專題01  函數(shù)的圖象和性質(zhì)目錄一．考情分析二．熱點(diǎn)題型歸納【題型一】函數(shù)及其表示【題型二】函數(shù)的圖象及應(yīng)用【題型三】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用三．最新?？碱}組練【考情分析】1.考查特點(diǎn):高考對(duì)此部分內(nèi)容的命題多集中于函數(shù)的概念、函數(shù)的性質(zhì)及分段函數(shù)等方面,多以選擇題、填空題的形式考查,難度一般;主要考查函數(shù)的定義域、值域的求法,分段函數(shù)求值與解不等式問題,函數(shù)圖象的判斷及函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性等.2.關(guān)鍵能力:邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新能力.3.學(xué)科素養(yǎng):數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算.【題型一】函數(shù)及其表示【典例分析】1．（2021·北京市第四十三中學(xué)高三月考）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/span>    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意得：得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，故選：B2．（2021·江西高三模擬）設(shè)函數(shù)，若，則（    ）A．或2 B．2或3 C．或3 D．或2或3【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，，；當(dāng)時(shí)，，，解得（舍去），，故選A．【提分秘籍】1.高考?？级x域易失分點(diǎn)：(1)若f(x)的定義域?yàn)?/span>[m，n]，則在f[g(x)]中，m≤g(x)≤n，從中解得x的范圍即為f[g(x)]的定義域；(2)若f[g(x)]的定義域?yàn)?/span>[m，n]，則由m≤x≤n確定的g(x)的范圍即為f(x)的定義域.2.高考?？挤侄魏瘮?shù)易失分點(diǎn)：(1)注意分段求解不等式時(shí)自變量的取值范圍的大前提；(2)利用函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化時(shí)，首先判斷已知分段函數(shù)的性質(zhì)，利用性質(zhì)將所求問題簡(jiǎn)單化.【變式演練】1．(2021·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三模擬)若的定義域?yàn)?/span>，，則函數(shù)的定義域是　　A．， B．， C．，， D．【答案】D【解析】由的定義域?yàn)?/span>，，令，解得，函數(shù)的定義域是．故選：．2．（2021·遼寧高三模擬）已知函數(shù)，則___________.【答案】32【解析】.故答案為：32【題型二】函數(shù)的圖象及應(yīng)用【典例分析】（1）函數(shù)f(x)＝在[－π，π]上的圖象大致為(　　)（2）(2021·合肥調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝ 若f(x1)＝f(x2)＝f(x3)(x1，x2，x3互不相等)，且x1＋x2＋x3的取值范圍為(1，8)，則實(shí)數(shù)m的值為________.【答案】（1）D （2）1【解析】（1）∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)，排除A；∵f(π)＝＝>0，∴排除C；∵f(1)＝，且sin 1>cos 1，∴f(1)>1，∴排除B，故選D.（2）作出f(x)的圖象，如圖所示，可令x1<x2<x3，則由圖知點(diǎn)(x1，0)，(x2，0)關(guān)于直線x＝－對(duì)稱，所以x1＋x2＝－1.又因?yàn)?/span>1<x1＋x2＋x3<8，所以2<x3<9.結(jié)合圖象可知A點(diǎn)坐標(biāo)為(9，3)，代入函數(shù)解析式得3＝log2(9－m)，解得m＝1.【提分秘籍】1.圖像的識(shí)別：已知函數(shù)的解析式，判斷其圖象的關(guān)鍵是由函數(shù)解析式明確函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等，以及函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)，根據(jù)這些性質(zhì)對(duì)函數(shù)圖象進(jìn)行具體分析判斷.2.圖像的應(yīng)用：(1)運(yùn)用函數(shù)圖象解決問題時(shí)，先要正確理解和把握函數(shù)圖象本身的含義及其表示的內(nèi)容，熟悉圖象所能夠表達(dá)的函數(shù)的性質(zhì).(2)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，因此，函數(shù)性質(zhì)的確定與應(yīng)用及一些方程、不等式的求解常與圖象數(shù)形結(jié)合研究.【變式演練】1.（2021·江蘇金陵中學(xué)高三模擬）下列四個(gè)圖象可能是函數(shù)圖象的是（    ）A．B．C． D．【答案】C【解析】∵的定義域?yàn)?/span>，其圖象可由的圖象沿軸向左平移1個(gè)單位而得到，∵為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱.可排除A、D項(xiàng).當(dāng)時(shí)，，∴B項(xiàng)不正確.故選：C2.（2021·北京石景山區(qū)·高三一模）已知，若在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】作出，在上的圖象如下圖所示：  因?yàn)?/span>在上恒成立，所以的圖象在的圖象的上方（可以部分點(diǎn)重合），且，令，所以，所以，根據(jù)圖象可知：當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，有最小值，，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，有最大值，，綜上可知的取值范圍是，故選：C.【題型三】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【典例分析】(1)3.（2021?新高考Ⅱ卷T8）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?/span>R，f（x+2）為偶函數(shù)，f（2x+1）為奇函數(shù)，則（　?。?/span>A．f（﹣）＝0 B．f（﹣1）＝0 C．f（2）＝0 D．f（4）＝0【答案】B【解析】由題意，f（x+2）為偶函數(shù)，可得f（x+4）＝f（﹣x），f（2x+1）為奇函數(shù)，可得f（﹣2x+1）＝﹣f（2x+1），令F（x）＝f（2x+1）為奇函數(shù)，可得F（0）＝f（1）＝0，∴f（﹣1）＝﹣f（3）＝﹣f（1）＝0，即f（﹣x）＝﹣f（x+2），∴f（x+4）＝﹣f（x+2），易知f（x）的周期T＝4，其他選項(xiàng)的值不一定等于0．即f（﹣1）＝0，故選：B．（2）若定義在的奇函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足的x的取值范圍是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】因?yàn)槎x在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以在上也是單調(diào)遞減，且，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以由可得：或或解得或，所以滿足的的取值范圍是，故選D.【提分秘籍】高考?？己瘮?shù)四個(gè)性質(zhì)的應(yīng)用：(1)奇偶性，具有奇偶性的函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上，其圖象、函數(shù)值、解析式和單調(diào)性聯(lián)系密切，研究問題時(shí)可以轉(zhuǎn)化到部分(一般取一半)區(qū)間上，注意偶函數(shù)常用結(jié)論f(x)＝f(|x|)；(2)單調(diào)性，可以比較大小、求函數(shù)最值、解不等式、證明方程根的唯一性；(3)周期性，利用周期性可以轉(zhuǎn)化函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)，把不在已知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上求解；(4)對(duì)稱性，常圍繞圖象的對(duì)稱中心設(shè)置試題背景，利用圖象對(duì)稱中心的性質(zhì)簡(jiǎn)化所求問題.【變式演練】1.（2021?甲（理）卷T12）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?/span>R，f（x+1）為奇函數(shù)，f（x+2）為偶函數(shù)，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）＝ax2+b．若f（0）+f（3）＝6，則f（）＝（　　）A．﹣ B．﹣ C． D．【答案】D【解析】∵f（x+1）為奇函數(shù)，∴f（1）＝0，且f（x+1）＝﹣f（﹣x+1），∵f（x+2）偶函數(shù)，∴f（x+2）＝f（﹣x+2），∴f[（x+1）+1]＝﹣f[﹣（x+1）+1]＝﹣f（﹣x），即f（x+2）＝﹣f（﹣x），∴f（﹣x+2）＝f（x+2）＝﹣f（﹣x）．令t＝﹣x，則f（t+2）＝﹣f（t），∴f（t+4）＝﹣f（t+2）＝f（t），∴f（x+4）＝f（x）．當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）＝ax2+b．f（0）＝f（﹣1+1）＝﹣f（2）＝﹣4a﹣b，f（3）＝f（1+2）＝f（﹣1+2）＝f（1）＝a+b，又f（0）+f（3）＝6，∴﹣3a＝6，解得a＝﹣2，∵f（1）＝a+b＝0，∴b＝﹣a＝2，∴當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）＝﹣2x2+2，∴f（）＝f（）＝﹣f（）＝﹣（﹣2×+2）＝．故選：D．1．（2021·遼寧本溪高級(jí)中學(xué)高三模擬）函數(shù)f(x)＝＋lg(1＋x)的定義域是（    ）A．(－∞，－1) B．(1，＋∞) C．(－1，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)【答案】C【解析】因?yàn)?/span>f(x)＝＋lg(1＋x)，所以需滿足，解得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?/span>(－1，1)∪(1，＋∞)，故選：C2．（2021·天津南開中學(xué)高三模擬）設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得，對(duì)于A，不是奇函數(shù)；對(duì)于B，是奇函數(shù)；對(duì)于C，，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù)；對(duì)于D，，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù).故選：B3．（2021湖北襄陽(yáng)五中高三模擬）若定義在R上的偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)滿足f(x)＋g(x)＝ex，則g(x)＝(　　)A．ex－e－x B． (ex＋e－x)C． (e－x－ex) D． (ex－e－x)【答案】D【解析】∵為定義在R上的偶函數(shù)，∴，又∵為定義在R上的奇函數(shù)，，由，∴. 故選：D.4．（2021·湖南長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡中學(xué)高三模擬）設(shè)是定義域?yàn)?/span>R的奇函數(shù)，且.若，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可得：，而，故.故選：C.5．（2021·江蘇南京外國(guó)語(yǔ)高三模擬）若函數(shù)的大致圖象如圖所示，則的解析式可能是（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】由圖可知，當(dāng)時(shí)，，取，則對(duì)于B，，所以排除B，對(duì)于D，，所以排除D，當(dāng)時(shí)，對(duì)于A，，此函數(shù)是由向右平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，所以時(shí)，恒成立，而圖中，當(dāng) 時(shí)，可以小于1，所以排除A,故選：C6．（2021·海南高考真題）若定義在的奇函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足的x的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)槎x在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以在上也是單調(diào)遞減，且，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以由可得：或或解得或，所以滿足的的取值范圍是，故選：D.7．（2021·黑龍江哈爾濱市·哈師大附中高三三模）已知函數(shù)，則實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】，解得：或，或或或解得：或，方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為2個(gè)，故選：A.8．（2021·湖南長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡中學(xué)高三模擬）對(duì)于函數(shù)y＝f（x），其定義域?yàn)?/span>D，如果存在區(qū)間[m，n]?D，同時(shí)滿足下列條件：①f（x）在[m，n]上是單調(diào)函數(shù)；②當(dāng)f（x）的定義域?yàn)?/span>[m，n]時(shí)，值域也是[m，n]，則稱區(qū)間[m，n]是函數(shù)f（x）的“K區(qū)間”.若函數(shù)f（x）＝﹣a（a＞0）存在“K區(qū)間”，則a的取值范圍為（    ）A． B． C． D．（，1]【答案】C【解析】為減函數(shù)，所以兩式相減化簡(jiǎn)得 代人 ,得 問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)結(jié)合圖像可知故選：C9．（2021·浙江鎮(zhèn)海中學(xué)高三模擬）假設(shè)存在兩個(gè)物種，前者有充足的食物和生存空間，而后者僅以前者為食物，則我們稱前者為被捕食者，后者為捕食者，現(xiàn)在我們來研究捕食者與被捕食者之間理想狀態(tài)下的數(shù)學(xué)模型.假設(shè)捕食者的數(shù)量以表示，被捕食者的數(shù)量以表示.下圖描述的是這兩個(gè)物種隨時(shí)間變化的數(shù)量關(guān)系，其中箭頭方向?yàn)闀r(shí)間增加的方向.下列說法不正確的是（    ）
 A．若在、時(shí)刻滿足：，則B．如果數(shù)量是先上升后下降的，那么的數(shù)量一定也是先上升后下降C．被捕食者數(shù)量與捕食者數(shù)量不會(huì)同時(shí)到達(dá)最大值或最小值D．被捕食者數(shù)與捕食者數(shù)總和達(dá)到最大值時(shí)，捕食者的數(shù)量也會(huì)達(dá)到最大值【答案】ABD【解析】由圖可知，曲線中縱坐標(biāo)相等時(shí)橫坐標(biāo)未必相等，故A不正確；在曲線上半段中觀察到是先上升后下降，而是不斷變小的，故B不正確；捕食者數(shù)量最大時(shí)是在圖象最右端，最小值是在圖象最左端，此時(shí)都不是被捕食者的數(shù)量的最值處，同樣當(dāng)被捕食者的數(shù)量最大即圖象最上端和最小即圖象最下端時(shí)，也不是捕食者數(shù)量取最值的時(shí)候，所以被捕食者數(shù)量和捕食者數(shù)量不會(huì)同時(shí)達(dá)到最大和最小值，故C正確；當(dāng)捕食者數(shù)量最大時(shí)在圖象最右端，，，此時(shí)二者總和，由圖象可知存在點(diǎn)，，，所以并不是被捕食者數(shù)量與捕食者數(shù)量總和達(dá)到最大值時(shí)，被捕食者數(shù)量也會(huì)達(dá)到最大值，故D錯(cuò)誤，故選：ABD.10．（2021·江陰市第二中學(xué)高三模擬）設(shè)函數(shù)且，下列關(guān)于該函數(shù)的說法正確的是（    ）A．若，則B．若為R上的增函數(shù)，則C．若，則D．函數(shù)為R上奇函數(shù)【答案】AB【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?/span>，所以，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，欲使得該函數(shù)為增函數(shù)，則滿足，解得，所以選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，使得，此時(shí)且，與條件不符，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，綜上只有選項(xiàng)AB符合題意，故選AB．11．（2021·重慶南開中學(xué)高三模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖放置的邊長(zhǎng)為2的正方形沿軸滾動(dòng)（無滑動(dòng)滾動(dòng)），點(diǎn)恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)頂點(diǎn)的軌跡方程是，則對(duì)函數(shù)的判斷正確的是　　A．函數(shù)在，上有兩個(gè)零點(diǎn)B．函數(shù)是偶函數(shù)C．函數(shù)在，上單調(diào)遞增D．對(duì)任意的，都有【答案】AB【解析】當(dāng)，的軌跡是以為圓心，半徑為2的圓當(dāng)時(shí)，的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，當(dāng)時(shí)，的軌跡是以為圓心，半徑為2的圓，當(dāng)時(shí)，的軌跡是以為圓心，半徑為2的圓，作出函數(shù)的圖象如圖，函數(shù)值域?yàn)?/span>，，則函數(shù)與直線的圖象在，上有2個(gè)交點(diǎn)，故正確；函數(shù)為偶函數(shù)，故正確；由圖可知，函數(shù)在，上單調(diào)遞減，故錯(cuò)誤；由圖，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，故錯(cuò)誤故選：．12．（2021·江蘇連云港市·高三模擬）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且與都為奇函數(shù)，則（    ）A．為奇函數(shù) B．為周期函數(shù)C．為奇函數(shù) D．為偶函數(shù)【答案】ABC【解析】由題意知：且，∴，即，可得，∴是周期為2的函數(shù)，且、為奇函數(shù)，故A、B正確，D錯(cuò)誤；由上知：，即為奇函數(shù)，C正確.故選：ABC.13．（2021·山東滕州一中高三模擬）若函數(shù)，則=__________．【答案】【解析】令，可得，所以．故答案為：.14．（2021·山東省成武第一中學(xué)高三二模）若函數(shù)滿足定義域?yàn)?/span>，值域也為，就稱為“優(yōu)美函數(shù)”.試寫出能滿足“若是優(yōu)美函數(shù)，則”為假命題的一個(gè)函數(shù)是______.【答案】【解析】根據(jù)題意，不妨令，該函數(shù)定義域，值域與定義域相同，是優(yōu)美函數(shù)，但沒有意義，即可說“若是優(yōu)美函數(shù)，則”為假命題本題答案不唯一.本題選擇.故答案為：.15．（2021·江蘇南京師范大學(xué)附中高三模擬）定義在上的函數(shù)滿足下列兩個(gè)條件（1）對(duì)任意的恒有成立；（2）當(dāng)時(shí)，．則的值是__________．【答案】【解析】因?yàn)閷?duì)任意的恒有成立，所以有：，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，所以故答案為：16．（2021·武邑武羅學(xué)校高三模擬）若函數(shù)（且）的值域?yàn)?/span>，則________；實(shí)數(shù)的取值范圍為________.【答案】5        【解析】因?yàn)?/span>，所以.當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，所以.若，函數(shù)是減函數(shù)，顯然當(dāng)時(shí)，，不符合題意；若，函數(shù)是增函數(shù)，所以，要想函數(shù)的值域?yàn)?/span>，只需，即，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
 

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