專題07  數(shù)列的構(gòu)成規(guī)律探索【壓軸綜述】縱觀近幾年的高考命題，探求數(shù)列的構(gòu)成規(guī)律，是數(shù)列不等式的綜合應(yīng)用問(wèn)題的命題形式之一.本專題通過(guò)例題說(shuō)明此類問(wèn)題解答規(guī)律與方法.1.(1)已知an與an＋1的關(guān)系式求通項(xiàng)an時(shí)，常有以下類型：①形如an＋1＝an＋f(n)(f(n)不是常數(shù))的解決方法是累加法；②形如an＋1＝an·f(n)(f(n)不是常數(shù))的解決方法是累乘法；③形如an＋1＝pan＋q(p，q均為常數(shù)且p≠1，q≠0)解決方法是將其構(gòu)造成一個(gè)新的等比數(shù)列；④形如an＋1＝pan＋qn(p，q均為常數(shù)，pq(p－1)≠0)解決方法是在遞推公式兩邊同除以qn＋1.(2)給出Sn與an的遞推關(guān)系，求an，常用思路是：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an.2.證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列的兩種基本方法(1)利用定義，證明an＋1－an(n∈N*)為一常數(shù)；(2)利用等差中項(xiàng)，即證明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．3.證明數(shù)列{an}是等比數(shù)列的兩種基本方法(1)利用定義，證明為一常數(shù)；(2)利用等比中項(xiàng)，即證明＝an－1an＋1(n≥2)．【壓軸典例】例1.(2020·全國(guó)卷Ⅱ理科·T12)0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用.若序列a1a2…an…滿足ai∈{0,1}(i=1,2,…),且存在正整數(shù)m,使得ai+m=ai(i=1,2,…)成立,則稱其為0-1周期序列,并稱滿足ai+m=ai(i=1,2,…)的最小正整數(shù)m為這個(gè)序列的周期.對(duì)于周期為m的0-1序列a1a2…an…,C(k)=aiai+k(k=1,2,…,m-1)是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo),下列周期為5的0-1序列中,滿足C(k)≤(k=1,2,3,4)的序列是????????????? (　　)A.11010… B.11011… C.10001… D.11001…例2.(2020·北京高考·T21)已知{an}是無(wú)窮數(shù)列,給出兩個(gè)性質(zhì):①對(duì)于{an}中任意兩項(xiàng)ai,aj(i>j),在{an}中都存在一項(xiàng)am,使得=am;②對(duì)于{an}中任意項(xiàng)an(n≥3),在{an}中都存在兩項(xiàng)ak,al(k>l),使得an=.(1)若an=n(n=1,2,…),判斷數(shù)列{an}是否滿足性質(zhì)①,說(shuō)明理由;(2)若an=2n-1(n=1,2,…),判斷數(shù)列{an}是否同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②,說(shuō)明理由;(3)若{an}是遞增數(shù)列,且同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②,證明:{an}為等比數(shù)列.例3．（2021·江蘇高三月考）雪花曲線因其形狀類似雪花而得名，它的產(chǎn)生也與雪花類似，由等邊三角形開始，把三角形的每一條邊三等分，并以每一條邊三等分后的中段為邊，向外作新的等邊三角形，但要去掉與原三角形疊合的邊，接著對(duì)每-個(gè)等邊三角形“尖出”的部分繼續(xù)上述過(guò)程，即以每條邊三等分后的中段為邊向外作新的等邊三角形（如圖：（2），（3），（4）是等邊三角形（1）經(jīng)過(guò)第一次，第二次，第三次，變化所得雪花曲線）若按照上述規(guī)律，一個(gè)邊長(zhǎng)為的等邊三角形，經(jīng)過(guò)四次變化得到的雪花曲線的周長(zhǎng)是（    ）        A． B． C． D．例4．（2021·浙江紹興市·高三期末）已知，，…，為1，2，3，4，5的任意一個(gè)排列.則滿足：對(duì)于任意，都有的排列，，…，有（     ）A．49個(gè) B．50個(gè) C．31個(gè) D．72個(gè)例5．（2021·浙江紹興市·紹興一中高三期末）已知數(shù)列與滿足，，，且，下列正確的是（    ）A． B．C．是等差數(shù)列 D．是等比數(shù)列例6．（2021·山西太原市·高三期末）意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契提出的“兔子數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…，在現(xiàn)代生物及化學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，它可以表述為數(shù)列滿足，.若此數(shù)列各項(xiàng)被3除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，則的前2021項(xiàng)和為（    ）A．2014 B．2022 C．2265 D．2274例7．（2021·北京昌平區(qū)·高三期末）斐波那契數(shù)列又稱“黃金分割數(shù)列”，因數(shù)學(xué)家萊昂納多斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.此數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.斐波那契數(shù)列可以用如下方法定義：.若此數(shù)列各項(xiàng)除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，則（　?。?/span>A．1 B．2 C．3 D．5例8.（河北省衡水市第二中學(xué)2020高三）數(shù)列中的項(xiàng)按順序可以排列成如圖的形式，第一行項(xiàng)，排；第二行項(xiàng)，從左到右分別排，；第三行項(xiàng)，……以此類推，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則滿足的最小正整數(shù)的值為（   ）4,4,434,43,4 4,43,4 , 4 …A． B．C． D．例9．（2021·北京高三期末）數(shù)列中，給定正整數(shù)，.定義:數(shù)列滿足，稱數(shù)列的前項(xiàng)單調(diào)不增.（Ⅰ）若數(shù)列通項(xiàng)公式為：，求；（Ⅱ）若數(shù)列滿足：，求證的充分必要條件是數(shù)列的前項(xiàng)單調(diào)不增；（Ⅲ）給定正整數(shù)，若數(shù)列滿足：，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的最大值與最小值.(寫出答案即可)例10．（2021·北京豐臺(tái)區(qū)·高三期末）已知是由正整數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列，該數(shù)列前項(xiàng)的最大值記為，最小值記為，令．（1）若，寫出，，的值．（2）證明：．（3）若是等比數(shù)列，證明：存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，是等比數(shù)列．【壓軸訓(xùn)練】1．（2021·浙江紹興市·高三期末）設(shè)是無(wú)窮數(shù)列，若存在正整數(shù)，使得對(duì)任意，均有，則稱是間隔遞增數(shù)列，是的間隔數(shù).若是間隔遞增數(shù)列，且最小間隔數(shù)是3，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．2．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，，，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．                         B．C．?dāng)?shù)列的最小項(xiàng)為和         D．?dāng)?shù)列的最大項(xiàng)為和3．（2021·全國(guó)高三其他模擬）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，若，則稱項(xiàng)為“和諧項(xiàng)”，則數(shù)列的所有“和諧項(xiàng)”的平方和為（    ）A． B．C． D．4．（2021·全國(guó)高三其他模擬）“干支紀(jì)法”是我國(guó)記年、月、日、時(shí)的序號(hào)的傳統(tǒng)方法，天干地支簡(jiǎn)稱“干支”，天干指：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸．“地支”指：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．如，農(nóng)歷1861年為辛酉年，農(nóng)歷1862年為壬戌年，農(nóng)歷1863年為癸亥年，則農(nóng)歷2068年為（    ）A．丁亥年 B．丁丑年 C．戊寅年 D．戊子年5．（2021·廣東梅州市·高三一模）某軟件研發(fā)公司對(duì)某軟件進(jìn)行升級(jí)，主要是軟件程序中的某序列重新編輯，編輯新序列為，它的第項(xiàng)為，若序列的所有項(xiàng)都是2，且，，則等于（    ）A． B． C． D．6．（2021·山東濰坊市·高三一模）（多選）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層有個(gè)球，第二層有個(gè)球，第三層有個(gè)球，…，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則（    ）A． B． C． D．7．（2021·江蘇常州市·高三開學(xué)考試）（多選）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，…，其中從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，后來(lái)人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則下列結(jié)論中正確的有（    ）A． B．C． D．8．（2021·江蘇徐州市·徐州一中高三期末）（多選）“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦……”大衍數(shù)列，來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)《易傳》“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．大衍數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過(guò)程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和，從第一項(xiàng)起依次為0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……．記大衍數(shù)列為，其前n項(xiàng)和為，則（    ）A． B．C． D．9．（2021·湖北高三期末）（多選）已知數(shù)列的首項(xiàng)且滿足，其中，則下列說(shuō)法中正確的是（    ）A．當(dāng)時(shí)，有恒成立       B．當(dāng)時(shí)，有恒成立C．當(dāng)時(shí)，有恒成立  D．當(dāng)時(shí)，有恒成立10．（2021·山東高三專題練習(xí)）大衍數(shù)列，來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論.主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理.數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過(guò)程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和，是中國(guó)傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.其前10項(xiàng)依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．此數(shù)列的第20項(xiàng)是200 B．此數(shù)列的第19項(xiàng)是182C．此數(shù)列偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式為 D．此數(shù)列的前項(xiàng)和為11．（2021·北京高三期末）對(duì)于數(shù)列，若從第二項(xiàng)起的每一項(xiàng)均大于該項(xiàng)之前的所有項(xiàng)的和，則稱為P數(shù)列.（Ⅰ）數(shù)列為，數(shù)列為.判斷數(shù)列，是否為數(shù)列， 并說(shuō)明理由；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為的P數(shù)列，其前項(xiàng)和為（）.求證：當(dāng)時(shí)，；（Ⅲ）設(shè)無(wú)窮數(shù)列是首項(xiàng)為a（a>0），公比為q的等比數(shù)列，有窮數(shù)列，是從中取出部分項(xiàng)按原來(lái)的順序所組成的不同數(shù)列，其所有項(xiàng)和分別為，.若.判斷是否為數(shù)列，并說(shuō)明理由.11.（2020·江蘇鎮(zhèn)江高三）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，把滿足條件的所有數(shù)列構(gòu)成的集合記為.（1）若數(shù)列通項(xiàng)為，求證：；（2）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，求的取值范圍；（3）若數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，數(shù)列中是否存在無(wú)窮多項(xiàng)依次成等差數(shù)列，若存在，給出一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)；若不存在，說(shuō)明理由.12.（2020河南安陽(yáng)高三）已知等比數(shù)列的首付，前項(xiàng)和滿足.（1）求實(shí)數(shù)的值及通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)為，并證明：.13.（2019·湖南高考模擬）已知數(shù)列的首項(xiàng)，，且對(duì)任意的，都有，數(shù)列滿足，.（Ⅰ）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求使成立的最小正整數(shù)的值.14．（2019·山東日照一中高三）已知數(shù)列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=（n∈N*）（Ⅰ）證明當(dāng)n≥2時(shí)，數(shù)列{nan}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an；（Ⅱ）求數(shù)列{n2an}的前n項(xiàng)和Tn；（Ⅲ）對(duì)任意n∈N*，使得 恒成立，求實(shí)數(shù)λ的最小值．15．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，且.（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足，并記為的前項(xiàng)和，求證：.

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