專題7.6 用向量法求空間角-2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心素養(yǎng)大揭秘學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

【考綱要求】
能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問題，了解向量方法在研究立體幾何問題中的應(yīng)用.
【命題趨勢(shì)】
用向量法證明線線、線面、面面的平行與垂直，用向量法求空間角和解決探索性問題.
【核心素養(yǎng)】
本講內(nèi)容能體現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象的考查.
【素養(yǎng)清單?基礎(chǔ)知識(shí)】
1．兩條異面直線所成角的求法
設(shè)a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則
2.直線與平面所成角的求法
設(shè)直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成角為θ，a與n的夾角為β，則.
3．求二面角的大小
(1)如圖①，AB，CD分別是二面角α－l－β的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ為〈eq \(AB,\s\up8(→))，eq \(CD,\s\up8(→))〉.
(2)如圖②③，n1，n2分別是二面角α－l－β的兩個(gè)半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足|cs θ|＝|cs〈n1，n2〉|，即二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)．
【真題體驗(yàn)】
1. 【2019年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)】如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)．
（1）證明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A?MA1?N的正弦值．
2.【2019年高考全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)】如圖，長(zhǎng)方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1．
（1）證明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值．
3.【2019年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)】圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG，如圖2.
（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
（2）求圖2中的二面角B?CG?A的大小.
4.【2019年高考北京卷理數(shù)】如圖，在四棱錐P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且．
（1）求證：CD⊥平面PAD；
（2）求二面角F–AE–P的余弦值；
（3）設(shè)點(diǎn)G在PB上，且．判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說明理由．
5.【2019年高考浙江卷】如圖，已知三棱柱，平面平面,，分別是AC，A1B1的中點(diǎn).
（1）證明：；
（2）求直線EF與平面A1BC所成角的余弦值.
【考法拓展?題型解碼】
考法一求異面直線所成的角
答題模板
用向量法求異面直線所成角的一般步驟
(1)選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系．
(2)確定異面直線上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定異面直線的方向向量．
(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值．
(4)兩異面直線所成角的余弦等于兩向量夾角余弦值的絕對(duì)值．
【例1】 (2017·江蘇卷)如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝eq \r(3)，∠BAD＝120°.
(1)求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值；
(2)求二面角B－A1D－A的正弦值．
考法二求直線與平面所成的角
解題技巧
利用向量法求線面角的方法
(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影所在直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)．
(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所成的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角．
【例2】 (2019·黃岡外校模擬)在平面四邊形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.將△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如圖所示．
(1)求證：AB⊥CD；
(2)若M為AD中點(diǎn)，求直線AD與平面MBC所成角的正弦值．
考法三求二面角
解題技巧
求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．
【例3】 (2017·浙江卷)如圖，已知正四面體D－ABC(所有棱長(zhǎng)均相等的三棱錐)，P，Q，R分別為AB，BC，CA上的點(diǎn)，AP＝PB，eq \f(BQ,QC)＝eq \f(CR,RA)＝2.分別記二面角D－PR－Q，D－PQ－R，D－QR－P的平面角為α，β，γ，則( )
A．γ

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