課程標(biāo)準(zhǔn)命題解讀1.借助單位圓建立一般三角函數(shù)的概念，體會(huì)引入弧度制的必要性．2.用幾何直觀和代數(shù)運(yùn)算的方法研究三角函數(shù)的周期性、奇偶性(對(duì)稱(chēng)性)、單調(diào)性和最大(小)值等性質(zhì)．3.探索和研究三角函數(shù)之間的一些恒等關(guān)系．4.利用三角函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問(wèn)題．5.能用余弦定理，正弦定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.考查形式：一般為一個(gè)選擇題或一個(gè)填空題和一個(gè)解答題考查內(nèi)容：三角函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)、同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式、三角恒等變換、正弦定理、余弦定理．備考策略：(1)熟練應(yīng)用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、三角恒等變換公式化簡(jiǎn)、求值．(2)重視對(duì)三角函數(shù)圖象和性質(zhì)的研究，注意將問(wèn)題和方法進(jìn)行歸納、整理．(3)加強(qiáng)正弦、余弦定理應(yīng)用方面的訓(xùn)練．核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算.第一節(jié)　任意角、弧度制與任意角的三角函數(shù)一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．角的概念(1)分類(lèi)(2)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和．2．弧度的定義和公式(1)定義：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，弧度單位用符號(hào)rad表示．(2)公式①弧度與角度的換算：360°＝2π rad,180°＝π rad.②弧長(zhǎng)公式：l＝αR.③扇形面積公式：S扇形＝lR和S扇形＝αR2.說(shuō)明：②③公式中的α必須為弧度制．有關(guān)角度與弧度的兩個(gè)注意點(diǎn)角度與弧度的換算的關(guān)鍵是π＝180°，在同一個(gè)式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用．3．三角函數(shù)的概念(1)定義：設(shè)α是一個(gè)任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點(diǎn)P(x，y)．①把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y叫做α的正弦函數(shù)，記作sin α，即y＝sin α；②把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x叫做α的余弦函數(shù)，記作cos α，即x＝cos α；③把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值叫做α的正切，記作tan α，即＝tan α(x≠0)．我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為三角函數(shù)．(2)三角函數(shù)定義的推廣：設(shè)點(diǎn)P(x，y)是角α終邊上任意一點(diǎn)且不與原點(diǎn)重合，r＝|OP|，則sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．(3)三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)．(口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦)二、基本技能·思想·活動(dòng)體驗(yàn)1．判斷下列說(shuō)法的正誤，對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”．(1)小于90°的角是銳角． (×)(2)銳角是第一象限角，反之亦然． (×)(3)相等的角終邊一定相同，終邊相同的角也一定相等． (×)(4)三角形的內(nèi)角必是第一、第二象限角． (×)2．已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－4，3)，則cos α＝(　　)A．  B．  C．－  D．－D　解析：記P(－4,3)，則x＝－4，y＝3，r＝|OP|＝＝5.故cos α＝＝＝－.故選D．3．已知sin A>0且tan A<0，則角A的終邊在(　　)A．第一象限   B．第二象限C．第三象限   D．第四象限B　解析：因?yàn)?/span>sin A>0，所以角A為第一或第二象限角；因?yàn)?/span>tan A<0，所以角A為第二或第四象限角，所以角A為第二象限角．4．在與2 020°終邊相同的角中，絕對(duì)值最小的角的弧度數(shù)為________．－　解析：2 020°＝＝12π－，所以與2 020°終邊相同的角中，絕對(duì)值最小的角的弧度數(shù)為－.5．已知扇形的圓心角為60°，其弧長(zhǎng)為2π，則此扇形的面積為________．6π　解析：設(shè)此扇形的半徑為r.由題意得r＝2π，所以r＝6.所以此扇形的面積為×2π×6＝6π.考點(diǎn)1　象限角及終邊相同的角——基礎(chǔ)性1．(多選題)下列四個(gè)命題中，正確的是(　　)A．－是第二象限角B．是第三象限角C．－400°是第四象限角D．－315°是第一象限角BCD　解析：－是第三象限角，故A錯(cuò)誤；＝π＋，從而是第三象限角，故B正確；－400°＝－360°－40°，是第四象限角，故C正確；－315°＝－360°＋45°，是第一象限角，故D正確．2．集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是(　　)C　解析：當(dāng)k＝2n(n∈Z)時(shí)，2nπ＋≤α≤2nπ＋(n∈Z)，此時(shí)α的終邊在～內(nèi)；當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時(shí)，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋(n∈Z)，此時(shí)α的終邊在π＋～π＋內(nèi)，結(jié)合選項(xiàng)知選C.3．在－720°～0°范圍內(nèi)所有與45°終邊相同的角為________．－675°或－315°　解析：所有與45°終邊相同的角表示為β＝45°＋k×360°(k∈Z)．令－720°<45°＋k×360°<0°(k∈Z)，得－765°<k×360°<－45°(k∈Z)，解得－<k<－(k∈Z)，從而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.4．若角α是第二象限角，則是第________象限角．一或三　解析：因?yàn)?/span>α是第二象限角，所以＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，所以＋kπ<<＋kπ，k∈Z.當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，是第一象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，是第三象限角．(1)判斷象限角的兩種方法.圖象法在平面直角坐標(biāo)系中，作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角轉(zhuǎn)化法先將已知角化為k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角(2)確定kα，(k∈N*)的終邊位置的步驟．①用終邊相同的角的形式表示出角α的范圍．②寫(xiě)出kα或的范圍．③根據(jù)k的可能取值確定kα或的終邊所在的位置．  考點(diǎn)2　扇形的弧長(zhǎng)、面積公式——綜合性已知一扇形的圓心角為α，半徑為R，弧長(zhǎng)為l.(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧長(zhǎng)l；(2)已知扇形的周長(zhǎng)為10 cm，面積為4 cm2，求扇形的圓心角；(3)若扇形的周長(zhǎng)為20 cm，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？解：(1)因?yàn)?/span>α＝60°＝，所以l＝α·R＝×10＝(cm)．(2)由題意得解得(舍去)或故扇形的圓心角為.(3)由已知得l＋2R＝20(cm)．(方法一)S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.所以，當(dāng)R＝5 cm時(shí)，S取得最大值，且最大值為25 cm2，此時(shí)l＝10 cm，α＝2.(方法二)S＝lR＝l(2R)≤＝25，當(dāng)且僅當(dāng)l＝2R＝10，即R＝5時(shí)，Smax＝25 cm2，此時(shí)α＝2. 應(yīng)用弧度制解決問(wèn)題的方法(1)利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度．(2)求扇形面積的最大值問(wèn)題，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題，利用配方法使問(wèn)題得到解決，也可以通過(guò)“配湊”法利用基本不等式求最值．1．已知扇形的面積為2，扇形圓心角的弧度數(shù)是4，則扇形的周長(zhǎng)為(　　)A．2  B．4  C．6  D．8C　解析：設(shè)扇形的半徑為r(r＞0)，弧長(zhǎng)為l.由扇形面積公式可得2＝lr＝αr2＝×4×r2，解得r＝1，l＝αr＝4.所以所求扇形的周長(zhǎng)為2r＋l＝6.2．(2021·青銅峽市高三期中)《擲鐵餅者》 取材于希臘的現(xiàn)實(shí)生活中的體育競(jìng)技活動(dòng)，刻畫(huà)的是一名強(qiáng)健的男子在擲鐵餅過(guò)程中最具有表現(xiàn)力的瞬間．現(xiàn)在把擲鐵餅者張開(kāi)的雙臂近似看成一張拉滿(mǎn)弦的“弓”，擲鐵餅者的手臂長(zhǎng)約為米，肩寬約為米，“弓”所在圓的半徑約為1.25米，你估測(cè)一下擲鐵餅者雙手之間的距離約為(　　)A．1.012米  B．1.768米  C．2.043米  D．2.945米B　解析：“弓”所在弧長(zhǎng)為l＝＋＋＝，其所對(duì)圓心角為α＝＝，所以?xún)墒种g的距離約為×1.25≈1.768.考點(diǎn)3　三角函數(shù)的定義及應(yīng)用——應(yīng)用性考向1　三角函數(shù)的定義(1)已知點(diǎn)M在角θ終邊的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上，且|OM|＝2，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(　　)A．(2cos θ，sin θ)   B．(－2cos θ，2sin θ)C．(－2cos θ，－2sin θ)   D．(2cos θ，－2sin θ)C　解析：由任意角的三角函數(shù)定義，可知角θ的終邊上的點(diǎn)M′的坐標(biāo)為(2cos θ，2sin θ)，其中|OM′|＝2.因?yàn)?/span>|OM|＝2，所以點(diǎn)M和點(diǎn)M′關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－2cos θ，－2sin θ)．(2)(2020·深圳模擬)已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，則m的值為(　　)A．  B．－  C．±  D．±A　解析：因?yàn)榻?/span>α的終邊過(guò)點(diǎn)P(－8m，－6sin 30°)＝(－8m，－3)，cos α＝－<0，所以角α的終邊在第三象限，則m>0，|OP|＝.由cos α＝＝－，解得m＝(m>0)． 三角函數(shù)定義的應(yīng)用策略(1)已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r，然后用三角函數(shù)的定義求解．(2)已知角α的終邊所在的直線(xiàn)方程(注意分為兩條射線(xiàn))，可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后用三角函數(shù)的定義求解．(3)已知角α的某個(gè)三角函數(shù)值，求角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)中的參數(shù)值，可根據(jù)定義中的兩個(gè)量列方程求參數(shù)值． 考向2　三角函數(shù)值的符號(hào)(1)(2020·全國(guó)卷Ⅱ)若α為第四象限角，則(　　)A．cos 2α>0   B．cos 2α<0C．sin 2α>0   D．sin 2α<0D　解析：因?yàn)?/span>α是第四象限角，所以－＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，所以－π＋4kπ<2α<4kπ，k∈Z，所以角2α的終邊在第三、第四象限或y軸的非正半軸上，所以sin 2α<0，cos 2α可正、可負(fù)、可為零．故選D.(2)sin 2·cos 3·tan 4的值(　　)A．小于0   B．大于0C．等于0   D．大于等于0A　解析：因?yàn)?/span>＜2＜3＜π＜4＜，所以sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0.所以sin 2·cos 3·tan 4＜0.故選A．(3)若sin αtan α＜0，且＜0，則角α是(　　)A．第一象限角   B．第二象限角C．第三象限角   D．第四象限角C　解析：由sin αtan α＜0可知sin α，tan α異號(hào)，則α為第二或第三象限角．由＜0可知cos α，tan α異號(hào)，則α為第三或第四象限角．綜上可知，α為第三象限角． (1)三角函數(shù)值符號(hào)及角的終邊位置判斷．已知角的三角函數(shù)值(sin α，cos α，tan α)中任意兩個(gè)的符號(hào)，可分別確定出角的終邊所在的位置，二者的交集即為該角的終邊位置，注意終邊在坐標(biāo)軸上的特殊情況．(2)三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律．一全正、二正弦、三正切、四余弦． 1．設(shè)α是第二象限角，P(x,4)為其終邊上的一點(diǎn)，且cos α＝x，則tan α＝(　　)A．  B．  C．－  D．－D　解析：因?yàn)?/span>α是第二象限角，所以cos α＝x<0，即x<0.又cos α＝x＝，解得x＝－3，所以tan α＝＝－.2．(2020·永州祁陽(yáng)二模)已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線(xiàn)y＝－2x上，則sin 2θ＝(　　)A．  B．－  C.  D．－D　解析：在角θ的終邊所在直線(xiàn)y＝－2x上任取一點(diǎn)P(a，－2a)(a≠0)，則r＝|OP|＝|a|.由三角函數(shù)的定義知sin θ＝，cos θ＝，故sin 2θ＝2sin θ·cos θ＝2··＝－.故選D.3．已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)A．(－2,3]  B．(－2,3)  C．[－2,3)  D．[－2,3]A　解析：因?yàn)?/span>cos α≤0，sin α>0，所以角α的終邊在第二象限或y軸的正半軸上．所以所以－2<a≤3.故選A． 

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