“將軍飲馬”問(wèn)題主要利用構(gòu)造對(duì)稱圖形解決求兩條線段和差、三角形周長(zhǎng)、四邊形周長(zhǎng)等一類最值問(wèn)題，會(huì)與直線、角、三角形、四邊形、圓、拋物線等圖形結(jié)合，在近年的中考和競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)，而且大多以壓軸題的形式出現(xiàn)．【抽象模型】如圖，在直線上找一點(diǎn)P使得PA+PB最?。?/span>【模型解析】作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)A’，連接PA’，則PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB當(dāng)A’、P、B三點(diǎn)共線的時(shí)候，PA’+PB=A’B，此時(shí)為最小值（兩點(diǎn)之間線段最短）  題型一：兩定一動(dòng)模型模型作法結(jié)論當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l異側(cè)時(shí)，在直線l上找一點(diǎn)P，使PA＋PB最小．連接AB交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．PA＋PB的最小值為AB 當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l同側(cè)時(shí)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得PA＋PB最小．作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接AB'交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．PA＋PB的最小值為AB'當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l同側(cè)時(shí)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得最大．連接AB并延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．的最大值為AB當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l異側(cè)時(shí)，在直線 l上找一點(diǎn)P，使得最大．作點(diǎn)B關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接AB'并延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．的最大值為AB'當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l同側(cè)時(shí)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得最小．連接AB，作AB的垂直平分線交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．的最小值為0【例1】如圖，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，y），當(dāng)△ABC的周長(zhǎng)最短時(shí)，求y的值．    【例2】如圖，正方形ABCD中，AB＝7，M是DC上的一點(diǎn)，且DM＝3，N是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，求|DN－MN|的最小值與最大值． 【例3】如圖1（注：與圖2完全相同），在直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)三點(diǎn),,．（1）求拋物線的解析式和對(duì)稱軸；（2）是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，求滿足的值為最小的點(diǎn)坐標(biāo)（請(qǐng)?jiān)趫D1中探索）；（3）在第四象限的拋物線上是否存在點(diǎn)，使四邊形是以為對(duì)角線且面積為的平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.（請(qǐng)?jiān)趫D2中探索）     題型二：一定兩動(dòng)模型模型作法結(jié)論 點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部，在OB邊上找點(diǎn)D，OA邊上找點(diǎn)C，使得△PCD周長(zhǎng)最?。?/span>分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P′、P″，連接P′P″，交OA、OB于點(diǎn)C、D，點(diǎn)C、D即為所求．△PCD周長(zhǎng)的最小值為P′P″點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部，在OB邊上找點(diǎn)D，OA邊上找點(diǎn)C，使得PD＋CD最小．作點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P′，過(guò)P′作P′C⊥OA交OB于D，點(diǎn)C、點(diǎn)D即為所求．PD＋CD的最小值為P′C【例4】如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，∠AOB=30°，OP=8，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，則△PMN周長(zhǎng)的最小值為___________．【例5】如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，且∠AOB＝40°，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PMN周長(zhǎng)取最小值時(shí)，則∠MPN的度數(shù)為（　?。?/span>      A．140° B．100° C．50° D．40°【例6】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F分別是邊AD，BC的中點(diǎn)，連接DF，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥DF，垂足為H，EH的延長(zhǎng)線交DC于點(diǎn)G．（1）猜想DG與CF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)H作MN∥CD，分別交AD，BC于點(diǎn)M，N，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10，點(diǎn)P是MN上一點(diǎn)，求△PDC周長(zhǎng)的最小值．    【例7】如圖，拋物線y=ax2﹣5ax+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A，C，E三點(diǎn)，其中A（﹣3，0），C（0，4），點(diǎn)B在x軸上，AC=BC，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)M，N分別是線段CO，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且CM=BN，連接MN，AM，AN．（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）當(dāng)△CMN是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）試求出AM+AN的最小值．      題型三：兩定兩動(dòng)模型模型作法結(jié)論點(diǎn)P、Q在∠AOB內(nèi)部，在OB邊上找點(diǎn)D，OA邊上找點(diǎn)C，使得四邊形PQDC周長(zhǎng)最?。?/span>分別作點(diǎn)P、Q關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P′、Q′，連接P′Q′，分別交OA、OB于點(diǎn)C、D，點(diǎn)C、D即為所求．PC＋CD＋DQ的最小值為P′Q′，所以四邊形PQDC周長(zhǎng)的最小值為PQ＋P′Q′【例8】如圖，在矩形中， ， ，為的中點(diǎn)，若為邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，若想使得四邊形的周長(zhǎng)最小，則的長(zhǎng)度應(yīng)為__________.【例9】如圖，已知直線l1∥l2，l1、l2之間的距離為8，點(diǎn)P到直線l1的距離為6，點(diǎn)Q到直線l2的距離為4，PQ=，在直線l1上有一動(dòng)點(diǎn)A，直線l2上有一動(dòng)點(diǎn)B，滿足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此時(shí)PA+BQ=______．題型四：兩定點(diǎn)一定長(zhǎng)模型作法結(jié)論如圖，在直線l上找M、N兩點(diǎn)(M在左)，使得AM＋MN＋NB最小，且MN＝d. 將A向右平移d個(gè)單位到A′，作A′關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A"，連接A"B與直線l交于點(diǎn)N，將點(diǎn)N向左平移d個(gè)單位即為M，點(diǎn)M，N即為所求. AM＋MN＋NB的最小值為A"B＋d 如圖，l1∥l2，l1、l2間距離為d，在l1、l2分別找M、N兩點(diǎn)，使得MN⊥l1，且AM＋MN＋NB最?。?/span> 將A向下平移d個(gè)單位到A，連接A′B交直線l2于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作MN⊥l1，連接AM.點(diǎn)M、N即為所求． AM＋MN＋NB的最小值為A'B＋d. 【例10】在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC如圖所示，點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)C在y軸正半軸上，且OA＝6，OC＝4，D為OC中點(diǎn)，點(diǎn)E、F在線段OA上，點(diǎn)E在點(diǎn)F左側(cè)，EF＝2.當(dāng)四邊形BDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．         【例11】村莊A和村莊B位于一條小河的兩側(cè)，若河岸彼此平行，要架設(shè)一座與河岸垂直的橋，橋址應(yīng)如何選擇，才使A與B之間的距離最短？     1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6．AB=12，AD平分∠CAB，點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AD上的動(dòng)點(diǎn)，則CE+EF的最小值為　　A．3 B．4 C． D．2．如圖，在銳角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°， BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，M、N分別是BD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值是　　A． B．2 C． D．43．如圖，在正方形ABCD中，AB=9，點(diǎn)E在CD邊上，且DE=2CE，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PE+PD的最小值是（　?。?/span>A． B． C．9 D．4．如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，BE＝2，AB＝8，P是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則PB+PE的最小值_____．5．如圖，∠AOB的邊OB與x軸正半軸重合，點(diǎn)P是OA上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N（3，0）是OB上的一定點(diǎn)，點(diǎn)M是ON的中點(diǎn)，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為______．6．如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4，AD是BC邊上的中線，F是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，若AE＝2，當(dāng)EF＋CF取得最小值時(shí)，則∠ECF的度數(shù)為多少？       7．在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，A(3，0)，B(0，4)，D為邊OB的中點(diǎn)．（1）若E為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△CDE的周長(zhǎng)最小值；（2）若E、F為邊OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF＝1，當(dāng)四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)．   8．如圖所示拋物線過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，且（1）求拋物線的解析式及其對(duì)稱軸；（2）點(diǎn)在直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)在點(diǎn)的上方，求四邊形的周長(zhǎng)的最小值；（3）點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，連接，直線把四邊形的面積分為3∶5兩部分，求點(diǎn)的坐標(biāo).  9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊交軸于點(diǎn)，軸，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)的值最小時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．     10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A（﹣1，0）B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式和直線AC的解析式；（2）請(qǐng)?jiān)?/span>y軸上找一點(diǎn)M，使△BDM的周長(zhǎng)最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）試探究：在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)A，P，C為頂點(diǎn)，AC為直角邊的三角形是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
 

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