（全國(guó)通用）2022年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點(diǎn)精講精練專題10 一元二次方程（原卷版+解析版）學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

【高頻考點(diǎn)精講】
1．解一元二次方程-配方法
（1）將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開(kāi)平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步驟：
①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；
③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；
④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；
⑤若右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過(guò)直接開(kāi)平方法來(lái)求出它的解，如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無(wú)實(shí)數(shù)解．
2．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意義
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法，
因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過(guò)因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問(wèn)題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）；
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：
①移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；③令每個(gè)因式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就都是原方程的解。
3．解一元二次方程-換元法
（1）解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法；
換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，變得容易處理；
（2）我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來(lái)代替它從而簡(jiǎn)化問(wèn)題，當(dāng)然有時(shí)候要通過(guò)變形才能發(fā)現(xiàn)，把一些形式復(fù)雜的方程通過(guò)換元的方法變成一元二次方程，達(dá)到降次目的。
【熱點(diǎn)題型精練】
1．（2021?南寧模擬）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0有一個(gè)根為1，則m的值為（）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
2．（2021?黃岡模擬）已知關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣k2﹣2k+3＝0的一個(gè)根為0，則k＝．
3．（2021?武漢模擬）用配方法解方程x2﹣6x+5＝0，配方后所得的方程是（）
A．（x+3）2＝﹣4B．（x﹣3）2＝﹣4C．（x+3）2＝4D．（x﹣3）2＝4
4．（2021?潮州模擬）用配方法解方程x2﹣8x+5＝0，將其化為（x+a）2＝b的形式，正確的是（）
A．（x+4）2＝11B．（x+4）2＝21C．（x﹣8）2＝11D．（x﹣4）2＝11
5．（2021?慶陽(yáng)模擬）方程x（x+5）＝0的根是（）
A．x＝5B．x＝﹣5C．x1＝0，x2＝5D．x1＝0，x2＝﹣5
6．（2021?武威模擬）若某等腰三角形的底邊長(zhǎng)和腰長(zhǎng)是方程x2﹣6x+8＝0的兩實(shí)數(shù)根，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為（）
A．8B．10C．8或10D．不能確定
7．（2021?洛陽(yáng)模擬）菱形ABCD的一條對(duì)角線長(zhǎng)為6，邊AB的長(zhǎng)是方程x2﹣7x+10＝0的一個(gè)根，則菱形ABCD的周長(zhǎng)是（）
A．20或8B．8C．20D．12
8．（2021?鄭州模擬）定義運(yùn)算：a※b＝3ab2﹣4ab﹣2．例如：4※2＝3×4×22﹣4×4×2﹣2＝14．則方程2※x＝0的根的情況為（）
A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
C．無(wú)實(shí)數(shù)根D．無(wú)法確定
二、高次方程和無(wú)理方程
【高頻考點(diǎn)精講】
1．高次方程
（1）高次方程的定義：整式方程未知數(shù)次數(shù)最高項(xiàng)次數(shù)高于2次的方程，稱為高次方程；
（2）高次方程的解法思想：
通過(guò)適當(dāng)?shù)姆椒?，把高次方程化為次?shù)較低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它轉(zhuǎn)化成二次方程或一次方程．也有的通過(guò)因式分解來(lái)解。
2．無(wú)理方程
（1）定義：方程中含有根式，且開(kāi)方數(shù)是含有未知數(shù)的代數(shù)式，這樣的方程叫做無(wú)理方程；
（2）有理方程和根式方程（無(wú)理方程）合稱為代數(shù)方程；
（3）解無(wú)理方程關(guān)鍵是要去掉根號(hào)，將其轉(zhuǎn)化為整式方程，解無(wú)理方程的基本思想是把無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為有理方程來(lái)解，在變形時(shí)要注意根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特征選擇解題方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，設(shè)輔助元素法，利用比例性質(zhì)法等；
注意：用乘方法（即將方程兩邊各自乘同次方來(lái)消去方程中的根號(hào)）來(lái)解無(wú)理方程，往往會(huì)產(chǎn)生增根，應(yīng)注意驗(yàn)根。
【熱點(diǎn)題型精練】
9．（2020?隨州中考）將關(guān)于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0變形為x2＝px﹣q，就可以將x2表示為關(guān)于x的一次多項(xiàng)式，從而達(dá)到“降次”的目的，又如x3＝x?x2＝x（px﹣q）＝…，我們將這種方法稱為“降次法”，通過(guò)這種方法可以化簡(jiǎn)次數(shù)較高的代數(shù)式．根據(jù)“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，則x4﹣2x3+3x的值為（）
A．1﹣B．3﹣C．1+D．3+
10．（2021?南陽(yáng)模擬）“通過(guò)等價(jià)變換，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，化陌生為熟悉，化未知為已知”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中解決問(wèn)題的基本思維方式．例如：解方程x﹣＝0，就可利用該思維方式，設(shè)＝y(tǒng)，將原方程轉(zhuǎn)化為：y2﹣y＝0這個(gè)熟悉的關(guān)于y的一元二次方程，解出y，再求x．這種方法又叫“換元法”．請(qǐng)你用這種思維方式和換元法解決下列問(wèn)題：
（1）填空：若2（x2+y2）2+（x2+y2）＝0，則x2+y2的值為；
（2）直接寫出方程x2﹣3|x|+2＝0的根；
（3）解方程：x2﹣x+2﹣8＝0．
三、根的判別式及根與次數(shù)關(guān)系
【高頻考點(diǎn)精講】
1．根的判別式
利用一元二次方程根的判別式（△＝b2﹣4ac）判斷方程的根的情況．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：
①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
②當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
③當(dāng)△＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．
上面的結(jié)論反過(guò)來(lái)也成立．
2．根與系數(shù)的關(guān)系
（1）若二次項(xiàng)系數(shù)為1，常用以下關(guān)系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的兩根時(shí)，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反過(guò)來(lái)可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問(wèn)題，后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù)；
（2）若二次項(xiàng)系數(shù)不為1，則常用以下關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2＝，x1x2＝，反過(guò)來(lái)也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2 ；
（3）常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問(wèn)題：
①不解方程，判斷兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩個(gè)根；
②已知方程及方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根及未知數(shù)；
③不解方程求關(guān)于根的式子的值，如求，x12+x22等等；
④判斷兩根的符號(hào)；
⑤求作新方程；
⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值．這類問(wèn)題比較綜合，解題時(shí)除了利用根與系數(shù)的關(guān)系，同時(shí)還要考慮a≠0，△≥0這兩個(gè)前提條件。
【熱點(diǎn)題型精練】
11．（2021?黔東南州模擬）設(shè)一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的兩根分別為x1、x2，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）
A．x1≠x2B．
C．x1+x2＝1D．x1?x2＝1
12．（2021?內(nèi)蒙古模擬）定義：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）滿足a+b+c＝0，那么我們稱這個(gè)方程為“和諧”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）滿足a﹣b+c＝0那么我們稱這個(gè)方程為“美好”方程，如果一個(gè)一元二次方程既是“和諧”方程又是“美好”方程，則下列結(jié)論正確的是（）
A．方有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B．方程有一根等于0
C．方程兩根之和等于0D．方程兩根之積等于0
13．（2021?貴州模擬）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算“a*b＝”例如4*2，因?yàn)?＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣8x+16＝0的兩個(gè)根，則x1*x2＝．
14．（2021?北海模擬）若關(guān)于x的一元二次方程x2+（m+1）x+2＝0的一個(gè)根是﹣1，則另一個(gè)根是．
15．（2020?湖北中考）關(guān)于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根α，β，且α2+β2＝12，那么m的值為（）
A．﹣1B．﹣4C．﹣4或1D．﹣1或4
16．（2021?遂寧模擬）方程x2﹣3x+4＝0與方程x2﹣2x﹣5＝0的所有實(shí)數(shù)根的和是．
17．（2021?泉州模擬）已知m，n是方程x2+2x﹣1＝0的兩個(gè)根，則m2n+mn2＝．
四、由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程
【高頻考點(diǎn)精講】
在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要全面、系統(tǒng)地申清問(wèn)題的已知和未知，以及它們之間的數(shù)量關(guān)系，找出并全面表示問(wèn)題的相
等關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，用方程表示出已知量與未知量之間的等量關(guān)系，即列出一元二次方程。
【熱點(diǎn)題型精練】
18．（2021?濟(jì)南模擬）電影《我和我的祖國(guó)》講述了普通人與國(guó)家之間息息相關(guān)密不可分的動(dòng)人故事，一上映就獲得全國(guó)人民的追捧，第一天票房約3億元，以后每天票房按相同的增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，三天后累計(jì)票房收入達(dá)10億元，若把增長(zhǎng)率記作x，則方程可以列為（）
A．3（1+x）＝10B．3（1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
19．（2021?寧德模擬）《算學(xué)寶鑒》全稱《新集通證古今算學(xué)寶鑒》，完成于明嘉靖三年（1524年），王文素著，全書12本42卷，近50萬(wàn)字，代表了我國(guó)明代數(shù)學(xué)的最高水平．《算學(xué)寶鑒》中記載了我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝提出的一個(gè)問(wèn)題：“直田積八百六十四步，之云闊不及長(zhǎng)十二步，問(wèn)長(zhǎng)闊各幾何？”譯文：一個(gè)矩形田地的面積等于864平方步，且它的寬比長(zhǎng)少12步，問(wèn)矩形田地的長(zhǎng)與寬各是多少步？如果設(shè)矩形田地的長(zhǎng)為x步，則可列方程為．
20．（2021?青島模擬）有一張長(zhǎng)40cm，寬30cm的長(zhǎng)方形硬紙片（如圖1），截去四個(gè)全等的小正方形之后，折成無(wú)蓋的紙盒（如圖2）．若紙盒的底面積為600cm2，則紙盒的高為．
五、一元二次方程的應(yīng)用
【高頻考點(diǎn)精講】
1．列方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟是：審清題意設(shè)未知數(shù)，列出方程，解所列方程求所列方程的解，檢驗(yàn)和作答；
2．列一元二次方程解應(yīng)用題中常見(jiàn)問(wèn)題：
（1）數(shù)字問(wèn)題：個(gè)位數(shù)為a，十位數(shù)是b，則這個(gè)兩位數(shù)表示為10b+a；
（2）增長(zhǎng)率問(wèn)題：增長(zhǎng)率＝增長(zhǎng)數(shù)量/原數(shù)量×100%．如：若原數(shù)是a，每次增長(zhǎng)的百分率為x，則第一次增長(zhǎng)后為a（1+x）；第二次增長(zhǎng)后為a（1+x）2，即原數(shù)×（1+增長(zhǎng)百分率）2＝后來(lái)數(shù)；
（3）形積問(wèn)題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長(zhǎng)．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程．③利用相似三角形的對(duì)應(yīng)比例關(guān)系，列比例式，通過(guò)兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積，得到一元二次方程；
（4）運(yùn)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題：物體運(yùn)動(dòng)將會(huì)沿著一條路線或形成一條痕跡，運(yùn)行的路線與其他條件會(huì)構(gòu)成直角三角形，可運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)列方程求解。
【熱點(diǎn)題型精練】
21．（2020?河北中考）有一電腦程序：每按一次按鍵，屏幕的A區(qū)就會(huì)自動(dòng)加上a2，同時(shí)B區(qū)就會(huì)自動(dòng)減去3a，且均顯示化簡(jiǎn)后的結(jié)果．已知A，B兩區(qū)初始顯示的分別是25和﹣16，如圖．例如：第一次按鍵后，A，B兩區(qū)分別顯示：
（1）從初始狀態(tài)按2次后，分別求A，B兩區(qū)顯示的結(jié)果；
（2）從初始狀態(tài)按4次后，計(jì)算A，B兩區(qū)代數(shù)式的和，請(qǐng)判斷這個(gè)和能為負(fù)數(shù)嗎？說(shuō)明理由．
22．（2021?泉州模擬）如圖，某農(nóng)戶準(zhǔn)備建一個(gè)長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng)，養(yǎng)雞場(chǎng)的一邊靠墻，若墻長(zhǎng)為19m，墻對(duì)面有一個(gè)2m寬的門，另三邊用竹籬笆圍成，籬笆總長(zhǎng)34m，圍成長(zhǎng)方形的養(yǎng)雞場(chǎng)除門之外四周不能有空隙．
（1）若要圍成養(yǎng)雞場(chǎng)的面積為160m2，則養(yǎng)雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬各為多少m？
（2）圍成養(yǎng)雞場(chǎng)的面積能否達(dá)到180m2？請(qǐng)說(shuō)明理由．
23．（2021?菏澤中考）列方程（組）解應(yīng)用題
端午節(jié)期間，某水果超市調(diào)查某種水果的銷售情況，下面是調(diào)查員的對(duì)話：
小王：該水果的進(jìn)價(jià)是每千克22元；
小李：當(dāng)銷售價(jià)為每千克38元時(shí)，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的銷售量將增加120千克．
根據(jù)他們的對(duì)話，解決下面所給問(wèn)題：超市每天要獲得銷售利潤(rùn)3640元，又要盡可能讓顧客得到實(shí)惠，求這種水果的銷售價(jià)為每千克多少元？

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