專題16  圓錐曲線中綜合問題目錄一．考情分析二．熱點(diǎn)題型歸納【題型一】圓錐曲線中的最值、范圍問題【題型二】圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題三．最新?？碱}組練【考情分析】  圓錐曲線的綜合問題是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，常見的熱點(diǎn)題型有：范圍、最值問題，定點(diǎn)、定值問題，探索型問題等.  以解答題的壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大，重在提升邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).【題型一】圓錐曲線中的最值、范圍問題【典例分析】1．（2021·山東滕州一中高三模擬）已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，過其右焦點(diǎn)F作直線交橢圓C于D，E(異于左右頂點(diǎn))兩點(diǎn)，直線AD，AE與直線分別交于M，N，線段MN的中點(diǎn)為H，連接FH.（1）求證：；（2）求面積的最小值.【解析】（1）由已知得，設(shè)，，直線DE的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得，，設(shè)直線AD的方程為，與直線聯(lián)立得，同理可得，則，，，當(dāng)時(shí)，顯然；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，綜上，可得.（2），H到直線DE的距離，設(shè)，，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)，即時(shí)取得最小值.面積的最小值是.2．（2021·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三模擬）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓上位于第二象限的任一點(diǎn)，直線是的外角平分線，直線交橢圓于另一點(diǎn)，過左焦點(diǎn)作的垂線，垂足為，延長交直線于點(diǎn)，（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），橢圓的離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求的內(nèi)切圓半徑的取值范圍.【解析】（1）由題意可得，且，所以，因?yàn)?/span>，分別為線段，的中點(diǎn)，所以為的中位線，所以且，由，得， 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知，設(shè)直線的方程為，由點(diǎn)在第二象限求得.設(shè)，，由得，        由根與系數(shù)的關(guān)系得，， 所以，令，則，所以，因?yàn)?/span>在時(shí)單調(diào)遞增，所以，所以， 又，所以，即，所以內(nèi)切圓半徑的取值范圍是.【提分秘籍】求解圓錐曲線中最值、范圍問題的主要方法(1)幾何法:若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義,則考慮利用圖形性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解.(2)代數(shù)法:若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系,或者不等關(guān)系,或者已知參數(shù)與新參數(shù)之間的等量關(guān)系等,則利用代數(shù)法求參數(shù)的范圍.【變式演練】1．（2021·遼寧本溪高級(jí)中學(xué)高三模擬）已知點(diǎn)F為橢圓的右焦點(diǎn)，橢圓上任意一點(diǎn)到點(diǎn)F距離的最大值為3，最小值為1.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若M為橢圓C上的點(diǎn)，以M為圓心，長為半徑作圓M，若過點(diǎn)可作圓M的兩條切線(為切點(diǎn))，求四邊形面積的最大值.【解析】（1）根據(jù)題意橢圓上任意一點(diǎn)到點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1.所以，解得，所以因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）由（1）知，為橢圓的左焦點(diǎn)，根據(jù)橢圓定義知，，設(shè)，∵點(diǎn)在圓外，∴，∴所以在直角三角形中，，，由圓的性質(zhì)知，四邊形面積，其中.即.令，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以，在時(shí)，取極大值，也是最大值此時(shí).2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等邊三角形，直線與以橢圓C的右焦點(diǎn)為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓相切．（1）求橢圓C的方程；（2）是橢圓C的內(nèi)接三角形，若坐標(biāo)原點(diǎn)O為的重心，求點(diǎn)B到直線MN距離的取值范圍．【解析】（1）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)，則以橢圓C的右焦點(diǎn)為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓：，所以圓心到直線的距離，又橢圓的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等邊三角形，所以，解得：，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，設(shè)的中點(diǎn)為D，直線OD與橢圓交于A,B兩點(diǎn)，因?yàn)?/span>O為的重心，則,所以即B到直線MN的距離是原點(diǎn)O到直線MN距離的3倍.當(dāng)MN的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)D在x軸上，所以此時(shí)B在長軸的端點(diǎn)處.由得：,則O到直線MN距離為1，B到直線MN距離為3；當(dāng)MN的斜率存在時(shí)，設(shè)，則有：兩式相減得：，因?yàn)?/span>D為的中點(diǎn)，所以，所以，所以直線MN的方程為，即，所以原點(diǎn)O到直線MN距離.因?yàn)?/span>，所以，所以.因?yàn)?/span>，所以，所以，所以綜上所述，.即點(diǎn)B到直線MN距離的取值范圍.【題型二】圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題【典例分析】1．（2021浙江鎮(zhèn)海中學(xué)高三模擬）已知且滿足的動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．（1）求曲線的軌跡方程；（2）如圖，過點(diǎn)的斜率大于零的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，，直線交曲線于另外一點(diǎn)，證明直線過定點(diǎn)．【解析】（1）∵，且，等式兩邊平方整理得．（2）證明：設(shè)，，．由兩式相減得．所以直線的方程為，整理得（*）．因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以①，同理直線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以②．由①②兩式得，整理得．由（*）式同理知直線的方程為，所以，整理得直線的方程為，所以直線過定點(diǎn)．2．（2021·天津八中高三模擬）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為和，P為橢圓C上任意一點(diǎn)，三角形面積的最大值是3．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若過點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且，證明：為定值．【解析】（Ⅰ）由題意知，當(dāng)P點(diǎn)位于橢圓C短軸端點(diǎn)時(shí)，三角形的面積S取最大值，此時(shí)．所以，即，解得．故橢圓C的方程為．（Ⅱ）（方法1）當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l：交橢圓于． 由消去x得，．則．而，所以．當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，，則．故為定值，且為．（方法2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：交橢圓于．由消去y得，．則，．而．所以．當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，可求得，則．故為定值，且為．【提分秘籍】1.求定值問題的思路方法(1)思路:求解定值問題的基本思路是使用參數(shù)表示要解決的問題,然后證明與參數(shù)無關(guān),這類問題選擇消元的方向是非常關(guān)鍵的.(2)方法:從特殊入手,求出定值,再證明這個(gè)值與變量無關(guān);直接推理、計(jì)算,并在計(jì)算推理的過程中消去變量,從而得到定值.2.求定點(diǎn)問題的解題方法(1)動(dòng)直線l過定點(diǎn)問題:設(shè)動(dòng)直線方程(斜率存在)為y=kx+t,由題設(shè)條件將t用k表示為t=mk,得y=k(x+m),故動(dòng)直線過定點(diǎn)(-m,0).(2)動(dòng)曲線C過定點(diǎn)問題:引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程,再根據(jù)其對參變量恒成立,令其系數(shù)等于零,得出定點(diǎn).【變式演練】1．（2021·廣東華南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三模擬）設(shè)，為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，直線過右焦點(diǎn)且與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，為等腰直角三角形.（1）求雙曲線的離心率；（2）已知直線，分別交直線于兩點(diǎn)，當(dāng)直線的傾斜角變化時(shí)，以為直徑的圓是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由.【解析】（1）由軸時(shí)， 為等腰直角三角形，可得，所以，即，故，結(jié)合，解得.故雙曲線的離心率為2.（2）因?yàn)?/span>，所以雙曲線，顯然直線l的斜率不為0，設(shè)直線，，，聯(lián)立直線與雙曲線的方程得，化簡得，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得，①所以，②，③ 設(shè)直線，直線，令，可得，設(shè)是以為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，則，則以為直徑的圓的方程為，由對稱性可得，若存在定點(diǎn)，則一定在軸上，令，可得，即，將①②③代入，可得，即，解得或，所以以為直徑的圓過定點(diǎn)，.2．（2021·山師大附中高三模擬）已知圓，動(dòng)圓M過點(diǎn)且與圓C相切.（1）求動(dòng)圓圓心M的軌跡E的方程；（2）假設(shè)直線l與軌跡E相交于A，B兩點(diǎn)，且在軌跡E上存在一點(diǎn)P，使四邊形OAPB為平行四邊形，試問平行四邊形OAPB的面積是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由.【解析】（1）因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)D在圓內(nèi).又因?yàn)閳AM過點(diǎn)D且與圓C相切，所以，所以.即點(diǎn)M的軌跡是以C，D為焦點(diǎn)的橢圓.則，即.又因?yàn)?/span>，所以.故動(dòng)圓圓心M的軌跡E的方程為：.（2）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，可得直線AB的方程為，此時(shí)，所以四邊形OAPB的面積.當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，由整理得，.因?yàn)橹本€l與軌跡E相交于A，B兩點(diǎn)，所以.設(shè)，，則，.所以.設(shè)AB的中點(diǎn)為Q，則Q的坐標(biāo)為.因?yàn)樗倪呅?/span>OAPB為平行四邊形，所以，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.又因?yàn)辄c(diǎn)Р在橢圓上，所以.整理得，.又因?yàn)?/span>，原點(diǎn)О到直線AB的距離為，所以平行四邊形OAPB的面積.綜上可知，平行四邊形OAPB的面積為定值.1．（2021·江蘇南京師范大學(xué)附屬中學(xué)高三模擬）已知拋物線，滿足下列三個(gè)條件中的一個(gè)：①拋物線上一動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離比到直線的距離大1；②點(diǎn)到焦點(diǎn)與到準(zhǔn)線的距離之和等于7；③該拋物線被直線所截得弦長為16.請選擇其中一個(gè)條件解答下列問題.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，直線的斜率為，直線的斜率為，當(dāng)時(shí)，求的面積的最小值.【解析】（1）若選擇①，則拋物線上一動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距與到直線的距離相等，故，故，所以拋物線的方程為.若選擇②，則，解得，故拋物線的方程為.若選擇③，則由可得，所以，解得，故拋物線的方程為.（2）設(shè)，、，因?yàn)?/span>與拋物線相交于、，所以將代消去得：，則且，，由題意可知，，所以，所以，所以的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的面積的最小值為.2．（2021·重慶第一中學(xué)高三模擬）已知，分別為橢圓的左?右頂點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，點(diǎn)為上的一點(diǎn)，恰好垂直平分線段(為坐標(biāo)原點(diǎn))，.（1）求橢圓的方程；（2）過的直線交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)滿足(，，三點(diǎn)不共線)，求四邊形面積的取值范圍.【解析】（1）由題意可知，，∵恰好垂直平分線段，∴，令，代入得：，∴，∴，解得，∴橢圓的方程為：.（2）由題意可知直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為：，設(shè)，，聯(lián)立方程，消去得：，∴，∴，，設(shè)的中點(diǎn)為，則，∴與互相平分，四邊形為平行四邊形，∴，令，則，∵在上單調(diào)遞增，∴，∴，∴.綜上所述，四邊形面積的取值范圍為.3.（2021·浙江杭州高級(jí)中學(xué)高三模擬）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)到的距離比點(diǎn)到軸的距離大1．過點(diǎn)作拋物線的切線，設(shè)其斜率為.（1）求拋物線的方程；（2）直線與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)，（異于點(diǎn)），若直線與直線的斜率互為相反數(shù)，證明：．【解析】（1）解：設(shè)點(diǎn)，由點(diǎn)到的距離比點(diǎn)到軸的距離大1，可得，即，所以，即拋物線的方程為.（2）證明：設(shè)，，直線的斜率為，直線的斜率為，則，.因?yàn)橹本€與直線的斜率互為相反數(shù)，所以，即，又點(diǎn)，均在拋物線上，可得，化簡可得，因?yàn)?/span>，，所以，即，故，因?yàn)?/span>，所以，所以，則，故.4．（2021·湖南長沙長郡中學(xué)高三模擬）已知橢圓：上有一點(diǎn)，點(diǎn)在軸上方，，分別為的左，右焦點(diǎn)，當(dāng)△的面積取最大值時(shí)，.（Ⅰ）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若直線交于，兩點(diǎn)，設(shè)中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，作，求證：為定值.【解析】（Ⅰ）由橢圓的性質(zhì)知，△的面積取最大時(shí)，為橢圓的上頂點(diǎn)，即，而，∴，，又，∴，，可得的標(biāo)準(zhǔn)方程.（Ⅱ）由題意，且中點(diǎn)為，易得，即，若直線l斜率不存在時(shí)，，關(guān)于x軸對稱，知：橫縱坐標(biāo)的絕對值相等，不妨假設(shè)在第一象限，則，在橢圓上，∴，此時(shí)兩點(diǎn)重合，即；若直線l斜率為0時(shí)，同理可得，若直線l斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線l為，，，則，，且，聯(lián)立橢圓與直線得：且，∴，，即，∴，即.∴，為定值.5．（2021·天津南開中學(xué)高三模擬）已知點(diǎn)，分別為橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，且坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，橢圓E的離心率是方程的一個(gè)根.（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，過P作斜率存在的兩條射線PM，PN，交橢圓E于M，N兩點(diǎn)，且，問：直線MN經(jīng)過定點(diǎn)嗎？若經(jīng)過，求出這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過，說明理由.【解析】（1）因?yàn)闄E圓E的離心率是方程的一個(gè)根，所以或.因?yàn)闄E圓E的離心率，所以.因?yàn)?/span>，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)，分別為橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，所以.因?yàn)樽鴺?biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，所以，所以，所以，所以，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)MN：y=kx+m，由，消元并化簡得，設(shè)，則，，又，，所以，所以，即，所以，所以，即，所以或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)M，N，P重合，舍去.當(dāng)時(shí)，，恒過點(diǎn).當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，MN⊥x軸，設(shè)，則，解得，所以此時(shí)直線MN也過點(diǎn).所以直線MN恒過定點(diǎn).6.（2021·湖南長郡中學(xué)高三模擬）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.設(shè)過點(diǎn)F且不與x軸平行的直線m與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，過M作直線垂直于l，垂足為N，直線MN與拋物線C交于點(diǎn)P.（1）求證：點(diǎn)P是線段MN的中點(diǎn).（2）若拋物線C在點(diǎn)P處的切線與y軸交于點(diǎn)Q，問是否存在直線m，使得四邊形MPQF是有一個(gè)內(nèi)角為的菱形？若存在，請求出直線m的方程；若不存在，請說明理由.【解析】（1）證明：由題意知直線m的斜率存在且不為0，故設(shè)直線m的方程為，代入，并整理得.所以，設(shè)，，則，.設(shè)，則，，即.由，得，所以MN中點(diǎn)的坐標(biāo)為.將代入，解得，則，所以點(diǎn)P是MN的中點(diǎn).（2）由，得，則，所以拋物線C在點(diǎn)的切線PQ的斜率為k，又由直線m的斜率為k，可得；又軸，所以四邊形MPQF為平行四邊形.而，，由，得，解得，即當(dāng)時(shí)，四邊形MPQF為菱形，且此時(shí)，所以，直線m的方程為，2即或，所以存在直線m，使得四邊形MPQF是有一個(gè)內(nèi)角為的菱形. 
 

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