?專題05 最值問題1之將軍飲馬新題型，線段最值(解析版）
一．將軍飲馬新題型
1．如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A是直線y=33x+433上一動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)A向右平移1個(gè)單位得到點(diǎn)B，點(diǎn)C（1，0），則OB+CB的最小值為　13?。?br />
思路引領(lǐng)：設(shè)D（﹣1，0），作D點(diǎn)關(guān)于直線y=33x+433的對(duì)稱點(diǎn)E，連接OE，交直線于A，連接AD，ED，作ES⊥x軸于S，根據(jù)題意OE就是OB+CB的最小值，由直線的解析式求得F的坐標(biāo)，進(jìn)而求得ED的長，從而求得OS和ES，然后根據(jù)勾股定理即可求得OE．
答案詳解：設(shè)D（﹣1，0），作D點(diǎn)關(guān)于直線y=33x+433的對(duì)稱點(diǎn)E，連接OE，交直線于A，連接AD，ED，作ES⊥x軸于S，
∵AB∥DC，且AB＝OD＝OC＝1，
∴四邊形ABOD和四邊形ABCO是平行四邊形，
∴AD＝OB，OA＝BC，
∴AD+OA＝OB+BC，
∵AE＝AD，
∴AE+OA＝OB+BC，
即OE＝OB+BC，
∴OB+CB的最小值為OE，
由y=33x+433可知∠AFO＝30°，F(xiàn)（﹣4，0），
∴FD＝3，∠FDG＝60°，
∴DG=12DF=32，
∴DE＝2DG＝3，
∴ES=32DE=332，DS=12DE=32，
∴OS=52，
∴OE=OS2+ES2=13，
∴OB+CB的最小值為13．

2．如圖，∠AOB＝30°，點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，點(diǎn)P、Q分別在邊OB、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是　10?。?br />
思路引領(lǐng)：作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)M′，作N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接M′N′，即為MP+PQ+QN的最小值．
答案詳解：作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)M′，作N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N′，
連接M′N′，即為MP+PQ+QN的最小值．
根據(jù)軸對(duì)稱的定義可知：∠N′OQ＝∠M′OB＝30°，∠ONN′＝60°，
∴△ONN′為等邊三角形，△OMM′為等邊三角形，
∴∠N′OM′＝90°，
∴在Rt△M′ON′中，
M′N′=32+12=10．
故答案為10．

3．如圖，∠AOB＝45°，角內(nèi)有一點(diǎn)P，PO＝10，在角兩邊上有兩點(diǎn)Q、R（均不同于點(diǎn)O），則△PQR的周長最小值是　102　；當(dāng)△PQR周長最小時(shí)，∠QPR的度數(shù)＝　90°?。?br />
思路引領(lǐng)：根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，作出P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)M、N，連接AB，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得到最小值線段，再構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求出MN的值即可．
根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)求得∠OMN+∠ONM＝∠OPQ+∠OPR，即可求得∠QPR的度數(shù)．
答案詳解：分別作P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)M、N．
連接MN交OA、OB交于Q、R，則△PQR符合條件．
連接OM、ON，
則OM＝ON＝OP＝10，
∠MON＝∠MOP+∠NOP＝2∠AOB＝2×45°＝90°，
故△MON為等腰直角三角形．
∴MN=102+102=102．
根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)得到∠OMN＝∠OPQ，∠ONM＝∠OPR，
∴∠OMN+∠ONM＝∠OPQ+∠OPR，
∵△MON為等腰直角三角形，
∴∠OMN+∠ONM＝90°，
∴∠OPQ+∠OPR＝90°，
即∠QPR＝90°．
故答案為102，90°．

4．如圖，點(diǎn)A（a，3）、B（b，1）都在雙曲線y=3x上，點(diǎn)C、D分別是x，y軸上的動(dòng)點(diǎn)，則四邊形ABCD的周長最小值為　62?。?br />
思路引領(lǐng)：先把A點(diǎn)和B點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中，求出a與b的值，確定出A與B坐標(biāo)，再作A點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P，B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Q，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)得到P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，3），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣1），PQ分別交x軸、y軸于C點(diǎn)、D點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，此時(shí)四邊形PABQ的周長最小，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求解可得．
答案詳解：分別把點(diǎn)A（a，3）、B（b，1）代入雙曲線y=3x得：a＝1，b＝3，
則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，3）、B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1），
如圖，作A點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P，B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Q，

則點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣1，3），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣1），
連接PQ分別交x軸、y軸于C點(diǎn)、D點(diǎn)，此時(shí)四邊形ABCD的周長最小，
四邊形ABCD周長＝DA+DC+CB+AB
＝DP+DC+CQ+AB
＝PQ+AB
=(-1-3)2+(3+1)2+(1-3)2+(3-1)2
＝42+22
＝62，
故答案為：62．
二．圓的最值--過圓心（共11小題）
5．作圖探究：如圖，點(diǎn)P是直角坐標(biāo)系xOy第三象限內(nèi)一點(diǎn)．
（1）尺規(guī)作圖：請?jiān)趫D中作出經(jīng)過O、P兩點(diǎn)且圓心在x軸的⊙M；（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣4，﹣2）．
①請求出⊙M的半徑；
②填空：若Q是⊙M上的點(diǎn)，且∠PMQ＝90°，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為?。?92，32）或（-12，-32）?。?br />
思路引領(lǐng)：（1）連接OP，作OP的垂直平分線交x軸于M點(diǎn)，以MO我半徑作⊙M，即為所求；
（2）①連接PM，作PH⊥x軸，垂足為H，設(shè)⊙O的半徑為r，則PM＝MO＝r，MH＝4﹣r，PH＝2，在Rt△PHM中，由勾股定理求r即可；
②過M點(diǎn)作PM的垂線，交⊙M于Q1，Q2，再過Q1，Q2，作x軸的垂線，利用三角形全等求Q點(diǎn)坐標(biāo)．
答案詳解：（1）⊙M如圖所示；

（2）①連接PM，作PH⊥x軸，垂足為H，設(shè)⊙O的半徑為r，則PM＝MO＝r，MH＝4﹣r，PH＝2，
在Rt△PHM中，PH2+MH2＝PM2，
即22+（4﹣r）2＝r2，
解得r=52；
②如圖，過M點(diǎn)作PM的垂線，交⊙M于Q1，Q2，再過Q1，Q2，作x軸的垂線，垂足為N1，N2，
利用互余關(guān)系，PM＝Q1M＝Q2M，
可證Rt△PMH≌Rt△Q1MN1≌Rt△Q2MN2，
∴PH＝MN1＝MN2＝2，MH＝Q1N1＝Q2N2＝4﹣r=32，
∴Q（-92，32）或（-12，-32）．
故答案為：（-92，32）或（-12，-32）．

6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為2的⊙O與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C為弦AB的中點(diǎn)，直線y=34x﹣3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D、E，則△CDE面積的最小值為　2　．

思路引領(lǐng)：如圖，連接OB，取OA的中點(diǎn)M，連接CM，過點(diǎn)M作MN⊥DE于N．首先證明點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是以M為圓心，1為半徑的⊙M，設(shè)⊙M交MN于C′．求出MN，當(dāng)點(diǎn)C與C′重合時(shí)，△C′DE的面積最?。?br /> 答案詳解：如圖，連接OB，取OA的中點(diǎn)M，連接CM，過點(diǎn)M作MN⊥DE于N．

∵AC＝CB，AM＝OM，
∴MC=12OB＝1，
∴點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是以M為圓心，1為半徑的⊙M，設(shè)⊙M交MN于C′．
∵直線y=34x﹣3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D、E，
∴D（4，0），E（0，﹣3），
∴OD＝4，OE＝3，
∴DE=OE2+OD2=32+42=5，
∵∠MDN＝∠ODE，∠MND＝∠DOE，
∴△DNM∽△DOE，
∴MNOE=DMDE，
∴MN3=35，
∴MN=95，
當(dāng)點(diǎn)C與C′重合時(shí)，△C′DE的面積最小，△C′DE的面積最小值=12×5×（95-1）＝2，
故答案為2．
7．如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點(diǎn)，且BE＝1，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為　52?。?br />
思路引領(lǐng)：由題意分析可知，點(diǎn)F為主動(dòng)點(diǎn)，G為從動(dòng)點(diǎn)，所以以點(diǎn)E為旋轉(zhuǎn)中心構(gòu)造全等關(guān)系，得到點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡，之后通過垂線段最短構(gòu)造直角三角形獲得CG最小值．
答案詳解：由題意可知，點(diǎn)F是主動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G是從動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)G也一定在直線軌跡上運(yùn)動(dòng)

將△EFB繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)60°，使EF與EG重合，得到△EFB≌△EHG
從而可知△EBH為等邊三角形，點(diǎn)G在垂直于HE的直線HN上
作CM⊥HN，則CM即為CG的最小值
作EP⊥CM，可知四邊形HEPM為矩形，
則CM＝MP+CP＝HE+12EC＝1+32=52

故答案為52．
8．如圖，⊙M的半徑為2，圓心M的坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)P是⊙M上的任意一點(diǎn)，PA⊥PB，且PA、PB與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，則AB的最小值為（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
思路引領(lǐng)：由Rt△APB中AB＝2OP知要使AB取得最小值，則PO需取得最小值，連接OM，交⊙M于點(diǎn)P′，當(dāng)點(diǎn)P位于P′位置時(shí)，OP′取得最小值，據(jù)此求解可得．
答案詳解：連接OP，
∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使AB取得最小值，則PO需取得最小值，
連接OM，交⊙M于點(diǎn)P′，當(dāng)點(diǎn)P位于P′位置時(shí)，OP′取得最小值，
過點(diǎn)M作MQ⊥x軸于點(diǎn)Q，

則OQ＝3、MQ＝4，
∴OM＝5，
又∵M(jìn)P′＝2，
∴OP′＝3，
∴AB＝2OP′＝6，
故選：D．
9．如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（2，0），B（0，2），點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC＝1，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連接OM，則OM的最大值為（　?。?br />
A．2+1 B．2+12 C．22+1 D．22-12
思路引領(lǐng)：根據(jù)同圓的半徑相等可知：點(diǎn)C在半徑為1的⊙B上，通過畫圖可知，C在BD與圓B的交點(diǎn)時(shí)，OM最小，在DB的延長線上時(shí)，OM最大，根據(jù)三角形的中位線定理可得結(jié)論．
答案詳解：如圖，
∵點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC＝1，
∴C在⊙B上，且半徑為1，
取OD＝OA＝2，連接CD，

∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位線，
∴OM=12CD，
當(dāng)OM最大時(shí)，即CD最大，而D，B，C三點(diǎn)共線時(shí)，當(dāng)C在DB的延長線上時(shí)，OM最大，
∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，
∴BD＝22，
∴CD＝22+1，
∴OM=12CD=2+12，即OM的最大值為2+12；
故選：B．
10．在銳角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到△DBE．
（1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)成如圖①，點(diǎn)E在線段CA的延長線上時(shí)，則∠CED的度數(shù)是　90　度；
（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)成如圖②，連接AD、CE，若△ABD的面積為4，求△CBE的面積；
（3）點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，在△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′，連接MP′，如圖③，直接寫出線段MP′長度的最大值和最小值．

思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：∠DEC＝45°，再由等邊對(duì)等角得∠BEC＝45°，則∠CED＝90°；
（2）由△ABC≌△DBE得出BA＝BD，BC＝BE，進(jìn)而得出BABC=BDBE，證明△ABD∽△CBE，根據(jù)面積比等于相似比的平方求出△CBE的面積；
（3）作輔助線，當(dāng)點(diǎn)P在F處時(shí)BP最小，則BG最小，MP'最小；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C處時(shí)，BP最大，則BH最大，MP'最大，代入計(jì)算即可得出結(jié)論．
答案詳解：（1）如圖1，由旋轉(zhuǎn)得：∠DEB＝∠ACB＝45°，BC＝BE，
∴∠ACB＝∠BEC＝45°，
∴∠CED＝90°，
故答案為：90；
（2）如圖2，∵△ABC≌△DBE，
∴BA＝BD，BC＝BE，∠ABC＝∠DBE，
∴BABC=BDBE，
∵∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD∽△CBE，
∴S△ABDS△CBE=（ABBC）2=1625
∵S△ABD＝4，
∴S△CBE=254；
（3）∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，∴BM=12AB＝2
如圖③，過點(diǎn)B作BF⊥AC，F(xiàn)為垂足，
∵△ABC為銳角三角形，
∴點(diǎn)F在線段AC上，
在Rt△BCF中，BF＝BC×sin45°=522，
以B為圓心，BF為半徑畫圓交AB于G，BP'有最小值BG．
∴MP'的最小值為MG＝BG﹣BM=522-2，
以B為圓心，BC為半徑畫圓交AB的延長線于H，BP'有最大值BH．
此時(shí)MP'的最大值為BM+BH＝2+5＝7，
∴線段MP'的最大值為7，最小值為522-2．

11．如圖，在Rt△AOB中，OA＝OB＝52，⊙O的半徑為1，點(diǎn)P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的一條切線PQ（點(diǎn)Q為切點(diǎn)），則切線長PQ的最小值為　26?。?br />
思路引領(lǐng)：連接OP，OQ，由PQ為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到OQ與PQ垂直，利用勾股定理列出關(guān)系式，由OP最小時(shí)，PQ最短，根據(jù)垂線段最短得到OP垂直于AB時(shí)最短，利用面積法求出此時(shí)OP的值，再利用勾股定理即可求出PQ的最短值．
答案詳解：連接OP、OQ，如圖所示，
∵PQ是⊙O的切線，
∴OQ⊥PQ，
根據(jù)勾股定理知：PQ2＝OP2﹣OQ2，
∴當(dāng)PO⊥AB時(shí)，線段PQ最短，
∵在Rt△AOB中，OA＝OB＝52，
∴AB=2OA＝10，
∴S△AOB=12OA?OB=12AB?OP，即OP=OA?OBAB=5，
∴PQ=OP2-OQ2=26．
故答案為：26

12．如圖，⊙C半徑為1，圓心坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)P（m，n）是⊙C內(nèi)或⊙C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則m2+n2的最小值是　16?。?br />
思路引領(lǐng)：由于圓心C的坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），利用勾股定理可計(jì)算出OC＝5，OP=m2+n2，這樣把m2+n2理解為點(diǎn)P點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，利用圖形可得到當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段OC上時(shí)，點(diǎn)P離原點(diǎn)最近，即m2+n2有最小值，然后求出此時(shí)的PC長即可
答案詳解：連OC交⊙O于P′點(diǎn)，如圖，
∵圓心C的坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），
∴OC＝5，OP=m2+n2，
∴m2+n2是點(diǎn)P點(diǎn)原點(diǎn)的距離的平方，
∴當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段OC上時(shí)，即P′處，點(diǎn)P離原點(diǎn)最近，即m2+n2有最小值，
此時(shí)OP＝OC﹣PC＝5﹣1＝4，則m2+n2＝16．
故答案為16．

13．在邊長為2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD邊的中點(diǎn)，若線段MA繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)得線段MA'．
（Ⅰ）如圖①，線段MA'的長＝　1　．
（Ⅱ）如圖②，連接A'C，則A'C長度的最小值是　7-1　．

思路引領(lǐng)：（Ⅰ）由中點(diǎn)的定義和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求解；
（Ⅱ）當(dāng)A'在MC上時(shí)，線段A'C長度最小，作ME⊥CD于點(diǎn)E，首先在直角△DME中利用三角函數(shù)求得ED和EM的長，然后在直角△MEC中利用勾股定理求得MC的長，然后減去MA的長即可求解．
答案詳解：（Ⅰ）∵M(jìn)是AD邊的中點(diǎn)，
∴MA＝1，
∵線段MA繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)得線段MA'．
∴MA'＝1，
故答案為：1；
（Ⅱ）如圖②，作ME⊥CD于點(diǎn)E．

∵菱形ABCD中，∠A＝60°，
∴∠EDM＝60°，
在直角△MDE中，DE＝MD?cos∠EDM=12×1=12，ME＝MD?sin∠EDM=32，
則EC＝CD+ED＝2+12=52，
在直角△CEM中，MC=CE2+ME2=254+34=7，
當(dāng)A'在MC上時(shí)A'C最小，則A′C長度的最小值是：7-1，
故答案為7-1．
14．如圖，⊙O的半徑為1，點(diǎn)P（a，a﹣4）為⊙O外一點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為點(diǎn)A和點(diǎn)B，則四邊形PBOA面積的最小值是　7　．

思路引領(lǐng)：由點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，a﹣4），得到OP=a2+(a-4)2=2a2-8a+16，由于PA，PB是⊙O的兩條切線，得到PA＝PB，∠OAP＝∠OBP，可證△OPA≌△OBP，在Rt△OAP中，根據(jù)勾股定理得到PA的長度，于是得到四邊形PBOA面積＝2×△OPA的面積＝2×12OA?PA=2a2-8a+15=2(a-2)2+7，即可得到結(jié)果．
答案詳解：∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，a﹣4），
∴OP=a2+(a-4)2=2a2-8a+16，
∵PA，PB是⊙O的兩條切線，
∴PA＝PB，∠OAP＝∠OBP，
在△OPA與△OBP中，
PA=PB∠OAP=∠OBPOP=OP，
∴△OPA≌△OBP（SAS），
在Rt△OAP中，
PA=OP2-12=2a2-8a+16-1
=2a2-8a+15，
∴四邊形PBOA面積＝2×△OPA的面積＝2×12OA?PA=2a2-8a+15
=2(a-2)2+7，
∵2＞0
∴當(dāng)a＝2時(shí)，四邊形PBOA面積最小，
最小值為7，
故答案為7．
15．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點(diǎn)F在邊AC上，并且CF＝2，點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是（　?。?br />
A．1.5 B．1.2 C．2.4 D．以上都不對(duì)
思路引領(lǐng)：先依據(jù)勾股定理求得AB的長，然后依據(jù)翻折的性質(zhì)可知PF＝FC，故此點(diǎn)P在以F為圓心，以2為半徑的圓上，依據(jù)垂線段最短可知當(dāng)FP⊥AB時(shí)，點(diǎn)P到AB的距離最短，然后依據(jù)題意畫出圖形，最后，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．
答案詳解：如圖所示：當(dāng)PE∥AB．

在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB=62+82=10，
由翻折的性質(zhì)可知：PF＝FC＝2，∠FPE＝∠C＝90°．
∵PE∥AB，
∴∠PDB＝90°．
由垂線段最短可知此時(shí)FD有最小值．
又∵FP為定值，
∴PD有最小值．
又∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADF，
∴△AFD∽△ABC．
∴AFAB=DFBC，即410=DF8，解得：DF＝3.2．
∴PD＝DF﹣FP＝3.2﹣2＝1.2．
故選：B．
三．線段差最大
16．如圖所示，已知A（12，y1），B（2，y2）為反比例函數(shù)y=1x圖象上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P（x，0）在x正半軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AP與線段BP之和達(dá)到最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是　（1.7，0）??；當(dāng)線段AP與線段BP之差達(dá)到最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是?。?2，0）　．

思路引領(lǐng)：（1）如圖1，過x軸作點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′與x軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P．根據(jù)點(diǎn)A、B′的坐標(biāo)可以求得直線AB′的 解析式，根據(jù)該解析式可以求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）如圖2，求出AB的坐標(biāo)，設(shè)直線AB的解析式是y＝kx+b，把A、B的坐標(biāo)代入求出直線AB的解析式，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得出在△ABP中，|AP﹣BP|＜AB，延長AB交x軸于P′，當(dāng)P在P′點(diǎn)時(shí)，PA﹣PB＝AB，此時(shí)線段AP與線段BP之差達(dá)到最大，求出直線AB于x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．
答案詳解：∵把A（12，y1），B（2，y2）代入反比例函數(shù)y=1x得：y1＝2，y2=12，
∴A（12，2），B（2，12）．
（1）如圖1，過x軸作點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′與x軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，則B′（2，-12）．
設(shè)直線AB′為y＝kx+b（k≠0），則2=12k+b-12=2k+b．
解得k=-53b=176．
故直線AB′的解析式為：y=-53x+176．
令y＝0，
解得，x＝1.7．
故P（1.7，0）；

（2）∵在△ABP中，由三角形的三邊關(guān)系定理得：|AP﹣BP|＜AB，
∴延長AB交x軸于P′，當(dāng)P在P′點(diǎn)時(shí)，PA﹣PB＝AB，
即此時(shí)線段AP與線段BP之差達(dá)到最大，
設(shè)直線AB的解析式是y＝ax+c（a≠0）
把A、B的坐標(biāo)代入得：2=12x+c12=2x+c，
解得：a=-1c=52，
∴直線AB的解析式是y＝﹣x+52，
當(dāng)y＝0時(shí)，x=52，
即P（52，0）；
故答案是：（1.7，0）；（52，0）．


17．如圖所示，已知A（1，y1），B（2，y2）為反比例函數(shù)y=2x圖象上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P（x，0）在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AP與線段BP之差達(dá)到最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（　?。?br />
A．（3，0） B．（72，0） C．（53，0） D．（52，0）
思路引領(lǐng)：求出A、B的坐標(biāo)，設(shè)直線AB的解析式是y＝kx+b，把A、B的坐標(biāo)代入求出直線AB的解析式，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得出在△ABP中，|AP﹣BP|＜AB，延長AB交x軸于P′，當(dāng)P在P′點(diǎn)時(shí)，PA﹣PB＝AB，此時(shí)線段AP與線段BP之差達(dá)到最大，求出直線AB于x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．
答案詳解：∵把A（1，y1），B（2，y2）代入反比例函數(shù)y=2x得：y1＝2，y2＝1，
∴A（1，2），B（2，1），
∵在△ABP中，由三角形的三邊關(guān)系定理得：|AP﹣BP|＜AB，
∴延長AB交x軸于P′，當(dāng)P在P′點(diǎn)時(shí)，PA﹣PB＝AB，
即此時(shí)線段AP與線段BP之差達(dá)到最大，
設(shè)直線AB的解析式是y＝kx+b，
把A、B的坐標(biāo)代入得：k+b=22k+b=1，
解得：k＝﹣1，b＝3，
∴直線AB的解析式是y＝﹣x+3，
當(dāng)y＝0時(shí)，x＝3，
即P（3，0）．
故選：A．

四．線段和差最值綜合 ---巧借三邊關(guān)系，中位線原理，瓜豆原理）
18．如圖，在△ABC中，BC＝3，將△ABC平移5個(gè)單位長度得到△A1B1C1，點(diǎn)P、Q分別是AB、A1C1的中點(diǎn)，PQ的最小值等于　72?。?br />
思路引領(lǐng)：取AC的中點(diǎn)M，A1B1的中點(diǎn)N，連接PM，MQ，NQ，PN，根據(jù)平移的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系即可得到結(jié)論．
答案詳解：取AC的中點(diǎn)M，A1B1的中點(diǎn)N，連接PM，MQ，NQ，PN，
∵將△ABC平移5個(gè)單位長度得到△A1B1C1，
∴B1C1＝BC＝3，PN＝5，
∵點(diǎn)P、Q分別是AB、A1C1的中點(diǎn)，
∴NQ=12B1C1=32，
∴5-32≤PQ≤5+32，
即72≤PQ≤132，
∴PQ的最小值等于72，
故答案為：72．

19．如圖，在?ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，點(diǎn)E為邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接ED并延長至點(diǎn)F，使得DF=14DE，以EC、EF為鄰邊構(gòu)造?EFGC，連接EG，則EG的最小值為　93?。?br />
思路引領(lǐng)：根據(jù)題意和平行四邊形的性質(zhì)，可以得到ED和EF的比值，再根據(jù)三角形相似和最短距離，即可得到EG的最小值，本題得以解決．
答案詳解：作CH⊥AB于點(diǎn)H，
∵在?ABCD中，∠B＝60°，BC＝8，
∴CH＝43，
∵四邊形ECGF是平行四邊形，
∴EF∥CG，
∴△EOD∽△GOC，
∴EOGO=DOOC=EDGC，
∵DF=14DE，
∴DEEF=45，
∴EDGC=45，
∴EOGO=45，
∴當(dāng)EO取得最小值時(shí)，EG即可取得最小值，
當(dāng)EO⊥CD時(shí)，EO取得最小值，
∴CH＝EO，
∴EO＝43，
∴GO＝53，
∴EG的最小值是93，
故答案為：93．

20．如圖，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分別為E，F(xiàn)，則AE+BF的最大值為（　?。?br />
A．6 B．22 C．23 D．32
思路引領(lǐng)：把要求的最大值的兩條線段經(jīng)過平移后形成一條線段，然后再根據(jù)垂線段最短來進(jìn)行計(jì)算即可．
答案詳解：如圖，過點(diǎn)C作CK⊥l于點(diǎn)K，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，
在Rt△AHB中，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH=3，
在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，
∴AC=AH2+CH2=(3)2+(3)2=6，
∵點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，
∴BD＝CD，
在△BFD與△CKD中，
∠BFD=∠CKD=90°∠BDF=∠CDKBD=CD，
∴△BFD≌△CKD（AAS），
∴BF＝CK，
延長AE，過點(diǎn)C作CN⊥AE于點(diǎn)N，
可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，
在Rt△ACN中，AN＜AC，
當(dāng)直線l⊥AC時(shí)，最大值為6，
綜上所述，AE+BF的最大值為6．
故選：A．
21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Q是直線y=-12x+2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將Q繞點(diǎn)P（1，0）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)Q'，連接OQ'，則OQ'的最小值為（　?。?br />
A．455 B．5 C．523 D．655
思路引領(lǐng)：利用等腰直角三角形構(gòu)造全等三角形，求出旋轉(zhuǎn)后Q′的坐標(biāo)，然后根據(jù)勾股定理并利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．
答案詳解：作QM⊥x軸于點(diǎn)M，Q′N⊥x軸于N，
∵∠PMQ＝∠PNQ′＝∠QPQ′＝90°，
∴∠QPM+∠NPQ′＝∠PQ′N+∠NPQ′，
∴∠QPM＝∠PQ′N
在△PQM和△Q′PN中，
∠PMQ=∠PNQ'=90°∠QPM=∠PQ'NPQ=PQ'
∴△PQM≌△Q′PN（AAS），
∴PN＝QM，Q′N＝PM，
設(shè)Q（m，-12m+2），
∴PM＝|m﹣1|，QM＝|-12m+2|，
∴ON＝|3-12m|，
∴Q′（3-12m，1﹣m），
∴OQ′2＝（3-12m）2+（1﹣m）2=54m2﹣5m+10=54（m﹣2）2+5，
當(dāng)m＝2時(shí)，OQ′2有最小值為5，
∴OQ′的最小值為5，
當(dāng)m＝2時(shí)，OQ′2有最小值為5，
故選：B．

五．函數(shù)相關(guān)
22．若點(diǎn)（m，n）在函數(shù)y＝2x﹣4的圖象上，則m2+n2的最小值是　165?。?br /> 思路引領(lǐng)：根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征用m表示出n，然后整理成二次函數(shù)解析式的形式，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答．
答案詳解：∵點(diǎn)（m，n）在函數(shù)y＝2x﹣4的圖象上，
∴n＝2m﹣4，
∴m2+n2＝m2+（2m﹣4）2，
＝5m2﹣16m+16，
∵a＝5＞0，
∴m2+n2的最小值=4×5×16-(-16)24×5=165．
故答案為：165．
23．如圖，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，F(xiàn)是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（F不與A，B重合），過點(diǎn)F的反比例函數(shù)y=kx（k＞0）的圖象與BC邊交于點(diǎn)E．
（1）當(dāng)F為AB的中點(diǎn)時(shí)，求該函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)k為何值時(shí)，△EFA的面積最大，最大面積是多少？

思路引領(lǐng)：（1）當(dāng)F為AB的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3，1），由此代入求得函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)圖中的點(diǎn)的坐標(biāo)表示出三角形的面積，得到關(guān)于k的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求出最值即可．
答案詳解：（1）∵在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，
∴B（3，2），
∵F為AB的中點(diǎn)，
∴F（3，1），
∵點(diǎn)F在反比例函數(shù)y=kx（k＞0）的圖象上，
∴k＝3，
∴該函數(shù)的解析式為y=3x（x＞0）；

（2）由題意知E，F(xiàn)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為E（k2，2），F(xiàn)（3，k3），
∴S△EFA=12AF?BE=12×13k（3-12k），
=12k-112k2
=-112（k2﹣6k+9﹣9）
=-112（k﹣3）2+34，
在邊AB上，不與A，B重合，即0＜k3＜2，解得0＜k＜6，
∴當(dāng)k＝3時(shí)，S有最大值．
S最大值=34．

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