（全國通用）備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題講義+強(qiáng)化訓(xùn)練第十八講等腰三角形（強(qiáng)化訓(xùn)練）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?備戰(zhàn)2022年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題講義+強(qiáng)化訓(xùn)練（全國通用）
第十八講等腰三角形
考點(diǎn)一等腰三角形的判定與性質(zhì) 2
考點(diǎn)二等邊三角形的判定與性質(zhì) 8
考點(diǎn)三角平分線的判定與性質(zhì) 13

考點(diǎn)一等腰三角形的判定與性質(zhì)

1．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D為△ABC形內(nèi)一點(diǎn)，以AD為腰作等腰△DAE，使∠DAE＝∠BAC，連接BE、CD，若M、N分別是DE、BC的中點(diǎn)，MN＝1，則CD的長為　2?。?br />
【解答】解：如圖，連接BD，取BD的中點(diǎn)F，連接FM，F(xiàn)N，

∵∠BAC＝∠EAD，
∴∠BAC﹣∠BAD＝∠EAD﹣∠BAD，
即∠BAE＝∠CAD，
在△AEB和△ADC中，
，
∴△AEB≌△ADC（SAS），
∴BE＝CD，
∵M(jìn)是ED的中點(diǎn)，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，
∴FM是△BED的中位線，
∴FM＝BE，F(xiàn)M∥BE，
∴∠DFM＝∠EBD，
同理得FN＝CD，F(xiàn)N∥CD，
∴FM＝FN，∠FNB＝∠DCB，
∵∠DFN＝∠DBC+∠FNB＝∠DBC+∠DCB，
∴∠MFN＝∠DFM+∠DFN＝∠EBD+∠DBC+∠DCB＝180°﹣120°＝60°，
∴△FMN是等邊三角形，
∴MN＝FN＝1，
∴CD＝2．
故答案為：2．
2．如圖，已知等腰△ABC，AB＝AC．過點(diǎn)A，C分別作AB，AC的垂線交于點(diǎn)D，AD與BC相交于點(diǎn)E．若BE＝4，AD＝6，則AB的長為　4?。?br />
【解答】解：過點(diǎn)B作BM⊥AB，在BM上截取BN＝CD，

∵DC⊥AC，BM⊥AB，
∴∠ABN＝∠ACD＝90°，
在△ABN和△ACD中，
，
∴△ABN≌△ACD（SAS），
∴BN＝CD，AN＝AD＝6，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ABC+∠AEB＝90°，∠DCE+∠ACB＝90°，
∴∠AEB＝∠DCE，
∵∠AEB＝∠CED，
∴∠CED＝∠DCE，
∴CD＝DE，
在Rt△ABN中，
AB2＝AN2﹣BN2＝36﹣BN2，
在Rt△ABE中，
AB2＝BE2﹣AE2＝﹣（6﹣DE）2＝48﹣36+12DE﹣DE2＝12+12BN﹣BN2，
∴36﹣BN2＝12+12BN﹣BN2，
∴BN＝2，
∴AB＝＝＝＝4，
故答案為：4．
3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC內(nèi)兩點(diǎn)，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝4cm，DE＝3cm，則BC＝　7　cm．

【解答】解：延長ED交BC于M，延長AD交BC于N，作DF∥BC，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN＝CN，
∵∠EBC＝∠E＝60°，
∴△BEM為等邊三角形，
∴△EFD為等邊三角形，
∵BE＝4cm，DE＝3cm，
∴DM＝1cm，
∵△BEM為等邊三角形，
∴∠EMB＝60°，
∵AN⊥BC，
∴∠DNM＝90°，
∴∠NDM＝30°，
∴NM＝cm，
∴BN＝cm，
∴BC＝2BN＝7cm，
故答案為7．

4．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠ADC＝90°，∠ADB＝2∠ABC，若CD＝5，AD﹣BD＝3，則AC的長為　　．

【解答】解：將△ADB繞點(diǎn)A逆順時針旋轉(zhuǎn)到△AEC，連接DE，
由題意可得：∠ADB＝∠AEC＝2∠ABC，∠DAB＝∠EAC，
∴∠EAD＝∠BAC，
又∵AE＝AD，AB＝AC，
∴，
∵∠EAC＝∠DAB，
∴∠EAD＝∠BAC，
∴△AED∽△ACB，
∴∠AED＝∠ADE＝∠CED＝∠ABC＝∠ADB＝∠AEC，
∵∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CED+∠CDE＝90°，
∴∠ECD＝90°，
過點(diǎn)D作DF⊥AE，
∵∠CED＝∠AED，
∴DC＝DF＝5，
在△EFD和△ECD中，
，
∴△EFD≌△ECD （AAS），
∴CE＝EF，
∵AD﹣BD＝3，
設(shè)BD＝x，
∴CE＝EF＝x，AD＝AE＝x+3，
∴AF＝3，
在△AFD中，
AD＝＝＝，
∴AC＝AB＝＝＝．
故答案為：．

5．如圖所示，在△ABC中，AB＝AC＝6，BD、CE為△ABC的兩條中線，且BD⊥CE于點(diǎn)N，M為線段BD上的動點(diǎn)，則AM+EM+BC的最小值為　3+6?。?br />
【解答】解：連接DE．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BE＝AB，DC＝AC，
∴BE＝CD，
∵BC＝CB，
∴△EBC≌△DCB（SAS），
∴∠ECB＝∠DBC，EC＝BD，
∴BN＝CN，
∴EN＝DN，
∵BD⊥EC，
∴△EDN，△BCN都是等腰直角三角形，
∵AE＝EB，AD＝DC，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴＝＝，
∴CN＝2EN，
∴BN＝2EN，
∵AE＝BE＝3，
∴EN＝3，BN＝6，
∴BN＝CN＝6，
∴BC＝6，
作點(diǎn)A關(guān)于直線BD的對稱點(diǎn)H，連接EH交BD于M，連接AM，此時AM+EM的值最小，最小值＝線段EH的長，過點(diǎn)H作HT⊥AB于T，延長BD交AH于J，如圖所示．
∵AJ∥EN，AE＝EB，
∴BN＝NJ＝6，
∴AJ＝JH＝2EN＝6，
∵S△ABH＝?AB?HT＝?AH?BJ，
∴HT＝＝，
∴AT＝＝＝，
∴ET＝AE﹣AT＝3﹣＝，
∴EH＝＝＝3，
∴AM+EM+BC的最小值為3+6．
故答案為3+6．

考點(diǎn)二等邊三角形的判定與性質(zhì)

6．如圖，在正三角形ABC中，D，E分別為邊BC，AC上的點(diǎn)，AD，BE相交于點(diǎn)F，連接CF，若AF＝4，∠FBC＝∠DAB，則S△ACF＝　4?。?br />
【解答】解：如圖，將△ABF繞A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ACG，連接EG，作AH⊥BE于點(diǎn)H，

∵△BAD≌△CAG，
∴AF＝AG＝4，∠FAG＝60°，
設(shè)∠DBF＝∠BAD＝α，
則60°+α＝∠AEH，
∴∠CDF+∠CEF＝120°，
∴∠DCE+∠DFE＝120°，
∴∠AFG＝60°，
E，F(xiàn)，G三點(diǎn)共線，
∴△AFG是等邊三角形，
∵∠ABF＝∠ACG＝60°﹣α，
∠ADC＝60°+α，
∴∠ADC+∠GCD＝60°+α+60°+60°﹣α＝180°，
∴AD∥CG，
∴S△CGF＝S△CGA，
∴S△CEF＝S△AGE，
∴S△ACF＝S△AFG，
根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得H是FG的中點(diǎn)，
∴HF＝2，
∴AH＝，
∴，
∴，
故答案為4．
7．如圖，AB＝6，點(diǎn)O在線段AB上，AO＝2，⊙O的半徑為1．點(diǎn)P是⊙O上一動點(diǎn)，以BP為一邊作等邊△BPQ，則AQ的最小值為　　．

【解答】解：如圖，以BO為邊作等邊△BOC，連接CQ，AC，

∵△BOC和△BPQ都是等邊三角形，
∴∠OBC＝∠PBQ，OB＝BC，BP＝BQ，
∴∠OBP＝∠CBQ，
在△OBP和△CBQ中，
，
∴△OBP≌△CBQ（SAS），
∴OP＝CQ＝1，
∵AB＝6，AO＝2，
∴OB＝4，
∵CH⊥OB于H，
∴OH＝2，CH＝tan60°×OH＝2，
在Rt△ACH中，由勾股定理得：AC＝，
∵AC﹣CQ≤AQ，
∴AQ≥2﹣1，
∴AQ的最小值為：2，
故答案為：2．
8．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝2，BC＝BD，∠ADC＝150°，∠DCB＝60°，則AC的最大值是　+1　．

【解答】解：如圖，以AB為邊作等邊△ABE，連結(jié)EC，

∴AB＝BE＝AE，∠ABE＝∠EAB＝∠AEB＝60°，
∵BC＝BD，∠DCB＝60°，
∴△DCB為等邊三角形，
∴BD＝BC＝CD，∠DCB＝∠CDB＝∠DCB＝60°，
∵∠ADC＝150°，
∴∠ADB＝∠ADC﹣∠CDB＝150°﹣60°＝90°，
在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC（SAS），
∴∠ADB＝∠ECB＝90°，
在△EBC中，EB＝AB＝2，∠ECB＝90°，
以BE為直徑作⊙O，則半徑為BE＝1，
∴動點(diǎn)C在以BE為直徑的⊙O上，連結(jié)AO并延長交⊙O于點(diǎn)C′，
∴AC≤AC′＝AO+OC′＝AO+1，
在等邊△ABE中，AB＝2，O為BE的中點(diǎn)，
∴AO＝＝＝，
∴AC′＝+1，
即AC的最大值為+1，
故答案為：+1．
9．如圖，已知等邊三角形ABC的高為7cm，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PD⊥AB于點(diǎn)D，PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥BC于點(diǎn)F．則PD+PE+PF＝　7cm?。?br />
【解答】解：連接PA、PB、PC，作AB邊上的高CG，如圖所示：
∵S△ABP+S△BCP+S△ACP＝S△ABC，
∴AB?PD+BC?PF+AC?PE＝AB?CG，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∴AB（PE+PF+PD）＝AB?CG，
∴PE+PD+PF＝CG＝7cm
故答案為：7cm；

考點(diǎn)三角平分線的判定與性質(zhì)

10．如圖，∠ABC、∠ACE的平分線BP、CP交于點(diǎn)P，PF⊥BD，PG⊥BE，垂足分別為F、G，下列結(jié)論：①S△ABP：S△BCP＝AB：BC；②∠APB+∠ACP＝90°；③∠ABC+2∠APC＝180°，其中正確的結(jié)論有（　　）

A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【解答】解：∵PB平分∠ABC，PF⊥BD，PG⊥BE，
∴PF＝PG，
∴S△ABP：S△BCP＝AB?PF：BC?PG＝AB：BC，故①正確；
過P作PH⊥AC于H，
∵PC平分∠ACE，
∴PH＝PG，
∴PF＝PH，
∴PA平分∠CAF，
∵BP平分∠ABC，
∴∠CAF＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAF，∠PAF＝∠ABC+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB，
∵∠ACB+∠ACE＝180°，
∴＝∠APB+∠ACP＝90°，故②正確；
∵PF⊥AB，PG⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠FPG+90°＝360°，
∴∠ABC+∠FPG＝180°，
在Rt△PAF和Rt△PAH中，
，
∴Rt△PAF≌Rt△PAH（HL），
∴∠APF＝∠APG，
同理：Rt△PCH≌Rt△PCG（HL），
∴∠CPH＝∠CPG，
∴∠FPG＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，故③正確；
故選：D．

11．如圖，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F(xiàn)為BC的延長線上一點(diǎn)，F(xiàn)G⊥AE交AD的延長線于G，AC的延長線交FG于H，連接BG，下列結(jié)論：①∠DEA＝∠AGH；②∠DAE＝（∠ABD﹣∠ACE）；③∠AGH＝∠BAE+∠ACB；④S△AEB：S△AEC＝AB：AC，其中正確的結(jié)論有（　　）個．

A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：如圖，AE交GF于M，

①∵AD⊥BC，F(xiàn)G⊥AE，
∴∠ADE＝∠AMF＝90°，
∴∠DEA+∠DAE＝∠AGH+∠GAM＝90°，
∴∠DEA＝∠AGH，故①正確；
②∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴∠EAC＝∠BAC，
∠DAE＝90°﹣∠AED，
＝90°﹣（∠ACE+∠EAC），
＝90°﹣（∠ACE+∠BAC），
＝（180°﹣2∠ACE﹣∠BAC），
＝（∠ABD﹣∠ACE），
故②正確；
③∵∠DAE＝∠F，∠FDG＝∠FME＝90°，
∴∠AGH＝∠MEF，
∵∠MEF＝∠CAE+∠ACB，
∴∠AGH＝∠CAE+∠ACB，
∴∠AGH＝∠BAE+∠ACB，故④正確；
④∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴點(diǎn)E到AB和AC的距離相等，
∴S△AEB：S△AEC＝AB：AC，故③正確；
故選：D．
12．如圖，△ABC中，∠ACF、∠EAC的角平分線CP、AP交于點(diǎn)P，延長BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF．則下列結(jié)論中正確的個數(shù)（　?。?br /> ①BP平分∠ABC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠CAB＝2∠CPB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【解答】解：過P作PQ⊥AC于Q，

∵∠ACF、∠EAC的角平分線CP、AP交于點(diǎn)P，PM⊥BE，PN⊥BF，
∴PM＝PQ，PQ＝PN，
∴PM＝PN，
∴P在∠ABC的角平分線上，即BP平分∠ABC，故①正確；
∵PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，
∴∠PMA＝∠PQA＝90°，∠PQC＝∠PNC＝90°，
在Rt△PMA和Rt△PQA中，
，
∴Rt△PMA≌Rt△PQA（HL），
∴∠MPA＝∠QPA，
同理Rt△PQC≌Rt△PNC，
∴∠QPC＝∠NPC，
∵∠PMA＝∠PNC＝90°，
∴∠ABC+∠MPN＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，故②正確；
∵PC平分∠FCA，BP平分∠ABC，
∴∠FCA＝∠ABC+∠CAB＝2∠PCN，
又∵∠PCN＝∠ABC+∠CPB，
∴∠ABC+∠CAB＝2（∠ABC+∠CPB），
∴∠CAB＝2∠CPB，故③正確；
∵Rt△PMA≌Rt△PQA，Rt△PQC≌Rt△PNC，
∴S△PAC＝S△MAP+S△NCP，故④正確；
即正確的個數(shù)是4，
故選：D．
13．如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分線BE和∠BAC的外角平分線AD相交于點(diǎn)P，分別交AC和BC的延長線于E，D．過P作PF⊥AD交AC的延長線于點(diǎn)H，交BC的延長線于點(diǎn)F，連接AF交DH于點(diǎn)G．則下列結(jié)論：①∠APB＝45°；②PF＝PA；③BD﹣AH＝AB；④DG＝AP+GH．其中正確的有（　?。﹤€

A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①∵∠ABC的角平分線BE和∠BAC的外角平分線，
∴∠ABP＝∠ABC，
∠CAP＝（90°+∠ABC）＝45°+∠ABC，
在△ABP中，∠APB＝180°﹣∠BAP﹣∠ABP，
＝180°﹣（45°+∠ABC+90°﹣∠ABC）﹣∠ABC，
＝180°﹣45°﹣∠ABC﹣90°+∠ABC﹣∠ABC，
＝45°，故本小題正確；
②∵PF⊥AD，∠APB＝45°（已證），
∴∠APB＝∠FPB＝45°，
∵PB為∠ABC的角平分線，
∴∠ABP＝∠FBP，
在△ABP和△FBP中，，
∴△ABP≌△FBP（ASA），
∴AB＝BF，AP＝PF；故②正確；
③∵∠ACB＝90°，PF⊥AD，
∴∠FDP+∠HAP＝90°，∠AHP+∠HAP＝90°，
∴∠AHP＝∠FDP，
∵PF⊥AD，
∴∠APH＝∠FPD＝90°，
在△AHP與△FDP中，，
∴△AHP≌△FDP（AAS），
∴DF＝AH，
∵BD＝DF+BF，
∴BD＝AH+AB，
∴BD﹣AH＝AB，故③小題正確；
④∵PF⊥AD，PD＝PH，∠ACB＝90°，
∴△DPH為等腰直角三角形，
∴∠PDH＝45°，
∵∠PAF＝45°，
∴AG⊥DH，
∴△ADG與△FGH都是等腰直角三角形，
∴DG＝AG，GH＝GF，
∴DG＝GH+AF，
∵AF＞AP，
∴DG＝AP+GH不成立，故本小題錯誤，
綜上所述①②③正確．
故選：C．

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