?2021-2022學(xué)年人教版六年級(jí)下冊(cè)同步重難點(diǎn)講義精講精練
第三單元 圓柱和圓錐





知識(shí)點(diǎn)一：面的旋轉(zhuǎn)、圓柱和圓錐的特征
1. 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)形成線，線的運(yùn)動(dòng)形成面，面的運(yùn)動(dòng)形成體，這就是“點(diǎn)、線、面、體”之間的關(guān)系，這個(gè)關(guān)系可以簡(jiǎn)記為“點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體”。
2.圓柱是由2個(gè)大小相同的圓面和1個(gè)曲面圍成的，圓柱上下粗細(xì)均勻。圓錐是由1個(gè)圓面和1個(gè)曲面圍成的。
3.圓柱的特征：（1）圓柱有兩個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面；（2）兩個(gè)底面是完全相同的圓，側(cè)面是一個(gè)曲面；（3）圓柱有無(wú)數(shù)條高，所有的高都相等。
圓錐的特征：（1）圓錐有一個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面；（1）圓錐的底面是一個(gè)圓，側(cè)面是一個(gè)曲面；（3）圓錐只有一條高。
4. 圓柱和圓錐的切面：
（1）把圓柱平行于底面橫切，切面是大小相同的圓；沿底面直徑縱切，切面是大小相同的長(zhǎng)方形。（2）把圓錐橫切，每個(gè)切面是圓，但大小不同；沿底面直徑縱切，切面是大小相同的等腰三角形。
知識(shí)點(diǎn)二：圓柱的表面積
1.如果用S表表示圓柱的表面積，S側(cè) 表示圓柱的側(cè)面積，S底 表示圓柱的底面積，d表示底面的直徑，r表示底面的半徑，h表示圓柱的高，那么圓柱的表面積的計(jì)算公式可以表示為
S表=S側(cè)+2S底 或S表=πdh+2π（d÷2）2或S表=2πrh+2πr2
2. 在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，并不是所有的圓柱形物體都有兩個(gè)底面，有的只有一個(gè)底面，有的沒(méi)有底面，解題時(shí)要根據(jù)實(shí)際情況選擇合適的解題方法。
3. 用同一張長(zhǎng)方形紙片可以圍成底面積不同的兩個(gè)圓柱。用寬作為圓柱的底面周長(zhǎng)，所圍成的圓柱的底面積??；用長(zhǎng)作為圓柱的底面周長(zhǎng)，所圍成的圓柱的底面積大。
4. 橫截圓柱后求表面積時(shí)，側(cè)面積不變，底面積會(huì)發(fā)生變化，變化的規(guī)律是每截一次增加兩個(gè)底面，截的次數(shù)比截成的段數(shù)少1。
知識(shí)點(diǎn)三：圓柱的體積
1. 圓柱的體積=底面積×高，用字母表示是V=Sh。
2. 計(jì)算一個(gè)圓柱的體積時(shí)，如果已知這個(gè)圓柱的高和底面半徑或底面直徑或底面周長(zhǎng)，要先求出底面積，再求體積，也可以列綜合算式計(jì)算。
（1）已知圓柱的底面積S和高h(yuǎn)，求圓柱體積的計(jì)算方法：V=Sh。
（2）已知圓柱的底面半徑r和高h(yuǎn)，求圓柱體積的計(jì)算方法：V=πr2h
（3）已知圓柱的底面直徑d和高h(yuǎn)，求圓柱體積的計(jì)算方法：V=π（d÷2）2h
（4）已知圓柱的底面周長(zhǎng)C和高h(yuǎn)，求圓柱體積的計(jì)算方法：V=π（C÷π÷2）2h
3. 物體完全浸沒(méi)在水中，物體的體積等于升高的那部分水的體積。
應(yīng)用等量代換法可以將不規(guī)則物體的體積計(jì)算轉(zhuǎn)化為圓柱的體積計(jì)算。
利用體積不變的特性，應(yīng)用轉(zhuǎn)化的思想方法，把不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形來(lái)計(jì)算，能幫助我們解決許多生活中的復(fù)雜問(wèn)題。
知識(shí)點(diǎn)四：圓錐的體積
1.圓錐的體積是與它等底等高的圓柱體積的。。
2.圓錐體積的計(jì)算方法：
（1）已知底面半徑r和高h(yuǎn)，求圓錐體積的方法：V=πr2h；
（2）已知底面直徑d和高h(yuǎn)，求圓錐體積的方法：V=π（d÷2）2h；
（3）已知底面周長(zhǎng)C和高h(yuǎn)，求圓錐體積的方法：V=π（C÷x÷2）2h
3. 圓柱和圓錐的體積與高分別相等，則它們的底面積之間的關(guān)系是Sm推=3Sm壯；圓柱和圓錐的體積與底面積分別相等，則它們的高之間的關(guān)系是h錐=3h柱。
=
考點(diǎn)1：圓柱的特征
【典例分析01】（2021?勃利縣）如圖，切完后的截面（截面垂直于底面）的形狀是（　?。?br />
A．圓 B．平行四邊形 C．梯形 D．長(zhǎng)方形
【思路引導(dǎo)】根據(jù)幾何體（圓柱）的特征，進(jìn)行截面或剪完后展開(kāi)即可判斷形狀。
【完整解答】解：如圖，切完后的截面（截面垂直于底面）的形狀是長(zhǎng)方形。
故選：D。

【考察注意點(diǎn)】此題主要考查了截一個(gè)幾何體，截面的形狀既與被截的幾何體有關(guān)，還與截面的角度和方向有關(guān)．對(duì)于這類題，最好是動(dòng)手動(dòng)腦相結(jié)合，親自動(dòng)手做一做，從中學(xué)會(huì)分析和歸納的思想方法。
【典例分析02】（2021春?龍崗區(qū)期中）下面可以畫出圓的物體是（　?。?br /> A． B． C．
【思路引導(dǎo)】根據(jù)圓柱的特征，圓柱的上下底面是完全相同的兩個(gè)圓，所以根據(jù)圓柱可以畫出圓。據(jù)此解答即可。
【完整解答】解：根據(jù)圓柱可以畫出圓。
故選：B。
【考察注意點(diǎn)】此題考查的目的是理解掌握?qǐng)A柱的特征及應(yīng)用。
【變式訓(xùn)練01】（2020春?東臺(tái)市期中）一個(gè)蛋糕盒（如圖），底面半徑15厘米，高20厘米。做這個(gè)盒子需硬紙　3297　平方厘米，如圖用彩帶捆扎這個(gè)盒子，需彩帶　215　厘米。（打結(jié)處用去彩帶15厘米）

【思路引導(dǎo)】要求做這樣一個(gè)蛋糕盒至少需要硬紙多少平方厘米，就是求出這個(gè)圓柱體的表面積，根據(jù)圓柱體的表面積＝側(cè)面積+底面積×2＝2πrh+2πr2，代入數(shù)據(jù)即可解答；
通過(guò)觀察，捆扎這個(gè)盒子至少用彩帶的長(zhǎng)度是4個(gè)蛋糕盒底面直徑和4個(gè)蛋糕盒高的和，再加上打結(jié)用去的繩長(zhǎng)即可。
【完整解答】解：3.14×15×2×20+3.14×152×2
＝1884+1413
＝3297（平方厘米）
底面直徑為：15×2＝30（厘米）
30×4+20×4+15
＝120+80+15
＝215（厘米）
答：做這個(gè)盒子需硬紙3297平方厘米，用彩帶捆扎這個(gè)盒子，需彩帶215厘米。
故答案為：3297，215。
【考察注意點(diǎn)】本題考查的是圓柱表面積計(jì)算公式的運(yùn)用；計(jì)算需要彩帶多少厘米時(shí)不要忘記加上打結(jié)處繩子的長(zhǎng)度。
【變式訓(xùn)練02】指出下面各圓柱的底面、側(cè)面和高．

【思路引導(dǎo)】根據(jù)圓柱的特征，圓柱的上下面是完全相同的兩個(gè)圓，側(cè)面是一個(gè)曲面，側(cè)面沿高展開(kāi)是長(zhǎng)方形；兩個(gè)底面之間的距離叫做圓柱的高；由此解答．
【完整解答】解：

【考察注意點(diǎn)】本題主要考查了圓柱的特征．
考點(diǎn)2：圓錐的特征
【典例分析03】（2021?佛山模擬）將圓錐的側(cè)面展開(kāi)，得到的圖形是一個(gè)（　?。?br /> A．扇形 B．梯形 C．三角形 D．長(zhǎng)方形
【思路引導(dǎo)】根據(jù)圓錐的特征：圓錐的底面是個(gè)圓面，把圓錐的側(cè)面展開(kāi)后是一個(gè)扇形；據(jù)此解答即可。
【完整解答】解：圓錐的底面是個(gè)圓面，圓錐的側(cè)面是一個(gè)曲面，展開(kāi)后是一個(gè)扇形。
故選：A。
【考察注意點(diǎn)】此題考查了圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的特點(diǎn)，是對(duì)圓錐基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況的了解，應(yīng)注意平時(shí)基礎(chǔ)知識(shí)的積累。
【典例分析04】下面圖形以直線為軸快速旋轉(zhuǎn)一周后會(huì)形成什么圖形？連一連．

【思路引導(dǎo)】本題是一個(gè)平面圖形圍繞一條軸旋轉(zhuǎn)一周，根據(jù)圓柱、圓錐以及圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖的特點(diǎn)即可解答．
【完整解答】解：第一個(gè)三角形旋轉(zhuǎn)一周，得到的是圓錐；
第二個(gè)長(zhǎng)方形旋轉(zhuǎn)一周，得到的是圓柱；
第三個(gè)三角形旋轉(zhuǎn)一周，得到的是合起來(lái)的兩個(gè)圓錐；
第四個(gè)梯形旋轉(zhuǎn)一周，得到的是圓臺(tái)．

【考察注意點(diǎn)】此題考查了點(diǎn)、線、面、體，重在體現(xiàn)面動(dòng)成體：考查學(xué)生立體圖形的空間想象能力及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．
【變式訓(xùn)練03】（2020?滕州市）如圖所示長(zhǎng)方形、半圓形、梯形、三角形快速旋轉(zhuǎn)一周，能形成什么圖形？請(qǐng)你連一連．

【思路引導(dǎo)】本題是一個(gè)平面圖形圍繞一條軸旋轉(zhuǎn)一周，根據(jù)圓柱、圓錐以及圓臺(tái)、球的側(cè)面展開(kāi)圖的特點(diǎn)即可解答．
【完整解答】解：第一個(gè)長(zhǎng)方形旋轉(zhuǎn)一周，得到的是圓柱；
第二個(gè)半圓形旋轉(zhuǎn)一周，得到的是球體
第三個(gè)梯形旋轉(zhuǎn)一周，得到的是圓臺(tái)；
第四個(gè)三角形旋轉(zhuǎn)一周，得到的是圓錐；

【考察注意點(diǎn)】此題考查了點(diǎn)、線、面、體，重在體現(xiàn)面動(dòng)成體：考查學(xué)生立體圖形的空間想象能力及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．
【變式訓(xùn)練04】回家后，用紅蘿下削一個(gè)圓柱體和一個(gè)圓錐體。

（1）想一想：如果橫著切或豎著切，所得到橫截面分別是什么形狀？動(dòng)手切一切。
（2）如果斜著切呢？試一試。
【思路引導(dǎo)】（1）圓柱橫截面是圓形，所以橫著切開(kāi)后截面是圓形；豎截面是長(zhǎng)方形，所以豎著切是長(zhǎng)方形；圓錐橫截面是圓形，所以橫著切開(kāi)后截面是圓形；豎截面是三角形，所以豎著切是三角形；
（2）圓柱斜著切開(kāi)后都是橢圓形；圓錐斜切方式不同，截面形狀不同。
【完整解答】解：（1）圓柱橫著切開(kāi)后截面是圓形，豎著切是長(zhǎng)方形；
圓錐橫著切開(kāi)后截面是圓形，豎著切是三角形；
（2）圓柱斜著切開(kāi)后都是橢圓形；圓錐斜切方式不同，截面形狀不同，如圖所示：

【考察注意點(diǎn)】本題主要考查圓柱和圓錐的特征，切的方式不同，截面形狀不同。
考點(diǎn)3：圓柱的展開(kāi)圖
【典例分析05】（2021?廬江縣）下面三幅圖中，不可能是圓柱側(cè)面展開(kāi)圖的是（　　）
A．B． C．
【思路引導(dǎo)】根據(jù)圓柱側(cè)面展開(kāi)圖的特征，圓柱的側(cè)面沿高展開(kāi)是一個(gè)長(zhǎng)方形，如果不沿高線剪，斜著剪開(kāi)將會(huì)得到一個(gè)平行四邊形，如果側(cè)面不是規(guī)則來(lái)剪開(kāi)的可以得到選項(xiàng)B的圖形。據(jù)此解答。
【完整解答】解：根據(jù)圓柱側(cè)面展開(kāi)圖的特征可知：圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖可能是長(zhǎng)方形、也可能是平行四邊形、或是不規(guī)則圖形。不可能是梯形。
故選：C。
【考察注意點(diǎn)】本題考查了圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖，同一個(gè)立體圖形按不同的方式展開(kāi)，得到的平面展開(kāi)圖是不一樣的，熟記常見(jiàn)幾何體的側(cè)面展開(kāi)圖．圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖不僅可以是平行四邊形，而且還可以是其它圖形，這要取決于側(cè)面展開(kāi)時(shí)是如何剪開(kāi)的。
【典例分析06】（2021?巨野縣）圓柱的側(cè)面沿高剪開(kāi)如果是一個(gè)正方形，則圓柱的高與底面直徑之間的比是1：n。 　×　（判斷對(duì)錯(cuò)）
【思路引導(dǎo)】根據(jù)圓柱側(cè)面展開(kāi)圖的特征，圓柱的側(cè)面沿高展開(kāi)是一個(gè)長(zhǎng)方形，這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于圓柱的底面周長(zhǎng)，寬等于圓柱的高，如果圓柱的側(cè)面沿高展開(kāi)是一個(gè)正方形，那么這個(gè)的圓柱的底面周長(zhǎng)和高相等。據(jù)此判斷。
【完整解答】解：如果圓柱的側(cè)面沿高展開(kāi)是一個(gè)正方形，那么這個(gè)的圓柱的底面周長(zhǎng)和高相等。
由此可知，圓柱的側(cè)面沿高剪開(kāi)如果是一個(gè)正方形，則圓柱的高與底面直徑之間的比是π：1。
因此，題干中的結(jié)論是錯(cuò)誤的。
故答案為：×。
【考察注意點(diǎn)】此題考查的對(duì)目的是理解掌握?qǐng)A柱側(cè)面展開(kāi)圖的特征及應(yīng)用。
【變式訓(xùn)練05】（2020?四子王旗）圖中是一塊長(zhǎng)方形鐵皮（每個(gè)方格的邊長(zhǎng)表示1分米），剪下圖中的涂色部分可以圍成一個(gè)圓柱．這個(gè)圓柱的底面積是　3.14　平方分米；側(cè)面積是　12.56　平方分米；表面積是　18.84　平方分米；體積是　6.28　立方分米．

【思路引導(dǎo)】結(jié)合圖形，找出底面半徑和圓柱的高，利用底面積S＝πr2，側(cè)面積S＝長(zhǎng)×寬，V＝Sh即可解決問(wèn)題．
【完整解答】解：底面積為：S＝πr2＝3.14×12＝3.14平方分米，
側(cè)面積為：S＝長(zhǎng)×寬＝6.28×2＝12.56平方分米，
表面積為：12.56+3.14×2＝12.56+6.28＝18.84平方分米，
體積為：V＝Sh＝3.14×2＝6.28立方分米
答：這個(gè)圓柱的底面積是3.14平方分米；側(cè)面積是12.56平方分米；表面積是18.84平方分米；體積是6.28立方分米．
故答案為：3.14；12.56；18.84；6.28．
【考察注意點(diǎn)】此題考查了圓柱體的展開(kāi)圖與公式的綜合應(yīng)用．
【變式訓(xùn)練06】（2015春?潘集區(qū)月考）標(biāo)出圓柱側(cè)面展開(kāi)圖的數(shù)據(jù)（單位：厘米）．

【思路引導(dǎo)】圓柱的側(cè)面積是一個(gè)長(zhǎng)是3.14×8＝25.12厘米，寬是10厘米的長(zhǎng)方形，據(jù)此解答．
【完整解答】解：長(zhǎng)是3.14×8＝25.12（厘米），
寬是10厘米，
如圖：

【考察注意點(diǎn)】解答此題的主要依據(jù)是：圓柱的側(cè)面展開(kāi)后是一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于圓柱的底面周長(zhǎng)，寬等于圓柱的高．
考點(diǎn)4：圓柱的側(cè)面積和表面積
【典例分析07】（2021?徐州模擬）一個(gè)圓柱體木塊切成四塊（如圖一），表面積增加48平方厘米；切成三塊（如圖二），表面積增加50.24平方厘米，削成一個(gè)最大的圓錐體（如圖三），體積減少了（　?。┝⒎嚼迕?。
A．2π B．6π C．8π D．4π
【思路引導(dǎo)】根據(jù)圓柱的切割特點(diǎn)可知，如圖二切割成3塊，則表面積是增加了4個(gè)圓柱的底面的面積，據(jù)此求出一個(gè)底面的面積，根據(jù)圓的面積公式可得：r2＝12.56÷3.14＝4，因?yàn)?2＝4，所以這個(gè)圓的半徑是2厘米，再根據(jù)圖一的切割方法，沿底面直徑切割后，表面積是增加了8個(gè)以底面半徑和高為邊長(zhǎng)的長(zhǎng)方形，據(jù)此可以求出這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是：48÷8＝6（平方厘米），因?yàn)榘霃绞?厘米，所以利用長(zhǎng)方形的面積公式可得，圓柱的高是：6÷2＝3（厘米），據(jù)此求出了圓柱的底面半徑和高，再利用圓柱的體積公式即可求出這個(gè)圓柱的體積，如圖三，把這個(gè)圓柱先削成一個(gè)最大的圓錐，則削掉的部分的體積就是這個(gè)圓柱的體積的。
【完整解答】解：50.24÷4＝12.56（平方厘米）
12.56÷3.14＝4，因?yàn)?2＝4
所以這個(gè)圓柱的底面半徑是2厘米
48÷8÷2
＝6÷2
＝3（厘米）
π×22×3×（1﹣）
＝π×4×3×
＝8π立方厘米）
答：體積減少了8π立方厘米。
故選：C。
【考察注意點(diǎn)】抓住圓柱的兩種切割特點(diǎn)，根據(jù)增加的表面積分別求出這個(gè)圓柱的底面半徑和高，是解決本題的關(guān)鍵。
【典例分析08】（2021?徐聞縣校級(jí)模擬）把圓柱的側(cè)面沿著一條高展開(kāi)，展開(kāi)后可得到一個(gè)長(zhǎng)方形，它的長(zhǎng)等于圓柱的 　 　，寬等于圓柱的 　 　，所以圓柱的側(cè)面積＝　 　×　 　，用字母表示 　 　。
【思路引導(dǎo)】回憶圓柱側(cè)面展開(kāi)圖，把圓柱的側(cè)面沿它的一條高剪開(kāi)，可得到一個(gè)長(zhǎng)方形，這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是圓柱的底面周長(zhǎng)，寬是圓柱的高；據(jù)此解答。
【完整解答】解：把圓柱的側(cè)面沿著一條高展開(kāi)，展開(kāi)后可得到一個(gè)長(zhǎng)方形，它的長(zhǎng)等于圓柱的底面周長(zhǎng)，寬等于圓柱的高，所以圓柱的側(cè)面積＝底面周長(zhǎng)×高，用字母表示S＝ch。
故答案為：底面周長(zhǎng)，高，底面周長(zhǎng)，高，S＝ch。
【考察注意點(diǎn)】本題主要考查了學(xué)生對(duì)圓柱側(cè)面特征的掌握情況。
【變式訓(xùn)練07】（2021?寧津縣）如圖：一個(gè)底面直徑為4分米，高為5分米的圓柱，把它的底面平均分成若干個(gè)扇形，然后切開(kāi)拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是 　6.28　分米，寬是 　2　分米，表面積比原來(lái)增加了 　20　平方分米。

【思路引導(dǎo)】根據(jù)圓柱體積公式的推導(dǎo)過(guò)程可知，把一個(gè)圓柱切拼成一個(gè)近似長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)等于圓柱底面周長(zhǎng)的一半，寬等于圓柱的底面半徑，長(zhǎng)方體的高等于圓柱的高。這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積比圓柱的表面積增加了兩個(gè)切面的面積，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式：S＝ab，把數(shù)據(jù)代入公式解答。
【完整解答】解：長(zhǎng)方體的長(zhǎng)：3.14×4÷2＝6.28（分米）
長(zhǎng)方體的寬：4÷2＝2（分米）
表面積增加：
2×5×2
＝10×2
＝20（平方分米）
答：這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是6.28分米，寬是2分米，表面積增加20平方分米。
故答案為：6.28、2、20。
【考察注意點(diǎn)】此題考查的目的是理解掌握?qǐng)A柱體積公式的推導(dǎo)過(guò)程及應(yīng)用，以及圓柱的表面積、長(zhǎng)方體的表面積的意義及應(yīng)用。
【變式訓(xùn)練08】（2019?益陽(yáng)模擬）一個(gè)圓柱形水池，水池內(nèi)壁和底面都要鑲上瓷磚，水池底面直徑6米，池深1.2米．鑲瓷磚的面積是多少平方米？

【思路引導(dǎo)】由題意知，鑲瓷磚的部分是內(nèi)側(cè)面和底面，要求鑲瓷磚的面積，可用內(nèi)側(cè)面積加上底面積即可．
【完整解答】解：3.14×6×1.2+3.14×（6÷2）2，
＝3.14×7.2+3.14×9，
＝3.14×16.2，
＝50.868（平方米）；
答：鑲瓷磚的面積是50.868平方米．
【考察注意點(diǎn)】此題是考查圓柱形水池內(nèi)表面積的計(jì)算，要注意是內(nèi)側(cè)面積加一個(gè)底面的面積．
18．（2018春?禹城市期中）一種沒(méi)有蓋的圓柱形鐵皮水桶，底面直徑4分米、高6分米．做一個(gè)這樣的水桶大約用鐵皮多少平方分米？
【思路引導(dǎo)】首先分清制作沒(méi)有蓋的圓柱形鐵皮水桶，需要計(jì)算幾個(gè)面的面積：側(cè)面面積與底面圓的面積兩個(gè)面，由圓柱體側(cè)面積和圓的面積計(jì)算方法列式解答即可．
【完整解答】解：水桶的側(cè)面積：
3.14×4×6
＝3.14×24
＝75.36（平方分米）
水桶的底面積：
3.14×（4÷2）2
＝3.14×22
＝12.56（平方分米）
水桶的表面積：75.36+12.56＝87.92（平方分米）
答：做一個(gè)這樣的水桶大約用鐵皮87.92平方分米．
【考察注意點(diǎn)】解答此題主要分清所求物體的形狀，轉(zhuǎn)化為求有關(guān)圖形的體積或面積的問(wèn)題，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，再運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決．
考點(diǎn)5：圓柱的體積
【典例分析09】（2021春?臥龍區(qū)期中）兩個(gè)完全一樣的圓柱形鋼材焊接成一個(gè)更大的圓柱體后，長(zhǎng)是1m，表面積減少了50dm2，原來(lái)每個(gè)圓柱體的體積是　 。
【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意可知，把兩個(gè)完全一樣的圓柱形鋼材焊接成一個(gè)更大的圓柱體后，表面積減少了50平方分米，表面積減少的是兩個(gè)底面的面積，據(jù)此可以求出圓柱的底面積，再根據(jù)圓柱的體積公式：V＝Sh，把數(shù)據(jù)代入公式解答。
【完整解答】解：1米＝10分米
50÷2×（10÷2）
＝25×5
＝125（立方分米）
答：原來(lái)每個(gè)圓柱體的體積是125立方分米。
故答案為：125。
【考察注意點(diǎn)】此題主要考查圓柱的表面積公式、體積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式。
【典例分析10】021?承德）求下列各圖形的體積。（單位：dm）

【思路引導(dǎo)】根據(jù)圓柱的體積公式：V＝πr2h，正方體的體積公式：V＝a3，把數(shù)據(jù)代入公式解答。
【完整解答】解：3.14×52×2
＝3.14×25×2
＝78.5×2
＝157（立方分米）
6×6×6＝216（立方分米）
答：圓柱的體積是157立方分米，正方體的體積是216立方分米。
【考察注意點(diǎn)】此題主要考查圓柱的體積公式、正方體的體積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式。
【變式訓(xùn)練09】．（2021春?臥龍區(qū)期中）根據(jù)如圖玻璃容器中水的變化，你知道大正方體的體積是多少？

【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意，容器有水200立方厘米，一個(gè)大正方體和一個(gè)小正方體的體積共（630﹣200）立方厘米，一個(gè)大正方體和3個(gè)小正方體的體積共（850﹣200）立方厘米，首先求出1個(gè)小正方體的體積是多少立方厘米，進(jìn)而求出大正方體的體積。
【完整解答】解：（850﹣200）﹣（630﹣200）
＝650﹣430
＝220（立方厘米）
220÷（3﹣1）
＝220÷2
＝110（立方厘米）
630﹣200﹣110
＝430﹣110
＝320（立方厘米）
答：大正方體的體積是320立方厘米。
【考察注意點(diǎn)】此題主要考查圓柱體積公式的靈活運(yùn)用，以及等量代換的方法及應(yīng)用。
【變式訓(xùn)練10】（2021春?鄭州期中）自來(lái)水管的內(nèi)直徑是2厘米，水管內(nèi)水流速度是每秒8厘米，一位同學(xué)去洗手池洗手，走時(shí)忘了關(guān)水龍頭，水白流了5分鐘，你知道他浪費(fèi)了多少水嗎？
【思路引導(dǎo)】浪費(fèi)水的體積是一個(gè)圓柱的體積，圓柱的底面積為水管道的橫截面積，圓柱的高為水流過(guò)的距離，根據(jù)圓柱的體積公式：V＝πr2h，代入數(shù)值計(jì)算即可。
【完整解答】解：5分鐘＝300秒
3.14×（2÷2）2×8×300
＝3.14×8×300
＝25.12×300
＝7536（cm3）
答：他浪費(fèi)了7536立方厘米的水。
【考察注意點(diǎn)】本題主要考查了圓柱體積的應(yīng)用，熟記公式是本題解題的關(guān)鍵。
考點(diǎn)6：圓柱的側(cè)面積、表面積和體積
【典例分析11】（2021秋?鼎城區(qū)期末）把一根1米長(zhǎng)的圓柱形木料，平均截成3段，表面積增加了12平方分米，原來(lái)這根木料的體積是 　 立方分米。
【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意可知，把這根圓柱形木料橫截成3段，需要截2次，每截一次就增加2個(gè)截面的面積，由此可知，表面積增加的是4個(gè)截面的面積，據(jù)此可以求出圓柱的底面積，再根據(jù)圓柱的體積公式：V＝Sh，把數(shù)據(jù)代入公式解答。
【完整解答】解：1米＝10分米
12÷4×10
＝3×10
＝30（立方分米）
答：原來(lái)這根木料的體積是30立方分米。
故答案為：30。
【考察注意點(diǎn)】此題主要考查圓柱的表面積公式、體積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是求出圓柱的底面積。
【典例分析12】（2021?如東縣）有圓柱體與正方體容器各一個(gè)。圓柱體的底面直徑與正方體的棱長(zhǎng)都是4分米。圓柱體里裝有2分米高的水，這時(shí)水與圓柱體的接觸面積是多少平方分米？把圓柱體中的水倒入正方體容器內(nèi)，這時(shí)水面高多少分米？（計(jì)算結(jié)果保留π）
【思路引導(dǎo)】因?yàn)樗c圓柱體的容器的接觸面只有側(cè)面和底面，根據(jù)圓柱的表面積公式S＝側(cè)面積+底面積，將數(shù)據(jù)代入即可得出答案。
把圓柱體中的水倒入正方體容器內(nèi)，水的體積不變，根據(jù)圓柱的體積公式V＝Sh，先求出水的體積，再根據(jù)h＝V÷S（正方形面積公式S＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)），將數(shù)據(jù)代入，即可得出水面高度
【完整解答】解：4π×2+（4÷2）2×π
＝8π+4π
＝12π（平方分米）
（4÷2）2×π×2÷（4×4）
＝8π÷16
＝0.5π（分米）
答：水與圓柱體的接觸面積是12π平方分米，水面高0.5π分米。
【考察注意點(diǎn)】本題考查學(xué)生對(duì)圓柱表面公式和圓柱體積公式的掌握和運(yùn)用，解答時(shí)要注意水從圓柱體中導(dǎo)入正方體容器內(nèi)，水的體積不變。
【變式訓(xùn)練11】（2021秋?亭湖區(qū)校級(jí)期末）長(zhǎng)方體體積可以用底面積乘高來(lái)計(jì)算。猜一猜，上、下底面都是等腰梯形的物體體積，怎么算？先把公式補(bǔ)充完整，再說(shuō)說(shuō)理由。
猜測(cè)：V＝　底面積×高　。
理由：　先求梯形面積S＝（上底十下底）×高÷2，四棱柱體積V則為梯形面積S×棱柱高h(yuǎn)　。

【思路引導(dǎo)】根據(jù)棱柱的體積＝底面積×高，首先根據(jù)梯形的面積公式：S＝（ 上底+下底）×高÷2，求出這個(gè)棱柱的底面積，然后把數(shù)據(jù)代入棱柱的體積公式解答。
【完整解答】解：猜測(cè)：V＝底面積×高，
理由：先求梯形面積S＝（上底十下底）×高÷2，
四棱柱體積V則為梯形面積S×棱柱高h(yuǎn)。
故答案為：底面積×高，先求梯形面積S＝（上底十下底）×高÷2，四棱柱體積V則為梯形面積S×棱柱高h(yuǎn)。
【考察注意點(diǎn)】此題考查的目的是理解掌握棱柱的體積公式及應(yīng)用。
【變式訓(xùn)練12】（2021春?陽(yáng)信縣期中）你還記得圓的面積計(jì)算公式和圓柱體積計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程嗎？請(qǐng)根據(jù)圖回答問(wèn)題。

（1）在研究圓的面積和圓柱體積公式的推導(dǎo)過(guò)程中，我們都用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？
（2）通過(guò)觀察拼成后的長(zhǎng)方體與原來(lái)的圓柱有怎樣的關(guān)系？得到了什么結(jié)論？
（3）請(qǐng)進(jìn)一步觀察圖二，圓柱的高是10厘米，拼成近似的長(zhǎng)方體，表面積增加了60平方厘米。圓柱的體積是多少立方厘米？（圓周率取3.14）
【思路引導(dǎo)】（1）圓的面積公式的推導(dǎo)和圓柱體積公式的推導(dǎo)都是用“轉(zhuǎn)化”的思想方法，化曲為直，化圓為方的方法。
（2）根據(jù)圓柱體積公式的推導(dǎo)過(guò)程可知，把圓柱切拼成一個(gè)近似長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的底面積等于圓柱的底面積，長(zhǎng)方體的高等于圓柱的高，因?yàn)殚L(zhǎng)方體的體積＝底面積×高，所以圓柱的體積＝底面積×高。
（3）把圓柱切拼成近似長(zhǎng)方體后，長(zhǎng)方體的表面積比圓柱的表面積增加了兩個(gè)切面的面積，每個(gè)切面的長(zhǎng)等于圓柱的高，每個(gè)切面的寬等于圓柱的底面半徑，據(jù)此可以求出圓柱的底面半徑，然后根據(jù)圓柱的體積公式：V＝πr2h，把數(shù)據(jù)代入公式解答。
【完整解答】解：（1）在研究圓的面積和圓柱體積公式的推導(dǎo)過(guò)程中，我們都用到了“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想方法，即化曲為直，化圓為方的方法。
（2）把圓柱切拼成近似長(zhǎng)方體后體積不變，拼成的長(zhǎng)方體的底面積等于圓柱的底面積，長(zhǎng)方體的高等于圓柱的高，因?yàn)殚L(zhǎng)方體的體積＝底面積×高，所以圓柱的體積＝底面積×高。
（3）圓柱的底面半徑：
60÷2÷10
＝30÷10
＝3（厘米）
3.14×32×10
＝3.14×9×10
＝28.26×10
＝282.6（立方厘米）
答：這個(gè)圓柱的體積是282.6立方厘米。
【考察注意點(diǎn)】此題考查的目的是理解掌握“轉(zhuǎn)化”的思想方法在 圓柱體積公式推導(dǎo)過(guò)程中的應(yīng)用，以及圓柱體積公式的靈活運(yùn)用。
考點(diǎn)7：圓錐的體積
【典例分析13】（2021?如東縣）如圖，把等腰三角形繞它的底邊上的高旋轉(zhuǎn)一周，得到的立體圖形的體積是（　?。┝⒎嚼迕祝ńY(jié)果保留π）。

A．24π B．18π C．8π D．6π
【思路引導(dǎo)】由題意可知，得到的立體圖形是一個(gè)圓錐，且圓錐的高是2厘米，底面半徑是3厘米，代入圓錐的體積公式即可求解。
【完整解答】解：圓錐的體積：×π×32×2＝6π（立方厘米）
答：得到的立體圖形的體積是6π立方厘米。
故選：D。
【考察注意點(diǎn)】解答此題的關(guān)鍵是明白，得到的立體圖形是一個(gè)圓錐，且圓錐的高是2厘米，底面半徑是3厘米。
【典例分析14】（2021春?隆回縣期中）下面說(shuō)法正確的有（　　）
A．圓柱體積比圓錐體積大
B．圓柱體積是圓錐體積的3倍
C．圓柱比與它等底等高的圓錐體積大2倍
【思路引導(dǎo)】A.在沒(méi)有確定圓柱和圓錐是否等底等高的前提條件下，就無(wú)法確定圓柱和圓錐體積的大小。據(jù)此判斷。
B.同理：在沒(méi)有確定圓柱和圓錐是否等底等高的前提條件下，就無(wú)法確定圓柱和圓錐體積的大小。據(jù)此判斷。
C.等底等高的圓柱的體積是圓錐體積的3倍，所以圓柱比與它等底等高的圓錐體積大2倍。據(jù)此判斷。
【完整解答】解：由分析得：
A.圓柱的體積比圓錐的體積大，此說(shuō)法錯(cuò)誤。
B.圓柱的體積是圓錐體積的3倍。此說(shuō)法錯(cuò)誤。
C.圓柱比與它等底等高的圓錐體積大2倍。此說(shuō)法正確。
故選：C。
【考察注意點(diǎn)】此題考查的目的是理解掌握等底等高的圓柱與圓錐體積之間的關(guān)系及應(yīng)用。
【變式訓(xùn)練13】（2021?黔東南州）在一個(gè)盛滿水的底面半徑是20厘米的圓柱形容器里，有一個(gè)底面半徑是10厘米的鋼鑄圓錐浸沒(méi)在水中，取出圓錐后，容器里的水下降5厘米。這個(gè)圓錐的高是多少厘米？
【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意可知，圓柱形容器內(nèi)下降部分水的體積就等于這個(gè)圓錐的體積。根據(jù)圓柱的體積公式：V＝πr2h，把數(shù)據(jù)代入公式求出這個(gè)圓錐的體積，再根據(jù)圓錐的體積公式：V＝Sh，那么h＝V÷÷S，把數(shù)據(jù)代入公式求出圓錐的高。
【完整解答】解：3.14×202×5÷÷（3.14×102）
＝3.14×400×5×3÷314
＝1256×5×3÷314
＝6280×3÷314
＝18840÷314
＝60（厘米）
答：這個(gè)圓錐的高是60厘米。
【考察注意點(diǎn)】此題主要考查圓柱、圓錐體積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是明白：當(dāng)把圓錐從圓柱形容器中取出后，下降部分水的體積就等于這個(gè)圓錐的體積。
【變式訓(xùn)練14】（2021?潼關(guān)縣）把三角形ABC沿著邊AB、BC分別旋轉(zhuǎn)一周，得到兩個(gè)圓錐（如圖1、圖2），誰(shuí)的體積大？大多少？（單位：厘米）

【思路引導(dǎo)】根據(jù)圓錐的體積＝底面積×高÷3，解答此題即可。
【完整解答】解：圖1：3.14×3×3×6÷3＝56.52（立方厘米）
圖2：3.14×6×6×3÷3＝113.04（立方厘米）
113.04﹣56.52＝56.52（立方厘米）
答：圖2體積大，大56.52立方厘米。
【考察注意點(diǎn)】熟練掌握?qǐng)A錐的體積公式，是解答此題的關(guān)鍵。

基礎(chǔ)練
一．選擇題
1．（2021?旌陽(yáng)區(qū)）如圖，把一個(gè)底面半徑為4cm的圓柱切開(kāi)，再像右圖那樣拼起來(lái)，得到一個(gè)近似長(zhǎng)方體。長(zhǎng)方體的表面積比圓柱增加了40cm2，這個(gè)圓柱的高是（　?。ヽm。

A．4 B．5 C．10
【思路引導(dǎo)】根據(jù)圓柱體積公式的推導(dǎo)過(guò)程可知，把圓柱切拼成一個(gè)近似長(zhǎng)方體，體積不變，拼成長(zhǎng)方體的表面積比圓柱的表面積增加了以圓柱的高為長(zhǎng)．圓柱的底面半徑為寬的兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積，已知長(zhǎng)方體的表面積比圓柱增加了40平方厘米，由此可以求出圓柱的高。
【完整解答】解：40÷2÷4＝5（厘米）
答：圓柱的高是5厘米。
故答案為：5。
故選：B。
2．（2021?滿城區(qū)）把一張長(zhǎng)25.12cm、寬18.84cm的長(zhǎng)方形紙卷成一個(gè)圓柱形紙筒（接頭處剛好對(duì)接，沒(méi)有重疊）。這個(gè)紙筒的底面直徑不可能是（　?。├迕?。
A．8 B．7 C．6
【思路引導(dǎo)】圓柱的側(cè)面積＝底面周長(zhǎng)×高，所以這個(gè)圓柱的底面周長(zhǎng)為25.12cm或18.84cm，那么可根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式C＝πd進(jìn)行計(jì)算即可得到答案。
【完整解答】解：25.12÷3.14＝8（cm）
18.84÷3.14＝6（cm）
答：這個(gè)紙筒的底面直徑可能是8cm或6cm，不可能是7cm。
故選：B。
3．（2021?南開(kāi)區(qū)）一根圓柱形木料，如果沿著底面直徑劈成兩半，表面積增加120平方厘米。如果攔腰平均截成兩個(gè)小圓柱，表面積增加157平方厘米。這根圓柱形木料原來(lái)的高是（　?。├迕?。
A．2.4 B．6 C．12 D．24
【思路引導(dǎo)】截成兩個(gè)小圓柱，表面積增加了兩個(gè)圓柱的底面積，先根據(jù)表面積增加157平方厘米，求出這個(gè)圓柱的底面半徑。沿著底面直徑劈成兩半，表面積是增加了兩個(gè)以底面直徑和高為邊長(zhǎng)的長(zhǎng)方形的面積；代入上面求出的底面半徑，即可求出這個(gè)圓柱的高。據(jù)此解答。
【完整解答】解：157÷2÷3.14
＝78.5÷3.14
＝25（平方厘米）
因?yàn)?×5＝25，所以說(shuō)這個(gè)圓柱形的木料的底面半徑是5厘米。
120÷2÷（5×2）
＝60÷10
＝6（厘米）
答：這根圓柱形木料的高是6厘米。
故選：B。
4．（2021?杭州）一個(gè)圓錐底面半徑是6厘米，高是12厘米，熔鑄成一個(gè)圓柱。下列四個(gè)圓柱中，（　?。┦怯稍搱A錐熔鑄而成的。
A．圓柱底面半徑6厘米，高3厘米
B．圓柱底面直徑4厘米，高4厘米
C．圓柱底面面積36π平方厘米，高4厘米
D．圓柱底面周長(zhǎng)12π厘米，高12厘米
【思路引導(dǎo)】因?yàn)槿坭T前后的體積不變，所以先根據(jù)圓錐的體積公式可得：圓錐的體積＝Sh，即得出圓柱的體積，根據(jù)圓柱的體積公式：圓柱的高＝圓柱體體積÷底面積，求出這圓柱的高，據(jù)此計(jì)算即可解答。
【完整解答】解：①當(dāng)圓柱的底面半徑為6厘米時(shí)，即底面積為36π平方厘米，
則圓柱的高為：×π×36×12÷36π
＝144π÷36π
＝4（厘米）
②當(dāng)圓柱的底面半徑為4厘米時(shí)，即底面積為16π平方厘米，
則圓柱的高為：×π×36×12÷16π
＝144π÷16π
＝9（厘米）
答：當(dāng)圓柱的底面半徑為6厘米時(shí)，圓柱的高為4厘米；當(dāng)圓柱的底面半徑為4厘米時(shí)，圓柱的高為9厘米。
所以圓柱底面面積36π平方厘米，高4厘米是由該圓錐熔鑄而成。
故選：C。
二．填空題
5．（2021春?陽(yáng)信縣期中）將一個(gè)底面直徑是8分米、高是10分米的圓柱，沿底面直徑垂直割開(kāi)（如圖），它的表面積會(huì)增加 　160　平方分米；如果將它按右邊那樣橫切成兩段，那么它的表面積會(huì)增加 　100.48　平方分米。

【思路引導(dǎo)】沿圓柱底面直徑切成相等的兩半，則切割后表面積增加了兩個(gè)以圓柱的底面直徑和高為邊長(zhǎng)的長(zhǎng)方形的面積，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式解答即可；把一個(gè)圓柱沿著橫截面切成兩段后，表面積增加兩個(gè)底面的面積，根據(jù)圓的面積公式解答即可。
【完整解答】解：8×10×2
＝80×2
＝160（平方分米）
3.14×（8÷2）2×2
＝3.14×42×2
＝3.14×16×2
＝100.48（平方分米）
答：沿底面直徑垂直割開(kāi)（如圖），它的表面積會(huì)增加160平方分米；如果將它按右邊那樣橫切成兩段，那么它的表面積會(huì)增加100.48平方分米。
故答案為：160，100.48。
6．（2021?如東縣）如圖長(zhǎng)方形長(zhǎng)3分米，寬2分米。以寬邊的中點(diǎn)連線（如圖）為軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的立體圖形的表面積是 　8π　平方分米，以寬邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的立體圖形的體積是 　18π　立方分米（計(jì)算結(jié)果保留π）。

【思路引導(dǎo)】根據(jù)圓柱的定義：一個(gè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)3分米，寬2分米，以寬邊的中點(diǎn)連線為軸旋轉(zhuǎn)一周，會(huì)得到一個(gè)圓柱形，這個(gè)圓柱的底面半徑是（2÷2）分米，高是3分米，根據(jù)圓柱的表面積＝側(cè)面積+底面積×2，求出表面積；以寬為軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的圓柱的底面半徑是3分米，高是2分米，由此根據(jù)圓柱的體積＝底面積×高，把數(shù)據(jù)代入公式解答即可。
【完整解答】解：表面積：2×π×3+π×（2÷2）2×2
＝6π+2π
＝8π（平方分米）
體積：π×32×2
＝π×9×2
＝18π（立方分米）；
答：以寬邊的中點(diǎn)連線為軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的圖形的表面積是8π平方分米，以寬為軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的圖形的體積是18π立方分米。
故答案為：8π；18π。
7．（2021?永年區(qū)）一個(gè)圓柱的底面直徑是10厘米，高是6厘米，這個(gè)圓柱的表面積是 　345.4　平方厘米，體積是 　471　立方厘米。
【思路引導(dǎo)】首先明確條件，已知“圓柱的底面直徑是10厘米，高是6厘米”，再分別根據(jù)公式解答，圓柱表面積S＝2πr2+Ch，圓柱體積V＝Sh，列式解答即可。
【完整解答】解：圓柱的表面積：
3.14×（10÷2）2×2+2×3.14×（10÷2）×6
＝157+188.4
＝345.4（平方厘米）
圓柱的體積：
3.14×（10÷2）2×6
＝3.14×25×6
＝471（立方厘米）
答：這個(gè)圓柱的表面積是345.4平方厘米，體積是471立方厘米。
故答案為：345.4，471。
8．（2021?鄒城市開(kāi)學(xué)）把如圖中的直角三角形以12cm的邊為軸，旋轉(zhuǎn)一周，會(huì)得到一個(gè) 　圓錐　，它的體積是 　314　cm3；與它等底等高的圓柱的體積是 　942　cm3。

【思路引導(dǎo)】根據(jù)圓錐的體積＝底面積×高÷3，圓柱的體積＝底面積×高，解答此題即可。
【完整解答】解：圖中的直角三角形以12cm的邊為軸，旋轉(zhuǎn)一周，會(huì)得到一個(gè)圓錐；
圓錐的體積：3.14×5×5×12÷3＝314（立方厘米）
圓柱的體積：3.14×5×5×12＝942（立方厘米）
答：會(huì)得到一個(gè)圓錐，它的體積是314cm3；與它等底等高的圓柱的體積是942cm3。
故答案為：圓錐；314；942。
三．判斷題
9．（2021?曹縣）兩個(gè)高相等的圓柱體底面半徑之比是3：2，那么體積之比也是3：2。 　×?。ㄅ袛鄬?duì)錯(cuò)）
【思路引導(dǎo)】根據(jù)圓柱的體積公式：V＝πr2h，再根據(jù)因數(shù)與積的變化規(guī)律，兩個(gè)圓柱底面半徑的比是3：2，那么這兩個(gè)圓柱底面積的比是9：4，圓柱的高相等，所以兩個(gè)圓柱體積的比的9：4；據(jù)此判斷。
【完整解答】解：設(shè)兩個(gè)圓柱的高為h，底面半徑分別為3、2，
（π×32h）：（π×22h）
＝（9πh）：（4πh）
＝9：4
所以兩個(gè)高相等的圓柱體底面半徑之比是3：2，那么體積之比是9：4；
因此，原題說(shuō)法是錯(cuò)誤的。
故答案為：×。
10．（2021?蘭山區(qū)）把繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的圖形是圓錐。 　√?。ㄅ袛鄬?duì)錯(cuò)）
【思路引導(dǎo)】根據(jù)圓錐的定義：以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐，據(jù)此解答。
【完整解答】解：把繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的圖形是圓錐，原題說(shuō)法正確。
故答案為：√。
11．（2021春?未央?yún)^(qū)月考）用一張長(zhǎng)方形紙能圍成不同的兩個(gè)圓柱，它們的側(cè)面積一定相等?！　獭。ㄅ袛鄬?duì)錯(cuò)）
【思路引導(dǎo)】根據(jù)圓柱側(cè)面展開(kāi)圖的特征，圓柱的側(cè)面沿高展開(kāi)是一個(gè)長(zhǎng)方形，這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于圓柱的底面周長(zhǎng)，寬等于圓柱的高；據(jù)此判斷。
【完整解答】解：根據(jù)圓柱側(cè)面展開(kāi)圖的特征可知，用一張長(zhǎng)方形紙能圍成不同的兩個(gè)圓柱，它們的側(cè)面積一定相等；原題說(shuō)法正確。
故答案為：√。
四．計(jì)算題
12．（2021春?天全縣期中）如圖是圓柱體的表面展開(kāi)圖，計(jì)算它的側(cè)面積是多少平方厘米？體積是多少立方厘米？

【思路引導(dǎo)】據(jù)圓柱體的特征，它的上下底面是完全相同的兩個(gè)圓，側(cè)面是曲面，沿高展開(kāi)得到長(zhǎng)方形，這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于圓柱體的底面周長(zhǎng)，寬等于圓柱體的高，求圓柱的側(cè)面積，用長(zhǎng)方形的長(zhǎng)乘長(zhǎng)方形的寬即可；圓柱體的底面積＝πr2，圓柱的側(cè)面積＝底面周長(zhǎng)×高，圓柱的體積＝底面積×高，將數(shù)據(jù)代入公式進(jìn)行計(jì)算即可得到答案。
【完整解答】解：6.28×3＝18.84（平方厘米）
3.14×（6.28÷3.14÷2）2×3
＝3.14×3
＝9.42（立方厘米）
答：這個(gè)立體圖形的側(cè)面積是18.84平方厘米，體積是9.42立方厘米。
13．（2021春?虎林市期中）（1）計(jì)算圓柱的表面積和體積。

（2）計(jì)算圓錐的體積。

【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)圓柱的表面積＝側(cè)面積+2個(gè)底面積＝底面周長(zhǎng)×高+π×半徑的平方×2，以及圓柱的體積＝底面積×高＝πr2h，代入數(shù)據(jù)解答即可；
（2）根據(jù)圓錐的體積公式：圓錐的體積＝底面積×高÷3＝πr2h÷3，代入數(shù)據(jù)解答即可。
【完整解答】解：（1）2×3.14×10×20+3.14×102×2
＝3.14×400+3.14×200
＝3.14×600
＝1884（平方厘米）
3.14×102×20
＝314×20
＝6280（立方厘米）
（2）3.14×（10÷2）2×12÷3
＝3.14×25×4
＝3.14×（25×4）
＝3.14×100
＝314（立方厘米）
五．應(yīng)用題
14．（2021?永年區(qū)）王師傅把一個(gè)底面半徑是20cm，高是27cm的圓錐形鋁塊熔鑄成一個(gè)底面半徑是15cm的圓柱形鋁塊。這個(gè)圓柱形鋁塊的高是多少厘米？
【思路引導(dǎo)】熔鑄前后的體積不變，先根據(jù)圓錐的體積公式（V＝Sh）求出鋁塊的體積，再利用圓柱的高＝體積÷底面積即可解答。
【完整解答】解：×3.14×202×27
＝×3.14×400×27
＝×33912
＝11304（cm2）
11304÷3.14÷152
＝3600÷225
＝16（cm）
答：這個(gè)圓柱形鋁塊的高是16厘米。
15．（2021?海州區(qū)）如圖，一根長(zhǎng)1米，橫截面直徑為4分米的圓柱形木頭浮在水面上，這根木頭恰好有一半露出水面。
（1）這根木頭的體積是多少立方分米？
（2）這根木頭露出水面的面積是多少平方分米？

【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)圓柱的體積公式：v＝sh，把數(shù)據(jù)代入公式解答。
（2）這根木頭與水接觸的面的面積是圓柱側(cè)面積的一半加上底面兩個(gè)半圓（一個(gè)圓）的面積，據(jù)此列式解答。
【完整解答】解：（1）1米＝10分米
3.14×（4÷2）2×10
＝3.14×4×10
＝125.6（立方分米）
答：這根木頭的體積是125.6立方分米。
（2）3.14×4×10÷2+3.14×（4÷2）2
＝125.6÷2+12.56
＝62.8+12.56
＝75.36（平方分米）
答：這根木頭露出水面的面積是75.36平方分米。
16．（2021?鐵西區(qū)）如圖，一個(gè)內(nèi)直徑是6cm的瓶子里，水的高度是12cm。把瓶蓋擰緊倒置放平，無(wú)水部分是圓柱形，高度是8cm。這個(gè)瓶子的容積是多少毫升？

【思路引導(dǎo)】瓶子不管怎么放置，瓶子空余部分的容積不變，先把瓶子倒置把空余部分轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，不管是有水的圓柱還是空余部分的圓柱，它們的內(nèi)直徑都是6cm，有水的圓柱的高是12cm，空余部分的圓柱的高是8cm，根據(jù)圓柱的體積公式V＝πr2h，進(jìn)行解答即可。
【完整解答】解：6÷2＝3（厘米）
3.14×32×12+3.14×32×8
＝339.12+226.08
＝565.2（平方厘米）
565.2立方厘米＝565.2毫升
答：這個(gè)瓶子的容積是565.2毫升。
提高練
一．選擇題
1．（2020秋?常熟市期末）四個(gè)完全相同的水杯，分別往里面注水，水量如圖中的涂色部分。如果再往每個(gè)水杯中分別放入大小相同、數(shù)量不同的方糖，完全溶解后，（　?。┍腥芤旱奶鸲茸罡?。
A． B． C． D．
【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意可知，4個(gè)水杯完全相同，每塊方糖的大小完全相同，A水杯是2塊方糖溶解在2份的水中；B水杯是1塊方糖溶解在3份水中；C水杯是3塊方糖溶解在4份水中；D水杯是4塊方糖溶解在5份水中；根據(jù)求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾，分別求出糖與水的比值，然后進(jìn)行比較。
【完整解答】解：2÷2＝1
1÷3＝
3÷4＝
4÷5＝
1＞＞＞
答：A杯中溶液的甜度最高。
故選：A。
2．（2020秋?江寧區(qū)期末）一個(gè)擰緊瓶蓋的瓶子里裝有一些水（如圖），根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出瓶中水的體積占瓶子容積的（　　）

A． B． C． D．
【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意，瓶子容積可以看作是正放時(shí)水的體積+倒放時(shí)無(wú)水部分圓柱的體積，這兩部分合起來(lái)正好是一個(gè)圓柱，這部分圓柱的高包括兩部分，水的高度+無(wú)水圓柱的高度，底面積相同，可以求出水的高度占圓柱高度的幾分之幾，也就是瓶中水的體積占瓶子容積的幾分之幾。據(jù)此解答即可。
【完整解答】解：倒放時(shí)無(wú)水部分的高：21﹣15＝6（厘米）
12÷（12+6）
＝12÷18
＝
答：瓶中水的體積占瓶子容積的。
故選：C。
3．（2021?贛州）把一個(gè)長(zhǎng)為4厘米，寬為3厘米的長(zhǎng)方形，沿寬旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)立體圖形的體積是（　　）立方厘米。
A．150.72 B．37.68 C．113.04
【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意可知，以長(zhǎng)方形的寬為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)底面半徑是4厘米，高是3厘米的圓柱，根據(jù)圓柱的體積公式：V＝πr2h，把數(shù)據(jù)代入公式解答。
【完整解答】解：3.14×42×3
＝3.14×16×3
＝50.24×3
＝150.72（立方厘米）
答：這個(gè)立體圖形的體積是150.72立方厘米。
故選：A。
二．填空題
4．（2021?淮安）一個(gè)圓錐高為8分米，把這個(gè)圓錐從頂點(diǎn)處沿底面直徑切成兩個(gè)半圓錐后，表面積比原來(lái)增加48平方分米，這個(gè)圓錐的體積是 　75.36　立方分米。
【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意，把一個(gè)圓錐沿底面直徑平均分成體積相等、形狀相同的兩部分，結(jié)果表面積之和比原來(lái)增加了48平方分米，增加了兩個(gè)截面，每個(gè)截面都是高為8分米，底為圓錐的底面直徑的三角形，根據(jù)三角形的面積計(jì)算方法求出三角形的底（圓錐的底面直徑），再由圓錐的體積公式V＝Sh，列式解答即可。
【完整解答】解：圓錐的底面直徑：
48÷2×2÷8＝6（分米）
圓錐的體積：
×3.14×（6÷2）2×8
＝×3.14×9×8
＝75.36（立方分米）
答：這個(gè)圓錐的體積是75.36立方分米。
故答案為：75.36。
5．（2021?思明區(qū)）如圖所示，把底面半徑是4厘米，高是20厘米的圓柱切成若干等份，拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方體。這個(gè)近似長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是 　12.56　厘米，體積是 　1004.8　立方厘米。

【思路引導(dǎo)】根據(jù)圓柱體積公式的推導(dǎo)過(guò)程可知，把圓柱切拼成一個(gè)近似長(zhǎng)方體后體積不變，這個(gè)近似長(zhǎng)方體的長(zhǎng)等于圓柱底面周長(zhǎng)的一半，長(zhǎng)方體的寬等于圓柱的底面半徑，長(zhǎng)方體的高等于圓柱的高，根據(jù)圓柱的體積公式：V＝πr2h，把數(shù)據(jù)代入公式解答。
【完整解答】解：3.14×4＝12.56（厘米）
3.14×42×20
＝3.14×16×20
＝50.24×20
＝1004.8（立方厘米）
答：這個(gè)近似長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是12.56厘米，體積是1004.8立方厘米。
故答案為：12.56，1004.8。
6．（2021?會(huì)同縣）把2.4m的圓柱形鋼材截成三段，表面積比原來(lái)增加56平方厘米，則這圓柱形鋼材的體積 　3360　立方厘米。
【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意可知，把這根圓柱形鋼材截成三段，表面積比原來(lái)增加了4個(gè)截面的面積，據(jù)此可以求出圓柱的底面積，再根據(jù)圓柱的體積公式：V＝Sh，把數(shù)據(jù)代入公式解答。
【完整解答】解：2.4米＝240厘米
56÷4×240
＝14×240
＝3360（立方厘米）
答：這根圓柱形鋼材的體積是3360立方厘米。
故答案為：3360。
7．（2021?杏花嶺區(qū)）如圖，一根圓柱形木料從中間切開(kāi)后，表面積增加了12.56平方厘米，原來(lái)這個(gè)木料的體積是 　37.68　立方厘米。

【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意可知，把這根圓柱形木料橫截成兩段，表面積比原來(lái)增加了兩個(gè)截面的面積，據(jù)此可以求出圓柱的底面積，再根據(jù)圓柱的體積公式：V＝Sh，把數(shù)據(jù)代入公式解答。
【完整解答】解：12.56÷2×6
＝6.28×6
＝37.68（立方厘米）
答：原來(lái)圓柱的體積是37.68立方厘米。
故答案為：37.68。
三．判斷題
8．（2018?江北區(qū)）長(zhǎng)方體和圓柱的體積都可以用底面積乘以高的方法計(jì)算．　√?。ㄅ袛鄬?duì)錯(cuò)）
【思路引導(dǎo)】因?yàn)殚L(zhǎng)方體的長(zhǎng)×寬＝長(zhǎng)方體的底面積，所以長(zhǎng)方體和圓柱的體積都可以用底面積乘以高的方法計(jì)算．據(jù)此判斷．
【完整解答】解：因?yàn)殚L(zhǎng)方體的長(zhǎng)×寬＝長(zhǎng)方體的底面積，所以長(zhǎng)方體和圓柱的體積都可以用底面積乘以高的方法計(jì)算．
故答案為：√．
9．（2021?南山區(qū)）一張長(zhǎng)8cm、寬6cm的硬紙板，橫著和豎著卷成兩個(gè)圓柱，這兩個(gè)圓柱的體積一樣大。 　×?。ㄅ袛鄬?duì)錯(cuò)）
【思路引導(dǎo)】根據(jù)圓柱側(cè)面展開(kāi)圖的特征可知，如果把這張紙橫著卷成圓柱，底面周長(zhǎng)是8厘米，高是6厘米；如果把這張紙豎著卷成圓柱，底面周長(zhǎng)是6厘米，高是8厘米，根據(jù)圓柱的體積公式：把數(shù)據(jù)代入公式求出它們的體積，然后進(jìn)行比較，據(jù)此判斷。
【完整解答】解：①橫著卷成圓柱的體積：
π×（）2×6
＝π××6
＝（立方厘米）
②豎著卷成圓柱的體積：
π×（）2×8
＝π××8
＝（立方厘米）
所以體積的體積不相等。
因此，題干中的結(jié)論是錯(cuò)誤的。
故答案為：×。
10．（2021?鹽田區(qū)）底面積和高都相等的長(zhǎng)方體、正方體、圓柱體，它們的體積也一定相等。 　√?。ㄅ袛鄬?duì)錯(cuò)）
【思路引導(dǎo)】因?yàn)殚L(zhǎng)方體、正方體和圓柱的體積公式都是：V＝Sh，如果長(zhǎng)方體、正方體、圓柱體的底面積和高都分別相等，那么它們的體積也相等．據(jù)此判斷。
【完整解答】解：由分析得：如果長(zhǎng)方體、正方體、圓柱體的底面積和高都分別相等，那么它們的體積也相等。
因此，題干中的說(shuō)法是正確的。
故答案為：√。
四．計(jì)算題
11．（2021?太原）計(jì)算下面圖形的表面積。

【思路引導(dǎo)】通過(guò)觀察圖形可知，由于上面的圓柱與下面的長(zhǎng)方體粘合在一起，所以上面的圓柱只求它的側(cè)面積，下面的長(zhǎng)方體求它的表面積，然后合并起來(lái)。根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式：S＝πdh，長(zhǎng)方體的表面積公式：S＝（ab+ah+bh）×2，把數(shù)據(jù)代入公式解答。
【完整解答】解：3.14×4×6+（10×4+10×5+4×5）×2
＝12.56×6+（40+50+20）×2
＝75.36+110×2
＝75.36+220
＝295.36（dm2）
答：它的表面積是295.36dm2。
12．（2021?清豐縣）求如圖中杯子的容積。（數(shù)據(jù)是從杯子里面測(cè)量得到的）

【思路引導(dǎo)】根據(jù)圓柱的容積公式：V＝πr2h，把數(shù)據(jù)代入公式解答。
【完整解答】解：3.14×（8÷2）2×10
＝3.14×16×10
＝50.24×10
＝502.4（立方厘米）
502.4立方厘米＝502.4毫升
答：這個(gè)杯子的容積是502.4毫升。
五．應(yīng)用題
13．（2021?如東縣）有圓柱體與正方體容器各一個(gè)。圓柱體的底面直徑與正方體的棱長(zhǎng)都是4分米。圓柱體里裝有2分米高的水，這時(shí)水與圓柱體的接觸面積是多少平方分米？把圓柱體中的水倒入正方體容器內(nèi)，這時(shí)水面高多少分米？（計(jì)算結(jié)果保留π）
【思路引導(dǎo)】因?yàn)樗c圓柱體的容器的接觸面只有側(cè)面和底面，根據(jù)圓柱的表面積公式S＝側(cè)面積+底面積，將數(shù)據(jù)代入即可得出答案。
把圓柱體中的水倒入正方體容器內(nèi)，水的體積不變，根據(jù)圓柱的體積公式V＝Sh，先求出水的體積，再根據(jù)h＝V÷S（正方形面積公式S＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)），將數(shù)據(jù)代入，即可得出水面高度
【完整解答】解：4π×2+（4÷2）2×π
＝8π+4π
＝12π（平方分米）
（4÷2）2×π×2÷（4×4）
＝8π÷16
＝0.5π（分米）
答：水與圓柱體的接觸面積是12π平方分米，水面高0.5π分米。
14．（2021春?高青縣期末）如圖，一個(gè)圓柱體木材被截去5cm后，圓柱的表面積減少了47.1cm2，求原來(lái)圓柱體的表面積是多少平方厘米？

【思路引導(dǎo)】通過(guò)觀察圖形可知，把這個(gè)圓柱體木材截去5厘米，圓柱的表面積減少了47.1平方厘米，表面積減少的是高5厘米的圓柱的側(cè)面積，根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式：S＝2πrh，據(jù)此可以求出圓柱的底面周長(zhǎng)，再根據(jù)圓柱的表面積公式：S表＝S側(cè)+S底×2，把數(shù)據(jù)代入公式解答。
【完整解答】解：47.1÷5＝9.42（厘米）
9.42×20+3.14×（9.42÷3.14÷2）2×2
＝188.4+3.14×2.25×2
＝188.4+14.13
＝202.53（平方厘米）
答：原來(lái)圓柱體的表面積是202.53平方厘米。
15．（2020?太谷區(qū)）在一節(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們進(jìn)行實(shí)踐操作。先往一個(gè)長(zhǎng)方體的容器中注水，水深4.4厘米，如圖（1），然后將一根圓柱形冰柱垂直放入其中，水的高度上升到5.5厘米，這時(shí)剛好有冰柱浸沒(méi)在水中，如圖（2）。

（1）整根冰柱的體積是多少立方厘米？
（2）已知冰化成水，體積會(huì)減少，這根冰柱融化后將變成多少毫升的水？
【思路引導(dǎo)】（1）原來(lái)水柱只有4.4厘米，因?yàn)椤八嫔仙?.5厘米處”說(shuō)明了冰柱插入水中水面上升了（5.5﹣4.4）厘米，用底面積乘以上升的水1.1厘米的高度，就是冰柱的體積，根據(jù)已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)，用除法解答。
（2）根據(jù)冰化成水，體積減少，把冰柱的體積看作單位“1”，化成水的體積相當(dāng)于冰柱體積的（1），再根據(jù)求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少用乘法解答。
【完整解答】解：（1）10×10×（5.5﹣4.4）÷
＝100×1.1÷
＝110×3
＝330（立方厘米）
答：整根冰柱的體積是330立方厘米。
（2）330×（1﹣）
＝330×
＝297（立方厘米）
297立方厘米＝297毫升
答：這根冰柱融化后將變成297毫升的水。
16．（2021春?陽(yáng)信縣期中）你還記得圓的面積計(jì)算公式和圓柱體積計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程嗎？請(qǐng)根據(jù)圖回答問(wèn)題。

（1）在研究圓的面積和圓柱體積公式的推導(dǎo)過(guò)程中，我們都用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？
（2）通過(guò)觀察拼成后的長(zhǎng)方體與原來(lái)的圓柱有怎樣的關(guān)系？得到了什么結(jié)論？
（3）請(qǐng)進(jìn)一步觀察圖二，圓柱的高是10厘米，拼成近似的長(zhǎng)方體，表面積增加了60平方厘米。圓柱的體積是多少立方厘米？（圓周率取3.14）
【思路引導(dǎo)】（1）圓的面積公式的推導(dǎo)和圓柱體積公式的推導(dǎo)都是用“轉(zhuǎn)化”的思想方法，化曲為直，化圓為方的方法。
（2）根據(jù)圓柱體積公式的推導(dǎo)過(guò)程可知，把圓柱切拼成一個(gè)近似長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的底面積等于圓柱的底面積，長(zhǎng)方體的高等于圓柱的高，因?yàn)殚L(zhǎng)方體的體積＝底面積×高，所以圓柱的體積＝底面積×高。
（3）把圓柱切拼成近似長(zhǎng)方體后，長(zhǎng)方體的表面積比圓柱的表面積增加了兩個(gè)切面的面積，每個(gè)切面的長(zhǎng)等于圓柱的高，每個(gè)切面的寬等于圓柱的底面半徑，據(jù)此可以求出圓柱的底面半徑，然后根據(jù)圓柱的體積公式：V＝πr2h，把數(shù)據(jù)代入公式解答。
【完整解答】解：（1）在研究圓的面積和圓柱體積公式的推導(dǎo)過(guò)程中，我們都用到了“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想方法，即化曲為直，化圓為方的方法。
（2）把圓柱切拼成近似長(zhǎng)方體后體積不變，拼成的長(zhǎng)方體的底面積等于圓柱的底面積，長(zhǎng)方體的高等于圓柱的高，因?yàn)殚L(zhǎng)方體的體積＝底面積×高，所以圓柱的體積＝底面積×高。
（3）圓柱的底面半徑：
60÷2÷10
＝30÷10
＝3（厘米）
3.14×32×10
＝3.14×9×10
＝28.26×10
＝282.6（立方厘米）
答：這個(gè)圓柱的體積是282.6立方厘米。
17．（2021?訥河市）把一塊棱長(zhǎng)10cm的正方體鐵塊熔鑄成一個(gè)底面直徑是20cm的圓錐鐵塊．這個(gè)圓錐鐵塊的高約是多少？（得數(shù)保留整厘米）
【思路引導(dǎo)】熔鑄成圓錐體，體積沒(méi)變，等于正方體的體積，由此可以求出圓錐的體積，知道底面直徑，可求出圓錐的底面積，然后利用圓錐的體積公式V＝Sh＝πr2h可以計(jì)算得出圓錐的高．
【完整解答】解：20÷2＝10（cm）
10×10×10×3÷（3.14×102）
＝1000×3÷314
≈10（厘米）
答：這個(gè)圓錐最高約10厘米．

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