專題12  概率、隨機(jī)變量及其分布列目錄一．考情分析二．熱點(diǎn)題型歸納【題型一】相互獨(dú)立事件、古典概型【題型二】條件概率與全概率公式【題型三】隨機(jī)變量的分布列、均值與方差三．最新模考題組練【考情分析】1.考查特點(diǎn):對古典概型的考查多以選擇或填空題的形式命題,中低檔難度;概率模型多考查條件概率、n重伯努利試驗、相互獨(dú)立事件、互斥事件及對立事件等;對離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的考查是重點(diǎn)中的“熱點(diǎn)”,多在解析題的前三題的位置呈現(xiàn),?？疾楠?dú)立事件的概率及二項分布的期望等.2.關(guān)鍵能力:邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)學(xué)建模能力.3.學(xué)科素養(yǎng):數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算. 【題型一】相互獨(dú)立事件、古典概型【典例分析】【例1】（2021·山東省實(shí)驗中學(xué)高三模擬）甲?乙兩隊進(jìn)行羽毛球決賽，現(xiàn)在的情形是甲隊只要再贏一局就獲得冠軍，乙隊需要再贏兩局才能得到冠軍，若甲隊每局獲勝的概率為，則甲隊獲得冠軍的概率為（    ）A． B． C． D．【例2】(2021·廣東省深圳外國語學(xué)校高三月考)2021年廣東新高考將實(shí)行3+1+2模式,即語文、數(shù)學(xué)、英語必選,物理、歷史二選一,政治、地理、化學(xué)、生物四選二,共有12種選課模式.今年高一的小明與小芳都準(zhǔn)備選歷史,假如他們都對后面四科沒有偏好,則他們選課相同的概率為(　D　)A． B． C． D．【提分秘籍】1.求古典概型的概率,關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件總數(shù).常常用到排列、組合的有關(guān)知識.求解時要注意兩點(diǎn):(1)對于較復(fù)雜的題目,列出事件數(shù)時要正確分類,分類時做到不重不漏.(2)當(dāng)直接求解有困難時,可考慮求其對立事件的概率.【變式演練】1.先后拋擲一枚均勻的正方體骰子(它們的六個面分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1,2,3,4,5,6),骰子朝上的面的點(diǎn)數(shù)分別為x,y,則事件log2xy=1發(fā)生的概率為　　　　. 2.(2021·北京東城區(qū)期末)已知甲、乙、丙、丁四人各自獨(dú)立解決某一問題的概率分別是0.5,0.4,0.3,a,如果甲、乙、丙至少有一人解決該問題的概率不小于丁獨(dú)立解決這一問題的概率,則a的最大值是　　　　. 【題型二】條件概率與全概率公式【題組練透】1．某地病毒爆發(fā)，全省支援，需要從我市某醫(yī)院某科室的名男醫(yī)生(含一名主任醫(yī)師)?名女醫(yī)生(含一名主任醫(yī)師)中分別選派名男醫(yī)生和名女醫(yī)生，則在有一名主任醫(yī)師被選派的條件下，兩名主任醫(yī)師都被選派的概率為（    ）A． B． C． D．2．托馬斯·貝葉斯(ThomasBayes)在研究“逆向概率”的問題中得到了一個公式：，這個公式被稱為貝葉斯公式(貝葉斯定理)，其中稱為的全概率.這個定理在實(shí)際生活中有著重要的應(yīng)用價值.假設(shè)某種疾病在所有人群中的感染率是，醫(yī)院現(xiàn)有的技術(shù)對于該疾病檢測準(zhǔn)確率為，即已知患病情況下，的可能性可以檢查出陽性，正常人的可能性檢查為正常.如果從人群中隨機(jī)抽一個人去檢測，經(jīng)計算檢測結(jié)果為陽性的全概率為0.01098，請你用貝葉斯公式估計在醫(yī)院給出的檢測結(jié)果為陽性的條件下這個人得病的概率（    ）A． B． C． D．3．（2021·天津南開中學(xué)高三模擬）為了營造勤奮讀書、努力學(xué)習(xí)、奮發(fā)向上的文化氛圍，提高學(xué)生的閱讀興趣，某校開展了“朗讀者”闖關(guān)活動，各選手在第一輪要進(jìn)行詩詞朗讀的比拼，第二輪進(jìn)行詩詞背誦的比拼.已知某學(xué)生通過第一關(guān)的概率為，在已經(jīng)通過第一關(guān)的前提下通過第二關(guān)的概率為，則該同學(xué)兩關(guān)均通過的概率為______.【提分秘籍】1.條件概率：P(B|A)＝＝.2.應(yīng)用全概率公式求概率的步驟(1)根據(jù)題意找出完備事件組，即滿足全概率公式的Ω的一個劃分A1，A2，A3，…，An；(2)用Ai(i＝1,2,3，…，n)來表示待求的事件；(3)代入全概率公式求解．　　【題型三】隨機(jī)變量的分布列、均值與方差【典例分析】【例3】（2021·湖南長沙市長郡中學(xué)高三模擬）乒乓球是中國國球，它是一種世界流行的球類體育項目.某中學(xué)為了鼓勵學(xué)生多參加體育鍛煉，定期舉辦乒乓球競賽，該競賽全程采取“一局定輸贏”的比賽規(guī)則，首先每個班級需要對本班報名學(xué)生進(jìn)行選拔，選取3名學(xué)生參加校內(nèi)終極賽與其他班級學(xué)生進(jìn)行同臺競技.（Ⅰ）若高三（1）班共有6名男生和4名女生報名，且報名參賽的選手實(shí)力相當(dāng)，求高三（1）班選拔的校內(nèi)終極賽參賽選手均為男生的概率.（Ⅱ）若高三（1）班選拔的選手甲、乙、丙分別與高三（2）班選拔的選手A，B，C對抗，甲、乙、丙獲勝的概率分別為，，，且甲、乙丙三人之間獲勝與否互不影響，記為在這次對抗中高三（1）班3名選手獲勝的人數(shù)，.（ⅰ）求；（ⅱ）求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.【提分秘籍】【變式演練】
1．（2021·湖南長沙市長郡中學(xué)高三模擬）現(xiàn)代戰(zhàn)爭中，經(jīng)常使用戰(zhàn)斗機(jī)攜帶空對空導(dǎo)彈攻擊對方戰(zhàn)機(jī)，在實(shí)際演習(xí)中空對空導(dǎo)彈的命中率約為20%，由于飛行員的綜合素質(zhì)和經(jīng)驗的不同，不同的飛行員使用空對空導(dǎo)彈命中對方戰(zhàn)機(jī)的概率也不盡相同.在一次演習(xí)中，紅方的甲?乙兩名優(yōu)秀飛行員發(fā)射一枚空對空導(dǎo)彈命中藍(lán)方戰(zhàn)機(jī)的概率分別為和，兩名飛行員各攜帶4枚空對空導(dǎo)彈.（1）甲飛行員單獨(dú)攻擊藍(lán)方一架戰(zhàn)機(jī)，連續(xù)不斷地發(fā)射導(dǎo)彈攻擊，一旦命中或?qū)椨猛昙赐Ｖ构?，各次攻擊相互?dú)立，求甲飛行員能夠命中藍(lán)方戰(zhàn)機(jī)的概率？（2）藍(lán)方機(jī)群共有8架戰(zhàn)機(jī)，若甲?乙共同攻擊(戰(zhàn)機(jī)均在攻擊范圍之內(nèi)，每枚導(dǎo)彈只攻擊其中一架戰(zhàn)機(jī)，甲，乙不同時攻擊同一架戰(zhàn)機(jī)).①若一輪攻擊中，每人只有兩次進(jìn)攻機(jī)會，記一輪攻擊中，擊中藍(lán)方戰(zhàn)機(jī)數(shù)為X，求X的分布列；②若實(shí)施兩輪攻擊(用完攜帶的導(dǎo)彈)，記命中藍(lán)方戰(zhàn)機(jī)數(shù)為Y，求Y的數(shù)學(xué)期望E(Y).1．（2021春?禪城區(qū)期末）一批產(chǎn)品的二等品率為0.03，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的二等品件數(shù)，則　　A．3 B．2.91 C．0.97 D．0.092．（2021?泰安模擬）某工廠生產(chǎn)一批醫(yī)療器械的零件，每件零件生產(chǎn)成型后，得到合格零件的概率為0.7，得到的不合格零件可以進(jìn)行一次技術(shù)精加工，技術(shù)精加工后得到合格零件的概率是0.3，而此時得到的不合格零件將不能再加工，只能成為廢品，則生產(chǎn)時得到合格零件的概率是（　?。?/span>A．0.49 B．0.73 C．0.79 D．0.913．（2021?重慶三模）為了實(shí)施“科技下鄉(xiāng)，精準(zhǔn)脫貧”戰(zhàn)略，某縣科技特派員帶著，，三個農(nóng)業(yè)扶貧項目進(jìn)駐某村，對僅有的四個貧困戶甲、乙、丙、丁進(jìn)行產(chǎn)業(yè)幫扶，若每個貧困戶只能選擇一個扶貧項目，每個項目至少有一戶選擇，則甲乙兩戶選擇同一個扶貧項目的概率為　　A． B． C． D．4．（2021?石嘴山模擬）學(xué)校從高一、高二、高三中各選派10名同學(xué)參加“建黨100周年黨史宣講”系列報告會，其中三個年級參會同學(xué)中女生人數(shù)分別為5、6、7，學(xué)習(xí)后學(xué)校隨機(jī)選取一名同學(xué)匯報學(xué)習(xí)心得，結(jié)果選出一名女同學(xué)，則該名女同學(xué)來自高三年級的概率為　　A． B． C． D．5．（2021?廬陽區(qū)校級模擬）某批零件的尺寸X服從正態(tài)分布N（10，σ2），且滿足P（x＜9）＝，零件的尺寸與10的誤差不超過1即合格，從這批產(chǎn)品中抽取n件，若要保證抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，則n的最小值為（　　）A．7 B．6 C．5 D．46．（2021?合肥模擬）某校高三年級在迎新春趣味運(yùn)動會上設(shè)置了一個三分線外定點(diǎn)投籃比賽項目，規(guī)則是：每人投球5次，投中一次得1分，沒投中得0分，且連續(xù)投中2次額外加1分，連續(xù)投中3次額外加2分，連續(xù)投中4次額外加3分，全部投中額外加5分．某同學(xué)投籃命中概率為，則該同學(xué)投籃比賽得3分的概率為　　A． B． C． D．7．（2021?株洲模擬）從甲袋中摸出一個紅球的概率是，從乙袋中摸出一個紅球的概率是，從兩袋各摸出一個球，下列結(jié)論正確的是　　A．2個球都是紅球的概率為 B．2個球中恰有1個紅球的概率為 C．至少有1個紅球的概率為 D．2個球不都是紅球的概率為8．（2021?山東二模）將4男、4女共8位同學(xué)隨機(jī)地分成人數(shù)相等的甲、乙兩組，則下列說法正確的是　　A．4位女同學(xué)分到同一組的概率為 B．男生甲和女生乙分到甲組的概率為 C．有且只有3位女同學(xué)分到同一組的概率為 D．4位男同學(xué)不同時分到甲組的概率為9．（2021?連云港模擬）醫(yī)用口罩面體分為內(nèi)、中、外三層．內(nèi)層為親膚材質(zhì)，中層為隔離過濾層，外層為特殊材料抑菌層．根據(jù)國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗標(biāo)準(zhǔn)，醫(yī)用口罩的過濾率是重要的指標(biāo)，根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，某企業(yè)在生產(chǎn)線狀態(tài)正常情況下生產(chǎn)的醫(yī)用口罩的過濾率，，，，．則　　A． B． C． D．假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表示抽取的100只口罩中過濾率大于的數(shù)量，則10．（2021?義烏市模擬）設(shè)隨機(jī)變量的分布列如表：01230.10.4則　0.5　，若數(shù)學(xué)期望，則方差　　．11．（2021?天津一模）甲、乙兩人進(jìn)行投籃比賽，設(shè)兩人每次投籃是否命中相互之間不受影響，已知甲、乙兩人每次投籃命中的概率分別是0.7，0.6．若甲、乙各投籃一次，則甲命中且乙未命中的概率為　0.28　；若甲、乙各投籃兩次，則甲比乙多命中一次的概率是　　．12．（2021?北辰區(qū)模擬）一個口袋里有形狀一樣僅顏色不同的4個小球，其中白色球2個，黑色球2個．若從中隨機(jī)取球，每次只取1個球，每次取球后都放回袋中，則事件“連續(xù)取球四次，恰好取到兩次白球”的概率為　　；若從中一次取2個球，只取一次，記所取球中白球可能被取到的個數(shù)為，則隨機(jī)變量的期望為　　．13．（2021?淄博二模）某市在司法知識宣傳周活動中，舉辦了一場司法知識網(wǎng)上答題考試．要求本市所有機(jī)關(guān)、企事業(yè)單位工作人員均要參加考試．試題滿分為100分，考試成績大于等于90分的為優(yōu)秀，考試結(jié)束后，組織部門從所有參加考試的人員中隨機(jī)抽取了200人的成績作為統(tǒng)計樣本，得到樣本平均數(shù)為82、方差為64．假設(shè)該市機(jī)關(guān)、企事業(yè)單位工作人員有20萬人，考試成績服從正態(tài)分布．（1）估計該市此次司法考試成績優(yōu)秀者的人數(shù)有多少萬人？（2）該市組織部門為調(diào)動機(jī)關(guān)、企事業(yè)單位工作人員學(xué)習(xí)司法知識的積極性，制定了如下獎勵方案：所有參加考試者，均可參與網(wǎng)上“抽獎贏手機(jī)流量”活動，并且成績優(yōu)秀者可有兩次抽獎機(jī)會，其余參加者抽獎一次．抽獎?wù)唿c(diǎn)擊抽獎按鈕，即隨機(jī)產(chǎn)生一個兩位數(shù)，11，，，若產(chǎn)生的兩位數(shù)的數(shù)字相同，則可獲贈手機(jī)流量，否則獲贈手機(jī)流量．假設(shè)參加考試的所有人均參加了抽獎活動，試估計此次抽獎活動贈予的手機(jī)流量總共有多少？參考數(shù)據(jù)：若，．14．（2021?武漢模擬）某工廠購進(jìn)一批加工設(shè)備，由于該設(shè)備自動模式運(yùn)行不穩(wěn)定，因此一個工作時段內(nèi)會有的概率出現(xiàn)自動運(yùn)行故障．此時需要1名維護(hù)人員立刻將設(shè)備切換至手動操控模式，并持續(xù)人工操作至此工作時段結(jié)束，期間該人員無法對其它設(shè)備進(jìn)行維護(hù)．工廠在每個工作時段開始時將所有設(shè)備調(diào)至自動模式，若設(shè)備的自動模式出現(xiàn)故障而得不到人員的維護(hù)，則該設(shè)備將停止運(yùn)行，且每臺設(shè)備運(yùn)行的狀態(tài)相互獨(dú)立．（1）若安排1名人員負(fù)責(zé)維護(hù)3臺設(shè)備，求這3臺設(shè)備能順利運(yùn)行至工作時段結(jié)束的概率；（2）設(shè)該工廠有甲，乙兩個車間．甲車間有6臺設(shè)備和2名維護(hù)人員，將6臺設(shè)備平均分配給2人，每名維護(hù)人員只負(fù)責(zé)維護(hù)分配給自己的3臺設(shè)備；乙車間有7臺設(shè)備和2名維護(hù)人員，7臺設(shè)備由這2人共同負(fù)責(zé)維護(hù)．若用車間所有設(shè)備順利運(yùn)行至工作時段結(jié)束的概率來衡量生產(chǎn)的穩(wěn)定性，試比較兩個車間穩(wěn)定性的高低．15．春節(jié)是中國人的團(tuán)圓節(jié)，年春節(jié)期間，某超市為了給“就地過年”的外來務(wù)工人員營造溫馨的新春佳節(jié)氛圍，在月日至月日期間舉行購物抽獎活動，活動規(guī)定：凡是一次性購物滿元的顧客就可以從裝有個球(其中個球上寫有“牛轉(zhuǎn)乾坤”，另個球上寫有“謝謝惠顧”，每個球除寫的字不同外，其他都相同)的抽獎箱中一次性摸出個球，只有摸到“牛轉(zhuǎn)乾坤”才能獲獎，若個球都是“牛轉(zhuǎn)乾坤”，則獲一等獎，獎勵元；若有個球是“牛轉(zhuǎn)乾坤”，則獲二等獎，獎勵元；若只有個球是“牛轉(zhuǎn)乾坤”，則獲三等獎，獎勵元.（1）若一位顧客在此活動期間購物滿元并且參加抽獎，求這位顧客中獎的概率；（2）經(jīng)統(tǒng)計，月日有人次購物滿元，其中有人次沒有參加抽獎，設(shè)參加一次抽獎所得獎金的金額為元，試求的分布列，并求月日該超市發(fā)放獎金總金額的數(shù)學(xué)期望.
 

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