【高頻考點(diǎn)精講】
1、三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。
2、推論：
（1）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。
（2）如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。
（3）平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所截得三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例。
【熱點(diǎn)題型精練】
1．（2021?哈爾濱中考真題）如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，則AE的長為（ ）
A．3B．4C．5D．6
解：∵DE∥BC，
∴，
∵AD＝2，BD＝3，AC＝10，
∴，
∴AE＝4．
答案：B．
2．（2021?淄博中考真題）如圖，AB，CD相交于點(diǎn)E，且AC∥EF∥DB，點(diǎn)C，F(xiàn)，B在同一條直線上．已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，則p，q，r之間滿足的數(shù)量關(guān)系式是（ ）
A．+＝B．+＝C．+＝D．+＝
解：∵AC∥EF，
∴，
∵EF∥DB，
∴，
∴＝+＝＝＝1，即＝1，
∴．
答案：C．
3．（2021?郴州中考真題）如圖是一架梯子的示意圖，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD．為使其更穩(wěn)固，在A，D1間加綁一條安全繩（線段AD1）量得AE＝0.4m，則AD1＝ 1.2 m．
解：∵BB1∥CC1，
∴＝，
∵AB＝BC，
∴AE＝EF，
同理可得：AE＝EF＝FD1，
∵AE＝0.4m，
∴AD1＝0.4×3＝1.2（m），
答案：1.2．
4．（2021?連云港中考真題）如圖，BE是△ABC的中線，點(diǎn)F在BE上，延長AF交BC于點(diǎn)D．若BF＝3FE，則＝ ．
解：如圖，∵BE是△ABC的中線，
∴點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，
∴＝，
過點(diǎn)E作EG∥DC交AD于G，
∴∠AGE＝∠ADC，∠AEG＝∠C，
∴△AGE∽△ADC，
∴，
∴DC＝2GE，
∵BF＝3FE，
∴，
∵GE∥BD，
∴∠GEF＝∠FBD，∠EGF＝∠BDF，
∴△GFE∽△DFB，
∴＝＝，
∴，
∴＝，
答案：．
5．（2021?上海中考真題）如圖所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，＝，則＝ ．
解：過D作DM⊥BC于M，過B作BN⊥AD于N，如圖：
∵AD∥BC，DM⊥BC，BN⊥AD，
∴四邊形BMDN是矩形，DM＝BN，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
∵AD∥BC，
∴＝＝，
∴＝，
∴＝，
答案：．
6．（2020?無錫中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，連接BE，CD，相交于點(diǎn)O，則△ABO面積最大值為 ．
解：如圖，過點(diǎn)D作DF∥AE，
則＝＝，
∵＝，
∴DF＝2EC，
∴DO＝2OC，
∴DO＝DC，
∴S△ADO＝S△ADC，S△BDO＝S△BDC，
∴S△ABO＝S△ABC，
∵∠ACB＝90°，
∴C在以AB為直徑的圓上，設(shè)圓心為G，
當(dāng)CG⊥AB時(shí)，△ABC的面積最大為：4×2＝4，
此時(shí)△ABO的面積最大為：×4＝．
答案：．
考點(diǎn)02 相似三角形的判定與性質(zhì)
【高頻考點(diǎn)精講】
1、相似三角形的判定
（1）如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。（兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似）
（2）如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊成比例，并且對(duì)應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。（兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩個(gè)三角形相似）
（3）如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。（三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似）
（4）兩三角形三邊對(duì)應(yīng)平行，則兩三角形相似。（三邊對(duì)應(yīng)平行，兩個(gè)三角形相似）
（5）如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。（斜邊與直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)直角三角形相似）
2、相似三角形的性質(zhì)
（1）相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成正比例。
（2）相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段（對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑）的比等于相似比。
（3）相似三角形周長的比等于相似比。
（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方。
【熱點(diǎn)題型精練】
7．（2021?大慶中考真題）如圖，F(xiàn)是線段CD上除端點(diǎn)外的一點(diǎn)，將△ADF繞正方形ABCD的頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABE．連接EF交AB于點(diǎn)H．下列結(jié)論正確的是（ ）
A．∠EAF＝120°B．AE：EF＝1：
C．AF2＝EH?EFD．EB：AD＝EH：HF
解：∵△ADF繞正方形ABCD的頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABE，
∴△ABE≌△ADF，
∴∠EAB＝∠DAF，
∴∠EAF＝∠BAE+∠FAB＝90°＝∠DAF+∠FAB＝90°，
故A不正確；
∵∠EAF＝90°，AE＝AF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴EF＝AE，
∴AE：EF＝1：，
故B不正確；
若AF2＝EH?EF成立，
∵AE：EF＝1：，
∴EH＝AF，
∴EH＝EF，
即H是EF的中點(diǎn)，H不一定是EF的中點(diǎn)，
故C不正確；
∵AB∥CD，
∴EB：BC＝EH：HF，
∵BC＝AD，
∴EB：AD＝EH：HF，
故D正確；
答案：D．
8．（2021?綿陽中考真題）如圖，在△ACD中，AD＝6，BC＝5，AC2＝AB（AB+BC），且△DAB∽△DCA，若AD＝3AP，點(diǎn)Q是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，則PQ的最小值是（ ）
A．B．C．D．
解：∵△DAB∽△DCA，
∴＝，
∴＝，
解得：BD＝4（負(fù)值舍去），
∵△DAB∽△DCA，
∴，
∴AC＝，
∵AC2＝AB（AB+BC），
∴（AB）2＝AB（AB+BC），
∴AB＝4，
∴AB＝BD＝4，
過B作BH⊥AD于H，
∴AH＝AD＝3，
∴BH＝＝＝，
∵AD＝3AP，AD＝6，
∴AP＝2，
當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，PQ的值最小，
∵∠AQP＝∠AHB＝90°，∠PAQ＝∠BAH，
∴△APQ∽△ABH，
∴，
∴＝，
∴PQ＝，
答案：A．
9．（2021?錦州中考真題）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，D為⊙O上一點(diǎn)（位于AB下方），CD交AB于點(diǎn)E，若∠BDC＝45°，BC＝6，CE＝2DE，則CE的長為（ ）
A．2B．4C．3D．4
解：連接CO，過點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，連接AD，
∵∠BDC＝45°，
∴∠CAO＝∠CDB＝45°，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵BC＝6，
∴AB＝BC＝12，
∵OA＝OB，
∴CO⊥AB，
∴∠COA＝∠DGE＝90°，
∵∠DEG＝∠CEO，
∴△DGE∽△COE，
∴＝，
∵CE＝2DE，
設(shè)GE＝x，則OE＝2x，DG＝3，
∴AG＝6﹣3x，BG＝6+3x，
∵∠ADB＝∠AGB＝90°，
∠DAG＝∠BAD，
∴△AGD∽△ADB，
∴DG2＝AG?BG，
∴9＝（6﹣3x）（6+3x），
∵x＞0，
∴x＝，
∴OE＝2，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：
CE＝，
答案：D．
10．（2021?內(nèi)江中考真題）如圖，在邊長為a的等邊△ABC中，分別取△ABC三邊的中點(diǎn)A1，B1，C1，得△A1B1C1；再分別取ΔA1B1C1三邊的中點(diǎn)A2，B2，C2，得△A2B2C2；這樣依次下去…，經(jīng)過第2021次操作后得△A2021B2021C2021，則△A2021B2021C2021的面積為（ ）
A．B．C．D．
解：∵點(diǎn)A1，B1分別為BC，AC的中點(diǎn)，
∴AB＝2A1B1，
∵點(diǎn)A2，B2分別為B1C1，A2C2的中點(diǎn)，
∴A1B1＝2A2B2，
∴A2B2＝（）2?a，
…
∴AnBn＝（）n?a，
∴A2021B2021＝（）2021?a
∴△A2021B2021C2021的面積＝?[（）2021?a]2＝，
答案：D．
11．（2021?益陽中考真題）如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，tan∠ABC＝，將△ABC繞A點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜90°）得到△AB′C′，連接BB′，CC′，則△CAC′與△BAB′的面積之比等于 9：4 ．
解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠BAC＝∠B′AC′，
∴∠BAB′＝∠CAC′，
∵AB＝AB′，AC＝AC′，
∴＝，
∴△ACC′∽△ABB′，
∴＝（）2，
∵∠CAB＝90°，
∴tan∠ABC＝＝，
∴＝（）2＝．
答案：9：4．
12．（2021?山西中考真題）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AB邊上的一點(diǎn)，且AD＝3BD，連接CD并取CD的中點(diǎn)E，連接BE，若∠ACD＝∠BED＝45°，且CD＝6，則AB的長為 4 ．
解：如圖，取AD中點(diǎn)F，連接EF，過點(diǎn)D作DG⊥EF于G，DH⊥BE于H，
設(shè)BD＝a，
∴AD＝3BD＝3a，AB＝4a，
∵點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，點(diǎn)F為AD中點(diǎn)，CD＝6，
∴DF＝a，EF∥AC，DE＝3，
∴∠FED＝∠ACD＝45°，
∵∠BED＝45°，
∴∠FED＝∠BED，∠FEB＝90°，
∵DG⊥EF，DH⊥BE，
∴四邊形EHDG是矩形，DG＝DH，
∴四邊形DGEH是正方形，
∴DE＝DG＝3，DH∥EF，
∴DG＝DH＝3，
∵DH∥EF，
∴∠BDH＝∠DFG，
∴△BDH∽△DFG，
∴，
∴＝，
∴BH＝2，
∴BD＝＝＝，
∴AB＝4，
答案：4．
13．（2021?煙臺(tái)中考真題）《九章算術(shù)》中記載了一種測量古井水面以上部分深度的方法．如圖所示，在井口A處立一根垂直于井口的木桿AB，從木桿的頂端B觀察井水水岸D，視線BD與井口的直徑AC交于點(diǎn)E，如果測得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD為 3 米．
解：由題意知：AB∥CD，
則∠BAE＝∠C，∠B＝∠CDE，
∴△ABE∽△CDE，
∴，
∴，
∴CD＝3米，
答案：3．
14．（2021?青島中考真題）已知正方形ABCD的邊長為3，E為CD上一點(diǎn)，連接AE并延長，交BC的延長線于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DG⊥AF，交AF于點(diǎn)H，交BF于點(diǎn)G，N為EF的中點(diǎn)，M為BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別連接MC，MN．若，則MN+MC的最小值為 2 ．
解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴A點(diǎn)與C點(diǎn)關(guān)于BD對(duì)稱，
∴CM＝AM，
∴MN+CM＝MN+AM≥AN，
∴當(dāng)A、M、N三點(diǎn)共線時(shí)，MN+CM的值最小，
∵AD∥CF，
∴∠DAE＝∠F，
∵∠DAE+∠DEH＝90°，
∵DG⊥AF，
∴∠CDG+∠DEH＝90°，
∴∠DAE＝∠CDG，
∴∠CDG＝∠F，
∴△DCG∽△FCE，
∵，
∴＝，
∵正方形邊長為3，
∴CF＝6，
∵AD∥CF，
∴＝＝，
∴DE＝1，CE＝2，
在Rt△CEF中，EF2＝CE2+CF2，
∴EF＝＝2，
∵N是EF的中點(diǎn)，
∴EN＝，
在Rt△ADE中，EA2＝AD2+DE2，
∴AE＝＝，
∴AN＝2，
∴MN+MC的最小值為2，
答案：2．
考點(diǎn)03 位似變換
【高頻考點(diǎn)精講】
1、位似圖形的概念：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心。
2、位似圖形與坐標(biāo)：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)比等于k或﹣k。
【熱點(diǎn)題型精練】
15．（2021?沈陽中考真題）如圖，△ABC與△A1B1C1位似，位似中心是點(diǎn)O，若OA：OA1＝1：2，則△ABC與△A1B1C1的周長比是（ ）
A．1：2B．1：3C．1：4D．1：
解：∵△ABC與△A1B1C1位似，
∴△ABC∽△A1B1C1，AC∥A1C1，
∴△AOC∽△A1OC1，
∴＝＝，
∴△ABC與△A1B1C1的周長比為1：2，
答案：A．
16．（2021?東營中考真題）如圖，△ABC中，A、B兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸的上方，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，0），以點(diǎn)C為位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A'B'C，并把△ABC的邊長放大到原來的2倍，設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是a，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的橫坐標(biāo)是（ ）
A．﹣2a+3B．﹣2a+1C．﹣2a+2D．﹣2a﹣2
解：設(shè)點(diǎn)B′的橫坐標(biāo)為x，
則B、C間的水平距離為a﹣1，B′、C間的水平距離為﹣x+1，
∵△ABC放大到原來的2倍得到△A′B′C，
∴2（a﹣1）＝﹣x+1，
解得：x＝﹣2a+3，
答案：A．
17．（2021?溫州中考真題）如圖，圖形甲與圖形乙是位似圖形，O是位似中心，位似比為2：3，點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A′，B′．若AB＝6，則A′B′的長為（ ）
A．8B．9C．10D．15
解：∵圖形甲與圖形乙是位似圖形，位似比為2：3，AB＝6，
∴＝，即＝，
解得，A′B′＝9，
答案：B．
18．（2021?重慶中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將△OAB以原點(diǎn)O為位似中心放大后得到△OCD，若B（0，1），D（0，3），則△OAB與△OCD的相似比是（ ）
A．2：1B．1：2C．3：1D．1：3
解：∵B（0，1），D（0，3），
∴OB＝1，OD＝3，
∵△OAB以原點(diǎn)O為位似中心放大后得到△OCD，
∴△OAB與△OCD的相似比是OB：OD＝1：3，
答案：D．
19．（2021?黔東南州中考真題）已知在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB的頂點(diǎn)分別為點(diǎn)A（2，1）、點(diǎn)B（2，0）、點(diǎn)O（0，0），若以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，將△AOB放大，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為 （4，2）或（﹣4，﹣2） ．
解：如圖，觀察圖象可知，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，2）或（﹣4，﹣2）．
答案：（4，2）或（﹣4，﹣2）．
20．（2021?嘉興中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC與△ODE是位似圖形，則它們位似中心的坐標(biāo)是 （4，2） ．
解：如圖，
點(diǎn)G（4，2）即為所求的位似中心．
答案：（4，2）．
21．（2021?黔西南州中考真題）如圖，△A′B′C′與△ABC是位似圖形，點(diǎn)O為位似中心，若OA′＝A′A，則△A′B′C′與△ABC的面積比為 1：4 ．
解：∵OA′＝A′A，
∴＝，
∵△A′B′C′與△ABC是位似圖形，
∴△A′B′C′∽△ABC，
∴△A′B′C′與△ABC的面積比＝（）2＝，
答案：1：4．
22．（2020?郴州中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，將△AOB以點(diǎn)O為位似中心，為位似比作位似變換，得到△A1OB1，已知A（2，3），則點(diǎn)A1的坐標(biāo)是 （，2） ．
解：∵將△AOB以點(diǎn)O為位似中心，為位似比作位似變換，得到△A1OB1，A（2，3），
∴點(diǎn)A1的坐標(biāo)是：（×2，×3），
即A1（，2）．
答案：（，2）

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