對稱點A’，連接PA’，則PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB

當A’、P、B三點共線的時候，PA’+PB=A’B，此時為最小值（兩點之間線段最短）

題型精講


題型一：兩定一動模型
模型
作法
結論

當兩定點A、B在直線l異側時，在直線l上找一點P，使PA＋PB最?。?br />
連接AB交直線l于點P，點P即為所求作的點．
PA＋PB的最小值為AB


當兩定點A、B在直線l同側時，在直線l上找一點P，使得PA＋PB最?。?br />
作點B關于直線l的對稱點B'，
連接AB'交直線l于點P，點P即為所求作的點．
PA＋PB的最小值為AB'

當兩定點A、B在直線l同側時，在直線l上找一點P，使得最大．

連接AB并延長交直線l于點P，點P即為所求作的點．
的最大值為AB

當兩定點A、B在直線l異側時，在直線

l上找一點P，使得最大．

作點B關于直線I的對稱點B'，連接AB'并延長交直線l于點P，點P即為所求作的點．
的最大值為AB'

當兩定點A、B在直線l同側時，在直線l上找一點P，使得最?。?br />
連接AB，作AB的垂直平分線交直線l于點P，點P即為所求作的點．
的最小值為0
【例1】如圖，點C的坐標為（3，y），當△ABC的周長最短時，求y的值．

【解析】解：解：（1）作A關于x=3的對稱點A′，連接A′B交直線x=3與點C．
∵點A與點A′關于x=3對稱，∴AC=A′C．∴AC+BC=A′C+BC．
當點B、C、A′在同一條直線上時，A′C+BC有最小值，即△ABC的周長有最小值．
∵點A與點A′關于x=3對稱，∴點A′的坐標為（6，3）．
設直線BA′的解析式y(tǒng)=kx+b，將點B和點A′的坐標代入得：k＝，b＝?．
∴y=x-．
將x=3代入函數(shù)的解析式，∴y的值為
【例2】如圖，正方形ABCD中，AB＝7，M是DC上的一點，且DM＝3，N是AC上的一動點，求|DN－MN|
的最小值與最大值．

【解析】解：當ND=NM時，即N點DM的垂直平分線與AC的交點，|DN-MN|=0，
因為|DN-MN|≤DM，當點N運動到C點時取等號，此時|DN-MN|=DM=3，
所以|DN-MN|的最小值為0，最大值為3
【例3】如圖1（注：與圖2完全相同），在直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點三點,,．

（1）求拋物線的解析式和對稱軸；
（2）是拋物線對稱軸上的一點，求滿足的值為最小的點坐標（請在圖1中探索）；
（3）在第四象限的拋物線上是否存在點，使四邊形是以為對角線且面積為的平行四邊形？若存在，請求出點坐標，若不存在請說明理由.（請在圖2中探索）
【答案】（1），函數(shù)的對稱軸為：；（2）點；（3）存在，點的坐標為或．
【解析】
解：根據(jù)點,的坐標設二次函數(shù)表達式為：，
∵拋物線經(jīng)過點，
則，解得：，
拋物線的表達式為： ，
函數(shù)的對稱軸為：；
連接交對稱軸于點，此時的值為最小，

設BC的解析式為：，
將點的坐標代入一次函數(shù)表達式：得：
解得：
直線的表達式為：，
當時，，
故點；
存在，理由：
四邊形是以為對角線且面積為的平行四邊形，
則 ，
點在第四象限，故：則，
將該坐標代入二次函數(shù)表達式得：
，
解得：或，
故點的坐標為或．

題型二：一定兩動模型
模型
作法
結論


點P在∠AOB內部，在OB邊上找點D，OA邊上找點C，使得△PCD周長最?。?br />
分別作點P關于OA、OB的對稱點P′、P″，連接P′P″，交OA、OB于點C、D，點C、D即為所求．
△PCD周長的最小值為P′P″

點P在∠AOB內部，在OB邊上找點D，OA邊上找點C，使得PD＋CD最?。?br />
作點P關于OB的對稱點P′，過P′作P′C⊥OA交OB于D，點C、點D即為所求．
PD＋CD的最小值為P′C
【例4】如圖，點P是∠AOB內任意一點，∠AOB=30°，OP=8，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，則△PMN周長的最小值為___________．

【分析】△PMN周長即PM+PN+MN的最小值，此處M、N均為折點，分別作點P關于OB、OA對稱點P’、P’’，化PM+PN+MN為P’N+MN+P’’M．

當P’、N、M、P’’共線時，得△PMN周長的最小值，即線段P’P’’長，連接OP’、OP’’，可得△OP’P’’為等邊三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．

【例5】如圖，點P是∠AOB內任意一點，且∠AOB＝40°，點M和點N分別是射線OA和射線OB
上的動點，當△PMN周長取最小值時，則∠MPN的度數(shù)為（　?。?br />
A．140° B．100° C．50° D．40°
【解答】解：分別作點P關于OA、OB的對稱點P1、P2，
連接P1P2，交OA于M，交OB于N，則OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，
根據(jù)軸對稱的性質，可得MP＝P1M，PN＝P2N，則△PMN的周長的最小值＝P1P2，
∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°，∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，
∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°，故選：B．
【例6】如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點，連接DF，過點E作EH⊥DF，垂足為H，EH的延長線交DC于點G．
（1）猜想DG與CF的數(shù)量關系，并證明你的結論；
（2）過點H作MN∥CD，分別交AD，BC于點M，N，若正方形ABCD的邊長為10，點P是MN上一點，求△PDC周長的最小值．

【答案】（1）結論：CF=2DG，理由見解析；（2）△PCD的周長的最小值為10+2．
【詳解】
（1）結論：CF=2DG．
理由：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，
∵DE=AE，
∴AD=CD=2DE，
∵EG⊥DF，
∴∠DHG=90°，
∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，
∴∠CDF=∠DEG，
∴△DEG∽△CDF，
∴==，
∴CF=2DG．
（2）作點C關于NM的對稱點K，連接DK交MN于點P，連接PC，

此時△PDC的周長最短．周長的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．
由題意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG=，EG=，DH==，
∴EH=2DH=2，
∴HM==2，
∴DM=CN=NK==1，
在Rt△DCK中，DK===2，
∴△PCD的周長的最小值為10+2．
【例7】如圖，拋物線y=ax2﹣5ax+c與坐標軸分別交于點A，C，E三點，其中A（﹣3，0），C（0，4），點B在x軸上，AC=BC，過點B作BD⊥x軸交拋物線于點D，點M，N分別是線段CO，BC上的動點，且CM=BN，連接MN，AM，AN．
（1）求拋物線的解析式及點D的坐標；
（2）當△CMN是直角三角形時，求點M的坐標；
（3）試求出AM+AN的最小值．

【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+x+4；D點坐標為（3，5）；（2）M點的坐標為（0，）或（0，）；（3）AM+AN的最小值為．
【詳解】
（1）把A（﹣3，0），C（0，4）代入y=ax2﹣5ax+c得，解得，
∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+4；
∵AC=BC，CO⊥AB，
∴OB=OA=3，
∴B（3，0），
∵BD⊥x軸交拋物線于點D，
∴D點的橫坐標為3，
當x=3時，y=﹣×9+×3+4=5，
∴D點坐標為（3，5）；
（2）在Rt△OBC中，BC==5，
設M（0，m），則BN=4﹣m，CN=5﹣（4﹣m）=m+1，
∵∠MCN=∠OCB，
∴當時，△CMN∽△COB，則∠CMN=∠COB=90°，
即，解得m=，此時M點坐標為（0，）；
當時，△CMN∽△CBO，則∠CNM=∠COB=90°，
即，解得m=，此時M點坐標為（0，）；
綜上所述，M點的坐標為（0，）或（0，）；
（3）連接DN，AD，如圖，
∵AC=BC，CO⊥AB，
∴OC平分∠ACB，
∴∠ACO=∠BCO，
∵BD∥OC，
∴∠BCO=∠DBC，
∵DB=BC=AC=5，CM=BN，
∴△ACM≌△DBN，
∴AM=DN，
∴AM+AN=DN+AN，
而DN+AN≥AD（當且僅當點A、N、D共線時取等號），
∴DN+AN的最小值=，
∴AM+AN的最小值為．

題型三：兩定兩動模型
模型
作法
結論

點P、Q在∠AOB內部，在OB邊上找點D，OA邊上找點C，使得四邊形PQDC周長最小．
分別作點P、Q關于OA、OB的對稱點P′、Q′，連接P′Q′，分別交OA、OB于點C、D，點C、D即為所求．
PC＋CD＋DQ的最小值為P′Q′，所以四邊形PQDC周長的最小值為PQ＋P′Q′

【例8】如圖，在矩形中， ， ，為的中點，若為邊上的兩個動點，且，若想使得四邊形的周長最小，則的長度應為__________.

【答案】
【詳解】

解：如圖，在AD上截取線段AF=DE=2，作F點關于BC的對稱點G，連接EG與BC交于一點即為Q點，過A點作FQ的平行線交BC于一點，即為P點，過G點作BC的平行線交DC的延長線于H點．
∵E為CD的中點，∴CE=2
∴GH=DF=5，EH=2+4=6，∠H=90°，
∵BC//GH
∴,
∴,
∴，
∴CQ=，
∴BP=CB-PQ-CQ=7-2-．
故答案為．
【例9】如圖，已知直線l1∥l2，l1、l2之間的距離為8，點P到直線l1的距離為6，點Q到直線l2的距離為4，PQ=，在直線l1上有一動點A，直線l2上有一動點B，滿足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此時PA+BQ=______．

【答案】16．
【詳解】
作PE⊥l1于E交l2于F，在PF上截取PC=8，連接QC交l2于B，作BA⊥l1于A，此時PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．在Rt△PQD中，∵∠D=90°，PQ=，PD=18，∴DQ==，∵AB=PC=8，AB∥PC，∴四邊形ABCP是平行四邊形，∴PA=BC，CD=10，∴PA+BQ=CB+BQ=QC===16．故答案為16．

題型四：兩定點一定長
模型
作法
結論
B
A
l
d

如圖，在直線l上找M、N兩點
(M在左)，使得AM＋MN＋NB最
小，且MN＝d.

B
A
l
M
N
A′
A"

將A向右平移d個單位到A′，作A′
關于l的對稱點A"，連接A"B與直線l交于點N，將點N向左平移d個單位即為M，點M，N即為所求.

AM＋MN＋NB的最小值為A"B＋d

A
B
l2
l1

如圖，l1∥l2，l1、l2間距離為d，
在l1、l2分別找M、N兩點，使
得MN⊥l1，且AM＋MN＋NB最小．

A
B
l2
l1
A′

N

M


將A向下平移d個單位到A，連接A′B交直線l2于點N，過點N作MN⊥l1，連接AM.點M、N即為所求．

AM＋MN＋NB的最小值為A'B＋d.

【例10】在平面直角坐標系中，矩形OABC如圖所示，點A在x軸正半軸上，點C在y軸正半軸上，且OA＝6，OC＝4，D為OC中點，點E、F在線段OA上，點E在點F左側，EF＝2.當四邊形BDEF的周長最小時，求點E的坐標．

【解析】如圖，將點D向右平移2個單位得到D'(2，2)，作D'關于x軸的對稱點D"(2，－2)，連接BD"交x軸于點F，將點F向左平移2個單位到點E，此時點E和點F為所求作的點，且四邊形BDEF周長最小.
理由：
∵四邊形BDEF的周長為BD＋DE＋EF＋BF，BD與EF是定值.
∴BF＋DE最小時，四邊形BDEF周長最小，
∵BF＋ED＝BF＋FD'＝BF＋FD"＝BD"
設直線BD"的解析式為y＝kx＋b，把B(6，4)，D"(2，－2)代入，
得6k＋b＝4，2k＋b＝－2，解得k＝，b＝－5，∴直線BD"的解析式為y＝x－5．
令y＝0，得x＝，∴點F坐標為(，0)．∴點E坐標為(，0)．
【例11】村莊A和村莊B位于一條小河的兩側，若河岸彼此平行，要架設一座與河岸垂直的橋，橋址應如
何選擇，才使A與B之間的距離最短？
A
B
l2
l1

【解答】
設l1和l2為河岸，作BD⊥l2，取BB'等于河寬，連接AB'交l1于C1，作C1C2⊥l2于C2，
則A→C1→C2→B為最短路線，即A與B之間的距離最短.







提分作業(yè)


1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6．AB=12，AD平分∠CAB，點F是AC的中點，點E是AD上的動點，則CE+EF的最小值為　　

A．3 B．4 C． D．
【解析】此處E點為折點，可作點C關于AD的對稱，對稱點C’在AB上且在AB中點，化折線段CE+EF為C’E+EF，當C’、E、F共線時得最小值，C’F為CB的一半，故選C．

2．如圖，在銳角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°， BD平分∠ABC，交AC于點D，M、N分別是BD，BC上的動點，則CM+MN的最小值是　　

A． B．2 C． D．4
【解析】此處M點為折點，作點N關于BD的對稱點，恰好在AB上，化折線CM+MN為CM+MN’．

因為M、N皆為動點，所以過點C作AB的垂線，可得最小值，選C．


3．如圖，在正方形ABCD中，AB=9，點E在CD邊上，且DE=2CE，點P是對角線AC上的一個動點，則PE+PD的最小值是（　?。?br />
A． B． C．9 D．
【答案】A
【詳解】
解：如圖，連接BE，設BE與AC交于點P′，∵四邊形ABCD是正方形，∴點B與D關于AC對稱，∴P′D=P′B，∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE最?。碢在AC與BE的交點上時，PD+PE最小，為BE的長度．∵直角△CBE中，∠BCE=90°，BC=9，CE=CD=3，∴BE==．故選A．

4．如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，BE＝2，AB＝8，P是AC上一動點，則PB+PE的最小值_____．

【答案】10
【詳解】
解：如圖：

連接DE交AC于點P，此時PD＝PB，
PB+PE＝PD+PE＝DE為其最小值，
∵四邊形ABCD為正方形，且BE＝2，AB＝8，
∴∠DAB＝90°，AD＝AB＝8，AE＝AB-BE＝6，
在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理，得
DE＝
＝
＝10．
∴PB+PE的最小值為10．
故答案為10．
5．如圖，∠AOB的邊OB與x軸正半軸重合，點P是OA上的一動點，點N（3，0）是OB上的一定點，點M是ON的中點，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，則點P的坐標為______．

【答案】（，）．
【詳解】
解：作N關于OA的對稱點N′，連接N′M交OA于P，則此時，PM+PN最小，∵OA垂直平分NN′，∴ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，∴△NON′是等邊三角形，∵點M是ON的中點，∴N′M⊥ON，∵點N（3，0），∴ON=3，∵點M是ON的中點，∴OM=1.5，∴PM=，∴P（，）．故答案為：（，）．

6．如圖，等邊△ABC的邊長為4，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動點，E是AC邊上一點，若AE＝2，當EF＋CF取得最小值時，則∠ECF的度數(shù)為多少？

【答案】∠ECF＝30o
【解析】過E作EM∥BC，交AD于N，如圖所示：
∵AC＝4，AE＝2，∴EC＝2＝AE，∴AM＝BM＝2，∴AM＝AE，
∵AD是BC邊上的中線，△ABC是等邊三角形，∴AD⊥BC，∵EM∥BC，∴AD⊥EM，
∵AM＝AE，∴E和M關于AD對稱，連接CM交AD于F，連接EF，則此時EF＋CF的值最小，
∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60o，AC＝BC，∵AM＝BM，∴∠ECF＝∠ACB＝30o.
7．在平面直角坐標系中，矩形OACB的頂點O在坐標原點，頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，A(3，
0)，B(0，4)，D為邊OB的中點．
（1）若E為邊OA上的一個動點，求△CDE的周長最小值；
（2）若E、F為邊OA上的兩個動點，且EF＝1，當四邊形CDEF的周長最小時，求點E、F的坐標．


【解析】(1)如圖，作點D關于x軸的對稱點D'，連接CD'與x軸交于點E，連接DE，由模型可知△CDE的周長最小．
∵在矩形OACB中，OA＝3，OB＝4，D為OB的中點，
∴D(0，2)，C(3，4)，D'(0，－2).
設直線CD'為y＝kx＋b，把C(3，4)，D'(0，－2)代入，
得3k＋b＝4，b＝－2，解得k＝2，b＝－2，
∴直線CD'為y＝2x－2.
令y＝0，得x＝1，
∴點E的坐標為(1，0).
∴OE＝1，AE＝2.
利用勾股定理得CD＝，DE＝，CE＝2，
∴△CDE周長的最小值為＋3．

(2)如圖，將點D向右平移1個單位得到D'(1，2)，作D'關于x軸的對稱點D″(1，－2)，連接CD″交x軸于點F，將點F向左平移1個單位到點E，此時點E和點F為所求作的點，且四邊形CDEF周長最?。?br /> 理由：∵四邊形CDEF的周長為CD＋DE＋EF＋CF，CD與EF是定值，
∴DE＋CF最小時，四邊形BDEF周長最小，∴DE＋CF＝D'F＋CF＝FD″＋CF＝CD″，
設直線CD″的解析式為y＝kx＋b，把C(3，4)，D(1，－2)代入，
得3k＋b＝4，k＋b＝－2，解得k＝3，b＝－5．∴直線CD″的解析式為y＝3x－5，
令y＝0，得x＝，∴點F坐標為(，0)，∴點E坐標為(，0)．
8．如圖所示拋物線過點，點，且
（1）求拋物線的解析式及其對稱軸；
（2）點在直線上的兩個動點，且，點在點的上方，求四邊形的周長的最小值；
（3）點為拋物線上一點，連接，直線把四邊形的面積分為3∶5兩部分，求點的坐標.

【答案】（1），對稱軸為直線；（2）四邊形的周長最小值為；（3）
【詳解】
（1）∵OB=OC，∴點B（3，0），
則拋物線的表達式為：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，
故-3a=3，解得：a=-1，
故拋物線的表達式為：y=-x2+2x+3…①；
對稱軸為：直線
（2）ACDE的周長=AC+DE+CD+AE，其中AC=、DE=1是常數(shù)，
故CD+AE最小時，周長最小，
取點C關于函數(shù)對稱點C（2，3），則CD=C′D，
取點A′（-1，1），則A′D=AE，
故：CD+AE=A′D+DC′，則當A′、D、C′三點共線時，CD+AE=A′D+DC′最小，周長也最小，

四邊形ACDE的周長的最小值=AC+DE+CD+AE=+1+A′D+DC′=+1+A′C′=+1+；
（3）如圖，設直線CP交x軸于點E，

直線CP把四邊形CBPA的面積分為3：5兩部分，
又∵S△PCB：S△PCA=EB×（yC-yP）：AE×（yC-yP）=BE：AE，
則BE：AE，=3：5或5：3，
則AE=或，
即：點E的坐標為（，0）或（，0），
將點E、C的坐標代入一次函數(shù)表達式：y=kx+3，
解得：k=-6或-2，
故直線CP的表達式為：y=-2x+3或y=-6x+3…②
聯(lián)立①②并解得：x=4或8（不合題意值已舍去），
故點P的坐標為（4，-5）或（8，-45）．
9．如圖，在平面直角坐標系中，矩形的邊交軸于點，軸，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，點的坐標為，．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）點為軸上一動點，當?shù)闹底钚r，求出點的坐標．

【答案】（1）；（2）
【詳解】
解：（1）∵是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵軸，
∴，
∴，
∵
∴，即
把點 代入的得，
∴反比例函數(shù)的解析式為：．
答：反比例函數(shù)的解析式為：．
（2）過點作垂足為，
∵，，
∴，
∴，
∴，
則點關于軸的對稱點，直線與軸的交點就是所求點，此時最小，
設直線AB1的關系式為，將 ,，代入得，
解得：，，
∴直線的關系式為，
當時，，
∴點
答：點的坐標為．

10．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A（﹣1，0）B（3，0）兩點，與y軸交于點C，點D是該拋物線的頂點．
（1）求拋物線的解析式和直線AC的解析式；
（2）請在y軸上找一點M，使△BDM的周長最小，求出點M的坐標；
（3）試探究：在拋物線上是否存在點P，使以點A，P，C為頂點，AC為直角邊的三角形是直角三角形？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3；直線AC的解析式為y=3x+3；（2）點M的坐標為（0，3）；
（3）符合條件的點P的坐標為（，）或（，﹣），
【詳解】
解：（1）設拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣3），
即y=ax2﹣2ax﹣3a，
∴﹣2a=2，解得a=﹣1，
∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3；
當x=0時，y=﹣x2+2x+3=3，則C（0，3），
設直線AC的解析式為y=px+q，
把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，
∴直線AC的解析式為y=3x+3；
（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴頂點D的坐標為（1，4），
作B點關于y軸的對稱點B′，連接DB′交y軸于M，如圖1，則B′（﹣3，0），

∵MB=MB′，
∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此時MB+MD的值最小，
而BD的值不變，
∴此時△BDM的周長最小，
易得直線DB′的解析式為y=x+3，
當x=0時，y=x+3=3，
∴點M的坐標為（0，3）；
（3）存在．
過點C作AC的垂線交拋物線于另一點P，如圖2，

∵直線AC的解析式為y=3x+3，
∴直線PC的解析式可設為y=﹣x+b，
把C（0，3）代入得b=3，
∴直線PC的解析式為y=﹣x+3，
解方程組，解得或，則此時P點坐標為（，）；
過點A作AC的垂線交拋物線于另一點P，直線PC的解析式可設為y=﹣x+b，
把A（﹣1，0）代入得+b=0，解得b=﹣，
∴直線PC的解析式為y=﹣x﹣，
解方程組，解得或，則此時P點坐標為（，﹣）.
綜上所述，符合條件的點P的坐標為（，）或（，﹣）.


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