【考綱要求】
了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值；會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次).
【命題趨勢(shì)】
利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、最值是高考中的熱點(diǎn)問題、高頻考點(diǎn)，題型有求函數(shù)的極值、最值和已知函數(shù)的極值、最值求參數(shù)值或取值范圍，難度較大.
【核心素養(yǎng)】
本講內(nèi)容主要考查數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的核心素養(yǎng).
【素養(yǎng)清單?基礎(chǔ)知識(shí)】
1．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f′(x)在(a，b)任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0.f′(x)≥0?f(x)在(a，b)上為增函數(shù)．f′(x)≤0?eq \(f?x?在,\s\d4())(a，b)上為減函數(shù)．
2．函數(shù)的極值
(1)函數(shù)的極小值：
函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，eq \(f′?a?＝0,\s\d4())；而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，則點(diǎn)eq \(a叫做函數(shù)y＝f?x?的極小值點(diǎn),\s\d4())，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．
(2)函數(shù)的極大值：
函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近的其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，則點(diǎn)b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．
極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值．
3．函數(shù)的最值
(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．
(2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值．
(3)開區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無最值．,
(1)f′(x)＞0(＜0)是f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增(減)的充分不必要條件．
(2)f′(x)≥0(≤0)是f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增(減)的必要不充分條件．
(3)由f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增(減)可得f′(x)≥0(≤0)在該區(qū)間內(nèi)恒成立，而不是f′(x)＞0(＜0)恒成立，“＝”不能少，必要時(shí)還需對(duì)“＝”進(jìn)行檢驗(yàn).
f′(x0)＝0是x0為f(x)的極值點(diǎn)的必要不充分條件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是極值點(diǎn)．
(1)極值點(diǎn)不是點(diǎn)，若函數(shù)f(x)在x1處取得極大值，則x1為極大值點(diǎn)，極大值為f(x1)；在x2處取得極小值，則x2為極小值點(diǎn)，極小值為f(x2)．極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系．
(2)極值一定在區(qū)間內(nèi)部取得，有極值的函數(shù)一定不是單調(diào)函數(shù).
【素養(yǎng)清單?常用結(jié)論】
(1)若所求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不止一個(gè)，這些區(qū)間之間不能用并集“∪”及“或”連接，只能用“，”“和”字隔開．
(2)若函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則相應(yīng)的極值一定是函數(shù)的最值．
(3)極值只能在定義域內(nèi)取得(不包括端點(diǎn))，最值卻可以在端點(diǎn)處取得，有極值的不一定有最值，有最值的也未必有極值；極值有可能成為最值，非常數(shù)可導(dǎo)函數(shù)最值只要不在端點(diǎn)處取，則必定在極值處?。?br>【真題體驗(yàn)】
1．【2019年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．證明：
（1）在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；
（2）有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．
2. 【2019年高考江蘇】設(shè)函數(shù)、為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零點(diǎn)均在集合中，求f（x）的極小值；
（3）若，且f（x）的極大值為M，求證:M≤．
3. 【2018年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】已知函數(shù)．
（1）若，證明：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
（2）若是的極大值點(diǎn)，求．
4. 【2017年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】已知函數(shù).
（1）若，求a的值；
（2）設(shè)m為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)n，，求m的最小值.
【考法拓展?題型解碼】
考法一 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
答題模板：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值問題的步驟
【例1】 已知函數(shù)f(x)＝x－aln x(a∈R)．
(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)A(1，f(1))處的切線方程；
(2)求函數(shù)f(x)的極值．
【例2】 (2018·北京卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex.
(1)若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線斜率為0，求a；
(2)若f(x)在x＝1處取得極小值，求a的取值范圍．
考法二 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值
答題模板：求可導(dǎo)函數(shù)f(x)在[a，b]上的最值的基本步驟
(1)求出函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的所有極值f(x1)，f(x2)，…，f(xn)．
(2)計(jì)算函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的兩個(gè)端點(diǎn)值f(a)，f(b)．
(3)對(duì)所有的極值和端點(diǎn)值作大小比較．
(4)對(duì)比較的結(jié)果作出結(jié)論：所有這些值中最大的即是該函數(shù)在[a，b]上的最大值，所有這些值中最小的即是該函數(shù)在[a，b]上的最小值．
【例3】 設(shè)f(x)＝－eq \f(1,3)x3＋eq \f(1,2)x2＋2ax.
(1)若f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，＋∞))上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍；
(2)當(dāng)0

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